29./30.9.

1. Počítání v tělesech

Uvažujme množinu všech racionálních čísel Q spolu s obvyklými operacemi + a · a všimněme si ţběžných” vlastností obou operací (tj. takových, jichž jsme bez rozmýšlení ochotni a schopni používat). Nejprve zaznamenejme takové vlastnosti sčítání:

1. ∀a, b, c ∈ Q platí rovnost (a + b) + c = a + (b + c) (této vlastnosti operace se obvykle říká asociativita),

2. ∀a, b ∈ Q platí, že a + b = b + a (této vlastnosti + říkáme komutativita),

3. ∀a ∈ Q platí, že a + 0 = a (tedy 0 je tzv. neutrální prvek operace +),

4. ∀a ∈ Q existuje racionální číslo, které označujeme −a, pro něž a+(−a) = 0

(tedy −a je opačný prvek k a). Velmi podobný soubor vlastností splňuje i násobení:

5. ∀a, b, c ∈ Q: (a · b) · c = a · (b · c) (asociativita),

6. ∀a, b ∈ Q: a · b = b · a (komutativita),

7. ∀a ∈ Q platí, že a · 1 = a (tedy 1 je neutrální prvek operace ·),

8. ∀a ∈ Q\{0} existuje racionální číslo, které označujeme a^{−1}, pro něž a·a^{−1} =

1 (a^{−1} je tzv. inverzní prvek k a). Doposud jsme neuvedli žádnou vlastnost, která by uvažované operace nějak svazovala. Uvědomme si, že velmi silný požadavek na ţspolupráci” + a · na racionálních číslech vyjadřuje pravidlo distributivity:

9. ∀a, b, c ∈ Q: a · (b + c) = a · b + a · c. Není těžké nahlédnout, že jsme právě shrnuli důležité vlastnosti uvažovaných

operací jako takových a že mnohé další samozřejmé vlastnosti lze z axiomů 1.-9. odvodit. Například fakt, že −(a · b) = (−a) · b, plyne z axiomů 9. a 4. a z faktu 0 · b = 0 (konkrétně a · b + (−a) · b = (a + (−a)) · b = 0 · b = 0) a dokonce i fakt, že 0·b = 0 můžeme, jak záhy ukážeme z axiomatiky odvodit. To samozřejmě v případě racionálních čísel, s nimiž jsme zvyklí počítat, na nic nepotřebujeme, ale může to být velmi užitečné v okamžiku, kdy se zamyslíme, zda stejný (či podobný) soubor vlastností nesplňují i jiné páry operací (a tím ani nevylučujeme ani nezaručujeme, že budou mít stejný zápis) na jiných množinách a zda právě vyjmenované vlastnosti nepostačují k tomu, abychom uměli zodpovědět otázky, které si záhy v rámci kurzu lineární algebry položíme.

Už ve chvíli, kdy jsme sestavovali soupis vlastností 1.– 9., jsme si mohli uvědomit, že jsou samozřejmě splněny pro sčítání a násobení na reálných či komplexních číslech (a že například sčítání a násobení na celých číslech splňuje všechny uvedené axiomy s výjimkou axiomu 8.). Sepišme si tedy tyto vlastnosti ještě jednou, ale uvažujme je pro nějakou obecnou množinu T s dvojicí binárních operací + a ·:

1. ∀a, b, c ∈ T: (a + b) + c = a + (b + c),

2. ∀a, b ∈ T: a + b = b + a,

3. existuje takový prvek 0 ∈ T, že ∀a ∈ T platí rovnost a + 0 = a,

4. ∀a ∈ T existuje −a ∈ T, pro které a + (−a) = 0,

5. ∀a, b, c ∈ T: (a · b) · c = a · (b · c),

6. ∀a, b ∈ T: a · b = b · a,

7. existuje takový prvek 1 ∈ T, že ∀a ∈ T platí rovnost a · 1 = a, 8. ∀a ∈ T \ {0} existuje a^{−1} ∈ T, pro které a · a^{−1} = 1 (a^{−1} je tzv. inverzní

prvek k ).

