29.11.

3. Booleovy algebry

3.1. Určete počet prvků konečné Booleovy algebry, která obsahuje 5 atomů.

Využijeme Větu z přednášky, která říká, že konečná Booleova algebra je izomorfní potenční algebře (P(A), ∩, ∪,′ , ∅, A) všech podmnožin množiny všech atomů, To mimo jiné znamená, že obě algebry mají stejný počet prvků. Tedy Booleova algebra obsahující 5 atomů má právě 2^{5} = 32 prvků. □

3.2. Rozhodněte, zda existuje Booleova algebra o 8, 9, 63, 64 prvcích.

Opět uvážíme, že konečná Booleova algebra je izomorfní nějaké potenční algebře (P(A), ∩, ∪,′ , ∅, A), tedy obsahuje právě 2^{|A|} prvků. Vidíme, že algebra o 8 a 64 prvcích existují (a jsou izomorfní algebře (P({1, 2, 3}), ∩, ∪,′ , ∅, {1, 2, 3}), respektive (P({1, 2, 3, 4, 5, 6}), ∩, ∪,′ , ∅, {1, 2, 3, 4, 5, 6})) a že Booleovy algebry o 9 a 63 prvcích neexistují. □

3.3. V Booleově algebře (P({1, 2, 3, 4, 5}), ∩, ∪,′ , ∅, {1, 2, 3, 4, 5}) najděte všechny atomy a rozhodněte, zda obsahuje podalgebru o 16 prvcích.

Atomem je prvek, který není roven nejmenšímu prvku Booleovy algebry, kterým je ∅, ale mezi ním a ∅ žádný prvek neleží. To znamená, že atomy dané Booleovy algebry jsou právě jednoprvkové množiny, tj. množiny {1}, {2}, {3}, {4}, {5}.

Zvolme množinu X = P({1, 2, 3}) ∪ {X ∪ {4, 5}| X ∈ P ({1, 2, 3})}, snadno přímočarou úvahou nahlédneme, že jde o množinu uzavřenou na průniky, sjednocení a komplementy a že ∅, {1, 2, 3, 4, 5} ∈ X, tedy jde o podalgebru dané Booleovy algebry. Navíc zřejmě |X | = 2 · 2^{3} = 16. □

3.4. Rozhodněte kolik obsahuje Booleova algebra o 2^{57} prvcích atomů, a zda obsahuje podalgebru o 2^{31} prvcích.

Stejnou úvahou jako v předchozích úlohách nahlédneme, že Booleova algebra o 2^{57} prvcích obsahuje 57 atomů a že její podalgebra o 2^{31} prvcích existuje (řešímeli úlohu v algebře podmnožin 57-prvkové množiny, stačí vzít množinu podmnožin nějké 30-prvkové pomnožiny a jejich komplementy). □

6.12.

4. Grupy

4.1. Dokažte, že množina 10Z_{180} = {10 · k| k ∈ Z_{18}} je podgrupou cyklické grupy (Z_{180}, +, −, 0).

Potřebujeme ověřit, že pro každé x, y ∈ 10Z_{180} platí, že −x, x + y ∈ 10Z_{180}, zřejmě přitom 0 ∈ 10Z_{180}. Tedy, jestliže x = 10r a y = 10s pro x, y ∈ 10Z_{18} pak:

x + y = 10((r + s)mod18) a − x = 10((−r)mod18).

Tedy vidme, že 10Z_{180} je osmnáctiprvková podgrupa grupy (Z_{180}, +, −, 0). □

4.2. Kolik prvků obsahují podgrupy ⟨6⟩, ⟨34⟩, ⟨49⟩, ⟨178⟩ grupy (Z_{180}, +, −, 0)?

Díky Eukleidovu algoritmu víme, že ⟨k⟩ = ⟨NSD(k, 180)⟩ a podobně jako v předchozí úloze nahlédneme, že |⟨k⟩| = |⟨NSD(k, 180)⟩| = \frac{180}{⟨NSD(k,180)} . Tedy |⟨6⟩| = 30, |⟨34⟩| = |⟨178⟩| = 90, a |⟨49⟩| = 180. □

