PRAKTICKÁ LINEÁRNÍ ALGEBRA A GEOMETRIE

Matici homomorfismu f : V → W vzhledem k bázím B ⊂ V a C ⊂ W budme zpravidla značit [f]_{BC}. V souladu s tímto značením budeme označovat [Id]_{B_{2} B_{1}} matici přechodu od báze B_{1} k bázi B_{2}. Symbolem ℤ_{p} budeme značit těleso celých čísel {0, 1, …, p − 1} se sčítáním a násobením modulo prvočíslo p.

Značení, které není komentováno, je shodné se značením učebnice profesora Bicana.

1. Lineární kódy

Definice. Každou neprázdnou množinu C ⊆ ℤ_{2}^{n} nazveme (binárním blokovým) kódem. Řeknem, že C je lineární kód délky n a dimenze k, je-li C podprostorem vektorového prostoru ℤ_{2}^{n} nad tělesem ℤ_{2} a dimC = k.

Vektory libovolného kódu (délky n) budeme zpravidla nazývat slovy (délky n). Slovo budeme zapisovat jako posloupnost 0 a 1 bez závorek a oddělovacích čárek.

Definice. Nechť C je lineární kód délky n a dimenze k. Řekneme, že matice C typu (k, n) nad tělesem ℤ_{2} je generující maticí kódu C, jestliže řádky matice C tvoří bázi lineárního kódu C. Řekneme, že matice D typu (n, n − k) nad tělesem ℤ_{2} je kontrolní maticí kódu C, platí-li, že v ∈ C právě tehdy, když v D = 0 (tj. C je právě množinou všech řešení homogenní soustavy rovnic s maticí D^{T}).

Příklad. Uveďme čtyři příklady lineárních kódů dimenze 2 a (nějakých) jim příslušných generujících a kontrolních matic:

1) C_{1} = \{00, 01, 10, 11\}, C_{1} = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) a kontrolní matice je prázdná.

2) C_{2} = \{0000, 0101, 1010, 1111\}, C_{2} = ( \begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{matrix}) a D_{2} = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ).

3) C_{3} = {000000, 010101, 101010, 111111},

C_{3} = ( \begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \end{matrix}) a D_{3} = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} )

Date: 31.5.2010.

4) C_{4} = \{000, 011, 101, 110\}, C_{4} = ( \begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix}) a D_{4} = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ).

Lineární kódy C_{2} a C_{3} jsou takzvané opakovací kódy.

Definujeme-li (relativní) rychlost přenosu informace kódem C délky n jako číslo \frac{1}{n} log_{2} |C|, které je pro linární kód rovno hodnotě \frac{dim C}{n}, pak je první kód sice nejrychlejší, ale pokud při přenosu dojde k chybě, nedokážeme ji odhalit, protože chybně přijaté slovo bude rovněž kódovým slovem. Naproti tomu ve slově kódu C_{2} jsme schopni jednu chybu odhalit (například chyba na druhé souřadnici slova 1111 znamená, že přijmeme slovo 1011, které neleží v kódu C_{2}), ovšem tuto chybu nedokážeme opravit (pokud dojde k chybě na čtvrté souřadnici slova 1010, přijmeme rovněž slovo 1011 a nemůžeme tudíž rozhodnout, které slovo kódu C_{2} bylo při přijetí 1011 původně vysláno, i když víme, že při přenosu došlo právě k jedné chybě). Podobně i kód C_{4} umožňuje rozpoznat jednu chybu při přenosu, ale neumožňuje její opravu. Tento kód je ovšem rychlejší než kód C_{2}. Konečně kód C_{3} dokáže chybu nejen odhalit, ale i opravit. Víme-li (nebo předpokládáme-li), že došlo při přenosu slova právě k jedné chybě a uvědomíme-li si, že v každém slově kódu C_{4} se postupně třikrát zopakuje stejné slovo délky 2, pak jedna chyba znamená, že dvakrát přijmeme správné (pod)slovo a jednou nesprávné. Například při chybě ve slově 010101 na šesté souřadnici, přijmeme slovo 010100. Jestliže nesprávnou část slova nahradíme (dvakrát zopakovanou) správnou částí (tj. poslední dvě souřadnice 00 nahradíme slovem 01) dostaneme původně vyslané slovo.

Poznámka 1.1. Nechť C je lineární kód délky n a dimenze k, C je jeho generující a D kontrolní matice. Mějme P regulární matici stupně k a Q regulární matici stupně n − k. Pak PC a DQ jsou rovněž generující a kontrolní maticí lineárního kódu C.

Důkaz. Označme P lineární kód s generující maticí PC a Q lineární kód s kontrolní maticí DQ. Uvážíme-li, že řádky matice PC jsou lineární kombinací řádků matice C, dostáváme P ⊆ C. Protože je dimenze kódů rovna hodnosti generujících matic a ty jsou konečné a stejné, je P = C.

Podobně množina všech řešení homogenní soustavy rovnic s maticí Q^{T} a Q^{T} D^{T} jsou totožné, proto Q = C. □

Věta 1.2. Nechť C je matice typu (k, n) a D matice typu (n, n−k) obě nad tělesem ℤ_{2}. Pak jsou následující tvrzení ekvivalentní:

(1) C a D jsou generující a kontrolní maticí nějakého lineárního kódu,

(2) h(C) = k, h(D) = n − k a CD = 0.

Důkaz. (1) ⇒ (2) Je-li C generující matice kódu, pak k ≤ n a C obsahuje v řádcích lineárně nezávislé vektory. Proto h(C) = k. Kód C je právě množinou všech řešení homogenní soustavy rovnic s maticí D^{T}, proto k = dimC = n − h(D^{T}), tudíž h(D^{T}) = h(D) = n − k. Konečně v D = 0 pro všechna slova kódu C, tedy i pro všechny řádky matice C, tj. CD = 0.

(2) ⇒ (1) Označme C podprostor ℤ_{2}^{n} generovaný řádky matice C. Potom je přímo z definice C lineárním kódem s generující matící C. Libovolné slovo v ∈ C dostaneme jako lineární kombinaci řádků matice C, tedy v = x C pro vhodné x ∈ ℤ_{2}^{k}. Tedy v D = x CD = 0. Protože množina všech řešení homogenní soustavy rovnic s maticí D^{T} má dimenzi n−(n−k) = k, dostáváme, že D je kontrolní maticí kódu C. □

Definice. Nechť u, v ∈ ℤ_{2}^{n}. (Hammingovou) vzdáleností slov u a v budeme rozumět počet souřadnic, v nichž se obě slova liší. (Hammingovou) váhou slova u ∈ ℤ_{2}^{n} nazveme počet souřadnic slova u rovných jedné. Vzdálenost slov u a v budeme značit d(u, v) a váhu slova u označujme wt(u). Konečně (Hammingovou) vzdáleností kódu C obsahujícího alespoň dvě slova budeme rozumět číslo d(C) = min{d(u, v)| u, v ∈ C, u ≠ v}.

Poznámka 1.3. Nechť u, v, w ∈ ℤ_{2}^{n}.

(a) d(u, v) = wt(u + v),

(b) wt(u) ≤ n,

(c) d(u, v) = 0, právě když u = v,

(d) d(u, v) = d(v, u),

(e) wt(u + v) ≤ wt(u + w) + wt(w + v),

(f) d(u, v) ≤ d(u, w) + d(w, v).

Důkaz. Označme u = u_{1} … u_{n}, v = v_{1} … v_{n} a w = w_{1} … w_{n}, kde u_{i}, v_{i}, w_{i} ∈ ℤ_{2}. (a) Stačí si všimnout, že u_{i} ≠ v_{i}, právě když u_{i} + v_{i} = 1. (b), (c), (d) Okamžitý důsledek definice.

(e) Jestliže u_{i} + v_{i} ≠ 0, potom buď u_{i} + w_{i} ≠ 0 nebo w_{i} + v_{i} ≠ 0, a proto {i| u_{i} + v_{i} ≠ 0} ⊆ {i| u_{i} + w_{i} ≠ 0} ∪ {i| w_{i} + v_{i} ≠ 0}.

(f) Plyne z a) a e), tedy d(u, v) = wt(u + v) ≤ wt(u + w) + wt(w + v) = d(u, w) + d(w, v). □

Poznámka 1.4. Buď C lineární kód obsahující alespoň dvě slova. Potom d(C) = min{wt(u)| u ∈ C, u ≠ 0}.

Důkaz. Zvolíme-li nenulové slovo u ∈ C, pro něž je wt(u) minimální, pak d(C) ≤ d(u, 0) = wt(u) díky 1.3(a). Vezmeme-li naopak dvě různá slova v, w ∈ C, pro která d(v, w) = d(C), pak 0 ≠ v + w ∈ C, a proto wt(u) ≤ wt(v + w) = d(v, w) = d(C). □

Protože lineární kód, který obsahuje jen jedno (tedy nulové) slovo, není prakticky ani teoreticky nijak zajímavý. Můžeme se v následujících úvahách omezit na nenulové lineární kódy.

Věta 1.5. Nechť D je kontrolní matice lineárního kódu C dimenze n. Pak d(C) = d právě tehdy, když existuje d lineárně závislých řádků matice D a každých d−1 řádků matice D je lineárně nezávislých.

Důkaz. Vezměme nejprve nějaké slovo v ∈ ℤ_{2}^{n}. Všimněme si, že je v D lineární kombinací právě wt(v) řádků matice D. Jestliže d(C) = d a v D = 0 pro nenulové slovo v ∈ ℤ_{2}^{n}, pak podle definice kontrolní matice v ∈ C. Podle Poznámky 1.4 je wt(v) ≥ d. Odtud plyne, že pro každé slovo v váhy d − 1 platí, že v D ≠ 0, a tudíž každých d − 1 řádků matice D je lineárně nezávislých. Navíc podle Poznámky 1.4 existuje slovo w ∈ C s váhou rovnou d, tedy w D = 0. Tím máme dokázáno, že d řádků matice D (právě těch, které odpovídají nenulovým souřadnicím ve slově w) je lineárně závislých.

Naopak předpokládejme, že matice D obsahuje d lineárně závislých řádků a každých d − 1 řádků matice D je lineárně nezávislých. Potom existuje slovo w váhy d, pro něž w D = 0. Z definice kontrolní matice plyne, že w ∈ C, tedy d(C) ≤ d. Pokud je wt(v) < d pro nenulové slovo v ∈ ℤ_{2}^{n}, pak v D ≠ 0, neboť žádných d − 1 řádků matice D není lineárně závislých. Proto d(C) = d. □

Definice. Mějme lineární kód C délky n. Řekneme, že kód C dokáže odhalit t chyb, pokud pro každé slovo v ∈ C a pro každé nenulové slovo e ∈ ℤ_{2}^{n} splňující podmínku wt(e) ≤ t platí, že slovo v +e neleží v kódu C. Řekneme, že kód C dokáže opravit t chyb, pokud pro všechna navzájem různá slova v, w ∈ C a pro každé e ∈ ℤ_{2}^{n} splňující podmínku wt(e) ≤ t platí, že d(v, v +e) < d(v +e, w).

Symbol ⌊x⌋ značí pro každé reálné číslo x jeho celou část, tj. ⌊x⌋ ∈ ℤ a x − ⌊x⌋ ∈ ⟨0, 1).

Věta 1.6. Mějme lineární kód C délky n a vzdálenosti d. Pak C dokáže odhalit d−1 chyb a opravit ⌊\frac{d−1}{2}⌋ chyb. Navíc C nedokáže odhalit d chyb a opravit ⌊\frac{d−1}{2}⌋ + 1 chyb.

Důkaz. Buď e ∈ ℤ_{2}^{n} nenulové slovo váhy wt(e) ≤ d − 1. Potom pro každé slovo v ∈ C platí, že d(v +e, v) = wt(v + v +e) = wt(e) ≤ d − 1. Protože minimální vzdálenost dvou různých slov kódu C je rovna d, slovo v +e neleží v C, a kód tudíž dokáže odhalit d − 1 chyb. Protože d(C) = d, existuje slovo e ∈ C váhy wt(e) = d. Zřejmě 0 ∈ C, a d(0, 0 +e) = d, tedy kód nedokáže odhalit d chyb.

Vezměme nyní libovolné slovo e ∈ ℤ_{2}^{n} váhy wt(e) ≤ ⌊\frac{d−1}{2}⌋ ≤ \frac{d−1}{2}. To znamená, že 2wt(e) + 1 ≤ d. Nechť v, w ∈ C jsou dvě různá slova. Potom d ≤ d(v, w) ≤ d(v, v +e) + d(v +e, w) podle Poznámky 1.3(f) a platí, že

d(v, v +e) + d(v +e, w) ≥ d ≥ 2 · wt(e) + 1 = 2 · d(v, v +e) + 1 > 2 · d(v, v +e).

Odtud už odečtením hodnoty d(v, v +e) od obou krajních stran nerovnosti dostáváme, že d(v +e, w) > d(v, v +e), tedy lineární kód C dokáže opravit ⌊\frac{d−1}{2}⌋ chyb.

Pro každou podmnožinu P ⊂ {1, 2, …, n} označme e_{1}e_{2} … e_{n} = e_{P} ∈ ℤ_{2}^{n} slovo, které má hodnotu e_{i} = 1 právě na souřadnících i ∈ P a jinde nulu. Zřejmě wt(e_{P}) = |P |. Nyní zvolme nenulové slovo v ∈ C váhy wt(v) = d, jehož existenci nám zaručuje Poznámka 1.4 a označme I = {i| v_{i} = 1} množinu všech souřadnic slova v rovných jedné. Potom |I| = d. Zvolme dále libovolnou podmnožinu J množiny I o ⌊\frac{d−1}{2}⌋+1 prvcích. Všimněme si, že |J| > |I \ J|. Konečně definujme slovo e = e_{J}. Nyní d(0, 0 +e) = wt(e) = |J| a d(0 +e, v) = wt(e + v) = wt(e_{I\J}) = |I \ J|. Tím jsme dokázali, že d(0, 0 +e) > d(0 +e, v) pro slova 0, v ∈ C a e ∈ ℤ_{2}^{n} váhy wt(e) = ⌊\frac{d−1}{2}⌋ + 1, tedy kód C nedokáže opravit ⌊\frac{d−1}{2}⌋ + 1 chyb. □

Příklad. Hammingův kód délky 2^{r} − 1 dimenze 2^{r} − r − 1.

Nechť r je celé kladné číslo. Definujme matici typu (2^{r} − 1, r)

D_{r} = ( 0 … 0 0 1 ; 0 … 0 1 0 ; 0 … 0 1 1 ; ⋮ ; 1 … 1 1 0 ; 1 … 1 1 1 ),

která na i-tém řádku obsahuje právě číslo i < 2^{r} v binárním zápisu délky r. Snadno nahlédneme, že h(D_{r}) = r (například proto, že řádky příslušející číslu 2^{i} tvoří kanonickou bázi prostoru ℤ_{2}^{r}). Navíc žádné dva řádky matice D_{r} nejsou lineárně závislé a naopak ke každými dvěma různým řádkům najdme v matici řádek (právě jejich součet), který je na nich lineárně závislý. Množinu všech řešení homogení soustavy rovnic s maticí D_{r}^{T} označme C_{r}. Zřejmě se jedná o lineární kód délky 2^{r} −1 a dimenze 2^{r} − 1 − h(D_{r}^{T}) = 2^{r} − r − 1 s kontrolní maticí D_{r}^{T} (tzv. Hammingův kód délky 2^{r} − 1 dimenze 2^{r} − r − 1). Podle Věty 1.5 je d(C_{r}) = 3 a podle Věty 1.6 tudíž kód C_{r} dokáže odhalit nejvýše dvě chyby a opravit nejvýše jednu chybu.

Buď v ∈ přijaté slovo. Pokud v D_{r} = 0, jde samořejmě o kódové slovo. Jestliže v D_{r} ≠ 0, došlo při přenosu k chybě. Předpokládáme, že došlo právě k jedné chybě. Protože matice D_{r} obsahuje na řádcích všechna nenulová slova ℤ_{2}^{r}, existuje i < 2^{r}, pro něž v D_{r} = e_{i}D_{r} (tedy v D_{r} je právě i-tý řádek matice D_{r}) a dále (v +e_{i})D_{r} = v D_{r} + e_{i}D_{r} = 0. To jednak znamená, že v D_{r} je binární zápis čísla i, a také, že změníme-li (zleva) i-tou souřadnici slova v, dostaneme kódové slovo v +e_{i}. Tedy slovo v D_{r} udává v binárním zápisu číslo pozice, na níž došlo při přenosu k chybě. Zdůrazněme, že náš kód dokáže opravit jen jednu chybu a v případě, kdy dojde při přenosu k více chybám, jedna oprava sice změní přijaté slovo na slovo kódové, nepůjde ovšem o slovo, které bylo vysláno.

Prohlédněme si to na příkladě Hammingova kódu délky 7 = 2^{3} − 1 dimenze 4 = 2^{3} − 3 − 1:

D_{3} = ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} )

Generující maticí kódu C_{r} je například matice:

C_{3} = ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} )

Pokud jsme kupříkladu přijali slovo 1101011, pak 1101011·D_{r} = 110. Binárnímu zápisu 110 odpovídá číslo 6, změňme tedy šestou cifru (z leva) ve slově 1101011 a dostaneme slovo 1101001, které už je kódovým slovem.

2. Bilineární a kvadratické formy

Definice. Nechť V je vektorový prostor nad tělesem T. Řekneme, že zobrazení f : V × V → T je bilineární forma, platí-li pro všechny vektory u, v, w ∈ V a skaláry a, b ∈ T podmínky:

(1) f(a · u +b · v, w) = a · f(u, w) + b · f(v, w),

(2) f(w, a · u +b · v) = a · f(w, u) + b · f(w, v).

Poznámka 2.1. Nechť V je vektorový prostor nad tělesem T a nechť f je zobrazení f : V × V → T. Definujme pro každý vektor v ∈ V zobrazení f(v, −) : V → T, které vektoru x ∈ V přiřadí hodnotu f(v, x) a obdobně definujme zobrazení f(−, v) : V → T přiřazující vektoru x ∈ V hodnotu f(x, v). Pak je f bilineární forma právě tehdy, když f(v, −) i f(−, v) jsou lineární formy pro všechny vektory v ∈ V.

Důkaz. Je-li f bilineární forma, a v ∈ V libovolný, pak bezprostředně z bodu (2) definice dostávám, že f(v, −) je lineární forma a podobně z podmínka (1) definice říká, že f(−, v) je lineární forma.

Obráceně, z předpokladu, že f(v, −) je lineární forma pro všechna v ∈ V plyne druhá podmínka definice bilineární formy a symetricky z linearity f(−, v) dostáváne první podmínku této definice. □

Příklad. 0) Zobrazení 0 : V × V → T pro libovolný vektorový prostor nad tělesem T, které každé dvojici vektorů přiřadí nulu, je (tzv. nulová) bilineární forma.

1) Zobrazení f : R^{3}×R^{3} → R definované pro každou dvojici vektorů (x_{1}, x_{2}, x_{3}), (y_{1}, y_{2}, y_{3}) ∈ R^{3} předpisem f((x_{1}, x_{2}, x_{3}), (y_{1}, y_{2}, y_{3})) = 2x_{1}y_{1}+3x_{1}y_{2}−x_{1}y_{3}−2x_{3}y_{2} je bilineární forma.

2) Vezměme nějakou čtvercovou matici A stupně n nad tělesem T. Pak zobrazení g : T^{n} × T^{n} → T určené předpisem g(v, w) = v A w^{T} je bilineární formou.

3) Nechť a, b ∈ R a p, q jsou dva reálné polynomy. Potom zobrazení H(p, q) = p(a) · q(b) tvoří bilineární formu na (reálném vektorovém) prostoru všech reálných polynomů.

4) Buď a < b dvě reálná čísla a ℂ_{0}(⟨a, b⟩) vektorový prostor všech spojitých reálných funkcí na intervalu ⟨a, b⟩. Pak zobrazení I_{ab} : ℂ_{0}(⟨a, b⟩) × ℂ_{0}(⟨a, b⟩) → R dané předpisem I_{ab}(f, g) = ∫_{a}^{b} fg je bilineární formou.

Definice. Nechť je V konečně dimenzionální vektorový prostor nad tělesem T, (u_{1}, u_{2}, …, u_{n}) jeho báze a f : V × V → T bilineární forma. Matici [f]_{(u_{i})} = (a_{ij}) nazveme maticí bilineárního zobrazení f vzhledem k bázi (u_{1}, u_{2}, …, u_{n}), pokud a_{ij} = f(u_{i}, u_{j}), kde i, j ≤ n.

Věta 2.2. Buď V vektorový prostor nad tělesem T, f bilineární forma na V, (u_{1}, …, u_{n}) báze V a [f]_{(u_{i})} její matice vzhledem k bázi (u_{1}, u_{2}, …, u_{n}). Potom f(v, w) = {v}_{(u_{i})}[f]_{(u_{i})}{w}_{(u_{i})}^{T} pro každé dva vektory v, w ∈ V.

Důkaz. Nechť {v}_{(u_{i})} = (a_{1}, a_{2}, …, a_{n}) a {w}_{(u_{i})} = (b_{1}, b_{2}, …, b_{n}), tedy v = ∑_{i=1}^{n} a_{i} u_{i} a w = ∑_{j=1}^{n} b_{j} u_{j}. Potom podle definice bilineární formy dostáváme, že

f(v, w) = f(∑_{i=1}^{n}a_{i} u_{i}, ∑_{j=1}^{n}b_{j} u_{j}) = ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{n}f(a_{i} u_{i}, b_{j} u_{j}) = ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{n}a_{i} · b_{j} · f(u_{i}, u_{j}).