9. ∀a, b, c ∈ T: a · (b + c) = a · b + a · c. V novém souboru axiomů jsme do 3. a 7. axiomu přidali formulaci ţexistuje takový prvek”, která byla v případě racionálních, reálných či komplexních čísel zbytečná (0 a 1 tam označují zcela konkrétní čísla a my jen zaznamenali jejich charakteristické vlastnosti), ale ve chvíli, kdy nemáme k dispozici nic víc než dvě operace na abstraktní množině T, je nezbytná. Rovněž si všimněme, že jsme v nové axiomatice převzali značení obvyklé u zmiňovaných konkrétních číselných struktur (kromě symbolů pro neutrální prvky také − a ^{−1}), které v obecné situaci nemá konkrétní obsah (je okamžitě srozumitelné, jaké konkrétní racionální čísl máme na mysli, napíšemeli −5 nebo \frac{2}{3}^{−1}, ovšem v jiných konkrétních příkladech struktur splňujících danou axiomatiku budou symboly − a ^{−1} teprve výzvou k následnému výpočtu).

Než shrneme naší axiomatiku pod pojem těleso, ujasněme si, co by znamenalo, kdyby oba výjimečné prvky (tj. 0 a 1) splývaly (tj. 0 = 1). Potom by pro libovolné a ∈ T platilo a = a · 1 = a · 0 = 0, tedy množina T by byla pouze jednoprvková. Pro jednoprvkovou množinu a jednoznačně určené (a zjevně totožné) operace + a · by všechny axiomy sice platily, ale počítání by v takovém případě nebylo vůbec zajímavé a při budování vektorových prostorů by připuštění jednoprvkových těles přinášelo potíže. Proto přidáme k axiomatice požadavek, aby množina T byla aspoň dvouprvková (nebo ekvivalentně, aby 0 ≠ 1).

1.1. Předpokládejme, že pro operace + a · na množině T platí axiomy 1.–9. Dokažte, že pro každé a, b ∈ T platí:

(a) 0 · a = 0,

(b) (−1) · a = −a,

(c) jestliže a ≠ 0 a b ≠ 0, potom a · b ≠ 0.

(a) Nejprve uvážíme, že podle 3. axiomu máme 0 + 0 = 0, podle 4. axiomu 0 · a + (−(0 · a)) = 0, proto

0 = 0 · a + (−(0 · a)) = (0 + 0) · a + (−(0 · a)).

Nyní upravíme výraz (0 + 0) · a pomocí axiomu 9. a poté použijeme nejprve axiom 1 a po něm opět axiomy 4 a 3 a dostaneme

0 = (0 + 0) · a + (−(0 · a)) = 0 · a + 0 · a + (−(0 · a)) = 0 · a + 0 = 0 · a.

(b) Stačí využít axiom 4, distribotivitu (tj. axiom 9) a právě dokázané pozorování (a), abychom dostali

0 = (0) · a = (1 + (−1)) · a = 1 · a + (−1) · a.

Protože 1 · a = a podle 7. axiomu, vidíme, že (−1) · a je opravdu opačný prvek k prvku a.

(c) Budeme dokazovat obměnu tvrzení. Předpokládejme, že a · b = 0 a a ≠ 0. Potom existuje díky 8. axiomu inverzní prvek a^{−1}. Díky axiomu 7, 8 a 5 tedy máme

b = 1 · b = (a^{−1} · a) · b = a^{−1} · (a · b).

Nyní stačí použít předpoklad a · b = 0 a tvrzení (a), abychom dostali

b = a^{−1} · (a · b) = a^{−1} · 0 = 0.
□

Nyní ukážeme, že dobře známé struktury Q, R či C nejsou zdaleka jediné, které splňují axiomatiku tělesa. Pomineme na tomto místě velké množstí příkladů těles, která bychom mohli najít jako podtělesa reálných čísel a zaměříme se na tělesa s konečným počtem prvků.

