Internetové stránky cvičení z Mechaniky kontinua (NMOD 012), zimní semestr 2011/2012.
Informace o předmětu (organizace studia, požadavky ke zkoušce) se snad v dohledné době objeví na stránkách Josefa Málka.
| Jméno: | Vít Průša |
|---|---|
| Email: | prusv@karlin.mff.cuni.cz |
Nevypisuji pevné konzultační hodiny. Chcete-li se mnou něco probrat, neváhejte a obraťte se na mě buď přímo na cvičeních nebo emailem—dohodneme si termín konzultace, který vám nejvíc vyhovuje. Budu se vám snažit vyjít maximálně vstříc.
Kdykoliv budete mít pocit, že něčemu nerozumíte, ozvěte se. Cvičení jsou určená především k tomu, aby se na nich objasnily případné problémy. Chybami se člověk učí! (Vězte, že občas na cvičeních také něco spletu—v tom případě neváhejte a upozorněte mě!)
Cvičení se koná ve čtvrtek třetí až pátou vyučovací hodinu (11:30 až 13:00) v místnosti K6 (Karlín).
K získání zápočtu je potřeba splnit následující podmínky:
O zmíněných požadavcích jsem ochoten diskutovat (pokud jste opravdu dobří studenti a myslíte si, že by vás cvičení k smrti nudilo, lze se kupříkladu dohodnout na tom, že by pro vás neplatil požadavek na povinou docházku na cvičení), ale jen na začátku semestru. Pokud příjdete v zápočtovém týdnu a bude vyžadovat nějaké nestandardní zacházení (odpuštění povinné docházky na cvičení), nebudu se s vámi vůbec bavit a zápočet nedostanete. (Mimořádné situace jako nemoc jsou samozřejmě výjimkou.) Znovu opakuji: jsem ochoten najít oboustranně přijatelné řešení jakéhokoliv problému, ale odmítám řešit věci na poslední chvíli—v případě jakýchkoliv potíží se okamžitě ozvěte.
Na cvičeních budeme řešit hlavně příklady z tradiční sady příkladů. Jak ale asi bylo zřejmé již z prvního cvičení, budeme se věnovat i lecsčemu jinému.
Plošný, křivkový, objemový integrál. Stokesova věta. Příklady výpočtů. Chcete-li můžete v pondělí 10. října příjít na seminář matematického modelování (15:40, K1), studenti matematického modelování zde budou hovořit o výsledcích, kterých dosáhli během letních stáží v Nečasově centru pro matematické modelování. Mimochodem, pokud byste chtěli psát bakalářské práce na matematickém modelování, budete mít na semináři dobrou příležitost tuto možnost prodiskutovat s lidmi ze skupiny matematického modelování.
Nejspíše se budeme věnovat základům počítání v křivočarých souřadnicích, aneb povíme si, jak se zhostit úkolu: vyjádřete $\Delta \vec{v} = 0$ v polárních souřadnicích.
Domácí úkol (na cvičení 20. října): Najděte koeficienty $\Gamma^k_{ij}$ pro cylindrické souřadnice $$ \begin{align} x_1 &= r \cos \varphi, \\ x_2 &= r \sin \varphi, \\ x_3 &= z. \end{align} $$
Pokud toužíte po bakalářské práci z matematického modelování, můžete v pondělí 17. října v 17:20 přijít do K1 a vše probrat s lidmi ze skupiny matematického modelování.
(Ondřej Souček) Další povídání o derivování v křivočarých souřadnicích. Geometrický význam operátorů divergence a rotace.
Krátce a naposledy -- derivování v křivočarých souřadnicích. Explicitní výpočet polárního rozkladu. Funkce od matic a jak je počítat. Domácí úkol (písemně, odevzdat na cvičení 3. listopadu): Příklady 26 a 32 z tradiční sady příkladů.