4.3. Kolik podgrup obsahuje grupa (Z_{33}, +, −, 0)?

Stačí uvážit, že všechny podgrupy cyklické grupy (Z_{33}, +, −, 0) jsou opět cyklické, tedy tvaru nZ_{33} = {(k · n)mod33| k ∈ Z_{33}}. Díky Eukleidovu algoritmu máme nZ_{33} = NSD(n, 33)Z_{33}, tudíž statčí spočítat dělitele čísla 33, které je právě 4. Tedy v grupě (Z_{33}, +, −, 0) leží 4 podgrupy. □

4.4. Dokažte, že každý homomorfismus f grupy (Z_{n}, +, −, 0) do sebe je tvaru f(a) = k · a, kde k ∈ Z_{n} a · je násobení modulo n.

Vezměme nějaký homomorfismus f grupy Z_{n}(+, −, 0) do sebe a položme k = f(1). Potom zjevně f(1 + 1) = k + k = 2 · k, f(1 + 1 + 1) = k + k + k = 3 · k, atd. Indukcí snadno dostáváme, že f(a) = k · a. Potřebujeme ještě ukázat, že každé zobrazení f_{k} dané předpisem f_{k}(a) = k·a je grupový homomorfismus. Podle Tvrzení 14.4(1) ze skript stačí ověřit slučitelnost f_{k} s binární operací +. Protože f_{k}(a+b) = k·(a+b) = k·a+k·b = f_{k}(a)+f_{k}(b), tvoří {f_{k}|k ∈ Z_{n}} množinu všech endomorfismů grupy Z_{n}(+, −, 0). □

4.5. Dokažte, že homomorfismus f_{k}(a) = k · a z předchozího příkladu je izomorfismem právě tehdy, když jsou k a n nesoudělná.

Protože je f_{k} zobrazení konečné množiny do sebe, je f_{k} bijekce, právě když je to zobrazení na, tj. ⟨k⟩ = ⟨f_{k}(1)⟩ = f_{k}(Z_{n}) = Z_{n}. To zřejmě nastává právě tehdy, když je k generátor cyklické grupy Z_{n}(+, −, 0), což platí právě tehdy, když je NSD(k, n) = 1. □

4.6. Najděte aspoň 3 izomorfismy grupy (Z_{100}, +, −, 0) do sebe.

Podle předchozí úlohy potřebujeme najít 3 čísla z množiny Z_{100}, která jsou nesoudělná s číslem 100, vezmeme například, 1, 3, 7 a potom zobrazení f_{1} = Id, f_{3} a f_{7} jsou hledané izomorfismy. □

4.7. Rozhodněte, zda existuje izomorfismus f grupy (Z_{30}, +, −, 0) do sebe, aby platilo a) f(1) = 8 b) f(1) = 17, c) f(7) = 3, c) f(7) = 17.

Využijeme-li úvahu úlohy 4.5, vidíme, že v případě a) f = f_{8} a b) f = f_{17}. Protože číslo 8 je s číslem 30 soudělné, zatímco číslo 17 je s číslem 30 nesoudělné izomorfimus splňující podmínku a) neexistuje, ovšem izomorfimus splňující podmínku b) existuje. Uvážíme-li, že i případné homomorfismy z variant c), d) jsou tvaru f_{k}, stačí, abychom vyřešili rovnice

c) f_{x}(7) = (x · 7)mod30 = 3 a d)f_{y}(7) = (y · 7)mod30 = 17.

Například pomocí Euklidova algoritmu zjistíme, že x = 9 a y = 11. Tedy vidíme, že NSD(9, 30) ≠ 1 NSD(11, 30) = 1, proto izomorfimus splňující podmínku c) neexistuje, ovšem izomorfimus splňující podmínku d) existuje. □

4.8. Dokažte, že je pro každé přirozené n relace ≡ (modn) daná předpisem a ≡ b(modn) ⇔ n/a − b krongruence na grupě (Z, +, −, 0)).