6./7.10.

Buď v následujícím n přirozené číslo a položme Z_{n} = {0, 1, …, n − 1}. Nyní definujme na Z_{n} operace +_{n} a ·_{n} předpisem a +_{n} b = (a + b)modn a a ·_{n} b = (a · b)modn, kde modn znamená zbytek po celočíselném dělení hodnotou n.

1.2. Ověřte, že pro všechna celá a, b a libovolné přirozené n platí, že ((a)modn + (b)modn)modn = (a + b)modn a ((a)modn · (b)modn)modn = (a · b)modn.

Zvolme libovolě celá a, b a přirozené n. Předně si rozmyslíme význam zbytku po celočíselném dělení, tedy, že existují (jednoznačně určená) celá q a r, pro něž (a)modn + qn = a a (b)modn + rn = b. Navíc připomeňme, že 0 ≤ (a)modn < n a 0 ≤ (b)modn < n. Nyní počítejme: (a + b)modn = ((a)modn + qn + (b)modn + rn)modn = ((a)modn+(b)modn+(q+r)n)modn = ((a)modn+(b)modn)modn. □

1.3. Dokažte, že Z_{n} spolu s operacemi +_{n} a ·_{n} splňuje axiomy 1.– 7. a 9.

Platnost axiomů 2.,3.,6.,7. plyne okamžitě z definice operací a odpovídající vlastnosti pro celá čísla, axiomy 1., 5. a 9. platí díky pozorování z 1.2. Konečně −0 = 0 a −a = n − a pro všechna a ∈ Z_{n} \ {0}, protože (a + n − a)modn = (n)modn = 0. □

1.4. Najděte inverzní prvky pro všechny nenulové prvky tělesa Z_{5}.

V daném případě můžeme postupovat zkusmo. Snadno zjistíme, že 1^{−1} = 1 (to platí ostatně v každém tělese), z pozorování, že 2 ·_{5} 3 = 1, plyne, že 2^{−1} = 3 i že 3^{−1} = 2, a konečně 4^{−1} = 4, protože 4 ·_{5} 4 = 1. □

1.5. Jsou-li r, s ∈ N, r > 1, s > 1 a položme n = rs. Dokažte, že Z_{n} spolu s operacemi +_{n} a ·_{n} není těleso.

Ukázali jsme, že Z_{n} splňuje axiomy 1.– 7. a 9, zřejmě tedy nemůže platit 8. axiom. Protože víme, že v každém tělese musí podle 1.1 platit pro a ≠ 0 a b ≠ 0, že a · b ≠ 0, stačí, abychom tuto podmínku vyvrátili. Položíme-li a = r a b = s, pak vidíme, že a ≠ 0 a b ≠ 0, ovšem a · b = (n)modn = 0. □

Nechť a_{0} ≥ a_{1} jsou dvě přirozená čísla. Připomeňme Eukleidův algoritmus hledání největšího společného dělitele (NSD) čísel a_{0} a a_{1}:

Známe-li a_{i−1} a a_{i} spočteme a_{i+1} = (a_{i−1})mod a_{i}. Tedy víme, že existuje takové q_{i} ∈ N že a_{i−1} = q_{i}a_{i} + a_{i+1} a a_{i+1} < a_{i}. Algoritmus skončí, když a_{n+1} = 0, potom a_{n} = NSD(a_{0}, a_{1}).