Cayley--Hamilton věta, funkce od matic, invarianty. Domácí úkol (písemně, odevzdat na cvičení 10. listopadu): Spočtěte $$ \begin{align} \frac{\partial}{\partial \mathbf{A}}\left(\mathrm{Tr} \mathbf{A} \right), \\ \frac{\partial}{\partial \mathbf{A}}\left( \frac{1}{2} \left( \left( \mathrm{Tr} \mathbf{A} \right)^2 - \mathrm{Tr} \left( \mathbf{A} \right)^2 \right) \right), \\ \frac{\partial}{\partial \mathbf{A}}\left( \det \mathbf{A}\right). \end{align} $$ Pro ty, kdo chtějí zkusit něco víc. (Toto není povinný domácí úkol.) Ukažte, že je-li $\mathbf{R}$ matice rotace z polárního rozkladu $\mathbf{F} = \mathbf{R} \mathbf{U}$, pak $$ \forall \mathbf{Q} \in Orth^+:\ \| \mathbf{F} - \mathbf{R} \| \leq \| \mathbf{F} - \mathbf{Q} \|, $$ aneb $\mathbf{R}$ je nejlepší aproximací $\mathbf{F}$ ve třídě ortogonálních matic. (Normou se rozumí $\| \mathbf{A}\| = \sqrt{\mathrm{Tr} \left( \mathbf{A}\mathbf{A}^{\top}\right)} $.)
Upozornění: Domácí úkol, který měl být odevzdán na cvičení 3. listopadu jsem dostal od těchto lidí: Navrátil, Chaloupka, Sojka, Sládková, Tomášik, Příhoda, Zábojníková, Héda, Vágner. Pokud jste mi domácí úkol neodevzdali, tak to prosím rychle (do 13. listopadu) napravte. Pamatujte, že platí pravidlo: "Bez domácích úkolů není zápočet."
Řešení domácího úkolu (s drobnými chybami) najdete zde.
Rozbor řešení domácího úkolu. Vektorové identity a co z nich plyne. Formulace Helmholtz věty o vektorových polích. Zbyla nám spousta nedodělků. Doma si můžete (není potřeba odevzdávat písemně) dokázat platnost identity $$ \mathrm{div} \left( \nabla \varphi \times \mathbf{A} \right) = \mathbf{A} \cdot \left( \mathrm{rot} \left( \nabla \varphi \right) \right) - \left( \nabla \varphi \right) \cdot \mathrm{rot} \mathbf{A}. $$ Dále si zkuste odvodit, že pro vektorové pole $\mathrm{rot}\ \mathbf{v} = 0$ lze korektně zadefinovat potenciál $\varphi$ vzorcem $$ \varphi(\mathrm{x}) = \int_{\gamma} \mathbf{v} \cdot \mathrm{d}\mathbf{l}, $$ kde $\gamma$ je křivka spojující vybraný pevný bod $\mathrm{x}_0$ s bodem $\mathrm{x}$. Ukažte, že platí $\mathbf{v} = \nabla \varphi$. Poslední důkaz, který si můžete zkusit je důkaz identity $$ \mathrm{rot} \left( \mathrm{rot}\ \mathbf{v} \right) = \nabla \left( \mathrm{div}\ \mathbf{v} \right) - \Delta \mathbf{v}. $$
Státní svátek. Cvičení se nekoná.
Upozornění: Domácí úkol, který měl být odevzdán na cvičení 10. listopadu jsem dostal od těchto lidí: Navrátil, Chaloupka, Sojka, Sládková, Tomášik, Příhoda, Zábojníková, Héda, Vágner, Benešová. Pokud jste mi domácí úkol neodevzdali, tak to prosím rychle (do 27. listopadu) napravte. Pamatujte, že platí pravidlo: "Bez domácích úkolů není zápočet." Řešení domácího úkolu najdete zde.
Derivace determinantu v případě že matice je singulární. Dokončení rozpravy o Helmholtz rozkladu vektorového pole. Ze stránek Mirka Rokyty doporučuji ke stažení soupis různých variant Stokes věty. Souřadnicová reprezentace tenzoru deformace vzhledem ke kartézským (referenční konfigurace) a polárním souřadnicím (aktuální kofigurace). Korn nerovnost.