Nejprve nahlédneme, že je ≡ (modn) reflexivní (n/a−a = 0), symetrická (n/a− b ⇔ n/b − a) a tranzitivní relace (jestliže n/a − b a n/b − c, pak n/a − c = (a − b) + (b − c)), tedy se jedná o ekvivalenci. Dále si vezměme a, b, c, d ∈ Z, pro které a ≡ b(modn) a c ≡ d(modn). Potom n/a − b a n/c − d, proto n/(a + c) − (b + d) = (a − b) + (c − d) stejně jako n/((−a) − (−b)), tedy a + c ≡ b + d(modn) a −a ≡ −b(modn). Protože zřejmě 0 ≡ 0(modn), je ≡ (modn) kongruence algebry (Z, +, −, 0)). □

13.12.

4.9. Spočítejte počet izomorfismů grupy (Z, +, −, 0)) do sebe.

Stačí si opět uvědomit, že obraz generátoru grupy musí být opět generátor. Protože grupu (Z, +, −, 0) generejí pouze čísla 1 a −1, existují právě dva izomorfismy grupy (Z, +, −, 0)) do sebe. Prvním z nich je identita a druhý přiřazuje číslu z právě číslo −z. To, že se jedná o izomorfismus už ověříme zcela přímočaře. □

4.10. Nechť p = (135)(4798)(26) a q = (18)(247693) jsou dvě permutace z S_{9}. Určete permutace p ∘ q, q ∘ p.

Přímo použitím definice snadno zjistíme hodnoty (skládáme zprava doleva):

p ∘ q = (1495)(27)(368), q ∘ p = (129)(3587)(46).

□

4.11. Napište permutace p = (13475) a q = (19)(267)(3548) z S_{9} jako součin transpozic.

Připomeňme, že transpozice je permutace, která vyměňuje právě dva prvky, tj. můžeme ji v redukovaném cyklickém zápisu zapsat ve tvaru (ab). Řešení úlohy pro permutaci p je zřejmé z Věty 6.9, konkrétně

(13475) = (15) ∘ (17) ∘ (14) ∘ (13) = (13) ∘ (34) ∘ (47) ∘ (75).

Přímo z definice cyklického zápisu vidíme, že (19)(267)(3548) = (19)∘(267)∘(3548), tedy nejprve úlohu vyřešíme pro každý z cyklů (19), (267) a (3548) pomocí Věty 6.9 a poté nalezené transpozice složíme, tedy

(19)(267)(3548) = (19) ∘ (267) ∘ (3548) =

= (19) ∘ (27) ∘ (26) ∘ (38) ∘ (34) ∘ (35) = (19) ∘ (26) ∘ (67) ∘ (35) ∘ (54) ∘ (48).

□

4.12. Dokažte, že je grupa S_{n} generována množinou všech transpozic.

V předchozí úloze jsme si uvědomili, jak libovolnou permutaci získat jako složení nějaké posloupnosti transpozic. To znamená, že nejmenší podgrupa obsahující všechny transpozice je rovna celé grupě S_{n}. □

4.13. Spočítejte řád permutací (12)(4578)(396), (12457)(396) ∈ S_{9}.

Stačí využít Tvrzení 17.1 ze skript, které říká, že řád permutace je právě nejmenší společný násobek délek cyklů dané permutace, tedy řád prvku (12)(4578)(396) je NSN(2, 4, 3) = 12 a řád prvku (12457)(396) je NSN(5, 3) = 15. □

4.14. Určete počet prvků podgrupy generované permutací (12458)(7396) ∈ S_{9}.

Uvážíme-li , že řád prvku je přesně roven velikosti cyklické podgrupy tím prvkem generované, vidíme, že |⟨(12458)(7396)⟩| = NSN(5, 4) = 20. □