1.6. Najděte pomocí Euklidova algoritmu taková celá čísla x a y, aby 30x+101y = 1.

Nejprve si všimněme, že číslo 101 je prvočíslo, tedy největší společný dělitel čísel 30 a 101 je zcela jistě roven jedné. Euklidův algoritmus na nalezení největšího společného dělitele čísel 30 a 101 nám tedy samozřejmě musí dát výsledek 1. Přesto ho použijeme a budeme věnovat pozornost vztahu předchozích a následujících prvků:

a_{0} = 101,

a_{1} = 30, a_{2} = 101 − 3 · 30 = 11, a_{3} = 30 − 2 · 11 = 8, a_{4} = 11 − 8 = 3, a_{5} = 8 − 2 · 3 = 2, a_{6} = 3 − 2 = 1 = NSD(101, 30). Vidíme, že každé a_{i+1} je celočíselnou lineární kombinací prvků a_{i} a a_{i−1}, budeme-

li postupně dosazovat předchozí vyjádření do následujících výrazů, dostaneme každé a_{i+1} jako celočíselnou lineární kombinací prvků a_{0} a a_{1}:

a_{2} = 11 = 101 − 3 · 30, a_{3} = 8 = 30 − 2 · 11 = 30 − 2 · (101 − 3 · 30) = 7 · 30 − 2 · 101, a_{4} = 3 = 11 − 8 = (101 − 3 · 30) − (7 · 30 − 2 · 101) = 3 · 101 − 10 · 30, a_{5} = 2 = 8 − 2 · 3 = (7 · 30 − 2 · 101) − 2 · (3 · 101 − 10 · 30) = 27 · 30 − 8 · 101, a_{6} = 1 = 3 − 2 = (3 · 101 − 10 · 30) − (27 · 30 − 8 · 101) = 11 · 101 − 37 · 30. Zjistili jsme, že x = −37 a y = 11. □

1.7. Najděte inverzní prvek k prvku 30 v tělese Z_{101}.

Potřebujeme najít číslo x ∈ Z_{101}, které by řešilo rovnici (30 · x)mod 101 = 1, což můžeme reformulovat tak, že hledáme celá x a y, z nichž x má ležet v Z_{101}, aby 30x + 101y = 1. Podobnou úlohu už jsme řešili v předchozím příkladu, nyní si stačí uvědomit, že nalezené x, které neleží v požadovaném intervalu můžeme posunout pomocí vhodného násobku čísla 101. Dostaneme tedy zbytek po celočíselném dělení číslem 101, tj. 30^{−1} = (−37)mod101 = 101 − 37 = 64, protože

1 = 11·101−37·30 = 11·101−30·101+101·30−37·30 = (11−30)·101+(101−37)·30.

Tedy jsme našli další a pro nás zajímavější řešení řešení 1 = 64·30−19·101 rovnice z 1.6.

14./20.10.

1.8. Najděte v tělese Z_{101} prvky 63^{−1}, 20^{−1}, 2^{−1}, (20 · 63)^{−1} a vyřešte nad ním rovnici 20 ·_{101} x = 7

U prvních dvou hodnot postupujme stejně jako v předchozích úvahách, tedy využijeme Euklidův algoritmus:

38 = 101 − 63, 25 = 63 − 38 = 2 · 63 − 101, 13 = 38 − 25 = 2 · 101 − 3 · 63, 12 = 25 − 13 = 5 · 63 − 3 · 101, 1 = 13 − 12 = 5 · 101 − 8 · 63. Zjistili jsme, že 63^{−1} = (−8)mod 101 = 93. Podobně už v prvním kroku Euklidova algoritmu zjistíme, že 1 = 101 − 5 · 20,

tedy 20^{−1} = (−5)mod 101 = 96

Při určování hodnoty 2^{−1} můžeme udělat jednoduchou obecnou úvahu pro Z_{p}, kde p je liché prvočíslo, že \frac{p+1}{2} ∈ Z_{p} a že (2 · \frac{p+1}{2} )modp = (p + 1)modp = 1, tedy 2^{−1} = \frac{101+1}{2} = 51 v tělese Z_{101}.

Uvážíme-li, že z axiomatiky tělesa plyne (a·b)^{−1} = a^{−1}·b^{−1} a (−a)^{·}(−b) = a·b pro všechny jeho prvky a a b (zkuste podrobně dokázat!), a využijeme-li vypočítaných hodnot, pak

(20 ·_{101} 63)^{−1} = 20^{−1} ·_{101} 63^{−1} = (−5) ·_{101} (−8) = 40.