Nyní už snadno nahlédneme, že příslušný maticový součin nám dá stejný výsledek, tedy že f(v, w) = {v}_{(u_{i})}[f]_{(u_{i})}{w}_{(u_{i})}^{T}. □

Věta 2.3. Mějme vektorový prostor V konečné dimenze nad tělesem T a nějakou bilineární formu f : V × V → T. Nechť B a C jsou dvě báze prostoru V a [Id]_{CB} matice přechodu od báze B k bázi C. Potom [f]_{C} = [Id]_{CB}^{T}[f]_{B}[Id]_{CB}.

Důkaz. Podle Věty 2.2 platí pro každé dva vektory v, w ∈ V, že

f(v, w) = {v}_{B}[f]_{B}{w}_{B}^{T} = {v}_{C}[f]_{C}{w}_{C}^{T}.

Připomeňme, že {w}_{B}^{T} = [Id]_{CB}{w}_{C}^{T} a {v}_{B} = {v}_{C}[Id]_{CB}^{T}. Tak dostáváme pro každé dva vektory v, w ∈ V rovnost

{v}_{C}[f]_{C}{w}_{C}^{T} = {v}_{C}[Id]_{CB}^{T}[f]_{B}[Id]_{CB}{w}_{C}^{T}.

Budeme-li za v a w volit vektory báze C, pak souřadnicové vektory {v}_{C} a {w}_{C} budou tvořit příslušné vektory e_{i} a e_{j} kanonické báze prostoru T^{n}. Víme-li, že e_{i} · (a_{kl}) · e_{j} = a_{ij} pro libovolnou čtvercovou matici (a_{kl}) stupně n a

e_{i}[f]_{C}e_{j} = e_{i}([Id]_{CB}^{T}[f]_{B}[Id]_{CB})e_{j},

pak se matice [f]_{C} a [Id]_{CB}^{T}[f]_{B}[Id]_{CB} shodují, což jsme měli dokázat. □

Poznámka 2.4. Pro každou bázi B vektorového prostoru V dimenze n a každou čtvercovou matici A stupně n existuje právě jedna bilineární forma, pro níž A = [f]_{B}.

Důkaz. Definujeme-li f(u, v) = {u}_{B}A{v}_{B}^{T}, pak z definice vidíme, že je f bilineární forma s maticí [f]_{B} = A. Z Věty 2.2 potom plyne jednoznačnost. □

Poznámka 2.5. Označme B(V) množinu všech bilineárních forem na vektorovém prostoru V nad tělesem T. Buď f, g ∈ B(V) a t ∈ T. Definujme na B(V) násobení skalárem a sčítání následujícícm způsobem:

(t · f)(v, w) = t · (f(v, w)), (f + g)(v, w) = f(v, w) + g(v, w)

pro všechna v, w ∈ V. Potom množina všech bilineárních forem B(V) spolu se zavedeným násobením skalárem a sčítáním tvoří vektorový prostor nad tělesem T. Je-li prostor V konečné dimenze n = dim(V), je zobrazení f → [f]_{B} pro každou bázi prostoru V izomorfismem B(V) a vektorového prostoru všech čtvercových matic stupně n nad tělesem T.

Důkaz. Postupujeme podle definice vektorového prostoru. Zvolme libovolně f, g, h ∈ B(V) a r, s ∈ T. Nejprve si všimněme, že f + g a af jsou podle 2.1 bilineární formy, protože zobrazení u → (f + g)(v, u), u → (f + g)(u, v), u → (af)(v, u) a u → (af)(u, v) jsou lineární formy

Z komutativity a asociativity počítání v tělese T, máme pro všechna v, w ∈ V

(f + g)(v, w) = f(v, w) + g(v, w) = g(v, w) + f(v, w) = (g + f)(v, w),

(f + (g + h))(v, w) = f(v, w) + g(v, w) + h(v, w) = ((f + g) + h)(v, w). Snadno uvážíme, že nulová bilineární forma 0 (tj. 0(v, w) = 0) je neutrální vzhledem ke sčítání, t.j. f + 0 = f pro všechna f ∈ B(V). Stejně přímočaře využijeme distributivitu a asociativitu počítání v tělese, abychom ověřili, že

(r·(f +g))(v, w) = r·(f(v, w)+g(v, w)) = r·f(v, w)+r·g(v, w) = (rf +rg)(v, w),

((r + s) · f)(v, w) = (r + s) · f(v, w)) = r · f(v, w) + s · f(v, w) = (rf + sf)(v, w),

((r · s) · f)(v, w) = (r · s) · f(v, w)) = r · (s · f(v, w)) = (r · (s · f))(v, w).

pro každé v, w ∈ V. Konečně podmínka 1 · f = f platí zjevně.

Je-li n = dim(V), označme M_{n}(T) vektorový prostor čtvercových matic stupně n nad tělesem T. Buď B báze prostoru V a definujeme zobrazení φ : B(V) → M_{n}(T) předpisem φ(f) = [Id]_{B}. Díky 2.4 je φ zobrazení na a podle 2.2 je prosté. Z 2.2 a definice operací na B(V) navíc pro každé f, g ∈ B(V) a t ∈ T plyne, že [f + g]_{B} = [f]_{B} + [g]_{B} a [t · f]_{B} = t · [f]_{B}, tedy φ je izomorfismus. □

Definice. Řekneme, že je bilineární formu f na vektorovém prostoru V symetrická, jestliže f(v, w) = f(w, v) pro všechna v, w ∈ V, a antisymetrická, jestliže f(v, w) = −f(w, v) pro všechna v, w ∈ V.

Poznámka 2.6. Pro bilineární formu f na vektorovém prostoru V konečné dimenze n jsou následující tvrzení ekvivalentní:

(1) f je (anti)symetrická,

(2) existuje taková báze B prostoru V, že [f]_{B} je (anti)symetrická matice,

(3) pro každou bázi B prostoru V je [f]_{B} je (anti)symetrická matice.

Důkaz. (1)⇒(3) Je-li symetrická (resp. antisymetrická) a B = (b_{i}) libovolná báze V, pak f(b_{i}, b_{j}) = f(b_{j}, b_{i}) (resp. f(b_{i}, b_{j}) = −f(b_{j}, b_{i})) pro všechna i, j ≤ n, tedy podle definice je matice [f]_{B} symetrická (resp. antisymetrická).

(3)⇒(2) Zjevné.

(2)⇒(1) Zvolme bázi B, pro níž je [f]_{B} je symetrická (resp. antisymetrická) matice, potom pro libovolné v, w ∈ V díky Větě 2.2 máme f(v, w) = {v}_{B}[f]_{B}{w}_{B}^{T} = ({v}_{B}[f]_{B}{w}_{B}^{T})^{T}= {w}_{B}[f]_{B}^{T}{v}_{B}^{T} = {w}_{B}[f]_{B}{v}_{B}^{T} = f(w, v) (resp. f(v, w) = {w}_{B}[f]_{B}^{T}{v}_{B}^{T} = −{w}_{B}[f]_{B}{v}_{B}^{T} = −f(w, v)) pro všechna v, w ∈ V, tedy f je symetrická (resp. antisymetrická). □

Poznámka 2.7. Označme BS(V) resp. BA(V) množinu všech symetrických resp. antisymetrických bilineárních forem na prostoru V nad tělesem T. Potom BS(V) i BA(V) jsou podprostory vektorového prostoru všech bilineárních forem B(V). Jestliže char(T) ≠ 2, pak BS(V) ∩ BA(V) = {0}.

Důkaz. Zvolme bázi B prostoru. Díky 2.5 máme [f + g]_{B} = [f]_{B} + [g]_{B} a [tf]_{B} = t[f]_{B} pro každé f, g ∈ B(V) a t ∈ T, navíc f ∈ BS(V), právě když je matice [f]_{B} symetrická a f ∈ BA(V), právě když je matice [f]_{B} antisymetrická podle 2.6. Tedy stačí uvážit, že součet a násobek skalárem (anti)symetrických matic je opět (anti)symetrická matice, což zjevně platí.

Předpokládejme f ∈ BS(V)∩BA(V). Potom podle definice f(v, w) = f(w, v) = −f(v, w), tedy f(v, w) + f(v, w) = 0 pro každé v, w ∈ V. Jestliže char(T) ≠ 2, pak f = 0. □

Věta 2.8. Je-li V vektorový prostor nad tělesem T a char(T) ≠ 2, potom lze každou bilineární formu f na V jednoznačně zapsat ve tvaru f = f_{s} + f_{a}, kde f_{s} je symetrická a f_{a} antisymetrická bilineární forma.

Důkaz. Položme f_{s}(u, v) = \frac{1}{2}(f(u, v) + f(v, u)) a f_{a}(u, v) = \frac{1}{2}(f(u, v) − f(v, u)). Zřejmě f = f_{s} + f_{a} a a f_{s} je symetrická a f_{a} antisymetrická bilineární forma. Mějme nyní nějaký jiný rozklad bilineární formy f = g_{s} + g_{a} na symetrickou a antisymetrickou část. Pak f_{s} + f_{a} = g_{s} + g_{a}, a proto f_{s} − g_{s} = g_{a} − f_{a}. Podle Poznámky 2.7 je f_{s}−g_{s} ∈ BS(V) a g_{a}−f_{a} ∈ BA(V), a proto a f_{s}−g_{s} = 0 = g_{a}−f_{a}. Tudíž f_{s} = g_{s} a f_{a} = g_{a}, čímž jsme dokázali jednoznačnost volby rozkladu f na symetrickou a antisymetrickou část. □

Příklad. Nad libovolným tělesem T charakteristiky 2 platí, že a = −a pro každé a ∈ T, což znamená, že bilineární forma je nad takovým tělesem symetrická právě tehdy, když je antisymetrická. Vezmeme-li tedy bilineární formu g na vektorovém prostoru ℤ_{2}^{2} nad tělesem ℤ_{2} danou předpisem g((x_{1}, x_{2}), (y_{1}, y_{2})) = x_{1}y_{2} zřejmě nejde o symetrickou (a proto ani antisymetrickou) formu. Protože platí, že

BS(ℤ_{2}^{2}) = BA(ℤ_{2}^{2}) = BS(ℤ_{2}^{2}) + BA(ℤ_{2}^{2}) ≠ ℤ_{2}^{2},

nelze bilineární formu g rozložit na symetrickou a antisymetrickou část.

Příklad. Buď f bilineární forma na vektorovém prostoru ℤ_{5}^{3} nad tělesem ℤ_{5} a

[f]_{B} = (\begin{matrix}1 & 2 & 4 \\ 2 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \end{matrix}) pro nějakou bázi B prostoru ℤ_{5}^{3}. Uvědomíme-li si , že přiřazení

f → [f]_{B} je podle Poznámky 2.5 izomorfismus, můžeme předpis obsažený v důkazu Věty 2.8 pro rozklad bilineární formy na symetrickou a antisymetrickou část snadno vyjádřit pomocí matic:

[f_{s}]_{B} = \frac{1}{2}([f]_{B} + [f]_{B}^{T}) = \frac{1}{2} · ((\begin{matrix}1 & 2 & 4 \\ 2 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix}1 & 2 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \\ 4 & 3 & 1 \end{matrix})) = (\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{matrix})

[f_{a}]_{B} = \frac{1}{2}([f]_{B} − [f]_{B}^{T}) = \frac{1}{2} · ((\begin{matrix}1 & 2 & 4 \\ 2 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \end{matrix}) − (\begin{matrix}1 & 2 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \\ 4 & 3 & 1 \end{matrix})) = (\begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 4 & 4 & 0 \end{matrix})

Definice. Buď f bilineární forma na vektorovém prostoru V. Řekneme, že báze B prostoru V je polární bází bilineární formy f, jestliže f(u, v) = 0 pro všechna u, v ∈ B, u ≠ v.

Poznámka 2.9. B je polární báze bilineární formy f na konečně dimenzionálním prostoru, právě když je [f]_{B} diagonální matice.

Důkaz. Plyne okamžitě z definice. □

Jsou-li a, b dva prvky obecného tělesa a b ≠ 0, budeme místo a · b^{−1} psát \frac{a}{b}.

Věta 2.10. Buď f nenulová symetrická bilineární forma na vektorovém prostoru V nad tělesem T. Jestliže char(T) ≠ 2, existuje vektor u ∈ V, pro nějž f(u, u) ≠ 0.

Důkaz. Protože f je nenulová symetrická bilineární forma, existují vektory v, w ∈ V, pro něž f(v, w) ≠ 0. Jakmile f(v, v) ≠ 0 nebo f(w, w) ≠ 0 jsme hotovi. V opačném případě f(v + w, v + w) = f(v, v) + f(v, w) + f(w, v) + f(w, w) = 2f(v, w) ≠ 0 neboť char(T) ≠ 2. □

Věta 2.11. Nechť V je vektorový prostor nad tělesem T konečné dimenze a nechť f je bilineární forma na V. Jestliže char(T) ≠ 2, pak f je symetrická právě tehdy, když existuje nějaká polární báze f.

Důkaz. (⇒) Přímou implikaci budeme dokazovat indukcí podle n = dim(V), přičemž využijeme Poznámku 2.9. Jestliže dim(V) = 1, není co dokazovat, protože každá čtvercová matice stupně 1 je diagonální (tj. triviálně splňuje podmínku, že má všude mimo diagonálu nuly).

Předpokládejme, že tvrzení platí pro každou symetrickou bilineární formu na libovolném prostoru dimenze n a dokažme tvrzení pro prostory dimenze n+1. Pokud je f nulová, je každá báze V polární vzhledem k f. Je-li f nenulová symetrická bilineární forma na prostoru V dimenze n + 1, pak podle Věty 2.10 existuje takový vektor u_{0}, že f(u_{0}, u_{0}) ≠ 0. Vektor můžeme doplnit na bázi u_{0}, v_{1}, v_{2}, …, v_{n} celého vektorového prostoru V. Nyní položme w_{i} = v_{i} −\frac{f(u_{0} ,v_{i})}{f(u_{0} ,u_{0} )} u_{0} pro každé i = 1, 2, …, n a označme W = ⟨w_{1}, w_{2}, …, w_{n}⟩. Nyní zřejmě

f(u_{0}, w_{i}) = f(u_{0}, v_{i} −\frac{f(u_{0}, v_{i})}{f(u_{0}, u_{0})} u_{0}) = f(u_{0}, v_{i}) − \frac{f(u_{0}, v_{i})}{f(u_{0}, u_{0})}f(u_{0}, u_{0}) = 0

pro každé i = 1, 2, …, n, a proto f(u_{0}, w) = 0 pro každé w ∈ W. Protože f omezená na podprostor W tvoří rovněž symetrickou bilineární formu a protože dimW = n, existuje podle indukčního předpokladu nějaká polární báze W vzhledem k f, označme ji (u_{1}, u_{2}, …, u_{n}). Tedy f(u_{i}, u_{j}) = 0 pro všechna i ≠ j, i, j = 1, 2, …, n. Navíc víme, že f(u_{0}, u_{i}) = f(u_{i}, u_{0}) = 0 pro i = 1, 2, …, n, tedy jsme našli bázi (u_{0}, u_{1}, …, u_{n}) prostoru V polární vzhledem k f.

(⇐) Protože je matice f vzhledem k polární bázi zjevně symetrická, je f podle Poznámky 2.6 symetrickou bilineární formou. □

Příklad (Výpočet polární báze). (1) Mějme f symetrickou bilineární formu na prostoru ℤ_{7}^{3} danou předpisem f((x_{1}, x_{2}, x_{3}), (y_{1}, y_{2}, y_{3})) = 2x_{1}y_{1} + x_{1}y_{3} + x_{3}y_{1} +

2x_{2}y_{3} + 2x_{3}y_{2}. Matice [f]_{K_{3}} = (\begin{matrix}2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{matrix}) je maticí bilineární formy f vzhledem

ke kanonické bázi K_{3}. Symetrickou elementární úpravou nazývejme dvojici elemntárních úprav stejného typu na řádky a zároveň jim odpovídající sloupce matice. Tedy vyměníme-li řádky i a j, vyměníme zároveň i sloupce i a j, jestliže i-tý řádek vynásobíme nenulovým skalárem a, zároveň vynásobíme i i-tý sloupec týmž skalárem a konečně, pokud přičteme k i-tému řádku a-násobek j-tého řádku, přičteme zároveň k i-tému sloupci a-násobek j-tého sloupce.

Uvědomíme-li si, že matice bilineární formy upravená symetrickými úpravami, je maticí téže bilineární formy vzhledem k jisté nové bázi, zkusíme matici upravovat tak, aby postupně odpovídala maticím f vzhledem k bázím, které se vyskytují v důkazu Věty 2.11. Nejprve symetrickými elementárními úpravami vynulujeme všechny hodnoty na prvním řádku a prvním sloupci matice [f]_{K_{3}} kromě diagonální pozice (1, 1). Potom postupně nulujeme hodnoty mimo diagonálu v dalších řádcích a sloupcích. Narazíme-li na diagonále (na pozici (i, i)) na hodnotu 0, obdobně jako je tomu ve Větě 2.10, kterou používáme v důkazu Věty 2.11, buď najdeme nenulovou hodnotu na pozici (j, j) pro j > i a poté vyměněnou i-tého a j-tého řádku i sloupce dostaneme na pozici (i, i) nenulovou hodnotu nebo, neexistuje-li takový prvek diagonály, přičteme k i-tému řádku takový j-tý řádek, který má na místě i-té souřadnice nenulovou hodnotu a zároveň přičteme k i-tému sloupci j-tý sloupec. Postupně tak vytvoříme diagonální matici:

[f]_{K_{3}} = (\begin{matrix}2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{matrix}) ∼_{s} (\begin{matrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 3 \end{matrix}) ∼_{s} (\begin{matrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \end{matrix}) ∼_{s} (\begin{matrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

Budeme-li zaznamenávat do matice provedené řádkové úpravy dostaneme podle Věty 2.3 matici [Id]_{BK_{3}}^{T}, kde B je báze vůči níž má f diagonální matici, kterou jsme získali výše uvedenými úpravami. Tedy

([f]_{K_{3}}|E) = (\begin{matrix}2 & 0 & 1|1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2|0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0|0 & 0 & 1 \end{matrix}) ∼_{s} (\begin{matrix}2 & 0 & 0|1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2|0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 3|3 & 0 & 1 \end{matrix}) ∼_{s}

∼_{s} (\begin{matrix}2 & 0 & 0|1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 2|3 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0|0 & 1 & 0 \end{matrix}) ∼_{s} (\begin{matrix}2 & 0 & 0|1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0|3 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1|5 & 1 & 4 \end{matrix}) = ([f]_{B}|[Id]_{BK_{3}}^{T})

Dostali jsme matici přechodu od kanonické k polární bázi [Id]_{BK_{3}} = (\begin{matrix}1 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 4 \end{matrix}),

a proto je báze ((1, 0, 0), (3, 0, 1), (5, 1, 4)) polární bází bilineární formy f. To snadno ověříme zkouškou:

(1 0 0) (\begin{matrix}2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}3 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) = (1 0 0) (\begin{matrix}2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}5 \\ 1 \\ 4 \end{matrix}) =

= (3 0 1) (\begin{matrix}2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}5 \\ 1 \\ 4 \end{matrix}) = 0.

(2) Uvažujme symetrickou bilineární formu g na reálném vektorovém prostoru

ℝ^{2} s maticí [g]_{K_{2}} = (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) vzhledem ke kanonické bázi K_{2}. Stejnou metodou jako

v (1) najdeme její polární bázi. Všimněme si, že hodnota g(e_{i}, e_{i}) = 0 pro i = 1, 2, tedy nám při symetrických úvahách nestačí přehodit řádek a sloupec matice, nýbrž musíme přičíst druhý řádek i sloupec k prvnímu:

([g]_{K_{2}}|E) = (\begin{matrix}0 & 1|1 & 0 \\ 1 & 0|0 & 1 \end{matrix}) ∼_{s} (\begin{matrix}2 & 1|1 & 1 \\ 1 & 0|0 & 1 \end{matrix}) ∼_{s} (\begin{matrix}2 & 0 & | & 1 & 1 \\ 0 & −\frac{1}{2} & | & −\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix}) .

Našli jsme tedy matici přechodu od kanonické bázi k polární, tedy hledanou polární bází je například posloupnost vektorů ((1, 1), (−\frac{1}{2}, \frac{1}{2})

Definice. Buď f bilineární forma na vektorovém prostoru V. Levým (resp. pravým) vrcholem bilineární formy f nazveme množinu V_{l}(f) = {u ∈ V | ∀ v ∈ V : f(u, v) = 0} (resp. V_{p}(f) = {u ∈ V | ∀ v ∈ V : f(v, u) = 0}).

Poznámka 2.12. Je-li f bilineární forma na vektorovém prostoru V, pak V_{l}(f) a V_{p}(f) tvoří podprostory prostoru V.

Důkaz. Podle 2.1 jsou f(−, v) a f(v, −) lineární formy, tedy jádra Kerf(−, v) i Kerf(v, −) jsou podprostory prostoru V. Z definice vrcholů vidíme, že V_{l}(f) = ⋂_{v∈V} Kerf(−, v) a V_{p}(f) = ⋂_{v∈V} Kerf(v, −), proto V_{l}(f) a V_{p}(f) jsou rovněž podprostory. □

Poznámka 2.13. Mějme na konečně dimenzionálním vektorovém prostoru V mad tělesem T bilineární formu f a buď B báze V. Potom množina souřadnic vzhledem k bázi B vektorů levého vrcholu {{u}_{B}| u ∈ V_{l}(f)} (resp. pravého vrcholu {{u}_{B}| u ∈ V_{p}(f)}) je rovna právě množině všech řešení homogenní soustavy rovnic s maticí [f]_{B}^{T} (resp. [f]_{B}).