4.15. Obsahuje grupa S_{35} prvek řádu 31, 62, 155, 270?

Opět využijeme Tvrzení 17.1. Nejprve nahlédneme, že v grupě najdeme permutaci obsahující cyklus délky 31 a dále čtyři cykly délky 1 (například (1 2 3 … 30 31)), a dále, že najdeme rovněž permutaci obsahující cyklus délky 31, jeden cyklus délky 2 a dále dva cykly délky 1 (například (1 2)(3 4 5 … 32 33)), pak podle Tvrzení 17.1 jsou tyto permutace řádu 31 resp. 62. Naopak pro permutaci řádu 155 = 31 · 5 bychom podle Tvrzení 17.1 mezi permutacemi grupy S_{35} potřebovali buď cyklus dély 155 nebo dva nezávislé cykly, z nichž jeden má délku 31 a druhý 5. Protože 155 > 31 i 31 + 5 > 35, permutace řádu 155 v grupě S_{35} neexistuje. Konečně 270 = 27 · 2 · 5 = NSN(27, 2, 5) a 27 + 2 + 5 ≤ 35, ze stejného důvodu jako výše vidíme, že například permutace (1 2)(3 4 5 6 7)(8 9 … 34 35) je řádu 270. □

4.16. Spočítejte ((135)(4798)(26))^{−1} a ((18)(247693))^{−1} pro permutace z S_{9}.

Při hledání inverzních permutací si uvědomme, že stačí cykly (redukovaného) cyklického zápisu původních permutací ţzrcadlově převrátit”, tedy

((135)(4798)(26))^{−1} = (531)(8974)(62), ((18)(247693))^{−1} = (81)(396742).

□

4.17. Nechť p a s jsou permutace z grupy S_{n} a nechť p(a) = b, kde a, b ∈ {1, …, n}. Dokažte, že [sps^{−1}](s(a)) = s(b).

Důkaz tvrzení je zcela přímočarý. Důležitým důsledkem je ovšem pozorování, že permutace p a sps^{−1} mají stejný počet stejných cyklů, neboť jsme právě dokázali, že

s ∘ [… (… ab …) …] ∘ s^{−1} = … (… s(a)s(b) …) ….
□

4.18. Mějme p = (1346)(27)(589) a q = (16)(29)(345) dvě permutace z grupy S_{9}. Spočítejte hodnoty pqp^{−1} a qpq^{−1}.

Postupujeme podle předchozího pozorování:

[(1346)(27)(589)] ∘ [(16)(29)(345)] ∘ [(1346)(27)(589)]^{−1} = (31)(75)(468)

a

[(16)(29)(345)] ∘ [(1346)(27)(589)] ∘ [(16)(29)(345)]^{−1} = (6451)(97)(382).
□

4.19. Mějme permutace p_{1} = (126)(37)(458) a p_{2} = (12)(345)(678) z grupy S_{8}. Rozhodněte, zda jsou permutace p_{1} a p_{2} konjugované, tj. zda existuje permutace q ∈ S_{8} s vlastností qp_{1}q^{−1} = p_{2} a případně takovou permutaci q najděte.

Využijeme opačný postup k postupu v předchozím příkladu. Obě permutace jsou stejného typu (což je zřejmě nutná podmínka, aby permutace q existovala). Seřaďme stejnými n-cykly pod sebe, například:

{(126)(37)(458) \atop (345)(12)(678)}

Zřejmě potom permutace q = (13)(24657)(8) splňuje podmínku qp_{1}q^{−1} = p_{2}. □

20.12.

4.20. Dokažte, že je grupa S_{n} generována všemi permutacemi tvaru (kk + 1), kde k < n.

Díky 4.12, kde jsme ověřili, že S_{n} = ⟨{(ab)| 0 ≤ a < b ≤ n, a, b ∈ N}⟩ stačí dokázat, že každou transpozici dostaneme složením vhodné posloupnosti transpozic tvaru (kk + 1). Vezmeme-li a < b + 1, pak s využtím pozorování 4.17 snadno spočítáme, že

(ab) = (b − 1b)(ab − 1)(b − 1b)^{−1} = (b − 1b)(ab − 1)(b − 1b).