Protože obvyklý způsob upravovaní rovnic je ekvivalentní (tj. vratný) i pro rovnice nad obecným tělesem, zjišťujeme, že hledané x je tvaru x = 20^{−1} ·_{101} 7 = 96 ·_{101} 7 = 66. □

1.9. Dokažte, pomocí Euklidova algoritmu, že Z_{p} spolu s operacemi +_{p} a ·_{p} splňuje axiom 8.

Uvažujeme stejným způsobem jako v předchozích úlohách. Zvolme libovolně nenulové a ∈ Z_{p}. Protože p je prvočíslo, jsou a a p nesoudělná, tedy pomocí Euklidova algoritmu lze najít celá x a y, pro něž ax + py = NSD(a, p) = 1. Nyní stačí vzít a^{−1} = (x)modp. □

Nadále budeme sčítání a násobení v tělese Z_{p} psát bez indexu _{p} (tj. jen + a ·).

1.10. Spočítejte v tělesech Z_{5} a Z_{7} hodnotu výrazu (−2)^{−1} ·((2+4)·(4+4)^{−1})+3.

Postupujeme podle definice operací na Z_{5} i Z_{7}, nejprve počítejme nad Z_{5}:

(−2)^{−1} · ((2 + 4) · (4 + 4)^{−1}) + 3 = 3^{−1} · (1 · 3^{−1}) + 3 = 2 · 2 + 3 = 2.

Podobně dostáváme nad Z_{7}:

(−2)^{−1} · ((2 + 4) · (4 + 4)^{−1}) + 3 = 5^{−1} · (6 · 1^{−1}) + 3 = 3 · 6 + 3 = 0.

□

1.11. Spočítejte v tělese komplexních čísel C hodnotu výrazů (3+i)^{−1} a (1−2i)^{−1}· (2 + 3i).

Obvyklým způsobem rozšíříme zlomky komplexně sdruženou hodnotou a dostaneme

(3 + i)^{−1} = \frac{1}{3 + i} = \frac{1}{3 + i} · \frac{3 − i}{3 − i} = \frac{3}{10} − \frac{1}{10}i

a

(1 − 2i)^{−1} · (2 + 3i) = \frac{2 + 3i}{1 − 2i} = \frac{2 + 3i}{1 − 2i} · \frac{1 + 2i}{1 + 2i} = −\frac{4}{5} + \frac{7}{5}i.

□

1.12. Najděte (nějaká) reálná rešení soustavy rovnic:

\begin{aligned}x & + & 2y & + & z & = & 1 \\ −2x & + & y & + & 2z & = & 2 \end{aligned}

Nejprve si soustavu zapíšeme do matice a poté ji pomocí přičtení vhodného násobku jedné rovnice k rovnici druhé upravíme (na střední škole se tento způsob upravování obvykle nazývá ţsčítací metoda”):

(\begin{matrix}1 & 2 & 1 & |1 \\ −2 & 1 & 2 & |2 \end{matrix}) ∼ (\begin{matrix}1 & 2 & 1 & |1 \\ 0 & 5 & 4 & |4 \end{matrix}) ,

Druhý řádek upravené matice, který odpovídá rovnici 5y + 4z = 4, jsme dostali přičtením dvojnásobku rovnice x + 2y + z = 1 k rovnici −2x + y + 2z = 2 (tedy přičtením dvojnásobku řádku (1 2 1|1) k řádku (−2 1 2|2)). Snadno si uvědomíme, že dosadíme-li za z libovolnou hodnotu, pak jednoznačně dopočítáme y a x. Položíme-li například z = 0, pak z rovnice 5y + 4 · 0 = 4 dostáváme, že y = \frac{4}{5} a z rovnice x + 2 · \frac{4}{5} + 0 = 1 spočítáme, že x = −\frac{3}{5}. Našli jsme tedy jedno řešení dané soustavy, které můžeme zapsat do trojice (x, y, z) = (−\frac{3}{5}, \frac{4}{5}, 0). Podobně jsme jiné řešení mohli dostat po volbě z = 1 a jednoznačném dopočítání y = x = 0. □