Důkaz. Položme n = dimV a S_{l} = {x ∈ T^{n}| [f]_{B}^{T} ·x^{T}= 0^{T}}. Jestliže u ∈ V_{l}(f), pak díky 2.2 máme 0 = f(u, v) = {u}_{B}[f]_{B}{v}_{B}^{T} pro každé v ∈ V, tedy transponujemeli rovnost a omezíme-li se na vektory báze B = (b_{1}, …, b_{n}), dostaneme

e_{i} · [f]_{B}^{T} · {u}_{B}^{T} = {b_{i}}_{B} · [f]_{B}^{T} · {u}_{B}^{T} = 0,

proto [f]_{B}^{T} · {u}_{B}^{T} = 0^{T}, tedy {u}_{B} ∈ S_{l}. Vezmeme-li naopak vektor u ∈ V, pro který {u}_{B} ∈ S_{l}, pak pomocí 2.2 pro každé a_{1}, …, a_{n} ∈ T spočítáme, že

f(u, ∑_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}) ∑_{i=1}^{n}{b_{i}}_{B} · [f]_{B}^{T} · {u}_{B}^{T} = ∑_{i=1}^{n}e_{i} · [f]_{B}^{T} · {u}_{B}^{T} = 0.

Tím jsme ověřili, že f(u, v) = 0 pro každý vektor v ∈ V.

Argument pro pravý vrchol je symetrický. □

Důsledek 2.14. Je-li f bilineární forma na konečnědimenzionálním vektorovém prostoru V, pak dim(V_{l}(f)) = dim(V_{p}(f)) = dim(V) − h([f]_{B}) pro každou bázi B prostoru V.

Definice. Nulitou n(f) bilineární formy f na vektorovém prostoru V nazveme číslo dim(V_{l}(f)). Jestliže n(f) = 0 mluvíme o regulární bilineární formě f.

Poznámka 2.15. V_{l}(f) = V_{p}(f) pro každou symetrickou bilineární formu f.

Důkaz. Plyne okamžitě z definice. □

Definice. Buď f symetrická bilineární forma na vektorovém prostoru V. Pak podprostor V (f) = V_{l}(f) = V_{p}(f) nazveme vrcholem symetrické bilineární formy f.

Věta 2.16. Nechť f je symetrická bilineární forma na konečně dimenzionálním vektorovém prostoru V a B polární báze f. Právě všechny vektory u ∈ B splňující podmínku f(u, u) = 0 tvoří bázi vrcholu V (f).

Důkaz. Označme B = (u_{1}, u_{2}, … u_{n}) vektory polární báze V vzhledem k f. Zřejmě platí, že f(u_{i}, u_{j}) = 0 pro každé i ≠ j. Pokud navíc f(u_{i}, u_{i}) = 0 pro nějaké i ≤ n, leží vektor u_{i} ve vrcholu V (f). Připomeňme, že nulita (tedy dimenze V (f)) je podle Poznámky 2.13 rovna hodnotě n − h([f]_{B}) a dále si uvědomme, že hodnost diagonální matice h([f]_{B}) je rovna právě počtu nenulových hodnot na diagonále, tedy naopak n−h([f]_{B}) je počet nulových hodnot na diagonále matice [f]_{B}. Vezmeme-li všechny vektory u_{i}, pro něž f(u_{i}, u_{i}) = 0 (tedy právě i-tá hodnota na diagonále matice [f]_{B} je rovna nule), dostaneme n − h([f]_{B}) lineárně nezávislých vektorů, které všechny leží ve vrcholu V (f). Protože dim(V (f)) = n − h([f]_{B}) podle Poznámky 2.14, musí už nutně jít o bázi celého podprostoru V (f). □

Definice. Mějme bilineární formu f na vektorovém prostoru V nad tělesem T. Zobrazení f_{2} : V → T dané předpisem f_{2}(v) = f(v, v) pro každý vektor v ∈ V nazveme kvadratickou formou vytvořenou bilineární formou f.

Poznámka 2.17. Pro každou antisymetrickou bilineární formu g nad tělesem T charakteristiky char(T) ≠ 2 je g_{2} = 0.

Důkaz. Protože g(v, v) = −g(v, v), je g_{2}(v) = g(v, v) = 0 pro každé v ∈ V. □

Poznámka 2.18. Buď f bilineární forma na vektorovém prostoru V nad tělesem T, char(T) ≠ 2 a buď f = f_{s} + f_{a} rozklad na symetrickou a antisymetrickou část podle Věty 2.8. Pak f_{s}(v, w) = \frac{1}{2}(f_{2}(v + w) − f_{2}(v) − f_{2}(w)).

Důkaz. Protože (f_{s} + f_{a})_{2} = (f_{s})_{2} + (f_{a})_{2} = (f_{s})_{2} podle 2.17 můžeme bez újmy na obecnosti předpokládat, že f = f_{s} je symetrická bilineární forma. Potom přímočaře počítáme

f_{2}(v + w) − f_{2}(v) − f_{2}(w) = f(v + w, v + w) − f(v, v) − f(w, w) =
= f(v, v) + f(v, w) + f(w, v) + f(w, w) − f(v, v) − f(w, w) = 2f(v, w).
□

Věta 2.19. Pro každou kvadratickou formu f_{2} na vektorovém prostor nad tělesem chrakteristiky různé od 2 vytvořenou bilineární formou f existuje právě jedna symetrická bilineární forma g tak, že f_{2}(u) = g_{2}(u) pro všechna u ∈ V. Přitom g = f_{s}.

Důkaz. Z Poznámky 2.17 okamžitě plyne, že f_{2}(u) = f_{s}(u, u)+f_{a}(u, u) = f_{s}(u, u), tedy f_{2}(u) = (f_{s})_{2}(u). Máme-li symetrickou bilineární formu g splňující podmínku, že f_{2}(u) = g_{2}(u), potom g(v, w) = g_{s}(v, w) = \frac{1}{2}(g_{2}(v + w) − g_{2}(v) − g_{2}(w)) = \frac{1}{2}(f_{2}(v + w)−f_{2}(v)−f_{2}(w)) = f_{s}(v, w) podle Poznámky 2.18, čímž máme ověřenu jednoznačnost. □

Příklad. Uvažujme zobrazení h_{2} : R^{2} → R dané předpisem h_{2}(x_{1}, x_{2}) = x_{1}^{2} + 4x_{1}y_{2} + 3x_{2}^{2}. Uvědomíme si, že jde o kvadratickou formu. Protože můžeme dané

zobrazení vyjádřit ve tvaru h_{2}(x_{1}, x_{2}) = (x_{1}, x_{2})·(\begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix})·(\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}), tedy h_{2}(x_{1}, x_{2}) =

h((x_{1}, x_{2}), (x_{1}, x_{2})) pro symetrickou bilineární formu h s maticí [h]_{K_{2}} = (\begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix})

vzhledem ke kanonické bázi, je h_{2} podle definice kvadratická forma.

Definice. Maticí, polární bází a vrcholem kvadratické formy f_{2} budeme nad tělesem s charakteristikou různou od 2 rozumět matici, polární bázi a vrchol příslušné symetrické bilineární formy f_{s}. Dále řekneme, že kvadratická forma f_{2} je regulární, f_{s} je-li regulární bilineární forma.

Příklad (Výpočet polární báze pomocí vrcholu). (1) Buď h symetrická bilineární forma na vektorovém prostoru Z_{7}^{5} daná podmínkou h(e_{i}, e_{j}) = 2 pro všechna i, j = 1, …, n Najdeme nejprve nějakou bázi vrcholu a poté nějakou polární bázi h.

Z podmínky, jíž je zadána bilineární forma h je zřejmé, že matice h zhledem

ke kanonické bází se skládá ze samých dvojek, tedy [h]_{K_{5}} = (\begin{matrix}2 & 2 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \end{matrix}).

Hledáme-li vrchol, stačí díky 2.13 vyřešit homogenní soustavu rovnic s maticí [h]_{K_{5}}. Například posloupnost M = ((6, 1, 0, 0, 0), (6, 0, 1, 0, 0), (6, 0, 0, 1, 0), (6, 0, 0, 0, 1)) je báze vrcholu h. Podle definice vrcholu je f(m, v) = 0 pro každé m ∈ M a v ∈ Z_{7}^{5}. Vzhledem k tomu, že je hodnost dané bilineární formy (tj. hodnost kterékoli její matice) rovna jedné, stačí nám v tomto případě najít libovolný doplněk posloupnosti M na bázi Z_{7}^{5} a takto doplněná posloupnost vektorů bude polární bází. Tedy například posloupnost N = ((6, 1, 0, 0, 0), (6, 0, 1, 0, 0), (6, 0, 0, 1, 0), (6, 0, 0, 0, 1), (1, 0, 0, 0, 0))

je polární báze h a matice h vzhledem k N je (\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \end{matrix}).

(2) Označme f symetrickou bilineární formu na Z_{5}^{3}, která vytváří kvadratickou formu f_{2} danou vztahem f_{2}(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 3x_{1}^{2} + x_{1}x_{2} + 2x_{2}^{2} + 3x_{2}x_{3} + 4x_{3}^{2}. Najdeme

polární bázi f (a tedy i f_{2}). Nejprve přímočaře určíme matici [f]_{K_{3}} = (\begin{matrix}3 & 3 & 0 \\ 3 & 2 & 4 \\ 0 & 4 & 4 \end{matrix}) a díky 2.13 spočítáme vrchol V (f) jako řešení homogenní soustavy a maticí [f]_{K_{3}}. Protože

[f]_{K_{3}} = (\begin{matrix}3 & 3 & 0 \\ 3 & 2 & 4 \\ 0 & 4 & 4 \end{matrix}) ∼ (\begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 4 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})

tvoří bázi vrcholu vektor (1, 4, 1). Nyní doplníme vektor p_{1} = (1, 4, 1) na bázi celého

Z_{5}^{3} například vektory e_{1} a e_{2} kanonické báze. Snadno určíme matici [f̃]_{N} = (\begin{matrix}3 & 3 \\ 3 & 2 \end{matrix})

bilineární formy f̃, která je restrikcí f na podprostor U = ⟨e_{1}, e_{2}⟩, vzhledem k bázi N = (e_{1}, e_{2}). Dále počítáme v souřadnicích vzhledem k N.

Nyní budeme hledat polární bázi f̃. Nejprve poznamenejme, že určitě existuje vektor p_{2}, pro který f̃_{2}(p_{2}) ≠ 0 (a k jeho nalezení nám opět může pomoci 2.10). Protože f̃_{2}(e_{1}) = 3 ≠ 0 položme p_{2} = e_{1}. Nyní hledáme vektor p_{3} ∈ U, pro který f̃(p_{2}, p_{3}) = 0. Využijeme-li 2.2, potřebujeme vyřešit homogenní soustavu rovnic s maticí

\{p_{2}\}_{B} · [f̃]_{N} = (1, 0) · (\begin{matrix}3 & 3 \\ 3 & 2 \end{matrix}) = (3 3) .

Vidíme, že soustavu řeší {p_{3}}_{B} = (4, 1), tedy p_{3} = (4, 1, 0) a f̃_{2}(p_{2}) = (4, 1) · [f̃]_{N} · (4, 1)^{T} = 4. Našli jsme polární bázi P = ((1, 4, 1), (1, 0, 0), (4, 1, 0)) formy f s maticí

vůči této bázi [f]_{P} = (\begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{matrix}).

Věta 2.20 (Zákon setrvačnosti kvadratických forem). Buď f_{2} kvadratická forma na reálném konečně dimenzionálním vektorovém prostoru V a buď B a C dvě polární báze kvadratické formy f_{2}. Pak platí, že

(a) počet vektorů w, pro něž je f_{2}(w) = 0, je v bázích B a C stejný, tedy n(f_{2}) = |{u ∈ B|f_{2}(u) = 0}| = |{v ∈ C|f_{2}(v) = 0}|,

(b) počet vektorů w, pro něž je f_{2}(w) kladné, je v bázích B a C stejný, tedy p(f_{2}) = |{u ∈ B|f_{2}(u) > 0}| = |{v ∈ C|f_{2}(v) > 0}|,

(c) počet vektorů w, pro něž je f_{2}(w) záporné, je v bázích B a C stejný, tedy q(f_{2}) = |{u ∈ B|f_{2}(u) < 0}| = |{v ∈ C|f_{2}(v) < 0}|.

Navíc n(f_{2}) + p(f_{2}) + q(f_{2}) = dim(V)

Důkaz. Označme p_{B}, q_{B}, p_{C} a q_{C} po řadě počet vektorů báze B s kladnou a se zápornou hodnotou f_{2} a báze C s kladnou a se zápornou hodnotou f_{2}. Poznamenejme, že bod a) plyne okamžitě z Věty 2.16. Dále zřejmě platí rovnosti n(f_{2}) + p_{B} + q_{B} = dim(V) = n(f_{2}) + p_{C} + q_{C}. Označme nyní u_{1}, …, u_{p_{B}} všechny bázické vektory báze B, pro které je f_{2}(u_{i}) kladné a v_{1}, …, v_{k} všechny bázické vektory báze C, pro které f_{2}(v_{i}) ≤ 0, kde k = n(f_{2}) + q_{C}. Všimněme si, že f_{2}(u) > 0 pro každý nenulový vektor u ∈ ⟨u_{1}, …, u_{p_{B}}⟩ a že f_{2}(u) ≤ 0 pro každý vektor u ∈ ⟨v_{1}, …, v_{k}⟩. To znamená, že ⟨u_{1}, …, u_{p_{B}}⟩ ∩ ⟨v_{1}, …, v_{k}⟩ = {0} a posloupnost vektorů u_{1}, …, u_{p_{B}}, v_{1}, …, v_{k} je tudíž lineárně nezávislá. Proto p_{B} + k = p_{B} + n(f_{2}) + q_{C} ≤ dim(V) = n(f_{2}) + p_{C} + q_{C} a odtud dostáváme, že p_{B} ≤ p_{C}. Symetrickou úvahou pro ty vektory C, na nichž je f_{2} kladná, a ty vektory B, na nichž je f_{2} nulová nebo záporná, dostaneme, že p_{C} ≤ p_{B}. Tedy p_{B} = p_{C}, a proto i q_{B} = q_{C}. □

Důsledek 2.21. Buď f_{2} kvadratická forma na reálném konečnědimenzionálním vektorovém prostoru V. Pak matice [f_{2}]_{B} a [f_{2}]_{C} obsahují na diagonále pro každou dvojici polárních bází B, C ∈ V stejné množství nul, kladných čísel s záporných čísel.

Definice. Buď f_{2} kvadratická forma na reálném konečnědimenzionálním vektorovém prostoru. Vezměme nulitu n(f_{2}) kvadratické formy f_{2} a dále čísla p(f_{2}) a q(f_{2}) z Věty 2.20. Pak uspořádanou trojici (n(f_{2}), p(f_{2}), q(f_{2})) nazveme signaturou kvadratické formy f_{2} a bilineární formy f.

Důsledek 2.22 (klasické znění Zákona setrvačnosti kvadratických forem). Buď f_{2} kvadratická forma na reálném konečnědimenzionálním vektorovém prostoru, pak její signatura (n(f_{2}), p(f_{2}), q(f_{2})) nezávisí na volbě polární báze a n(f_{2})+p(f_{2})+q(f_{2}) = dim(V).

Poznámka 2.23. Buď f_{2} kvadratická forma na reálném konečně dimenzionálním vektorovém prostoru V. Pak existuje taková polární báze B, že f_{2}(v) ∈ {−1, 0, 1} pro každý vektor v ∈ B.

Důkaz. Zvolme nějakou polární bázi B = (b_{1}, …, b_{n}) kvadratické formy f_{2}, která existuje podle Věty 2.11. Položíme-li b′_{i} = b_{i}, jestliže f_{2}(b_{i}) = 0 a b′_{i} = \frac{1}{\sqrt{|f_{2} (b_{i})|}} ·b_{i}

v případě, že f_{2}(b_{i}) ≠ 0, pak vidíme, že posloupnost B = (b′_{1}, …, b′_{n}) je báze splňující podmínku f_{2}(b′_{i}) ∈ {−1, 0, 1}. □

Poznámka 2.24. Nechť V a W jsou dva reálné konečně dimenzionální vektorové prostory, f_{2} kvadratická forma na V a g_{2} kvadratická forma na W. Mají-li f_{2} a g_{2} stejnou signaturu, existuje takový izomorfismus φ : V → W, že f_{2}(v) = g_{2}(φ(v)) pro každý vektor v ∈ V.

Důkaz. Protože mají V a W stejnou signaturu (n, p, q), mají i stejnou dimenzi n + p + q. Navíc podle 2.23 můžeme zvolit bázi B = {b_{1}, …, b_{n}} prostoru V a bázi C = (c_{1}, …, c_{n}) prostoru W, pro něž platí f_{2}(b_{i}) = 0 = g_{2}(c_{i}) pro i = 1, … n, f_{2}(b_{i}) = 1 = g_{2}(c_{i}) pro i = n + 1, … n + p a f_{2}(b_{i}) = −1 = g_{2}(c_{i}) pro i > n + p. Rozšíříme-li nyní zobrazení φ(b_{i}) = c_{i} na homomorfismus vektorových prostorů V a W, pak jde zjevně o izomorfismus a platí, že

f_{2}( ∑_{i=1}^{n+p+q} a_{i}b_{i}) = ∑_{i=n+1}^{n+p} a_{i}^{2} − ∑_{i=n+p+1}^{n+p+q} a_{i}^{2} = g_{2}( ∑_{i=1}^{n+p+q} a_{i}c_{i}) = g_{2}(φ( ∑_{i=1}^{n+p+q} a_{i}b_{i})).

□

Věta 2.25 (Klasifikace kvadratických forem). Nechť f_{2} je kvadratická forma na reálném konečně dimenzionálním vektorovém prostoru V, f_{s} jí příslušná symetrická bilineární forma a (n(f_{2}), p(f_{2}), q(f_{2})) signatura f.

(1) Jestliže q(f_{2}) = 0 a n(f_{2}) = 0, pak f_{2}(v) > 0 pro každý nenulový vektor v ∈ V (říkáme, že f_{2} resp. f_{s} je pozitivně definitní),

(2) jestliže q(f_{2}) = 0 a n(f_{2}) > 0, pak f_{2}(v) ≥ 0 pro každý vektor v ∈ V (říkáme, že f_{2} resp. f_{s} je pozitivně semidefinitní),

(3) jestliže p(f_{2}) = 0 a n(f_{2}) = 0, pak f_{2}(v) < 0 pro každý nenulový vektor v ∈ V (říkáme, že f_{2} resp. f_{s} je negativně definitní),

(4) jestliže p(f_{2}) = 0 a n(f_{2}) > 0, pak f_{2}(v) ≤ 0 pro každý vektor v ∈ V (říkáme, že f_{2} resp. f_{s} je negativně semidefinitní), (5) jestliže p(f_{2}) > a q(f_{2}) > 0, pak existuje v ∈ V \V (f_{2}), pro které f_{2}(v) = 0

(říkáme, že f_{2} resp. f_{s} je indefinitní).

Důkaz. Zvolme nějakou polární bázi (u_{1}, …, u_{n}) symetrické bilineární formy f_{s}, která existuje podle Věty 2.11. Nechť v ∈ V je libovolný nenulový vektor, potom v = ∑_{i=1}^{n} a_{i} u_{i} pro vhodné skaláry a_{i} ∈ R, z nichž alespoň jedno a_{i} je nenulové.

(2) Pokud q(f_{2}) = 0, pak f_{2}(u_{i}) ≥ 0 pro všechna i = 1, …, n. Tedy

f_{2}(v) = f_{s}(v, v) = f_{s}(∑_{i=1}^{n}a_{i} u_{i}, ∑_{j=1}^{n}a_{j} u_{j}) = ∑_{i,j≤1} a_{i}a_{j}f(u_{i}, u_{j}) = ∑_{i=1}^{n}a_{i}^{2}f(u_{i}, u_{i}) ≥ 0.

(1) Pokud navíc n(f_{2}) = 0, je f_{2}(u_{i}) > 0 pro všechna i = 1, …, n, a proto f_{2}(v) = ∑_{i=1}^{n} a_{i}^{2}f(u_{i}, u_{i}) > 0

Body (3) a (4) se dokazují obdobně

(5) Podle 2.23 existuje polární báze (v_{1}, …, v_{n}) a dva různé indexy i a j, pro které f_{2}(v_{i}) = 1 a f_{2}(v_{j}) = −1. Nyní stačí položit v = v_{i} + v_{j}. Zřejmě v ≠ 0 a f_{2}(v) = f_{s}(v, v) = f_{s}(v_{i} + v_{j}, v_{i} + v_{j}) = f_{s}(v_{i}, v_{i}) + f_{s}(v_{j}, v_{j}) = 1 − 1 = 0. □

3. Skalární součin

V celé této kapitole je těleso T buď tělesem reálných nebo komplexních čísel. Jestliže c = a + bi je komplexní číslo, kde a, b ∈ R, budeme značit \overline{c} = a − bi číslo komplexně sdružené. Je-li c ∈ R, zřejmě \overline{c} = c.