Zkuste si dokončit (není nutné odevzdávat písemně) důkaz Helmholtz věty, $\vec{F} = - \nabla \varphi + \mathrm{rot} \vec{A}$, v $\mathbb{R}^3$. Dospěli jsme k tomu, že $$ \begin{align} \varphi &= \frac{1}{4\pi} \mathrm{div}_{\vec{r}} \int_{V} \frac{\vec{F}(\vec{r}^\prime)}{|\vec{r} - \vec{r}^\prime|} \mathrm{d}\vec{r}^\prime, \\ \vec{A} &= \frac{1}{4\pi} \mathrm{rot}_{\vec{r}} \int_{V} \frac{\vec{F}(\vec{r}^\prime)}{|\vec{r} - \vec{r}^\prime|} \mathrm{d}\vec{r}^\prime. \end{align} $$ Ukažte, že pokud $\vec{F}$ klesá dostatečně rychle v nekonečnu, pak lze výše uvedené výrazy zjednodušit na $$ \begin{align} \varphi &= \frac{1}{4\pi} \int_{V} \frac{ \mathrm{div}_{\vec{r}^\prime} \vec{F}(\vec{r}^\prime)}{|\vec{r} - \vec{r}^\prime|} \mathrm{d}\vec{r}^\prime, \\ \vec{A} &= \frac{1}{4\pi} \int_{V} \frac{\mathrm{rot}_{\vec{r}^\prime} \vec{F}(\vec{r}^\prime)}{|\vec{r} - \vec{r}^\prime|} \mathrm{d}\vec{r}^\prime. \end{align} $$ Návod: Použijte identitu $\mathrm{div}_{\vec{r}} \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}^\prime|} = -\mathrm{div}_{\vec{r}^\prime} \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}^\prime|}$ a Stokesovu větu. A obdobně pro operátor rotace. (Připomínám, že index u operátoru značí vůči jaké proměnné se derivuje, $\mathrm{div}_{\vec{r}}$ tedy znamená divergenci vůči čárkovaným proměnným.)
Tenzor deformace v křivočarých souřadnicích. Euler a Lagrange pospis kontinua. Proudnice, proudočáry a podobně. Cauchy tenzor napětí, Piola-Kirchhoff tenzor napětí.
Výpočet proudění v rovinném kanálu. Síla působící na obtékané těleso se vždy snaží těleso zpomalit (a proč to souvisí s kladnou viskozitou).
Příklady z písemné práce. (Zadání písemné práce si můžete stáhnout zde. Vzorové řešení se pokusím připravit co nevidět.) Písemná práce nedopadla dobře, takže se do zkoušky budete muset dost zlepšit. Projděte si příklady z tradiční sady příkladů, pokud si s něčím nebudete vědět rady, ozvěte se, obtížné příklady můžete vyřešit společně na cvičení.
Odhad energie uvolněné při výbuchu atomové bomby a jeden netradiční důkaz Pythagorovy věty. (Cvičení na bezrozměrná čísla.) Invariance fyzikálních zákonů vůči Galileiho transformaci a co všechno z toho plyne v mechanice kontinua.
Deformace visícího válce vlastní vahou.
Protažení válce aneb odkud se bere jednodimenzionální Hook zákon. Taylor--Couette proudění a jak ho využít pro měření viskozity.
Zkouška z předmětu mechanika kontinua bude v pátek 10. února 2012 v 9:00 (místo upřesníme), prezentace jsou naplánovány na 24. února 2012 v 10:00, seznam témat prezentací najdete zde. Do seznamu ještě patří Ivan Héda: Creeping flow past a cylinder/sphere.
Prezentac proběhnou v místnosti K12 (Karlín). Začátek prezentací byl po domluvě posunut na 9:00, podrobný rozpis je k dispozici zde. Připomínám, že se očekává vystoupení v anglickém jazyce o délce 10 minut (plus 5 minut na zodpovězení dotazů) s použitím počítačové prezentace.
Zadání a řešení zkouškové písemné práce je k dispozici zde.
Last modified: Wed Feb 22 10:39:49 CET 2012