Domácí úkoly

Nejsme-li domluveni jinak , odevzdávejte prosím domácí úkoly nejpozději 2 týdny od zadání (obykle na přespřístím cvičení).

3.3. Dokažte, že je podokruh Z[\frac{\sqrt{19}}{2} i] = \{p(\frac{\sqrt{19}}{2} i)| p ∈ Z[x]\} okruhu komplexních

čísel oborem integrity hlavních ideálů.

(3 body)

17.3. Dokažte pro každé n, m ∈ N, že existuje právě NSD(n, m) homomorfismů

grupy Z_{n} do grupy Z_{m}.

(2 body)

31.3. Určete pro každé přirozené k, kolik existuje prvků řádu k v grupě (Z_{n}^{∗}, ·,^{−1} , 1),

jestliže n = 2^{α}3^{β}5^{γ} pro α, β, γ celá kladná. Své tvrzení dokažte.

(2 body)

7.4. Dokažte, že je číslo 41041 Carmichaelovo.

(1 bod)

21.4. Mějme prvočíslo p splňující podmínku p = 4m + 1 pro nějaké liché m.

Dokažte, že je 2^{m}modp druhá odmocnina −1 v grupě Z_{p}^{∗}.

(2 body)

28.4. Určete kolik existuje pro každé přirozené n charakterů χ grupy (Z, +, −, 0), jejichž obraz χ(Z) má právě n prvků. Najděte dále nějaký charakter ξ grupy (Z, +, −, 0), pro který je množina ξ(Z) nekonečná a |ξ(z)| = 1 pro všechna z ∈ Z. Svá tvrzení dokažte. (Charakterem rozumíme každý homomorfismus grupy (Z, +, −, 0) do grupy (C^{∗}, ·,^{−1} , 1).)

(2 body)

12.5. Spočítejte (\frac{159493}{10465227} ).

(1 bod)

19.5. Buď n > 1 liché přirozené číslo a defimujme G_{n} = \{a ∈ Z_{n}^{∗}| a^{\frac{n−1}{2}} = (\frac{a}{n})\}. Dokažte:

(a) G_{n} je podgrupa multiplikativní grupy Z_{n}^{∗},

(b) G_{n} = Z_{n}^{∗}, právě když je n prvočíslo. Jakých hodnot může nabývat \frac{|G_{n}|}{|Z_{n}^{∗}|} pro n složené?

(3 body)