Definice. Skalárním součinem na vektorovém prostoru V nad tělesem T (= R nebo C) nazveme zobrazení g : V × V → T splňující pro všechny vektory u, v, w ∈ V a skaláry a, b ∈ T podmínky:

(1) g(u, a · v +b · w) = a · g(u, v) + b · g(u, w),

(2) g(u, v) = \overline{g(v, u)},

(3) g(u, u) ∈ R a g(u, u) ≥ 0, navíc g(u, u) = 0, právě když u = 0. Dvojici (V, g) nazveme (reálným nebo komplexním) unitárním prostorem.

Poznámka 3.1. Pro všechny vektory u, v, w ∈ V a skaláry a, b ∈ T na unitárním prostoru (V, g) platí:

(a) g(a · v +b · w, u) = \overline{a} · g(v, u) + \overline{b} · g(w, u),

(b) g(a · u, a · u) = |a|^{2}g(u, u),
(c) g(u, 0) = g(0, u) = 0.

Důkaz. (a) Použijeme-li body (1) a (2) definice, pak

g(a·v +b·w, u) = \overline{g(u, a · v +b · w)} = \overline{a}·\overline{g(u, v)}+\overline{b}\overline{·g(u, w)} = \overline{a}·g(v, u)+\overline{b}·g(w, u).

(b) Z (a) a bodu (1) definice plyne, že g(a · u, a · u) = a\overline{a}g(u, u) = |a|^{2}g(u, u).

(c) Z (a) plyne g(u, 0) = g(u, 0 0) = 0g(u, 0) = 0. Druhou rovnost dostaneme stejným postupem přímo z definice. □

Věta 3.2. Buď V reálný vektorový prostor konečné dimenze a g zobrazeni V × V → R. Pak g je skalárním součinem právě tehdy, když g je pozitivně definitní symetrickou bilineární formou na V.

Důkaz. (⇒) Podle definice je skalární součin g lineární v druhé složce a podle Poznámky 3.1 a) je nad reálným tělesem lineární i v první složce, tedy jde o bilineární formu. Dále bod (2) definice říká, že skalární součin na reálném vektorovém prostoru je symetrická bilineární forma. Konečně podle bodu (3) definice je g pozitivně definitní.

(⇐) Pozitivně definitní symetrická bilineární forma na reálném vektorovém prostoru zřejmě splňuje všechny tři axiomy definice skalárního součinu. □

Příklad. 1) Zobrazení ω : T^{n} × T^{n} → T definované pro každou dvojici vektorů x, y ∈ R^{n} předpisem ω(x, y) = \overline{x}y^{T} je (takzvaným standardním) skalárním součinem.

2) Mějme nějakou bázi B konečně dimenzionálního vektorového prostoru V. Zobrazení g_{B} : V × V → T definované předpisem g_{B}(v, w) = \overline{\{v\}_{B}}\{w\}_{B}^{T} pro všechny vektory v, w ∈ V je skalární součin.

3) Symetrická bilineární forma I_{ab}(f, g) = ∫_{a}^{b} fg na reálném vektorovém prostoru ℂ_{0}(⟨a, b⟩) (viz příklad 4) bilineárních forem) je zřejmě pozitivně definitní, tedy jde o skalární součin.

Definice. Nechť (V, g) je unitární prostor, potom zobrazení ∥ − ∥_{g} : V → R určené předpisem ∥ v ∥_{g} = \sqrt{g(v, v)} nazveme normou danou skalárním součinem g.

Poznámka 3.3. Pro všechny vektory u, v ∈ V a skaláry a ∈ T na unitárním prostoru (V, g) platí:

(a) ∥ v ∥_{g} ≥ 0 a ∥ v ∥_{g} = 0 právě když v = 0,

(b) ∥a v ∥_{g} = |a| · ∥ v ∥_{g},

Důkaz. (a) dostáváme bezprostředně z bodu (3) definice skalárního součinu a (b) plyne z 3.1(b) □

Věta 3.4. Nechť (V, g) je unitární prostor. Potom pro všechny vektory u, v ∈ V platí:

(a) |g(u, v)| ≤ ∥ u ∥_{g}∥ v ∥_{g} (Cachyho-Schwarzova nerovnost),
(b) ∥ u + v ∥_{g} ≤ ∥ u ∥_{g} + ∥ v ∥_{g} (Trojúhelníková nerovnost).

Důkaz. a) Je-li u = 0, tvrzení zřejmě platí. Předpokládejme, že u ≠ 0, a označme c = \frac{g(u,v)}{∥ u ∥_{g}^{2}} . S využitím definice a Poznámky 3.1 dostaneme:

0 ≤ g(c u − v, c u − v) = \overline{c}c · g(u, u) − c · g(v, u) − \overline{c} · g(u, v) + g(v, v) =

= \frac{|g(u, v)|^{2}}{∥ u ∥_{g}^{4}} · ∥ u ∥_{g}^{2} − 2\frac{|g(u, v)|^{2}}{∥ u ∥_{g}^{2}} + ∥ v ∥_{g}^{2} = ∥ v ∥_{g}^{2} − \frac{|g(u, v)|^{2}}{∥ u ∥_{g}^{2}} .

Proto |g(u, v)|^{2} ≤ ∥ u ∥_{g}^{2}∥ v ∥_{g}^{2} a |g(u, v)| ≤ ∥ u ∥_{g}∥ v ∥_{g}.

b) Uvědomíme-li si, že Re(g(u, v)) ≤ |g(u, v)| ≤ ∥ u ∥_{g}∥ v ∥_{g}, kde Re označuje reálnou část komplexního čísla, snadno spočítáme, že

∥ u + v ∥_{g}^{2} = ∥ u ∥_{g}^{2} + 2 · Re(g(u, v)) + ∥ v ∥_{g}^{2} ≤
≤ ∥ v ∥_{g}^{2} + 2∥ u ∥_{g}∥ v ∥_{g} + ∥ v ∥_{g}^{2} = (∥ u ∥_{g} + ∥ v ∥_{g})^{2}.

Tedy ∥ u + v ∥_{g} ≤ ∥ u ∥_{g} + ∥ v ∥_{g}. □

Příklad (Geometrie na reálném unitárním prostoru). Na reálném unitárním prostoru (V, g) můžeme měřit úhly a vzdálenosti vektorů následujícím způsobem: řekneme, že dva vektory u a v svírají úhel α, pokud

cosα = \frac{g(u, v)}{∥ u ∥_{g}∥ v ∥_{g}} ,

a vzdálenost dvou vektorů u a v definujeme jako hodnotu ∥ u − v ∥_{g}. Poznamenejme, že podle Věty 3.4(a) je úhel dobře definován (tj. cosα ∈ ⟨−1, 1⟩) a dva vektory u a v jsou kolmé právě tehdy, když g(u, v) = 0. Podle Poznámky 3.3 a) je velikost nenulového vektoru kladná a Věta 3.3(b) říká, že platí trojúhelníkoví nerovnost.

Definice. Nechť (V, g) je konečně dimenzionální unitární prostor a (u_{1}, u_{2}, …, u_{n}) je nějaká báze V. Matici [g]_{(u_{i})} = (a_{ij}) nazveme maticí skalárního součinu g vzhledem k bázi (u_{1}, u_{2}, …, u_{n}), jestliže a_{ij} = g(u_{i}, u_{j}), kde i, j ≤ n.

Poznámka 3.5. Buď (V, g) unitární prostor a B nějaká konečná báze V. Potom [g]_{B} = \overline{[g]_{B}^{T}}, dále [g]_{C} = \overline{[Id]_{CB}}^{T}[g]_{B}[Id]_{CB} a g(v, w) = \overline{\{v\}}_{B}[g]_{B}\{w\}_{B}^{T} pro každé dva vektory v, w ∈ V.

Důkaz. Obdoba tvrzení 2.2 a 2.3. Označme si vektory báze B = (u_{1}, …, u_{n}) a nechť v = ∑_{i=1}^{n} a_{i} u_{i} a w = ∑_{j=1}^{n} b_{j} u_{j}. Potom podle definice a díky 3.1(a) dostáváme, že

g(v, w) = g(a_{i} u_{i}, ∑_{j=1}^{n}b_{j} u_{j}) = ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{n} \overline{a_{i}} · b_{j} · g(u_{i}, u_{j}) = \overline{\{v\}}_{B}[g]_{B}\{w\}_{B}^{T}.

Podmínka [g]_{B} = \overline{[g]_{B}^{T}} plyne z bodu (2) definice skalárního součinu. Konečně rovnost [g]_{C} = \overline{[Id]_{CB}}^{T}[g]_{B}[Id]_{CB} se dokáže stejnou úvahou jako 2.3 s využitím právě ověřené rovnosti g(v, w) = \overline{\{v\}}_{B}[g]_{B}\{w\}_{B}^{T}. □

Definice. Nechť je (V, g) unitární prostor. Řekneme, že je posloupnost vektorů B ⊂ V je ortogonální, pokud g(u, v) = 0 pro každou dvojici vektorů u, v ∈ B, u ≠ v. Ortogonální posloupnost B ⊂ V nazveme ortonormální, jestliže navíc g(u, u) = 1 pro každý vektor u ∈ B.

Věta 3.6 (Pythagorova věta). Jsou-li dva vektory u a v unitárního prostoru (V, g) ortogonální, pak ∥ u + v ∥_{g}^{2} = ∥ u ∥_{g}^{2} + ∥ v ∥_{g}^{2}.

V reálném vektorovém prostoru platí i opačná implikace.

Důkaz. Stačí uvážit rovnost

∥ u + v ∥_{g}^{2} = ∥ u ∥_{g}^{2} + 2 · Re(g(u, v)) + ∥ v ∥_{g}^{2}

z důkazu Věty 3.4. □

Poznámka 3.7. Každá ortonormální posloupnost vektorů unitárního prostoru je lineárně nezávislá.

Důkaz. Úvahu stačí provést pro konečné posloupnosti. Je-li (u_{1}, …, u_{n}) ortonormální posloupnost vektorů unitárního prostoru (V, g) a předpokládáme-li pro posloupnost skalárů a_{1}, … a_{n}, že ∑_{i=1}^{n} a_{i} u_{i} = 0, potom

0 = g(u_{j}, 0) = g(u_{j}, ∑_{i=1}^{n}a_{i} u_{i}) = ∑_{i=1}^{n}a_{i}g(u_{j}, u_{i}) = a_{j}

pro všechna j = 1, …, n, tedy (u_{1}, …, u_{n}) je lineárně nezávislá. □

Věta 3.8. Nechť (u_{1}, u_{2}, …, u_{n}) je báze unitárního prostoru (V, g). Potom existuje (v_{1}, v_{2}, …, v_{n}) ortonormální báze V splňující podmínku ⟨u_{1}, …, u_{i}⟩ = ⟨v_{1}, …, v_{i}⟩ pro všechna i = 1, 2, …, n.

Důkaz. Při hledání ortonormální báze s požadovanými vlastnostmi postupujme indukcí.

Protože u_{1} je bázický vektor, u_{1} ≠ 0, a proto ∥ u_{1} ∥_{g} ≠ 0 podle Poznámky 3.2. Položme v_{1} = \frac{u_{1}}{∥ u_{1} ∥_{g}}. Potom g(v_{1}, v_{1}) = 1 a ⟨u_{1}⟩ = ⟨v_{1}⟩.

Mějme definovánu ortonormální posloupnost vektorů v_{1}, …, v_{i−1}, která splňuje podmínku ⟨u_{1}, …, u_{i−1}⟩ = ⟨v_{1}, …, v_{i−1}⟩. Nyní nejprve definujme vektor

v′_{i} = u_{i} − ∑_{j=1}^{i−1}g(v_{j}, u_{i}) v_{j} .

Zřejmě platí, že ⟨u_{1}, …, u_{i−1}, u_{i}⟩ = ⟨v_{1}, …, v_{i−1}, u_{i}⟩ = ⟨v_{1}, …, v_{i−1}, v′_{i}⟩. Odtud také plyne, že posloupnost v_{1}, …, v_{i−1}, v′_{i} generuje podprostor dimenze i, tedy jde o lineárně nezávislou posloupnost. Proto v′_{i} ≠ 0 a ∥ v′_{i} ∥_{g} ≠ 0. Dále

g(v_{k}, v′_{i}) = g(v_{k}, u_{i}) − ∑_{j=1}^{i−1}g(v_{j}, u_{i})g(v_{k}, v_{j}) = g(v_{k}, u_{i}) − g(v_{k}, u_{i}) = 0

pro každé k = 1, …, i − 1. Když nyní položíme v_{i} = \frac{v ′_{i}}{∥ v ′_{i} ∥_{g}}, dostáváme ∥ v_{i} ∥_{g} = 1, tedy v_{1}, …, v_{i} bude ortonormální posloupností vektorů. Konečně ⟨u_{1}, …, u_{i}⟩ = ⟨v_{1}, …, v′_{i}⟩ = ⟨v_{1}, …, v_{i}⟩. □

Příklad (klasická Gramova-Schmidtova ortogonalizace). Shrňme postup, kterým jsme v důkazu předchozí věty získali z báze (u_{1}, u_{2}, …, u_{n}) unitárního prostoru (V, g) ortonormální bázi (v_{1}, v_{2}, …, v_{n}):

V prvním kroku jsme položili v_{1} = \frac{u_{1}}{∥ u_{1} ∥_{g}}.

V i-tém kroku jsme nejprve hledali vektor ve tvaru v′_{i} = u_{i} − ∑_{j=1}^{i−1} c_{j} v_{j}, který by byl kolmý na všechny předchozí vektory v_{k}, tj. g(v_{k}, v′_{i}) = 0 pro všechna k = 1, …, i−1. Odtud snadno odvodíme, že c_{j} = g(v_{j}, u_{i}) a v′_{i} = u_{i} − ∑_{j=1}^{i−1} g(v_{j}, u_{i}) v_{j} .

Konečně v_{i} = \frac{v ′_{i}}{∥ v ′_{i} ∥_{g}}.

Vezměme si bázi ((1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 1, 1)) reálného vektorového prostoru R^{3} se standardním skalárním součinem ω. Najdeme výše uvedeným postupem ortonormální bázi: (v_{i}).

1. v_{1} = \frac{(1,1,0)}{∥(1,1,0)∥_{ω}} = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, 1, 0).

2. v′_{2} = (0, 1, 1) − ω(\frac{1}{\sqrt{2}}(1, 1, 0), (0, 1, 1)) · \frac{1}{\sqrt{2}}(1, 1, 0) = \frac{1}{2}(−1, 1, 2). Proto v_{2} =

\frac{1}{\sqrt{6}}(−1, 1, 2).

3. Předně ω(\frac{1}{\sqrt{2}}(1, 1, 0), (1, 1, 1)) = \sqrt{2} a ω(\frac{1}{\sqrt{6}}(−1, 1, 2), (1, 1, 1)) = \frac{2}{\sqrt{6}}, proto v′_{3} = (1, 1, 1) − \sqrt{2} · \frac{1}{\sqrt{2}}(1, 1, 0) − \frac{2}{\sqrt{6}} \frac{1}{\sqrt{6}}(−1, 1, 2) = \frac{1}{3}(1, −1, 1). Konečně

v_{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, −1, 1).

Příklad (modifikovaná Gramova-Schmidtova ortogonalizace). V prvním kroku modifikovaného Gramova-Schmidtova algoritmu rovněž položme v_{1} = \frac{u_{1}}{∥ u_{1} ∥_{g}} a dále přiřaďme u_{k} → v′_{k} pro všechna k = 2, …, n.

V i-tém kroku algoritmu potom postupně nahradíme vektory v′_{k} pro všechna k = i, i + 1, …, n vektorem v′_{k} −g(v_{i−1}, v′_{k}) v_{i−1}. Nakonec položíme v_{i} = \frac{v ′_{i}}{∥ v ′_{i} ∥_{g}}.

Chceme-li vytvořit ortonormální bázi z báze ((1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 1, 1)) unitárního prostoru (R^{3}, ω) modifikovaným Gramovým-Schmidtovým algoritmem, dostáváme:

1. v_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, 1, 0), v′_{2} = (0, 1, 1) a v′_{3} = (1, 1, 1).

2. v′_{2} = \frac{1}{2}(−1, 1, 2), v′_{3} = (1, 1, 1) − \sqrt{2} · \frac{1}{\sqrt{2}}(1, 1, 0) = (0, 0, 1) a normujeme

v_{2} = \frac{1}{\sqrt{6}}(−1, 1, 2).
3. v′_{3} = (0, 0, 1) − \frac{2}{\sqrt{6}} \frac{1}{\sqrt{6}}(−1, 1, 2) = \frac{1}{3}(1, −1, 1) a v_{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, −1, 1).

Výsledek modifikovaného algoitmu je stejný jako v případě klasického algoritmu, změnili jsme jen uspořádání úprav.

Poznámka 3.9. Buď (V, g) unitární prostor konečné dimenze a (v_{1}, v_{2}, …, v_{n}) ortonormální báze V. Pak v = ∑_{i=1}^{n} g(v_{i}, v) v_{i} pro každý vektor v ∈ V.

Důkaz. Předpokládejme, že {v}_{(v_{i})} = (a_{1}, …, a_{n}), tedy v = ∑_{i=1}^{n} a_{i} v_{i}, potom g(v_{j}, v) = g(v_{j}, ∑_{i=1}^{n} a_{i} u_{i}) = ∑_{i=1}^{n} a_{i}g(u_{j}, u_{i}) = a_{j} pro všechna j = 1, …, n. □

Příklad. Uvažujem ortonormální bázi M = (\frac{1}{\sqrt{2}}(1, 1, 0), \frac{1}{\sqrt{6}}(−1, 1, 2), \frac{1}{\sqrt{3}}(1, −1, 1)) reálného unitárního prostoru (R^{3}, ω). S využitím 3.9 snadno spočítáme souřadnice \{(1, 2, 3)\}_{M} = (a_{1}, a_{2}, a_{3}), kde a_{1} = ω(\frac{1}{\sqrt{2}}(1, 1, 0), (1, 2, 3)) = \frac{3}{\sqrt{2}}, dále a_{2} = ω(\frac{1}{\sqrt{6}}(−1, 1, 2), (1, 2, 3)) = \frac{7}{\sqrt{6}} a a_{3} = ω(\frac{1}{\sqrt{3}}(1, −1, 1), (1, 2, 3)) = \frac{4}{\sqrt{3}}, tedy

\{(1, 2, 3)\}_{M} = (\frac{3}{\sqrt{2}}, \frac{7}{\sqrt{6}}, \frac{4}{\sqrt{3}}).

Poznámka 3.10. Buď (V, g) konečně dimenzionální unitární prostor. Pak báze B ⊂ V je ortonormální právě tehdy, když [g]_{B} je jednotková matice.

Důkaz. Okamžitý důsledek definic pojmů. □

Definice. Nechť (V, g) a (V′, g′) jsou dva unitární prostory nad stejným tělesem (tj. buď nad R nebo C). Řekneme, že homomorfismus φ : V → V′ je unitární zobrazení, jestliže g(v, w) = g′(φ(v), φ(w)) pro každou dvojici vektorů v, w ∈ V.

Poznámka 3.11. Každé unitární zobrazení je prosté.

Důkaz. Buď φ : V → V′ unitární zobrazení unitárních prostorů (V, g) a (V′, g′) a vezměme v ∈ Kerφ. Potom 0 = g′(φ(v), φ(v)) = g(v, v), tedy podle definice skalárního součinu je v = 0. Dokázali jsme, že Kerφ = {0}. □

Věta 3.12. Nechť (V, g) je unitární prostor konečné dimenze (zopakujme, že nad tělesem T = R nebo C) a B je ortonormální báze V, položme n = dim(V). Pak zobrazení φ : V → T^{n} dané předpisem φ(u) = {u}_{B} je unitární zobrazení na prostor (T^{n}, ω).

Důkaz. Zobrazení φ je zřejmě izomorfismus. Dále díky 3.5 máme rovnost g(v, w) = \overline{\{v\}}_{B}[g]_{B}\{w\}_{B}^{T} pro každé dva vektory v, w ∈ V. Ovšem matice [g]_{B} je podle 3.10 jednotková, proto g(v, w) = \overline{\{v\}}_{B}\{w\}_{B}^{T} = ω(φ(v), φ(w)), tedy φ je unitární zobrazení. □

Definice. Buď (V, g) unitární prostor a buď M nějaká podmnožina V. Množinu M^{⊥} = {v ∈ V | ∀ u ∈ M : g(u, v) = 0} nazveme ortogonálním doplňkem množiny M v unitárním prostoru (V, g).

Poznámka 3.13. Nechť (V, g) je unitární prostor a M podmnožina V. Potom M^{⊥} je podprostor V a platí, že ⟨M⟩^{⊥} = M^{⊥} Důkaz. Předně si všimněme, že 0 ∈ M^{⊥} protože g(v, 0) pro každý vektor v ∈ V. Zvolme v, w ∈ M^{⊥} a skalár r ∈ T. Pak pro každé u ∈ M je g(u, v + w) = g(u, v) + g(u, w) = 0 a g(u, r · v) = r · g(u, v) = 0, tedy v + w, r · v ∈ M^{⊥}.

Zjevně platí ⟨M⟩^{⊥} ⊆ M^{⊥}. Zvolme naopak v ∈ M^{⊥} a libovolné u ∈ ⟨M⟩. Potom existují takové prvky u_{i} ∈∈ M a a_{i} ∈ T, i = 1, …, n, že u = ∑_{i=1}^{n} a_{i} u_{i}, a proto podle 3.1(a)

g(u, v) = g(∑_{i=1}^{n}a_{i} u_{i}, v) = ∑_{i=1}^{n} \overline{a_{i}}g(u_{i}, v) = ∑_{i=1}^{n} \overline{a_{i}} · 0 = 0.