Indukčním argumentem tedy zjistíme, že (ab) ∈ ⟨{(kk + 1)| 0 ≤ k < n}⟩, a proto ⟨{(kk + 1)| 0 ≤ k < n}⟩ = S_{n}. □

4.21. Dokažte, že je grupa S_{n} generována dvojicí permutací (12) a (12 … n).

Podobně jako v 4.20 stačí díky 4.20 libovolnou transpozici tvaru (kk + 1) složit pomocí permutací (12) a (12 … n). Opět snadno spočítáme, že

(kk + 1) = (12 … n)^{k−1}(12)(12 … n)^{−k+1} .

čímž jsme dokázali, že ⟨(12), (12 … n)⟩ = ⟨{(kk + 1)| 0 ≤ k < n}⟩ = S_{n}. □

4.22. Dokažte, že je grupa sudých permutací A_{n} generována množinou všech trojcyklů.

Vezměme libovolnou sudou permutaci σ. Díky 4.12 víme, že existuje posloupnost transpozic T_{1}, …, T_{2k} sudé délky, pro níž

σ = T_{1} ∘ T_{2} ⋯ ∘ T_{2k} = σ = (T_{1} ∘ T_{2}) ∘ (T_{3} ∘ T_{4}) ⋯ ∘ (T_{2k−1} ∘ T_{2k}).

Tedy stačí nahlédnout, že každé složení dvojice transpozic T_{2i−1}∘T_{2i} dostaneme jako složení trojcyklů. Proveďme tedy diskusi. Jakmile T_{2i−1} = T_{2i}, pak T_{2i−1}∘T_{2i} = Id a tvrzení zřejmě platí. Jestliže T_{2i−1} = (ab) a T_{2i} = (bc) jsou různé závislé transpozice, pak T_{2i−1} ∘ T_{2i} = (abc). Konečně, pokud T_{2i−1} = (ab) a T_{2i} = (cd) jsou nezávislé transpozice, potom snadno spočítáme, že T_{2i−1} ∘ T_{2i} = (abc) ∘ (bcd). □

4.23. Popište množinu generátorů cyklické grupy (Z_{n}, +, −, 0).

Uvědomme si, že číslo k je generátorem právě tehdy, když podgrupa ⟨k⟩ obsahuje prvek 1 a to nastává právě tehdy, když je NSD(k, n) = 1. □

4.24. Určete počet generátorů cyklické grupy (Z_{50}, +, −, 0).

Podle úvahy z 4.23 potřebujeme určit hodnotu Eulerovy funkce na prvku 50. Prvočíselný rozklad čísla 50 je 5^{2} · 2 a využijeme-li tvrzení 3.9 ze skript dostáváme φ(50) = (5 − 1) · 5^{1} · (2 − 1) = 20. □

4.25. Určete počet generátorů cyklické grupy řádu 81.

Uvážíme-li, že cyklická grupa řádu 81 je izomorfní grupě (Z_{81}, +, −, 0), postujpujeme stejně jako v předchozím příkladu: prvočíelný rozklad čísla 81 je 3^{4}, tedy počet generátorů cyklické grupy řádu 81 je φ(81) = (3 − 1) · 3^{3} = 54. □

4.26. Nechť G je konečná cyklická grupa, |G| = n, a nechť k dělí n. Ukažte, že existuje právě jedna podgrupa grupy G, která má k prvků.

K důkazu využijeme charakterizace cyklických grup, díky němuž stačí tvrzení dokázat pro (izomorfní) grupu (Z_{n}, +, −, 0) a následně budeme uvažovat stejně jako v úloze 4.1. Jestliže k = 1, je tvrzení triviální, předpokládejme tedy, že k > 1, a položme a = \frac{n}{k}. Potom snadno nahlédneme, že ⟨a⟩ = \{0, a, 2a, …, (k−1)a\}, tudíž |⟨a⟩| = k. Mějme nyní nějakou podgrupu H řádu k grupy Z_{n}. Podle Lagrangeovy věty řád grupy ⟨h⟩ dělí k pro každý prvek h ∈ H, proto (k · h)modn = 0. Tudíž k · h = c · n pro vhodné celé číslo c, tedy h = \frac{c·n}{k} = c · a. Tím jsme ověřili, že H je částí podgrupy ⟨a⟩. Protože se ovšem jedná o dvě konečné stejně velké množiny dostáváme, že H = ⟨a⟩, čímž jsme ověřili jednoznačnost volby. □

