Požadavky ke zkoušce z VPFA (NMMA342)

Zkouška se skládá z písemné (početní) a ústní (teoretické) části. Z každé části je možné získat až 30 bodů. K úspěšnému složení zkoušky je nutné získat aspoň 15 bodů z každé části. Výsledná známka je pak následující:

30 - 39 bodů: dobře
40 - 49 bodů: velmi dobře
50 - 60 bodů: výborně

Písemná část

Písemná část se skládá ze dvou úloh, za každou je možné získat až 15 bodů. Úlohy jsou z následujících oblastí:

Norma lineárního zobrazení či funkcionálu
Jádro a obraz lineárního zobrazení
Nejlepší aproximace či vzdálenost v Hilbertových prostorech
Nabývání normy lineárního zobrazení
Spektrum operátoru
Slabá konvergence
... možná ještě něco

Písemná část trvá 60 minut. Studenti nesmí používat žádnou literaturu ani kalkulačky.

Ústní část

Ústní část se skládá ze dvou otázek, za každou je možné získat až 15 bodů. Každá otázka typicky odpovídá jedné podkapitole. Úkolem je zformulovat důležité definice a tvrzení z dané oblasti. Po zformulování základních tvrzení z obou témat a zodpovězení doplňujících otázek je student vyzván, aby dokázal jednu z vět (vybranou zkoušejícím).

Příklad zkouškové otázky:
1. Vzdálenost a ortogonalita v prostorech se skalárním součinem.

Definujte vzdálenost bodu od množiny. Kdy existuje v množině nejbližší bod k danému bodu? Jak tento nejbližší bod najdete, pokud je množina podprostor?
Dokažte větu o reprezentaci lineárních funkcionálů na Hilbertově prostoru/o nejbližším bodu v podprostoru/o existenci nejbližšího bodu množiny.

2. Úplnost v Banachových prostorech

Vyslovte větu o otevřeném zobrazení a větu o uzavřeném grafu. Jaký je vztah spojitosti a uzavřenosti operátoru? Udejte příklady.
Dokažte princip stejnoměrné omezenosti/větu o uzavřeném grafu.

Seznam odpřednesených tvrzení:

1. Normované lineární prostory

Tvrzení - spojitost normy
Věta 1 - o konečněrozměrných prostorech (bd)
Věta 2 - o ekvivalenci norem (bd)
Věta 3 - úplnost konečněrozměrného prostoru
Věta 4 - charakterizace omezených lineárních zobrazení
Věta 5 - úplnost prostoru lineárních zobrazení
Věta 6 - základní vlastnosti projekcí

2. Prostory se skalárním součinem

Věta 7 - o vzdálenosti bodu od množiny
Tvrzení 8 - o vzdálenosti bodu od podprostoru
Věta 9 - o ortogonálním doplňku (bd)
Důsledek - existence kolmého vektoru
Věta 10 - reprezentace lineárních funkcionálů na Hilbertově prostoru
Věta 11 - Besselova nerovnost
Věta 12 - charakterizace úplné ortonormální množiny
Věta 13 - Rieszova--Fischerova

3. Hahnova-Banachova věta a její důsledky

Věta 14 - algebraická Hahnova-Banachova (reálný případ, bd)
Věta 15 - algebraická Hahnova-Banachova (obecný případ, bd)
Věta 16 - Hahnova-Banachova
Věta 17 - oddělování bodů
Věta 18 - realizace vzdálenosti
Důsledek - duální vyjádření normy

4. Úplnost v Banachových prostorech

Věta 19 - princip stejnoměrné omezenosti
Věta 20 - Banachova-Steinhausova
Věta 21 - o otevřeném zobrazení (bd)
Věta 22 - o uzavřeném grafu

5. Reflexivita

Věta 23 - o kanonickém vnoření
Věta 24 - vlastnosti reflexívních prostorů (b,c bd)
Věta 25 - nabývání normy
Věta 26 - Fréchetova--Riezsova

6. Spektrum operátoru

Věta 27 - Neumannova o invertibilitě
Věta 28 - vlastnosti spektra
Lemma 29 - Riezsovo o skorokolmici
Věta 30 - Riezsova o kompaktnosti koule
Věta 31 - vlastnosti kompaktních operátorů
Věta 32 - Fredholmova alternativa (bd)
Věta 33 - spektrum kompaktního operátoru (bd)
Věta 34 - spektrum adjungovaného operátoru (bd)
Věta 35 - spektrální věta (bd)

7. Slabá konvergence

Věta 36 - Banachova-Alaogluova (bd)
Věta 37 - Eberleinova (bd)

8. Oddělování konvexních množin

Věta 38 - oddělování konvexních množin (bd)