Tím jsem ověřili, že v ∈ ⟨M⟩^{⊥}, a proto ⟨M⟩^{⊥} = M^{⊥}. □

Věta 3.14. Nechť (V, g) je unitární prostor a U jeho podprostor konečné dimenze. Potom U ∩ U^{⊥} = {0} a U + U^{⊥} = V.

Důkaz. Pokud u ∈ U ∩ U^{⊥}, zřejmě g(u, u) = 0, tedy podle definice u = 0. Tím jsme ověřili, že U ∩ U^{⊥} = {0}.

Poznamenejme, že zobrazení g omezené na množinu U × U je skalárním součinem na konečně dimenzionálním prostoru U. Vezměme nějakou ortonormální bázi (u_{1}, u_{2}, …, u_{k}) podprostoru U, kterou nám zaručuje Věta 3.8. Nechť v ∈ V. Položme u = ∑_{i=1}^{k} g(u_{i}, v) u_{i} a u^{⊥} = v − u. Zřejmě u ∈ U. Dále g(u_{i}, u^{⊥}) = g(u_{i}, v) − g(u_{i}, v) = 0, tedy u^{⊥} ∈ U^{⊥} podle 3.13. Tedy každý vektor z V leží v prostoru U + U^{⊥}, což znamená, že U + U^{⊥} = V. □

Poznámka 3.15. Mějme (V, g) unitární prostor a U jeho podprostor konečné dimenze. Potom pro každý vektor v ∈ V existuje právě jeden vektor P_{U}(v) ∈ U a právě jeden vektor P_{U}^{⊥}(v) ∈ U^{⊥} tak, že v = P_{U}(v) + P_{U}^{⊥}(v). Navíc obě zobrazení P_{U} : V → U i P_{U}^{⊥} : V → U^{⊥} jsou homomorfismy na (tj. epimorfismy), P_{U}(u) = u pro každý vektor u ∈ U a P_{U}^{⊥}(v) = v pro každý vektor v ∈ U^{⊥}.

Důkaz. Zvolme v, w ∈ V a r ∈ T. Existence a vektorů P_{U}(v) ∈ U a P_{U}^{⊥}(v) ∈ U^{⊥} , pro něž v = P_{U}(v) + P_{U}^{⊥}(v) plyne z 3.14. Navíc vezmeme-li u ∈ U a u^{⊥} ∈ U^{⊥}, pro něž v = u + u^{⊥}, pak P_{U}(v) − u = u^{⊥} −P_{U}^{⊥}(v) ∈ U ∩ U^{⊥} = {0}. Opět díky 3.14 tedy dostáváme jednoznačnost volby P_{U}(v) a P_{U}^{⊥}(v). Konečně

P_{U}(v) + P_{U}^{⊥}(v) + P_{U}(w) + P_{U}^{⊥}(w) = v + w = P_{U}(v + w) + P_{U}^{⊥}(v + w),

P_{U}(r · v) + P_{U}^{⊥}(r · v) = r · v = r · (P_{U}(v) + P_{U}^{⊥}(v)) = r · P_{U}(v) + r · P_{U}^{⊥}(v).

Z jednoznačnosti rozkladu a díky tomu, že U i U^{⊥} jsou podprostory, tedy P_{U}(v) + P_{U}(w), r · (P_{U}(v) ∈ U a P_{U}^{⊥}(v) + P_{U}^{⊥}(w), r · (P_{U}^{⊥}(v) ∈ U^{⊥}, dostáváme

P_{U}(v) + P_{U}(w) = P_{U}(v + w), P_{U}^{⊥}(v) + P_{U}^{⊥}(w) = P_{U}^{⊥}(v + w),
P_{U}(r · v) = r · P_{U}(v), P_{U}^{⊥}(r · v) = r · P_{U}^{⊥}(v),

tedy zobrazení P_{U} i P_{U}^{⊥} jsou homomorfismy a podmínky P_{U}(u) = u pro každý vektor u ∈ U a P_{U}^{⊥}(v) = v pro každý vektor v ∈ U^{⊥}, které platí díky jednoznačnosti rozkladu, říkají, že jde o homomorfimsy na. □

Definice. Homomorfismus P_{U} z předchozí poznámky se nazývá ortogonální projekcí prostoru V na podprostor U.

Příklad. Máme-li nějaký podprostor U = ⟨u_{1}, u_{2}, …, u_{k}⟩ unitárního prostoru (V, g) a budeme-li chtít najít ortogonální projekci libovolného vektoru v ∈ V, nemusíme nutně hledat ortogonální bázi U, tak jak to vyžaduje postup důkazu Věty 3.14. Můžeme pozorování, které využívá důkaz 3.14, aplikovat i na původní generující množinu u_{1}, u_{2}, …, u_{k}, tj. vyjádříme si hledanou ortogonální projekci ve tvaru u = ∑_{j=1}^{k} x_{j} u_{j} a uvědomíme si, že vektor u^{⊥} = v − u musí být kolmý na všechny generátory u_{i}, tedy g(u_{i}, v − u) = 0 pro i = 1, … k. Dosaďme a upravujme:

0 = g(u_{i}, v − u) = g(u_{i}, v − ∑_{i=j}^{k}x_{j} u_{j}) = g(u_{i}, v) − ∑_{i=j}^{k}x_{j}g(u_{i}, u_{j})

Dostaneme tak obecně nehomogenní soustavu rovnic:

∑_{j=1}^{k}g(u_{i}, u_{j})x_{j} = g(u_{i}, v).

Matici levých stran (g(u_{i}, u_{j})) se zpravidla říká Gramova matice (všimněme si, že se jedná právě o matici skalárního součinu g umezeného na podprostor U vzhledem k bázi (u_{1}, …, u_{k})).

Poznámka 3.15 nám říká, že existuje řešení dané soustavy rovnic (tj. existuje příslušná ortogonální projekce). Pokud je posloupnost u_{1}, u_{2}, …, u_{k} navíc lineárně nezávislá (tj. jde o bázi U) je řešení dané soustavy právě jedno. Hledanou projekcí je lineární kombinace u = ∑_{j=1}^{k} x_{j} u_{j}.

Vezměme si například podprostor U = ⟨(1, 2, 1, −1), (1, 1, 0, 1)⟩ reálného unitárního porostoru se standardním skalárním součinem (R^{4}, ω). Hledejme ortogonální projekci vektoru (−1, 1, 0, 4). K tomu potřebujeme nejprve určit souřadnice x_{1}, x_{2} ortogonální projekce u = x_{1} ·(1, 2, 1, −1)+x_{2} ·(1, 1, 0, 1). Řešíme tedy nehomogenní soustavu rovnic s maticí:

(\begin{matrix}7 & 2 & | & −3 \\ 2 & 3 & | & 4 \end{matrix}) .

Snadno zjistíme, že x_{1} = −1 a x_{2} = 2, proto P_{U}(v) = u = (1, 0, −1, 3). Pro kontrolu ještě ověřme, zda je vektor v − u = (−2, 1, 1, 1) skutečně kolmý na podprostor U. Zřejmě ω((−2, 1, 1, 1), (1, 2, 1, −1)) = 0 a ω((−2, 1, 1, 1), (1, 1, 0, 1)) = 0.

Věta 3.16. Je-li (V, g) unitární prostor, U jeho podprostor konečné dimenze a v ∈ V, pak ∥ v −P_{U}(v)∥_{g} < ∥ v − u ∥_{g} pro každý vektor u ∈ U, u ≠ P_{U}(v).

Důkaz. Stačí využít Větu 3.6, pro ortogonální dvojici vektorů P_{U}(v) − u ∈ U a v −P_{U}(v) = P_{U}^{⊥}(v) ∈ U^{⊥}:

∥ v −P_{U}(v)∥_{g}^{2} + ∥P_{U}(v) − u ∥_{g}^{2} = ∥ v −P_{U}(v) + P_{U}(v) − u ∥_{g}^{2} = ∥ v − u ∥_{g}^{2}.

Z předpokladu u ≠ P_{U}(v), díky 3.3 plyne, že (a) ∥P_{U}(v) − u ∥_{g} > 0, a proto ∥ v −P_{U}(v)∥_{g}^{2} < ∥ v −P_{U}(v)∥_{g}^{2} + ∥P_{U}(v) − u ∥_{g}^{2}. Dostáváme, že ∥ v −P_{U}(v)∥_{g}^{2} < ∥ v − u ∥_{g}^{2}, a závěr získáme po odmocnění. □

Příklad (Metoda nejmenších čtverců). Buď Ax^{T} = y^{T} nehomogenní soustava m rovnic o n neznámých nad tělesem T = R nebo C a označme a_{i} sloupce matice A zapsané do řádků, tj. A = (a_{1}^{T}|a_{2}^{T}| … |a_{n}^{T}). Pokud soustava nemá řešení, potom y ∉ ⟨a_{1}, a_{2}, …, a_{n}⟩. Soustavu můžeme v takovém případě vyřešit pouze ”přibližně”, tj. musíme vzít nějaký nový vektor pravých stran y′, který by už ležel v podprostoru U = ⟨a_{1}, a_{2}, …, a_{n}⟩. Uvažujeme-li na prostoru T^{n} standardní skalární součin ω, je podle Poznámky 3.17 P_{U}(y) nejbližší (ve smyslu vzdálenosti, kterou jsme pomocí normy zavedli v této kapitole) vektor k vektoru y ležící v podprostoru U. Řešení nové soustavy rovnic Ax^{T} = P_{U}(y)^{T} nazveme přibližným řešením nalezené metodou nejmenších čtverců. Při samotném počítání postupujeme obdobně jako v předchozím příkladu.

Mějme soustavu rovnic:

x_{1} +2x_{2}  = 0
2x_{1} +x_{2} +2x_{3} = 0
x_{1} −2x_{2} +x_{3} = 10
x_{1} +2x_{2} +2x_{3} = 7
x_{2} −x_{3} = 3

Snadno nahlédneme, že soustava nemá řešení. Budeme hledat přibližné řešení metodou nejmenších čtverců. Máme vektor pravých stran y = (1, 4, 6, 2, −1) a vektory levých stran a_{1} = (1, 2, 1, 1, 0), a_{2} = (2, 1, −2, 2, 1) a a_{3} = (0, 2, 1, 2, −1). Hledáme x_{i} tak, aby P_{⟨a_{i}⟩}(y) = ∑_{i=1}^{3} x_{i}a_{i}. To vede stejně jako v případě ortogonální projekce k soustavě rovnic s maticí

(\begin{matrix}ω(a_{1}, a_{1}) & ω(a_{1}, a_{2}) & ω(a_{1}, a_{3}) & | & ω(a_{1}, y) \\ ω(a_{2}, a_{1}) & ω(a_{2}, a_{2}) & ω(a_{2}, a_{3}) & | & ω(a_{2}, y) \\ ω(a_{3}, a_{1}) & ω(a_{3}, a_{2}) & ω(a_{3}, a_{3}) & | & ω(a_{3}, y) \end{matrix} ) .

Dosadíme a hledáme řešení soustavy rovnic s maticí

(\begin{matrix}7 & 4 & 7 & | & 17 \\ 4 & 14 & 3 & | & −3 \\ 7 & 3 & 10 & | & 21 \end{matrix}) .

Zbývá nám dopočítat, že x_{1} = 2, x_{2} = −1 a x_{3} = 1.

4. Vlastní čísla a vlastní vektory

Podobně jako nad reálnými nebo komplexními čísly budeme nad každým tělesem T pokládat za polynom zobrazení p : T → T, které libovolnému prvku t ∈ T přiřadí hodnotu p(t) = ∑_{i=0}^{n} a_{i}t^{i}, pro nějaké pevně zvolené skaláry a_{0}, …, a_{n} ∈ T. Kořenem polynomu budeme rozumět každé číslo t_{0} ∈ T, pro které p(t_{0}) = 0. Všimněme si, že polynomy lze sčítat a násobit a výsledkem těchto operací je opět polynom.

Definice. Nechť A je čtvercová matice stupně n nad tělesem T a E je jednotková matice stupně n. Vlastním číslem matice A nazveme každé λ ∈ T, pro nějž bude matice A − λE singulární. Každé nenulové řešení v_{λ} ∈ T^{n} homogenní soustavy rovnic s maticí A−λE potom budeme nazývat vlastním vektorem příslušným vlastnímu číslu λ. Množině σ(A) všech vlastních čísel matice budeme říkat spektrum matice A. Konečně charakteristickým polynomem matice A nazveme polynom p(λ) = det(A − λE).

Poznámka 4.1. Buď A čtvercová matice stupně n nad tělesem T. Pak je λ vlastní číslo matice A a v_{λ} ∈ T^{n} jemu příslušný vlastní vektor právě tehdy, když v_{λ} ≠ 0 a A v_{λ}^{T} = λ v_{λ}^{T}.

Důkaz. Je-li λ vlastní číslo matice A a v_{λ} ∈ T^{n} příslušný vlastní vektor, tedy v_{λ} je řešení homogenní soustavy rovnic se čtvercovou singulární maticí A − λE, pak (A − λE) · v_{λ}^{T} = 0^{T}, proto A v_{λ}^{T} = λE · v_{λ}^{T} = λ v_{λ}^{T}. Naopak, jestliže A v_{λ}^{T} = λ v_{λ}^{T}, pak (A − λE) · v_{λ}^{T} = 0^{T}, proto matice A − λE musí být singulární, tedy λ je vlastní číslo a vektor v_{λ} je podle definice jemu příslušný vlastní vektor. □

Poznámka 4.2. Skalár λ je vlastní číslo matice A právě tehdy, když je λ kořenem charakteristického polynomu matice A.

Důkaz. Stačí uvážit, že je díky pozorování z loňského semestru matice A − λE singulární, právě když je p(λ) = det(A − λE) = 0. □

Příklad. (1) Hledejme vlastní vektory a vlastní čísla reálné matice A = (\begin{matrix}2 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix}).

Nejprve určíme charakteristický polynom det(A−λE) = λ^{2}−5λ+4 = (λ−1)(λ−4), tedy vlastní čísla jsou 1 a 4. Dále spočítáme množinu všech řešení homogenních soustav rovnic:

A − E = (\begin{matrix}1 & 2 \\ 1 & 2 \end{matrix}) , A − 4 · E = (\begin{matrix}−2 & 2 \\ 1 & −1 \end{matrix}) .

Vidíme, že všechny nenulové násobky vektoru (−2, 1) jsou vlastními vektory příslušnými vlastnímu číslu 1 a všechny nenulové násobky vektoru (1, 1) jsou vlastními vektory příslušnými vlastnímu číslu 4.

(2) Reálná matice B = (\begin{matrix}1 & −1 \\ 2 & −1 \end{matrix}) nemá žádná reálná vlastní čísla, a tedy ani

žádné vlastní vektory, neboť její charakteristický polynom je λ^{2} + 1.

Poznámka 4.3. Nechť A a P jsou čtvercové matice stupně n nad tělesem T, P je navíc regulární. Potom jsou charakteristické polynomy matic A a P^{−1}AP stejné, a proto σ(A) = σ(P^{−1}AP).

Důkaz. Protože díky distributivitě násobení a sčítání matic je P^{−1} · (A − λE) · P = P^{−1} · A · P − P^{−1} · λE · P = P^{−1} · A · P − λE, dostáváme

det(P^{−1} · A · P − λE) = det(P)^{−1} · det(A − λE) · det(P) = det(A − λE).
□

Definice. Nechť φ : V → V je endomorfismus vektorového prostoru V nad tělesem T. Řekneme, že λ ∈ T je vlastní číslo endomorfismu φ, existuje-li nenulový vektor v_{λ} ∈ V, pro který φ(v_{λ}) = λ v_{λ}. Vektor v_{λ} potom nazveme vlastním vektorem endomorfismu φ příslušným vlastnímu číslu λ. Množině σ(φ) všech vlastních čísel endomorfismu φ budeme říkat spektrum endomorfismu φ.

Endomorfismu vektorového prostoru se často říká lineární operátor na prostoru. Je-li φ endomorfismus na prostoru konečné dimenze V a B báze V označujme [φ]_{B} matici φ vzhledem k bázi B.

Věta 4.4. Mějme V konečně dimenzionální vektorový prostor, φ nějaký endomorfismus na V a B libovolnou bázi V. Potom σ(φ) = σ([φ]_{B}) a v je vlastní vektor endomorfismu φ právě tehdy když {v}_{B} je vlastní vektor matice [φ]_{B}.

Důkaz. Podle Poznámky 4.1 je λ vlastní číslo matice [φ]_{B} a {v_{λ}}_{B} je jemu příslušný vlastní vektor právě tehdy, když [φ]_{B}{v_{λ}}_{B}^{T} = λ{v_{λ}}_{B}^{T}. To ovšem nastává tehdy a jen tehdy, když φ(v_{λ}) = λ v_{λ}, protože {φ(v_{λ})}_{B}^{T} = [φ]_{B}{v_{λ}}_{B}^{T}. Konečně v_{λ} ≠ 0, právě když {v_{λ}}_{B} ≠ 0. □

Příklad. Najdeme vlastní čísla a vlastní vektory endomorfismu φ : ℤ_{5}^{2} → ℤ_{5}^{2} daného předpisem φ((x, y)) = (y, x+4y). Podle Věty 4.4 nám stačí najít vlastní čísla

a vlastní vektory matice [φ]_{K_{2}} = (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 4 \end{matrix}) endomorfismu φ vzhledem ke kanonické

bázi K_{2}. Tedy |\begin{matrix}0 − λ & 1 \\ 1 & 4 − λ \end{matrix}| = λ^{2} − 4λ + 4 = (λ − 2)^{2}. Našli jsme jedno vlastní

číslo λ = 2 matice [φ]_{K_{2}} i endomorfismu φ. Snadno nahlédneme, že vektory (1, 2), (2, 4), (3, 1) a (4, 3) jsou právě všechny vlastní vektory matice [φ]_{K_{2}}. Podle Věty 4.4 jsou to zároveň souřadnice vlastního vektoru vzhledem ke kanonické bázi. Tudíž vektory (1, 2), (2, 4), (3, 1), (4, 3) jsou všechny vlastní vektory endomorfismu φ.

Poznámka 4.5. Buď φ endomorfismus na prostoru V konečné dimenze a buď B báze V. Matice [φ]_{B} je diagonální právě tehdy, když jsou všechny vektory báze B vlastními vektory endomorfismu φ.

Důkaz. Označme B = (b_{1}, …, b_{n}) a (a_{ij}) = [φ]_{B}. Je-li [φ]_{B} diagonální, pak φ(b_{i}) = a_{ii} · b_{i}, tedy a_{ii} jsou vlastní čísla a b_{i} jim příslušné vlastní vektory, i = 1, … n. Naopak, jsou-li vektory b_{i} vlastní vektory, pak φ(b_{i}) = λ_{i} · b_{i} pro vlastní čísla λ_{i}, tedy {φ(b_{i})}_{B} = λ_{i}e_{i}, a proto je matice [φ]_{B} diagonální s vlastními čísly λ_{i} na diagonále. □

Věta 4.6. Nechť λ_{1}, …, λ_{k} jsou různá vlastní čísla endomorfismu φ na prostoru V a v_{λ_{1}}, …, v_{λ_{k}} jsou po po řadě jim příslušné vlastní vektory. Potom je posloupnost vektorů v_{λ_{1}}, …, v_{λ_{k}} lineárně nezávislá.

Důkaz. Dokazujeme indukcí podle počtu vlastních čísel i.

Vlastní vektor v_{λ_{1}} je podle definice nenulový, to znamená, že jednočlená posloupnost obsahující pouze v_{λ_{1}} je lineárně nezávislá.

Předpokládejme, že v_{λ_{1}}, …, v_{λ_{i−1}} je lineárně nezávislá posloupnost, a položme ∑_{j=1}^{i} a_{j} v_{λ_{j}} = 0. Potom 0 = φ(∑_{j=1}^{i} a_{j} v_{λ_{j}}) = ∑_{j=1}^{i} a_{j}φ(v_{λ_{j}}) = ∑_{j=1}^{i} a_{j}λ_{j} v_{λ_{j}}. Dále 0 = λ_{i} ∑_{j=1}^{i} a_{j} v_{λ_{j}} = ∑_{j=1}^{i} a_{j}λ_{i} v_{λ_{j}}, proto

0 = (∑_{j=1}^{i}a_{j}λ_{i} v_{λ_{j}}) − (∑_{j=1}^{i}a_{j}λ_{j} v_{λ_{j}}) = ∑_{j=1}^{i}a_{j}(λ_{i} − λ_{j}) v_{λ_{j}} = ∑_{j=1}^{i−1}a_{j}(λ_{i} − λ_{j}) v_{λ_{j}} .

Z indukčního předpokladu plyne, že a_{j}(λ_{i} − λ_{j}) = 0, a dále λ_{i} ≠ λ_{j} pro všechna j = 1, …, i − 1. Proto a_{j} = 0 pro všechna j = 1, …, i − 1. Protože v_{λ_{i}} ≠ 0 a a_{i} v_{λ_{i}} = ∑_{j=1}^{i} a_{j} v_{λ_{j}} = 0, dostáváme, že a_{i} = 0. Tudíž posloupnost vektorů v_{λ_{1}}, …, v_{λ_{i}} je podle definice lineárně nezávislá. □

Definice. Řekneme, že dvě čtvercové matice A a B stupně n nad tělesem T jsou podobné (značíme A ∼ B), existuje-li regulární matice P stupně n nad tělesem T, pro kterou A = P^{−1}BP.