4.27. Kolik podgrup obsahuje cyklická grupa řádu 98?

Využijeme úvahu úlohy 4.26, budeme tedy postupovat jako v příkladu 4.1: každému děliteli řádu cyklické grupy odpovídá právě jedna její podgrupa. Potřebujeme tedy jen spočítat dělitele čísla 98, kterých je 6 (tj. 1, 2, 7, 14, 49, 98). □

4.28. Kolik podgrup obsahuje cyklická grupa řádu 1000?

Opět uvažujeme jako v 4.26 a vidíme, že podgrup obsahuje cyklická grupa řádu 1000 právě tolik, kolik je dělitelů čísla 1000 = 2^{3} · 5^{3}, množinu dělitelů přitom tvoří {2^{i} · 5^{j}| (i, j) ∈ Z_{4} × Z_{4}}, tedy je jich |Z_{4} × Z_{4}| = 4^{2} = 16. □

4.29. Kolik obsahuje cyklická grupa o tisíci prvcích prvků řádu 100?

I tentokrát stačí, abychom se zabývali cyklickou grupou (Z_{1000} , +, −, 0). Připomeňme, že prvek g grupy je řádu k právě tehdy, když |⟨g⟩| = k. My ovšem víme, že existuje jediná podgrupa grupy (Z_{1000} , +, −, 0) řádu 100 (konkrétně se jedná o podgrupu ⟨10⟩), navíc se nutně jedná o cyklickou grupu, tedy potřebujeme spočítat její generátory. Postupujeme-li nyní stejmě jako v 4.25, vidíme, že generátorů pogrupy ⟨10⟩, tedy prvků řádu 100 v grupě (Z_{1000} , +, −, 0) je právě φ(100) = (5 − 1) · 5^{1} · (2 − 1 · 2^{1}) = 40. □

3.1.

4.30. Najděte Hasseův diagram svazu všech podgrup grupy (Z_{12}, +, −, 0).

Připomeňme si, že podle Lagrangeovy věty existují v (Z_{12}, +, −, 0) jen podgrupy řádu, který dělí číslo 12, přičemž 12 = 2^{2} ·3. Navíc podle Věty 5.11 v cyklické grupě pro každé k, které dělí řád grupy tj. 12, existuje právě jedna podgrupa řádu k, jež je generována právě prvkem \frac{12}{k}. Konečně si zbývá uvědomit, že každá podgrupa i faktorová grupa cyklické grupy je cyklická, proto jsou dvě podgrupy H_{1} a H_{2} spojeny v Hasseově diagramu hranou, právě když |H_{1}|/|H_{2}| a \frac{|H_{2} |}{|H_{1} |} je prvočíslo (to znamená, že mezi H_{1} a H_{2} neleží žádná další podgrupa). Uvědomíme-li si, že H_{1} = ⟨k_{1}⟩ = k_{1}Z_{12} a H_{2} = ⟨k_{2}⟩ = k_{2}Z_{12}, pak H_{1} a H_{2} jsou spojeny hranou, přičemž H_{1} leží pod H_{2}, právě když k_{2} dělí k_{1} a \frac{k_{1}}{k_{2}} je prvočíslo (v našem případě tedy 2 nebo 3). Víme, že podgrupy grupy Z_{12}(+, −, 0) jsou generovány prvky 1, 2, 3, 4, 6 a 0. Zbývá mezi příslušnými podgrupami nakreslit hrany a uspořádat je do Hasseova diagramu:

Z_{12} ⟨2⟩  ⟨3⟩ ⟨4⟩  ⟨6⟩ {0}
□

4.31. Najděte Hasseův diagram svazu všech kongruencí na cyklické grupě řádu 126.

Poznamenejme, že cyklická grupa řádu 126 je izomorfní grupě (Z_{126}, +, −, 0), tedy stačí vyšetřit všechny podgrupy (Z_{126}, +, −, 0). Postupujeme stejně jako v úloze 4.30 a úloha se redukuje na nalezení dělitelů čísla 126. Dělitelé 126 jsou 1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 21, 42, 63, 126. Zbývá vytvořit Hasseův diagram:

Z_{126} ⟨3⟩  ⟨2⟩  ⟨7⟩ ⟨9⟩  ⟨6⟩  ⟨21⟩  ⟨14⟩ ⟨18⟩  ⟨63⟩  ⟨42⟩ {0}

4.32. Najděte Hasseův diagram svazu všech podgrup grupy permutací (S_{3}, ∘,^{−1} , Id).

Nejprve najdeme všechny podgrupy grupy (S_{3}, ∘,^{−1} , Id). Zřejmě S_{3} i {Id} jsou podgrupy. Uvědomme si, že velikost libovolné další podgrupy není 1 ani 6, ale podle Lagrangeovy věty číslo 6 dělí. To znamená, že zbývá, abychom vyšetřili podgrupy velikosti 2 a 3. Ty jsou nutně cyklické, tedy si stačí všimnout, které permutace jsou řádu 2 a které jsou řádu 3. Vše namalujeme do Hasseova diagramu:

S_{3} ⟨(12)⟩  ⟨(13)⟩  ⟨(23)⟩  ⟨(123)⟩ {Id}
□

Další úlohy

(1) Dokažte, že svaz všech podmnožin P (X) neprázdné množiny X je spolu s inkluzí modulární.

(2) Ověřte, že je svaz modulární právě tehdy, když jako podsvaz obsahuje svaz s Hasseovým diagramem

item Popište všechny grupy, které obsahují právě dvě podgrupy.

(3) Kolik existuje izomorfismů cyklické grupy řádu 44 do sebe?

(4) Kolik existuje izomorfismů grupy prvočíselného řádu p do sebe?

(5) Existuje izomorfismus f : Z_{10} → Z_{10} grupy (Z_{10}, +, −, 0) takový, že a) f(1) = 6, b) f(1) = 9, c) f(2) = 6, d) f(2) = 9, e) f(9) = 7?

(6) Rozhodněte, zda jsou izomorfní grupy (Z_{4}, +, −, 0) a (Z_{2} × Z_{2}, +, −, 0).

(7) Rozhodněte, zda jsou izomorfní grupy (Z_{6}, +, −, 0) a (Z_{2} × Z_{3}, +, −, 0).

(8) Rozhodněte, zda jsou izomorfní grupy (S_{3}, ∘,^{−1} , Id) a (Z_{2} × Z_{3}, +, −, 0).

(9) Rozhodněte, zda je grupa (Z_{20} × Z_{30}, +, −, 0) cyklická.

(10) Rozhodněte, zda je grupa (Z_{21} × Z_{31}, +, −, 0) cyklická.

(11) Rozhodněte, zda jsou permutace p_{1} a p_{2} konjugované v S_{9}, jestliže a) p_{1} = (13)(259) a p_{2} = (247)(58),

b) p_{1} = (13)(259) a p_{2} = (13)(259)(48)

(12) Rozhodněte, zda jsou permutace (13)(259) a (247)(58) konjugované v A_{9}.

(13) Spočítejte řád permutací (357498)(126), (357498)(12), (35749)(126) ∈ S_{9}.

(14) Obsahuje grupa S_{100} prvek řádu 80, 110, 111, 113, 5!, 6!, 7!?

(15) Kolik obsahuje cyklická grupa o 333 prvcích prvků řádu 3, 9, 33, 50, 111?

(16) Dokažte, že pro každé přirozené n existuje nekonečně neizomorfních konečných grup obsahujících právě n podgrup. Najděte Hasseův diagram svazu všech kongruencí na cyklické grupě řádu 1000, 1001, 1002.

(17) Najděte Hasseův diagram svazu všech podgrup grupy permutací (S_{4}, ∘,^{−1} , Id).