Na tomto místě si uvědomíme geometrický význam řešení dané soustavy: každou z rovnic chápeme jako rovinu v R^{3} (tvořenou všemi trojicemi (x, y, z), které rovnici řeší) a množina řešení celé soustavy je průnik těchto dvou rovin. Všimneme-li si navíc, že roviny zjevně nejsou rovnoběžné, musí množinu všech řešení tvořit přímka, jejíž jeden bod (−\frac{3}{5}, \frac{4}{5}, 0) už jsme našli. Nyní bychom mohli najít směr této přímky a najít tak dokonce všechna reálná řešení. Tento úkol ovšem vyřešíme až později negeometricky pro všechna tělesa.

1.13. Najděte (nějaká) racionální rešení soustavy rovnic z úlohy 1.12.

Stačí si rozmyslet, že z množiny řešení předchozí úlohy musíme vybrat ta, která jsou ve všech složkách racionální. Zřejmě mají řešení (−\frac{3}{5}, \frac{4}{5}, 0) (0, 0, 1) všechny složky racionální, tedy jde o hledaná racionální řešení. □

1.14. Najděte rešení soustavy rovnic z úlohy 1.12 nad tělesem Z_{5}.

Budeme postupovat stejným formalizmem jako v úloze 1.12. Snadno si uvědomíme, že stačí postupovat obdobnými úpravami, kterými docílíme maticového zápisu v požadovaném (ţodstupňovaném” či ţschodišťovém”) tvaru:

(\begin{matrix}1 & 2 & 1 & |1 \\ −2 & 1 & 2 & |2 \end{matrix}) = (\begin{matrix}1 & 2 & 1 & |1 \\ 3 & 1 & 2 & |2 \end{matrix}) ∼ (\begin{matrix}1 & 2 & 1 & |1 \\ 0 & 0 & 4 & |4 \end{matrix}) ,

všimněme si, že k témuž výsledku dospějeme, když finální matici z 1.12 jednoduše ve všech složkách upravíme modulo 55:

(\begin{matrix}1 & 2 & 1 & |1 \\ 0 & 5 & 4 & |4 \end{matrix}) mod5 = (\begin{matrix}1 & 2 & 1 & |1 \\ 0 & 0 & 4 & |4 \end{matrix}) ,

Nyní nejprve opět najdeme jedno řešení nehomogenní soustavy. Z druhé rovnice nutně plyne, že z = 1 a dosadíme-li tentokrát y = 0 dopočítáme z první rovnice x = 0. Tedy i řešení (0, 0, 1) úlohy 1.12 bvyhovuje i nyní (v obecném případě bychom ho museli opět upravit modulo 5, tentokrát taková úprava ovšem řešení nezmění). Naopak racionální (a reálné) řešení (−\frac{3}{5}, \frac{4}{5}, 0) nelze ţpřetlumočit” do tělesa Z_{5}, protože zde nelze vydělit číslem 5mod5 = 0 (tj. přesněji řečeno najít k němu inverzní prvek). □

1.15. Najděte postupně nad tělesy racionálních čísel, Z_{5}, Z_{7} a Z_{11} řešení soustavy

rovnic: \begin{aligned}x & + & 2y & = & 3 \\ 3x & + & 2y & = & 2 \end{aligned}

Nejprve otázku pomocí maticového zápisu vyřešíme nad tělesem Q, tentokrát si navíc uvědomíme, že maticově umíme zapsat nalezená řešení:

(\begin{matrix}1 & 2|3 \\ 3 & 2|2 \end{matrix}) ∼ (\begin{matrix}1 & 2 & | & 3 \\ 0 & −4 & | & −7 \end{matrix}) ∼ (\begin{matrix}1 & 2| & 3 \\ 0 & 1| & \frac{7}{4} \end{matrix}) ∼ (\begin{matrix}1 & 0| & −\frac{1}{2} \\ 0 & 1| & \frac{7}{4} \end{matrix})

Zjistili jsme, že (x, y) = (−\frac{1}{2}, \frac{7}{4}) je jediné racionální řešení soustavy.