Poznámka 4.7. Jestliže A ∼ B, pak σ(A) = σ(B).

Důkaz. Plyne okamžitě z 4.3. □

Poznámka 4.8. Relace podobnosti je ekvivalencí na množině všech čtvercových matice stupně n nad tělesem T.

Důkaz. Relace je reflexivní, tedy A ∼ A, protože A = E^{−1}AE. Jestliže A ∼ B, tj. A = P^{−1}BP, pak B = (P^{−1})^{−1}AP^{−1}, kde P^{−1} je regulární matice, tedy B ∼ A a relace ∼ je symetrická. Konečně předpokládejme, že A ∼ B a B ∼ C, tj. A = P^{−1}BP a B = Q^{−1}CQ. Pak stačí položit S = Q · P, abychom dostali A = S^{−1}CS, tedy A ∼ C, čímž jsme ověřili tranzitivitu ∼. □

Poznámka 4.9. Nechť φ je endomorfismus na prostoru V konečné dimenze n, A je čtvercová matice stupně n a B je báze V. Pak matice [φ]_{B} a A jsou podobné právě tehdy, když existuje báze C prostoru V tak, že [φ]_{C} = A.

Důkaz. Stačí si uvědomit, že [φ]_{B} = [Id]_{BC}^{−1} · [φ]_{C} · [Id]_{BC}. □

Definice. Řekneme, že endomorfismu φ na prostoru V konečné dimenze je diagonalizovatelný, pokud existuje báze B, vůči níž je matice [φ]_{B} diagonální. Řekneme, že čtvercové matice A je diagonalizovatelná, je-li A podobná nějaké diagonální matici.

Důsledek 4.10. Buď V konečně dimenzionální prostor, B nějaká jeho báze a φ endomorfismus na V. Pak φ je diagonalizovatelný právě tehdy, když je matice [φ]_{B} diagonalizovatelná.

Věta 4.11. Nechť V je konečně dimenzionální prostor a φ endomorfismus na V. Následující tvrzení jsou ekvivalentní:

(1) φ je diagonalizovatelný,

(2) existuje báze V složená z vlastních vektorů endomorfismu φ,

(3) V = ⨁_{λ∈σ(φ)} Ker(φ − λ · Id).

Důkaz. (1) ⇔ (2) Ekvivalence je obsahem Poznámky 4.5.

(2) ⇒ (3) Označme V_{λ} = Ker(φ − λ · Id). Každý vektor báze prostoru V složené z vlastních vektorů přitom leží v podprostoru V_{λ} pro nějaké vlastní číslo λ ∈ σ(φ), a proto V = ∑_{λ∈σ(φ)} V_{λ}. Nechť u_{i} ∈ V_{λ_{i}}, kde i = 1, …, k a λ_{i} ≠ λ_{j} pro i ≠ j. Pokud u_{1} + ⋯ + u_{k} = 0, potom u_{i} = 0 pro všechna i = 1, …, k podle 4.6, a proto V = ⨁_{λ∈σ(φ)} V_{λ}.

(3) ⇒ (2) Zvolme bázi B_{λ} podprostoru Ker(φ−λ·Id) pro každé λ ∈ σ(φ). Zřejmě jsou všechny vektory z bází B_{λ} nenulové, a proto vlastní. Dále B = ⋃_{λ∈σ(φ)} B_{λ} je lineárně nezávislou generující množinou, tedy bází prostoru V. □

Vezmeme-li pro libovolnou čtvercovou matici A endomorfismus φ na T^{n} s maticí vzhledem ke kanonické bázi [φ]_{K_{n}} = A dostáváme:

Důsledek 4.12. Nechť A je čtvercová matice stupně n nad tělesem T. Následující tvrzení jsou ekvivalentní:

(1) A je diagonalizovatelná,

(2) existuje báze T^{n} složená z vlastních vektorů matice A,

(3) T^{n} = ⨁_{λ∈σ(A)} {x ∈ T^{n}| (A − λE)x^{T}= 0^{T}}.

Poznámka 4.13. Nechť A je čtvercová matice stupně n a φ je endomorfismus na prostoru dimenze n.

(a) Má-li φ n různých vlastních čísel, je diagonalizovatelný.

(b) Má-li A n různých vlastních čísel, je A diagonalizovatelná.

Důkaz. (a) Vezmememe-li pro každé vlastní číslo endomorfismu φ jemu příslušný vlastní vektor, dostaneme podle 4.6 lineárně nezávislou posloupnost n vektorů ve vektorovém prostoru dimenze n, tedy půjde o bázi složenou z vlastních vektorů. Použijeme-li 4.11, vidíme, že je φ diagonalizovatelný endomorfismus.

(b) Podobně jako u 4.12 dostáváme z (a) a Důsledku 4.10. □

Příklad. (1) Reálná matice A = (\begin{matrix}2 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix}) má dvě různá vlastní čísla, tedy je

podle Poznámky 4.13 diagonalizovatelná. Budeme-li matici A interpretovat jako matici [φ]_{K_{2}} endomorfismu φ například vzhledem ke kanonické bázi K_{2}, pak [φ]_{B} = [Id]_{K_{2} B}[φ]_{K_{2}}[Id]_{BK_{2}} = [Id]_{BK_{2}}^{−1}[φ]_{K_{2}}[Id]_{BK_{2}}, kde B je báze sestávající z vlastních vektorů matice A. To znamená, že

(\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix}−2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix})^{−1} (\begin{matrix}2 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix}) (\begin{matrix}−2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix})

(2) O endomorfismu φ na ℤ_{5}^{2} daném předpisem φ((x, y)) = (y, x + 4y) jsme zjistili, že má ”málo” vlastních vektorů, tedy neexistuje báze ℤ_{5}^{2} složená z vlastních vektorů endomorfismu φ, a proto φ není podle Věty 4.11 diagonalizovatelný.

(3) Reálná trojúhelníková matice M = (\begin{matrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & 1 \end{matrix}) má zřejmě charakteristický

polynom (2 − λ)^{2}(1 − λ), a tudíž σ(M) = {1, 2}. Hledáme-li množinu všech řešení homogenní soustavy rovnic s maticí M−1E, tj. vlastní vektory příslušné vlastnímu číslu 1, vidíme, že existuje jen jeden lineárně nezávislý takový vlastní vektor, protože dimenze podprostoru všech řešení je 3 − h(M − 1E) = 3 − 2 = 1. Podprostor všech řešení homogenní soustavy rovnic s maticí M − 2E je ovšem dvoudimenzionální, protože hodnost matice M − 2E je h(M − 2E) = 1. Tedy pro vlastní číslo 2 dostáváme dva lineárně nezávislé vlastní vektory. Podle Věty 4.6 (nebo přímo Poznámky 4.12) máme tříprvkou lineárně nezávislou množinu vlastních vektorů v třídimenzionálním prostoru, tedy jde o bázi a matice M je diagonalizovatelná.

(4) Reálná trojúhelníková matice N = (\begin{matrix}2 & 0 & 0 \\ 4 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & 1 \end{matrix}) má stejný charakteristický

polynom (2−λ)^{2}(1−λ) jako matice M, a proto i σ(N) = {1, 2}. Zřejmě h(N−1E) = h(N − 2E) = 2, tedy podprostory {x ∈ R^{3}| (N − λE)x^{T}= 0^{T}} pro λ = 1, 2 jsou jen jednodimenzionální. Tudíž neexistuje báze prostoru R^{3} složená z vlastních vektorů matice N a matice N není diagonalizovatelná.

Definice. Řekneme, že reálná nebo komplexní čtvercová matice U je unitární, jestliže \overline{U}^{T}U = E.

Reálná unitární matice se často nazývá ortogonální maticí.

Poznámka 4.14. Je-li U unitární matice, pak U je regulární, U^{−1} = \overline{U}^{T} a \overline{U}^{T} je také unitární.

Důkaz. Protože je součin \overline{U}^{T}U regulární matice musí být i U regulární, navíc z jednoznačnosti existence inverzní matice plyne, že U^{−1} = \overline{U}^{T}. Konečně U^{−1} = \overline{U}^{T} je unitární matice, protože UU^{−1} = E. □

Důsledek 4.15. Matice stupně n nad tělesem T = R nebo C je unitární právě tehdy, když obsahuje ve sloupcích (v řádcích) ortonormální bázi unitárního prostoru (T^{n}, ω).

Poznámka 4.16. Součin dvou unitárních matic stejného stupně je opět unitární matice.

Důkaz. Z definice plyne, že \overline{(UV)}^{T} UV = \overline{V}^{T} \overline{U}^{T} UV = \overline{V}^{T} EV = \overline{V}^{T} V = E. □

Poznámka 4.17. Buď B ortonormální báze unitárního prostoru (V, g) a C je nějaká báze V. Pak je C ortonormální, právě když je matice přechodu [Id]_{CB} unitární.

Důkaz. Buď n = dimV a B = (b_{1}, …, b_{n}), C = (c_{1}, …, c_{n}). Podle 3.12 existuje unitární izomorfismus φ : V → T^{n} unitárních prostorů (V, g) a (T^{n}, ω), pro nějž φ(b_{i}) = e_{i}, i = 1, … n, tedy pro každé j, k platí, že

ω({c_{j}}_{B} · {c_{k}}_{B}) = g(c_{j}, c_{k})

Je-li C ortonormální, pak jsou sloupce matice [Id]_{CB} ortonormální vzhledem k ω, a proto je [Id]_{CB} unitární podle 4.15. Naopak, je-li [Id]_{CB} unitární matice, tedy její sloupce jsou ortonormální, pak g(c_{j}, c_{k}) = δ_{jk}, tudíž C je ortonormální báze unitárního prostoru (V, g). □

Definice. Nechť je A čtvercová matice nad tělesem T = R nebo C a φ endomorfismus na unitárním prostoru (V, g). Řekneme, že A je unitárně diagonalizovatelná, existuje-li taková unitární matice U nad T, že \overline{U}^{T}AU je diagonální, a φ je unitárně diagonalizovatelný, existuje-li ortonormální báze B prostoru (V, g) složená z vlastních vektorů endomorfismu φ. Matici nazveme A je normální, jestliže A · \overline{A}^{T}= \overline{A}^{T}· A.

Příklad. (1) Každá diagonální matice je podle definice normální.

(2) Reálná symetrická matice je přímo z definice normální.

(3) Komplexní matice splňující podmínku A = \overline{A}^{T}je normální, neboť v takovém případě A\overline{A}^{T}= AA = \overline{A}^{T}A.

(4) Unitární matice je díky 4.14 normální.

Věta 4.18. Buď φ endomorfismus na konečně dimenzionálním unitárním prostoru (V, g) a buď B ortonormální báze (V, g). Pak je ekvivalntní:

(1) φ je unitárně diagonalizovatelný,

(2) existuje taková ortonormální báze C prostoru (V, g), že [φ]_{C} je diagonální matice,

(3) matice [φ]_{B} je unitárně diagonalizovatelná.

Důkaz. (1)⇔(2) Podle 4.5 je endomorfismus φ unitárně diagonalizovatelný, tj. existuje ortonormální báze C prostoru (V, g) složená z vlastních vektorů endomorfismu φ, právě tehdy existuje-li ortonormální báze C, pro niž je [φ]_{C} diagonální matice.

(2)⇒(3) Buď C ortonormální báze prostoru (V, g), pro níž je [φ]_{C} diagonální matice. Potom je díky 4.17 matice U = [Id]_{CB} unitární, a proto podle 4.14 [Id]_{BC} = U^{−1} = \overline{U}^{T} Protože víme z minulého semestru, že [φ]_{C} = [Id]_{BC}[φ]_{B}[Id]_{CB}, dostáváme, že [φ]_{C} = \overline{U}^{T}[φ]_{B}U je diagonální, tedy [φ]_{B} je unitárně diagonalizovatelná.

(3)⇒(2) Předpokládejme, že existuje unítární matice U, pro kterou je \overline{U}^{T}[φ]_{B}U diagonální. Pak existuje jednoznačně určená báze C, pro niž U = [Id]_{CB}. Tedy podle 4.17 je báze C ortonormální a [φ]_{C} = [Id]_{BC}[φ]_{B}[Id]_{CB} = \overline{U}^{T}[φ]_{B}U je diagonální. □

Poznámka 4.19. Nechť A je čtvercová matice stupně n nad tělesem T = R nebo C. Pak je A unitárně diagonalizovatelná, právě když existuje ortonormální báze unitárního prostoru (T^{n}, ω) sestávající z vlastních vektorů matice A.

Důkaz. Poznamenejme, že kanonická báze K_{n} je ortonormální bází unitárním prostoru (T^{n}, ω). Uvažujeme-li endomorfismus φ na unitárním prostoru (T^{n}, ω) s maticí [φ]_{K_{n}} = A, tj. φ(v) = v A^{T}, pak je podle 4.4 v vlastní vektor endomorfismu φ, právě když je v = {v}_{K_{n}} vlastní vektor matice A, a tvrzení je tudíž důsledkem Věty 4.18. □

Následující tvrzení vyslovíme bez důkazu:

Věta (Základní věta algebry). Každý komplexní polynom stupně alespoň jedna má komplexní kořen.

Poznámka 4.20. Každá neprázdná komplexní čtvercová matice a každý endomorfismus na komplexním prostoru nenulové konečné dimenze mají nějaké vlastní číslo.

Důkaz. Je-li A = (a_{ij}) čtvercová komplexní matice stupně n ≥ 1, pak det(A − λE) = q(λ) + ∏_{i=1}^{n} (a_{ii} − λ), kde polynom q(λ) je stupně menšího jak n. Proto má charakteristický polynom stupeň det(A−λE) právě n a díky Základní větě algebry tedy existuje jeho kořen, tedy podle 4.2 vlastní číslo A. Existence vlastního čísla endomorfismu potom plyne ze Základní věta algebry Věty 4.4. □

Věta 4.21. Čtvercová komplexní matice A je unitárně diagonalizovatelná, právě když je normální. Navíc, pokud všechna vlastní čísla normální matice A i všechny hodnoty A jsou reálné, potom A je reálná unitárně diagonalizovatelná matice.

Důkaz. (⇒) Je-li A unitárně diagonalizovatelná, existuje unitární matice U tak, že D = \overline{U}^{T}AU je diagonální. Poznamenejme, že \overline{D}^{T}D = D\overline{D}^{T} a A = UD\overline{U}^{T}. Tudíž

A\overline{A}^{T}= UD\overline{U}^{T}\overline{UD\overline{U}^{T}}^{T}= UD\overline{U}^{T}U\overline{D}^{T}\overline{U}^{T}= UD\overline{D}^{T}\overline{U}^{T}

= U\overline{D}^{T}D\overline{U}^{T}= \overline{UD\overline{U}^{T}}^{T}UD\overline{U}^{T}= \overline{A}^{T}A.

Tím jsme ověřili, že A je normální matice.

(⇐) Předpokládejme, že je matice A normální. Nejprve ukážeme, že pokud A v^{T} = λ v^{T} pro nějaké vlastní číslo λ a vlastní vektor v matice A, pak \overline{A}^{T}v^{T} = \overline{λ} v^{T}. K tomu použijeme vlastností standardního skalárního součinu a jednoduché pozorování, že A v^{T}−λ v^{T}= 0^{T} právě tehdy, když v A^{T}− λ v = 0:

0 = ω(v A^{T}− λ v, v A^{T}− λ v) = \overline{(v A^{T}− λ v)}(A v^{T}−λ v^{T})

= \overline{v}\overline{A}^{T}A v^{T}−λ\overline{v}\overline{A}^{T}v^{T}−\overline{λ}\overline{v}A v^{T}+\overline{λ}λ\overline{v} v^{T}=

= \overline{v}A\overline{A}^{T}v^{T}−λ\overline{v}\overline{A}^{T}v^{T}−\overline{λ}\overline{v}A v^{T}+\overline{λ}λ\overline{v} v^{T}= ω(v \overline{A} − \overline{λ} v, v \overline{A} − \overline{λ} v).

Podle definice skalárního součinu je v \overline{A}−\overline{λ} v = 0, a proto je i vektor \overline{A}^{T}v^{T}−\overline{λ} v^{T} nulový a \overline{λ} je vlastní číslo matice \overline{A}^{T}.

Buď n stupeň matice A. Budeme postupně hledat ortonormální bázi unitárního prostoru (C^{n}, ω) složenou z vlastních vektorů matice A. Podle Poznámky 4.20 existuje nějaké vlastní číslo λ_{1} matice A a jemu příslušný vlastní vektor v_{1}, můžeme předpokládat, že ∥ v_{1} ∥_{ω} = 1. Už víme, že \overline{A}^{T}v_{1}^{T} = \overline{λ_{1}} v_{1}^{T}. Položme U_{1} = ⟨v_{1}⟩^{⊥}.

Ukážeme, že (A u^{T})^{T} = u A^{T} ∈ U_{1} pro každý vektor u ∈ U_{1}. Stačí nám ověřit, že ω(u A^{T}, v_{1}) = 0, k čemuž využijeme první krok důkazu této implikace:

ω(u A^{T}, v_{1}) = \overline{u A^{T}} v_{1}^{T} = \overline{u}\overline{A}^{T}v_{1}^{T} = \overline{λ_{1}} \overline{u} v_{1}^{T} = \overline{λ_{1}}ω(u, v_{1}) = 0,

Zobrazení φ_{1} : U_{1} → U_{1}, které každému u ∈ U přiřadí vektor φ_{1}(u) = u A^{T} je zřejmě endomorfismem. Pokud U_{1} není nulový prostor, pak podle 4.20 existuje vlastní číslo λ_{2} endomorfismu φ_{1} a příslušný vlastní vektor v_{2} ∈ U_{1}, který opět můžeme zvolit normovaný. Tedy φ_{1}(v_{2}) = v_{2} A^{T}= λ_{2} v_{2}, dále víme, že v_{2} \overline{A} = \overline{λ_{2}} v_{2}, protože λ_{2} je rovněž vlastní číslo matice A, a vektory v_{1} a v_{2} jsou ortonormální. Vezmeme nyní podprostor U_{2} = ⟨v_{1}, v_{2}⟩^{⊥}. Stejným způsobem jako v prvním kroku (tentokrát ovšem pro dva vektory) můžeme dokázat, že u A^{T}∈ U_{2} pro každé u ∈ U_{2} a pak definujeme endomorfismus φ_{2} : U_{2} → U_{2} opět předpisem φ_{2}(u) = u A^{T}. Takto budeme pokračovat, dokud U_{i} nebude nulový podprostor, což nastane právě v okamžiku, kdy i = n. Zkonstruujeme tak ortonormální posloupnost vlastních vektorů v_{1}, …, v_{n} matice a, která tvoří bázi C^{n}, proto je podle 4.19 matice A unitárně diagonalizovatelná.

Pokud byly reálné všechny hodnoty matice A i všechna vlastní čísla λ_{i}, mohli jsme A chápat jako matici endomorfismus na reálném unitárním prostoru (R^{n}, ω) vzhledem ke kanonické bázi, resp. φ_{i} jako endomorfismy na reálných vektorových prostorech U_{i}. Tedy jsme všechny vlastní vektory v_{i} mohli brát reálné. Proto opět pomocí Poznámky 4.19 zjišťujeme, že A je reálnou unitárně diagonalizovatelnou maticí, tj. existuje taková reálná unitární matice U, že \overline{U}^{T}AU = U^{T}AU je diagonální reálnou maticí. □

Příklad. (1) Mějme reálnou symetrickou matici A. Uvážíme, že všechna komplexní vlastní A jsou reálná. Zvolme λ ∈ σ(A) a příslušný vlastní vektor v. V důkazu 4.21 jsme ukázali, že \overline{A}^{T}v^{T}= \overline{λ} v^{T}. Protože je A reálná symetrická, tedy \overline{A}^{T}= A^{T}= A, vidíme, že A v^{T}= \overline{λ} v^{T}, tedy v je vlastní vektor příslušný vlastnímu číslu λ i \overline{λ}. To ovšem podle 4.6 znamená, že λ = \overline{λ}, tedy λ je reálné. Protože σ(A) ⊆ R a A je reálná normální matice, jde podle 4.21 o unitárně diagonalizovatelnou matici nad R.

(2) Buď A = (\begin{matrix}3 & 2 \\ 2 & 6 \end{matrix}) reálná symetrická matice. Spočítáme charkteristický poly-

nom det(A − λE) = (3 − λ)(6 − λ) − 4 = λ^{2} − 9λ + 14 = (λ − 2)(λ − 7). Vlastní čísla matice A jsou tedy právě kořeny charakteristického polynomu, tedy reálná čísla 2 a 7. Dále standardním postupem najdeme vlastní vektory, tedy nenulová řešení homogenních soustav rovnic s maticemi, která tvoří právě souřadnicové vektory vlastních vektorů endomorfismu φ:

A − 2 · E = (\begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix}) , A − 7 · E = (\begin{matrix}−4 & 2 \\ 2 & −1 \end{matrix}) .

Tedy všechny nenulové násobky vektoru (−2, 1) jsou vlastními vektory matice A příslušnými vlastnímu číslu 2 a všechny nenulové násobky vektoru (1, 2) jsou vlastními vektory matice A příslušnými vlastnímu číslu 7. Oba vektory normalizujeme a dostaneme ortonormální bázi B = (\frac{1}{\sqrt{5}}(−2, 1), \frac{1}{\sqrt{5}}(1, 2)). Nyní stačí položit

U = [Id]_{BK_{3}} = \frac{1}{\sqrt{5}} (\begin{matrix}−2 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}), aby U^{T}AU = (\begin{matrix}2 & 0 \\ 0 & 7 \end{matrix}).

Poznámka 4.22. Nechť A je normální komplexní čtvercová matice a u, v dva vlastní vektory A příslušné různým vlastním číslům. Potom u a v jsou ortogonální vzhledem ke standardnímu skalárnímu součinu.

Důkaz. Stejně jako v 4.19 uvažujme endomorfismus φ na unitárním prostoru (T^{n}, ω) s maticí [φ]_{K_{n}} = A. Podle 4.21 je [φ]_{K_{n}} unitárně diagonalizovatelná matice, tedy díky 4.18 existuje taková ortonormální báze C = (v_{1}, …, v_{n}) prostoru (T^{n}, ω), slo-

žená z vlastních vektorů, tj. [φ]_{C} = (\begin{matrix}λ_{1} & 0 & … & 0 \\ 0 & λ_{2} & … & 0 \\ . & . & … & . \\ 0 & 0 & … & λ_{n} \end{matrix}) je diagonální s vlastními

čísly λ_{1}, …, λ_{n} na diagonále. Protože je zobrazení v → {v}_{C} podle 3.12 unitární automorfismus na (T^{n}, ω), je ω(v, w) = ω({v}_{C}, {w}_{C}).

Vezměme nyní dva vlastní vektory v a w příslušné různým vlastním číslům λ_{v} a λ_{w} a označme {v}_{C} = (a_{1}, …, a_{n}) a {w}_{C} = (b_{1}, …, b_{n}). Protože {v}_{C}[φ]_{C}^{T} = λ_{v}{v}_{C} a {w}_{C}[φ]_{C}^{T} = λ_{w} {v}_{C} je a_{i} = 0, jestliže λ_{i} ≠ λ_{v}, a b_{i} = 0, jestliže λ_{i} ≠ λ_{w} . Proto ω(v, w) = ω(\{v\}_{C}, \{w\}_{C}) = \overline{\{v\}_{C}}\{w\}_{C}^{T} = ∑_{i=1}^{n} a_{i}b_{i} = 0. □

Příklad. O komplexní matici A = (\begin{matrix}1 & 1 − i & −1 \\ 1 + i & 2 & −1 − i \\ −1 & −1 + i & 1 \end{matrix}) už víme, že je nor-

mální, neboť \overline{A}^{T} = A. Tudíž je podle 4.21 unitárně diagonalizovatelná. Chceme-li najít ortonormální bázi C^{3} složenou z vlastních vektorů, stačí nám najít ortonormální báze podprostorů řešení homogení soustavy rovnic s maticí A − λE pro jednotlivá vlastní čísla λ, proto podle Poznámky 4.22 musí být jednotlivé podprostory vlastních vektorů vzájemně kolmé.

Charakteristický polynom matice A je −λ^{3} + 4λ^{2}, proto σ(A) = {0, 4}. Snadno najdeme ortonormální bázi množiny všech řešení soustavy s maticí

A − 4E = (\begin{matrix}1 & 1 − i & −1 \\ 1 + i & 2 & −1 − i \\ −1 & −1 + i & 1 \end{matrix}) − (\begin{matrix}4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix}−3 & 1 − i & −1 \\ 1 + i & −2 & −1 − i \\ −1 & −1 + i & −3 \end{matrix}) .

Podprostor všech řešení je jednodimenzionální, jeho bázi tvoří například vektor (1, 1 + i, −1). Protože ∥(1, 1 + i, −1)∥_{ω} = 2, je vektor \frac{1}{2}(1, 1 + i, −1) hledaným normalizovaným vektorem. Dále snadno zjistíme, že například vektory (−1 + i, 1, 0), (1, 0, 1) tvoří bázi dvoudimenzionálního podprostoru všech řešení soustavy s maticí a. Zbývá tyto vektory ortogonalizovat a normalizovat. To můžeme provést například Gramovou-Schmidtovou ortogonalizací, tak dostaneme ortonormální bázi

\frac{1}{\sqrt{2}}(1, 0, 1), \frac{1}{2\sqrt{2}} (−1 + i, 2, 1 − i). Zjistili jsme, že (\begin{matrix}4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) =

= (\begin{matrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{2} − \frac{i}{2} & −\frac{1}{2} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{−1−i}{2\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1−i}{2\sqrt{2}} \end{matrix} ) (\begin{matrix}1 & 1 − i & −1 \\ 1 + i & 2 & −1 − i \\ −1 & −1 + i & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{−1+i}{2\sqrt{2}} \\ \frac{1}{2} + \frac{i}{2} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ −\frac{1}{2} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1−i}{2\sqrt{2}} \end{matrix} ) .

Uvážíme-li, že matice symetrické bilineární formy na reálném unitárním prostoru je vzhledem k libovolné ortonormální bázi symetrická, že symetrická matice je podle 4.21 reálná unitárně diagonalizovatelná a že unitární jsou podle 4.17 právě matice přechodu od ortonormální k ortonormální bázi, dostáváme

Důsledek 4.23. Je-li f symetrická bilineární forma na reálném unitárním prostoru (V, g) konečné dimenze, pak existuje ortonormální báze (V, g), která je zároveň polární bázi f.

Příklad. Nechť je f symetrická bilineární forma na reálném unitárním prostoru

(R^{3}, ω) s maticí [f]_{K_{3}} = (\begin{matrix}2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix}) vzhledem ke kanonické bázi. Najdeme bázi

B, která je ortonormální vzhledem ke skalárnímu součinu ω a polární vzhledem k symetrické bilineární formě f.

Prtože je kanonická báze ortonormální vzhledem k ω, stačí abychom unitárně diagonalizovali matici A = [f]_{K_{3}}. Nejprve určíme spektrum σ(A) = {1, 4} a pro obě vlastní čísla jim příslušné vlastní vektory, tedy pro λ = 1 vyřešíme homo-

genní soustavu rovnic s maticí A − 1 · E = (\begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}) a dostaneme vlastní

vektory v_{1} ∈ ⟨(−1, 1, 0), (−1, 0, 1)⟩ \ {0}, a pro λ = 4 vyřešíme homogenní sou-

stavu rovnic s maticí A − 4 · E = (\begin{matrix}−2 & 1 & 1 \\ 1 & −2 & 1 \\ 1 & 1 & −2 \end{matrix}) a dostaneme vlastní vektory

v_{4} ∈ ⟨(1, 1, 1)⟩ \ {0}. Všimněme si, že podle 4.22 musel být vlastní vektor příslušný vlastnímu číslu 4 kolmý na vlastní vektory příslušné vlastnímu číslu 1, tedy v_{4} ∈ ⟨(−1, 1, 0), (−1, 0, 1)⟩^{⊥}.

Nyní najdeme ortonormální báze obou podprostorů vlastních vektorů. Pro vlastní číslo 4 stačí normalizovat, abychom dostali vektor \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, 1) a pro λ = 1 najdeme ortonormální bázi (\frac{1}{\sqrt{2}}(−1, 1, 0), \frac{1}{\sqrt{6}}(−1, −1, 2)) podprostoru ⟨(−1, 1, 0), (−1, 0, 1)⟩ například Gramovou-Schmidtovou ortogonalizací. Položme dále B = (\frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, 1), \frac{1}{\sqrt{2}}(−1, 1, 0), \frac{1}{\sqrt{6}}(−1, −1, 2)). Protože jsou B stejně jako K_{3} ortonormální báze, je podle 4.17 matice přechodu U = [Id]_{BK_{3}} unitární a

U^{T}AU = (\frac{−1}{\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{2}} 0_{\frac{−1}{\sqrt{6}} \frac{−1}{\sqrt{6}} \frac{2}{\sqrt{6}}}^{\frac{1}{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{3}}} ) (\begin{matrix}2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix}) (\begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{−1}{\sqrt{2}} & \frac{−1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{−1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & \frac{2}{\sqrt{6}} \end{matrix} ) = (\begin{matrix}4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) .

Podle 2.3 je [f]_{B} = [Id]_{BK_{3}}^{T}[f]_{K_{3}}[Id]_{BK_{3}} = U^{T}AU diagonální matice, tedy B je polární báze f.

5. Rozklady matic

Rozkladem matice A budeme rozumět posloupnost (zpravidla dvou nebo tří) matic R_{1}, …, R_{i} takových, že platí A = R_{1} … R_{i}. Zajímavé (nejen) pro nás budou ty rozklady, které nám usnadní počítání s danou maticí, ať už matici interpretujeme jako matici nějaké soustavy lineárních rovnic, matici homomorfismu vzhledem k nějakým bázím, matici skalárního součinu či jinak.

Tak například víme, že každou matici A typu (n, m) můžeme elementárními transformacemi na řádky a sloupce převést na matici D = (d_{ij}), která má mimo hlavní diagonálu všechny hodnoty nulové, tedy d_{ij} = 0 pro všechna i ≠ j. V maticovém zápisu to znamená, že D = PAQ pro vhodné regulární matice P stupně n a Q stupně m. Je-li A = [h]_{B_{V} B_{W}} matice homomorfismu h : V → W a B_{V} a B_{W} báze prostorů V a W, potom existují báze C_{V} a C_{W} prostorů V a W, tak, že P = [Id]_{B_{W} C_{W}}, Q = [Id]_{C_{V} B_{V}} a D = [h]_{C_{V} C_{W}} (připomeňte si, jak báze C_{V} a C_{W} najít), tj. [h]_{C_{V} C_{W}} = [Id]_{B_{W} C_{W}} [h]_{B_{V} B_{W}} [Id]_{C_{V} B_{V}}. To znamená, že budeme-li pracovat s homomorfismem h v souřadnicích vzhledem k bázím C_{V} a C_{W}, bude počítání (s maticí homomorfismu h) mnohem jednodušší.

LU rozklad

Definice. Řekneme, že matice A_{U} = (a_{ij}) je typu U, jde-li o čtvercovou horní trojúhelníkovou matici (tj. a_{ij} = 0 pro všechna i > j), matice A_{L} = (a_{ij}) je typu L, jde-li o čtvercovou dolní trojúhelníkovou matici (tj. a_{ij} = 0 pro všechna i < j) a navíc má na diagonále jedničky (tj. a_{ii} = 1 pro všechna i). LU rozkladem libovolné čtvercové matice A rozumíme rozklad A = LU, kde L je matice typu L a U je matice typu U.

Poznámka 5.1. Nechť L_{1} a L_{2} jsou dvě matice stejného stupně typu L a U_{1} a U_{2} jsou dvě matice stejného stupně typu U. Pak součin L_{1}L_{2} je opět maticí typu L a součin U_{1}U_{2} je maticí typu U. Navíc L_{1}^{−1} vždy existuje a je typu L, a je-li U_{1} regulární, potom U_{1}^{−1} je typu U.

Důkaz. Nechť i > j a označme r = (r_{1}, …, r_{n}) i-tý řádek matice U_{1} a s = s_{1}, …, s_{n}) j-tý sloupec matice U_{2}. Spočítáme hodnotu na pozici (i,j) matice U_{1}U_{2}:

rs^{T}= ∑_{ν=1}^{n}r_{ν}s_{ν} = ∑_{ν=1}^{j}0s_{ν} + ∑_{ν=j+1}^{n} r_{ν}0 = 0,

tedy matice U_{1}U_{2} je typu U. Protože jsou matice L_{1}^{T} a L_{2}^{T} typu U, je (L_{1}L_{2})^{T} = L_{2}^{T}L_{1}^{T} typu U. Vezmeme-li konečně r = (r_{1}, …, r_{n}) i-tý řádek matice L_{1} a s = s_{1}, …, s_{n}) i-tý sloupec matice L_{2}, pak

rs^{T}= ∑_{ν=1}^{n}r_{ν}s_{ν} = ∑_{ν=1}^{i−1}0s_{ν} + 1 · 1 + ∑_{ν=i+1}^{n} r_{ν}0 = 1,

proto je L_{1}L_{2} typu L.

Konečně, připomeneme-li pro regulární matici A, že A^{−1} = det(A)^{−1}adjA, že adjungovaná matice horní nebo dolní trojúhelníkové matice je opět horní nebo dolní trojúhelníková, a že determinant horní nebo dolní trojúhelníkové matice dostaneme jako součin hodnot na diagonále, vidíme, že matice L_{1} je regulární a L_{1}^{−1} je typu L a U_{1}^{−1} je typu U pro regulární a U_{1}. □

Poznámka 5.2. Existuje-li LU rozklad regulární matice, pak je určen jednoznačně.

Důkaz. Mějme dva LU rozklady A = L_{1}U_{1} = L_{2}U_{2}. Potom L_{2}^{−1}L_{1} = U_{2}U_{1}^{−1} je podle 5.1 zároveň typu L i U, tedy L_{2}^{−1}L_{1} = U_{2}U_{1}^{−1} = E, odkud dostáváme, že L_{1} = L_{2} a U_{1} = U_{2} □ Příklad. Zjistíme, zda existuje LU rozklad reálné matice A = (\begin{matrix}1 & 1 & 2 \\ −4 & −1 & 1 \\ 2 & 5 & −1 \end{matrix}).

K tomu účelu zkusíme A gaussovsky upravovat a příslušné úpravy budeme zaznamenávat do (případné) matice L:

A = (\begin{matrix}1 & 1 & 2 \\ −4 & −1 & 1 \\ 2 & 5 & −1 \end{matrix}) ∼ (\begin{matrix}1 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 9 \\ 0 & 3 & −5 \end{matrix}) ∼ (\begin{matrix}1 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 9 \\ 0 & 0 & −14 \end{matrix}) = U.

Při upravování jsme nepotřebovali přehazovat řádky (ani násobit řádek nenulovým skalárem), tedy dostali jsme L_{k} … L_{1}A = U, kde L_{i} jsou všechno elementární transformační matice odpovídající přičtení výše položeného řádku k řádku níže položenému. Matice L_{i} jsou zřejmě typu L a podle 5.1 je součin L = L_{1}^{−1} … L_{k}^{−1} rovněž typu L, navíc A = LU. Tudíž jsme našli LU rozklad matice A. Všimněme si, že součin matic L_{1}^{−1} … L_{k}^{−1} obsahuje na příslušných pozicích hodnoty jednotlivých transformačních matic (tj. i-tý řádek a j-tý sloupec, i > j, obsahuje hodotu c_{ij}, právě když jsme během Gaussovy eliminace odečítali od i-tého řádku matice A a c_{ij}-násobek jejího j-tého řádku):

(\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ −4 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ −4 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{matrix}) = L.

Našli jsme tedy (jednoznačně určený) LU rozklad

(\begin{matrix}1 & 1 & 2 \\ −4 & −1 & 1 \\ 2 & 5 & −1 \end{matrix}) = (\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ −4 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 9 \\ 0 & 0 & −14 \end{matrix}) .

Definice. Permutační maticí budeme rozumět čtvercovou matici P, která v každém řádku a každém sloupci obsahuje právě jednu hodnotu 1 a jinak samé 0.

Poznámka 5.3. Nechť P a Q jsou dvě permutační matice stupně n.

(a) Každou permutační matici dostaneme z jednotkové matice vhodným přeházením řádků (sloupců).

(b) Součin PQ je permutační matice.

(c) P^{−1} = P^{T} je permutační matice.

Důkaz. (a) Plyne okamžitě z definice.

(b) Součin PQ pomocí permutace odpovídající matici P podle (a) přehází řádky matice Q, tedy opět díky (a) je PQ permutační matice.

(c) Přímým výpočtem zjistíme, že P^{T}· P = E a P^{T} je permutační podle (a). □

Věta 5.4. Pro každou čtvercovou matici A existuje permutační matice P tak, že matice PA má LU rozklad.

Důkaz. Tvrzení dokážeme indukcí podle stupně matice pomocí Gaussova algoritmu. Vše je triviální pro matice stupně 1, tedy (a) = (1) · (a) je LU rozklad matice (a).

Předpokládejme, že tvrzení platí pro každou čtvercovou matici stupně n − 1 a mějme čtvercovou matici A_{n} = (a_{ij}) stupně n. Budeme gaussovsky upravovat její první sloupec. Je-li celý nulový, pak položíme i = 1, jinak vezmeme nejmenší i ≤ n, pro které a_{i1} ≠ 0, přehodíme i-tý řádek s prvním řádkem a vynulujeme ostatní pozice prvního sloupce takto upravené matice A_{n}. Vyjádříme to pomocí maticového zápisu:

(\begin{matrix}1 & 0 \\ v^{T} & E \end{matrix}) T_{1i}A_{n} = (\begin{matrix}a_{i1} & a_{n−1} \\ 0^{T} & A_{n−1} \end{matrix} ) ,

kde v^{T} je vhodný sloupcový vektor o n − 1 souřadnicích, T_{1i} elementární transformační matice (tj. permutační matice), která odpovídá přehození prvního a i-tého řádku, a_{n−1} = (a_{i2}, a_{i3}, … a_{in}) a A_{n−1} je čtvercová matice stupně n − 1. Nyní využijeme pro matici A_{n−1} indukční předpoklad, který říká, že existuje permutační matice P_{n−1}, matice L_{n−1} typu L a matice U_{n−1} typu U (všechny stupně n − 1) tak, že P_{n−1}A_{n−1} = L_{n−1}U_{n−1}. To ovšem znamená, že

(\begin{matrix}1 & 0 \\ 0^{T} & P_{n−1} \end{matrix} ) (\begin{matrix}1 & 0 \\ v^{T} & E \end{matrix}) T_{1i}A_{n} = (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0^{T} & P_{n−1} \end{matrix} ) (\begin{matrix}a_{i1} & a_{n−1} \\ 0^{T} & A_{n−1} \end{matrix} ) =

= (\begin{matrix}a_{i1} & a_{n−1} \\ 0^{T} & P_{n−1}A_{n−1} \end{matrix} ) = (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0^{T} & L_{n−1} \end{matrix}) (\begin{matrix}a_{i1} & a_{n−1} \\ 0^{T} & U_{n−1} \end{matrix} ) .

Dále si uvědomme, že

(\begin{matrix}1 & 0 \\ 0^{T} & P_{n−1} \end{matrix} ) (\begin{matrix}1 & 0 \\ v^{T} & E \end{matrix}) = (\begin{matrix}1 & 0 \\ P_{n−1} v^{T} & E \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0^{T} & P_{n−1} \end{matrix} ) .

Nyní už stačí jen položit P_{n} = (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0^{T} & P_{n−1} \end{matrix} ) T_{1i}, U_{n} = (\begin{matrix}a_{i1} & a_{n−1} \\ 0^{T} & U_{n−1} \end{matrix}) a

L_{n} = (\begin{matrix}1 & 0 \\ P_{n−1} v^{T} & E \end{matrix})^{−1} (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0^{T} & L_{n−1} \end{matrix}) = (\begin{matrix}1 & 0 \\ −P_{n−1} v^{T} & L_{n−1} \end{matrix}) ,

abychom dostali rovnost P_{n}A_{n} = L_{n}U_{n}. Konečně díky 5.1 je matice L_{n} typu L a podle 5.3(b) je matice P_{n} permutační, tedy jsme opravdu našli LU rozklad matice P_{n}A_{n}. □

Příklad. Pro reálnou matici A = (\begin{matrix}1 & 1 & 2 & 2 \\ −1 & −1 & −2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & −1 & 1 \end{matrix}) najdeme permutační matici

P tak, aby matice PA měla LU rozklad. Stejně jako v důkazu Věty 5.4 budeme matici postupně Gausovsky upravovat, používat budeme pouze přehazování řádků a přičítání násobku výše položeného k níže položenému řádku. Oba typy úprav budeme zaznamenávat (pravý sloupec jen čísluje řádky):

(\begin{matrix}1 & 1 & 2 & 2 & |1 \\ −1 & −1 & −2 & 1 & |2 \\ 2 & 1 & 0 & 1 & |3 \\ 2 & 2 & −1 & 1 & |4 \end{matrix} ) ∼ (\begin{matrix}1 & 1 & 2 & 2 & |1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & |2 \\ 0 & −1 & −4 & −3 & |3 \\ 0 & 0 & −5 & −3 & |4 \end{matrix} ) ∼ (\begin{matrix}1 & 1 & 2 & 2 & |1 \\ 0 & −1 & −4 & −3 & |3 \\ 0 & 0 & −5 & −3 & |4 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & |2 \end{matrix} ) .

Tedy permutační matice, kterou potřebujeme změnit původní matici A, odpovídá

permutaci řádků zachycené v pravém sloupci, čili P = (\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{matrix}). Původním

transformacím typu přičtení výše položeného řádku k níže položenému odpovídala matice L′ = (\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ −1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}), my ale musíme adekvátně matici P, jako jsme to

udělali i v průběhu důkazu Věty 5.4, změnit polohu upravovaných řádků, takže L = PL′ a dostáváme LU rozklad matice PA:

(\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & 1 & 2 & 2 \\ −1 & −1 & −2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & −1 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 0 \\ −1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & −1 & −4 & −3 \\ 0 & 0 & −5 & −3 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{matrix}) .

Příklad. Máme-li LU rozklad matice A = LU a uvažujeme-li nehomogenní soustavu rovnic Ax^{T} = y^{T}, potom můžeme úlohu rozdělit na dva jednodušší úkoly, najít nejprve řešení soustavy Lz^{T} = y^{T} a poté soustavy Ux^{T} = z^{T}. V obou případech počítáme s trojúhelníkovými maticemi, takže při výpočtu už jen dosazujeme, aniž musíme matice jakkoli dále gausovsky upravovat.