Nyní podobně jako v předchozí úloze uvážíme, že jsme při úpravách nad Q nikde

nedělili 5,7 ani 11 a proto stačí matici (\begin{matrix}1 & 0| & −\frac{1}{2} \\ 0 & 1| & \frac{7}{4} \end{matrix}) jen upravit modulo příslušné

prvočíslo.

Konkrétně nad tělesem Z_{5} je 2^{−1} = 3, 4^{−1} = 4, proto (−\frac{1}{2})mod5 = (−1 · 2^{−1})mod5 = (4 · 3)mod5 = 2 a (\frac{7}{4})mod5 = (7 · 4^{−1})mod5 = (2 · 4)mod5 = 3. Maticově zapsáno nad Z_{5} to znamená, že

(\begin{matrix}1 & 2|3 \\ 3 & 2|2 \end{matrix}) ∼ (\begin{matrix}1 & 0| & 2 \\ 0 & 1| & 3 \end{matrix}) ,

(x, y) = (2, 3) je jediné řešení soustavy nad tělesem Z_{5}. Podobně uvážíme nad Z_{7}, že −1 · 2^{−1} = 6 · 4 = 3 a 7 · 4^{−1} = 0, tedy nad tímto tělesem

(\begin{matrix}1 & 2|3 \\ 3 & 2|2 \end{matrix}) ∼ (\begin{matrix}1 & 0| & 3 \\ 0 & 1| & 0 \end{matrix})

a (x, y) = (3, 0). Konečně nad tělesem Z_{11} stejnou úvahou dostáváme −1 · 2^{−1} = 10 · 6 = 5 a 7 · 4^{−1} = 7 · 3 = 10, a proto nad tělesem Z_{11} dostáváme jednoznačné řešení (x, y) = (5, 10), jemuž odpovídá maticový zápis

(\begin{matrix}1 & 2|3 \\ 3 & 2|2 \end{matrix}) ∼ (\begin{matrix}1 & 0| & 5 \\ 0 & 1| & 10 \end{matrix}) .

□

Další úlohy

(1) Dokažte, že opačný i inverzní prvek jsou ke každému prvku v tělese určeny jednoznačně.

(2) Dokažte, že neutrání prvky obou operací v tělese jsou určeny jednoznačně.

(3) Dokažte, že pro všechny prvky a, b obecného tělesa platí −(a · b) = −a · b = a · (−b), −(a)^{−1} = (−a)^{−1}, (a · b)^{−1} = a^{−1} · b^{−1} a (−a)^{·}(−b) = a · b.

(4) Buď T těleso · a nechť a, b ∈ T. Jestliže a · a = b · b, dokažte z axiomatiky tělesa, že nutně a = b nebo a = −b.

(5) Spočítejte v tělese Z_{83} hodnoty 15^{−1} a (3^{−1} + 6 · 53^{−1})^{−1}.

(6) Vyřešte v tělese Z_{97} rovnici 7 · x + 3 = 51^{−1} + 17.

(7) Najděte nad tělesy R, Q, C, Z_{3}, Z_{5} a Z_{7} rešení soustavy rovnic:

\begin{aligned}2x & − & y & + & 2z & = & 1 \\ x & + & y & − & z & = & 1 \end{aligned}

(8) Najděte všechna komplexní řešení soustavy rovnic:

\begin{aligned}ix & − & 2y & + & z & = & 1 − i \\ x & + & (1 + i)y & − & (2 + 3i)z & = & i \end{aligned}

(9) Najděte nad tělesy Z_{5} a Z_{7} aspoň tři řešení soustavy rovnic:

x + y + z + u = 3
x + 2y + 3z + 4u = 0
x + 4y  = 0