Počítejme s LU rozkladem reálné matice

A = (\begin{matrix}2 & 1 & −2 \\ −2 & 2 & 3 \\ 2 & 7 & 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ −1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}2 & 1 & −2 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix})

pro vektor pravých stran y = (−3, 2, −1). Potom pro z = (z_{1}, z_{2}, z_{3}) spočítáme z_{1} = y_{1} = −3, dále −1z_{1} + z_{2} = 3 + z_{2} = y_{2} = 2, tedy z_{2} = −1 a konečně z_{3} = −1 − 1 · (−3) − 2 · (−1) = 4. Nyní počítáme soustavu Ux^{T} = z^{T}: 2x_{3} = z_{3}, tedy x_{3} = 2, dále x_{2} = \frac{−1−1·2}{3} = −1 a x_{1} = \frac{−3−1·(−1)+2·2}{2} = 1.

QR rozklad

Definice. Řekneme, že matice Q je typu Q, je-li reálná nebo komplexní a platí, že součin \overline{Q}^{T}Q je jednotková matice. QR-rozkladem matice A nad reálným nebo komplexním tělesem T rozumíme rozklad A = QR, kde Q je typu Q a R je regulární horní trojúhelníková matice s kladnými reálnými hodnotami na diagonále.

Příklad. Každá unitární matice je typu Q.

Poznámka 5.5. Matice nad tělesem T = R nebo C je typu Q, právě když obsahuje ve sloupcích ortonormální posloupnost vektorů vzhledem ke standardnímu skalárnímu součinu ω.

Důkaz. Okamžitý důsledek definice. □

Poznámka 5.6. Nechť A = QR je QR rozklad matice A typu (n, m), pak Q je typu (n, m), h(A) = h(Q) = m a QR rozklad je určen jednoznačně. Navíc, označíme-li A = (a_{1}^{T}| … |a_{m}^{T}) a Q = (q_{1}^{T}| … |q_{m}^{T}), pak ⟨a_{1}, …, a_{i}⟩ = ⟨q_{1}, …, q_{i}⟩ pro všechna i = 1, …, m.

Důkaz. Typ matice Q je zjevný z definice QR rozkladu.

Uvažujme dva QR rozklady matice A = QR = Q′R′, kde Q = (q_{1}^{T}| … |q_{m}^{T}) a Q′ = (q_{1}^{′T}| … |q_{m}^{′T}). Dále označme R = (r_{ij}) a R′ = (r′_{ij}). Indukcí podle i dokážeme, že ⟨a_{1}, …, a_{i}⟩ = ⟨q_{1}, …, q_{i}⟩, q_{i} = q′_{i} a r_{ji} = r′_{ji} pro j = 1, …, i.

Protože a_{1} = r_{11}q_{1} = r′_{11}q′_{1}), kde r_{11} ≠ 0, dostáváme ⟨a_{1}⟩ = ⟨q_{1}⟩ = ⟨q′_{1}⟩. Navíc r_{11}, r′_{11} jsou kladná reálná čísla a ∥q_{1}∥_{ω} = ∥q′_{1}∥_{ω}, proto díky 3.3(b) je

r_{11} = r_{11}∥q_{1}∥_{ω} = ∥a_{1}∥_{ω} = r′_{11}∥q′_{1}∥_{ω} = r′_{11},

tudíž q_{1} = q′_{1}.

Předpokládejme, že ⟨a_{1}, …, a_{i−1}⟩ = ⟨q_{1}, …, q_{i−1}⟩ a q_{j} = q′_{j} pro všechna j = 1, …, i − 1. Všimněme si, že a_{i} = r_{ii}q_{i} + ∑_{j=1}^{i−1} r_{ji}q_{j}, kde r_{ii} ≠ 0, a proto q_{i} = r_{ii}^{−1}[a_{i} + ∑_{j=1}^{i−1} r_{ji}q_{j}]. Tedy a_{i} ∈ ⟨q_{1}, …, q_{i}⟩ a naopak q_{i} ∈ ⟨q_{1}, …, q_{i−1}, a_{i}⟩ = ⟨a_{1}, …, a_{i−1}, a_{i}⟩ podle indkčního předpokladu. Tím jsme dokázali, že ⟨a_{1}, …, a_{i}⟩ ⊆ ⟨q_{1}, …, q_{i}⟩ i ⟨q_{1}, …, q_{i}⟩ ⊆ ⟨a_{1}, …, a_{i}⟩. Díky indukčnímu předpokladu vidíme, že

a_{i} = r_{ii}q_{i} + ∑_{j=1}^{i−1}r_{ji}q_{j} = r′_{ii}q′_{i} + ∑_{j=1}^{i−1}r′_{ji}q′_{j} = r′_{ii}q′_{i} + ∑_{j=1}^{i−1}r′_{ji}q_{j},

a proto r_{ji} = ω(q_{j}, a_{i}) = r′_{ji} pro všechna j = 1, …, i − 1. Tedy dostáváme, že a_{i} = r_{ii}q_{i} + ∑_{j=1}^{i−1} r_{ji}q_{j} = r′_{ii}q′_{i} + ∑_{j=1}^{i−1} r_{ji}q_{j}, a tudíž r_{ii}q_{i} = r′_{ii}q′_{i}. Protože jsou r_{ii}, r′_{ii} kladná reálná čísla a ∥q_{i}∥_{ω} = ∥q′_{i}∥_{ω}, opakovaným použitím 3.3(b) zjišťujeme, že

r_{ii} = r_{ii}∥q_{i}∥_{ω} = r′_{i}∥q′_{i}∥_{ω} = r′_{ii},

a proto q_{i} = q′_{i}.

Konečně, h(Q) = m podle 3.7 a dokázali jsme, že h(A) = dim⟨a_{1}, …, a_{m}⟩ = dim⟨q_{1}, …, q_{m}⟩ = h(Q). □

Věta 5.7. Nechť T je reálné nebo komplexní těleso, a_{1}, …, a_{m} je posloupnost lineárně nezávislých vektorů prostoru T^{n} a q_{1}, …, q_{m} je posloupnost ortonormálních vektorů unitárního prostoru (T^{n}, ω), kterou z ní vytvoříme Gramovou-Schmidtovou ortogonalizací. Položme A = (a_{1}^{T}| … |a_{m}^{T}), Q = (q_{1}^{T}| … |q_{m}^{T}) a R = (r_{ij}), kde r_{ij} = ω(q_{i}, a_{j}). Potom A = QR je QR rozklad matice A.

Důkaz. Podle 3.9 je a_{j} = ∑_{i=1}^{m} ω(q_{i}, a_{j})q_{i}, proto platí, že A = QR. Jelikož díky 5.6 ⟨a_{1}, …, a_{i}⟩ = ⟨q_{1}, …, q_{i}⟩, je k-tá souřadnice vektoru a_{j} vzhledem k bázi q_{1}, …, q_{i} pro všechna k = j + 1, …, m nulová. Tedy r_{ij} = 0, pokud i > j. To znamená, že matice R je horní trojúhelníková. Připomeňme, že během Gramovy-Schmidtovy ortogonalizace dostáváme q_{i} = \frac{q′_{i}}{∥q′_{i}∥_{ω}} , kde q′_{i} = a_{i} − ∑_{j=1}^{i−1} r_{ji}q_{j} (viz 3.8). Proto

a_{i} = ∥q′_{i}∥_{ω}q_{i} + ∑_{j=1}^{i−1} r_{ji}q_{j}, a tudíž r_{ii} = ω(q_{i}, a_{i}) = ∥q′_{i}∥_{ω} > 0. Konečně díky 5.5 je Q matice typu Q. □

Důsledek 5.8. Pro reálnou nebo komplexní matici A existuje QR rozklad, právě když se její hodnost rovná počtu jejích sloupců.

Příklad. Budeme hledat QR rozklad reálné matice (\begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{matrix}). Podle 5.7 stačí

klasickou Gramovou-Schmidtovou ortogonalizací upravovat lineárně nezávislou posloupnost vektorů (1, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 2) unitárního prostoru (R^{4}, ω) a mezivýsledky sepsat do matic Q a R. Všimněme si, že r_{ii} = ω(q_{i}, a_{i}) = ∥q′_{i}∥_{ω}.

1. q_{1} = \frac{(1,1,1,1)}{∥(1,1,1,1)∥_{ω}} = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}) a r_{11} = ∥(1, 1, 1, 1)∥_{ω} = 2.

2. q′_{2} = (1, 0, 1, 0) − ω(\frac{1}{2}(1, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 0)) · \frac{1}{2}(1, 1, 1, 1) = \frac{1}{2}(1, −1, 1, −1). Proto r_{12} = ω(\frac{1}{2}(1, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 0)) = 1, r_{22} = ∥\frac{1}{2}(1, −1, 1, −1)∥_{ω} = 1 a

q_{2} = (\frac{1}{2}, −\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, −\frac{1}{2}).

3. Konečně r_{13} = ω(q_{1}, (0, 1, 0, 2)) = \frac{3}{2}, r_{23} = ω(q_{2}, (0, 1, 0, 2)) = −\frac{3}{2}, proto q′_{3} = (0, 1, 0, 2) − \frac{3}{2} · (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}) + \frac{3}{2} · (\frac{1}{2}, −\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, −\frac{1}{2}) = (0, −\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}). Tedy

r_{33} = ∥(0, −\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2})∥_{ω} = \frac{1}{\sqrt{2}} a q_{3} = (0, −\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}}).

Dostáváme QR rozklad (\begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & −\frac{1}{2} & −\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & −\frac{1}{2} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix} ) (\begin{matrix}2 & 1 & \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & −\frac{3}{2} \\ 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix} ) .

URV rozklad

Věta 5.9. Nechť T je těleso reálných nebo komplexních čísel a A matice typu (n, m) hodnosti k nad tělesem T. Potom nad T existují unitární matice U stupně n a V stupně m a reguární matice D stupně k, pro něž platí, že

A = U (\begin{matrix}D & 0_{1} \\ 0_{2} & 0_{3} \end{matrix}) \overline{V}^{T},

kde 0_{1} je nulová matice typu (k, m − k), 0_{2} je nulová matice typu (n − k, k) a 0_{3} je nulová matice typu (n − k, m − k).

Důkaz. Označme R(A) podprostor vektorového prostoru T^{m} generovaný všemi řádky matice A a S(A) budiž podprostor vektorového prostoru T^{n} generovaný všemi sloupci matice A. Víme, že k = h(A) = h(\overline{A}) = dim(R(\overline{A})) = dim(S(A)). Podle 3.8 existují ortonormální báze v_{1}, …, v_{m} unitárního prostoru (T^{m}, ω) a ortonormální báze u_{1}, …, u_{n} unitárního prostoru (T^{n}, ω) tak, že R(\overline{A}) = ⟨v_{1}, …, v_{k}⟩ a S(A) = ⟨u_{1}, …, u_{k}⟩. Umístěme sloupcové nektory těchto bází do matic V a U, tj U = (u_{1}^{T}| u_{2}^{T}| … | u_{n}^{T}) a V = (\overline{v_{1}^{T}}|\overline{v_{2}^{T}}| … |\overline{v_{m}^{T}}). Poznamenejme, že jde podle 4.15 o unitární matice. Konečně položme R = \overline{U}^{T}AV. Potom A = U\overline{U}^{T}AV\overline{V}^{T}= UR\overline{V}^{T}. Zbývá si uvědomit, že matice R má požadovaný tvar. Připomeňme, že vektory u_{i} pro i = k + 1, …, n jsou kolmé na S(A) = ⟨u_{1}, …, u_{k}⟩. To znamená, že \overline{u_{i}}A = 0, a tedy i u_{i} AV = 0 V = 0 pro všechna i = k + 1, …, n. Tedy řádky k + 1, …, n matice R jsou nulové. Symetrickou úvahou ověříme, že i sloupce k+1, …, m matice

R jsou nulové, čímž jsme dokázali, že matice je R tvaru (\begin{matrix}D & 0_{1} \\ 0_{2} & 0_{3} \end{matrix}). Konečně obě

matice \overline{U}^{T}i V jsou regulární, proto h(A) = h(R) = k. To znamená, že prvních k řádků i sloupců matice R je lineárně nezávislých, proto je čtvercová matice D stupně k nutně regulární. □

Definice. Posloupnost matic U, (\begin{matrix}D & 0_{1} \\ 0_{2} & 0_{3} \end{matrix}) a \overline{V}^{T} z předchozí věty nazveme URV

rozkladem reálné nebo komplexní matice A.

Příklad. Hledejme URV rozklad reálné matice A = (\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & −1 & 1 & 0 \end{matrix}). Nejdříve

musíme najít ortonormální báze podprostorů generovaných řádky a sloupci matice A, které doplníme na ortonormální báze celých prostorů. Snadno nahlédneme, že (\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, 0, \frac{1}{\sqrt{3}}), (\frac{1}{\sqrt{3}}, −\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, 0) tvoří ortonormální bázi podprostoru prostoru R^{4} tvořeného řádky matice A, kterou můžeme doplnit vektory (−\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}, 0), (\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, 0, −\frac{2}{\sqrt{6}}) na ortonormální bázi celého R^{4}. Podobně najdeme ortonormální bázi (\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}), (\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, −\frac{1}{\sqrt{2}}) podprostoru generovaného sloupci, a vektorem (\frac{1}{\sqrt{3}}, −\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}) ji doplníme na ortonormální bázi R^{3}.

Tedy U = (\begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{2}{\sqrt{6}} & 0 & −\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} & −\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \end{matrix} ) a V = (\begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & −\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & −\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{2}{\sqrt{6}} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & 0 & −\frac{2}{\sqrt{6}} \end{matrix} ).

V souladu s pozorováním provedeným v důkazu Věty 5.9 dopočítáme matici R:

R = (\begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{2}{\sqrt{6}} & 0 & −\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} & −\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \end{matrix} )^{T}(\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & −1 & 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & −\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & −\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{2}{\sqrt{6}} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & 0 & −\frac{2}{\sqrt{6}} \end{matrix} )

Tedy R = (\begin{matrix}\frac{3}{\sqrt{2}} & \frac{3}{\sqrt{2}} & 0 & 0 \\ \begin{matrix}√ & \overline{3} \\ √ & \overline{2} \end{matrix} & −\begin{matrix}√ & \overline{3} \\ √ & \overline{2} \end{matrix} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}), našli jsme reálný URV rozklad A = URV^{T}.

Poznámka 5.10. h(A) = h(\overline{A}^{T}A) = h(A\overline{A}^{T}) pro každou komplexní matici A.

Důkaz. Vezmeme-li URV rozklad A = U (\begin{matrix}D & 0_{1} \\ 0_{2} & 0_{3} \end{matrix}) \overline{V}^{T} zaručený Větou 5.9, pak

\overline{A}^{T}A = U (\begin{matrix}D & 0_{1} \\ 0_{2} & 0_{3} \end{matrix}) \overline{V}^{T}V (\begin{matrix}\overline{D}^{T} & 0_{1} \\ 0_{2} & 0_{3} \end{matrix}) \overline{U}^{T}= U (\begin{matrix}D\overline{D}^{T} & 0_{1} \\ 0_{2} & 0_{3} \end{matrix}) \overline{U}^{T}.

Protože je matice D, a proto i matice D\overline{D}^{T} regulární stupně h(A) je h(A) = h(\overline{A}^{T}) = h(D\overline{D}^{T}).

Symetrickou úvahou pro součin A\overline{A}^{T} dostaneme rovnost h(A) = h(A\overline{A}^{T}). □

Příklad. (1) O reálné matici A = (\begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix}) podle předchozí poznámky bez počítání

víme, že h(AA^{T}) = h(A) = 1.

(2) Uvážíme-li matici A = (\begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix}) nad tělesem Z_{5}, pak AA^{T}= 0, tedy h(AA^{T}) =

0 ≠ 1 = h(A).

Poznámka 5.11. Nechť φ : W_{1} → W_{2} je homomorfismus, kde (W_{1}, g_{1}) a (W_{2}, g_{2}) jsou unitární prostory konečné dimenze nad týmž tělesem. Potom existují takové ortonormální báze B_{1} prostoru (W_{1}, g_{1}) a B_{2} prostoru (W_{2}, g_{2}), že [φ]_{B_{1} B_{2}} =

(\begin{matrix}D & 0_{1} \\ 0_{2} & 0_{3} \end{matrix}), kde D je regulární matice a 0_{i} nulové matice příslušného typu.

Důkaz. Zvolme nějakou ortonormální bázi M_{1} prostoru (W_{1}, g_{1}) a ortonormální bázi M_{2} prostoru (W_{2}, g_{2}), která existuje podle 3.8, a URV rozklad matice [φ]_{M_{1} M_{2}} =

U (\begin{matrix}D & 0_{1} \\ 0_{2} & 0_{3} \end{matrix}) \overline{V}^{T}. Vezmeme-li nyní bázi B_{1} prostoru W_{1}, pro niž [Id]_{B_{1} M_{1}} = V a

bázi B_{2} prostoru W_{2}, pro niž [Id]_{B_{2} M_{2}} = U, pak jde o ortonormální báze podle 4.17, proto [Id]_{M_{2} B_{2}} = \overline{U}^{T} a dostáváme

[φ]_{B_{1} B_{2}} = [Id]_{M_{2} B_{2}}[φ]_{M_{1} M_{2}}[Id]_{B_{1} M_{1}} = \overline{U}^{T}U (\begin{matrix}D & 0_{1} \\ 0_{2} & 0_{3} \end{matrix}) \overline{V}^{T}V = (\begin{matrix}D & 0_{1} \\ 0_{2} & 0_{3} \end{matrix}) .

□

Příklad. Máme-li homomorfismus φ : R^{4} → R^{3}, jehož matice vzhledem ke kano-

nickým bázím je [φ]_{K_{4} K_{3}} = (\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & −1 & 1 & 0 \end{matrix}) pak s využitím hodnot z předchozého

příkladu zjistíme, že pro matice přechodu

[Id]_{CK_{3}} = (\begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{2}{\sqrt{6}} & 0 & −\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} & −\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \end{matrix} ) a [Id]_{BK_{4}} = (\begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & −\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & −\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{2}{\sqrt{6}} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & 0 & −\frac{2}{\sqrt{6}} \end{matrix} ) je

[φ]_{BC} = [Id]_{K_{3} C}[φ]_{K_{4} K_{3}}[Id]_{BK_{4}} = [Id]_{CK_{3}}^{T}[φ]_{K_{4} K_{3}}[Id]_{BK_{4}} = (\begin{matrix}\frac{3}{\sqrt{2}} & \frac{3}{\sqrt{2}} & 0 & 0 \\ \begin{matrix}√ & \overline{3} \\ √ & \overline{2} \end{matrix} & −\begin{matrix}√ & \overline{3} \\ √ & \overline{2} \end{matrix} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}).

Hledané ortonormální báze najdeme přímo ve sloupečcích matic [Id]_{BK_{4}} a [Id]_{CK_{3}}, tedy B = ((\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, 0, \frac{1}{\sqrt{3}}), (\frac{1}{\sqrt{3}}, −\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, 0), (−\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}, 0), (\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, 0, −\frac{2}{\sqrt{6}})). Obdobně C = ((\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}), (\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, −\frac{1}{\sqrt{2}}), (\frac{1}{\sqrt{3}}, −\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})).

Věta 5.12. Mějme A = U_{1} (\begin{matrix}D_{1} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) \overline{V_{1}} ^{T}= U_{2} (\begin{matrix}D_{2} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) \overline{V_{2}} ^{T} dva URV rozklady

matice A nad R nebo C, kde D_{i} jsou regulární matice. Pak V_{1} (\begin{matrix}D_{1}^{−1} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) \overline{U_{1}} ^{T}=

V_{2} (\begin{matrix}D_{2}^{−1} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) \overline{U_{2}} ^{T}.

Důkaz. Otázku podobně jako v 5.11 převedeme na počítání s homomorfismy. Buď A matice typu (n, m). Nejprve vezměme homomorfismus φ : T^{m} → T^{n} s maticí [φ]_{K_{m}K_{n}} = A vzhledem ke kanonickým bázím a ortonormální báze B a B′ prostoru (T^{m}, ω) a ortonormální báze C a C′ prostoru (T^{n}, ω), pro něž platí, že [Id]_{BK_{m}} = V_{1}, [Id]_{B′K_{m}} = V_{2}, [Id]_{CK_{n}} = U_{1} a [Id]_{C′K_{n}} = U_{2}. Pak snadno spočítáme, že

[φ]_{BC} = (\begin{matrix}D_{1} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) , [φ]_{B′C′} = (\begin{matrix}D_{2} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix})

Nyní definujme homomorfismy ψ_{1}, ψ_{2} : T^{n} → T^{m} maticí

[ψ_{1}]_{CB} = (\begin{matrix}D_{1}^{−1} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) , [ψ_{2}]_{C′B′} = (\begin{matrix}D_{2}^{−1} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) .

Opět snadným výpočtem zjistíme, že

[ψ_{1}]_{K_{n}K_{m}} = V_{1} (\begin{matrix}D_{1}^{−1} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) \overline{U_{1}} ^{T} [ψ_{2}]_{K_{n}K_{m}} = V_{2} (\begin{matrix}D_{2}^{−1} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) \overline{U_{2}} ^{T},

proto stačí dokázat, že ψ_{1} = ψ_{2}.

Označme si B = (b_{1}, …, b_{m}) B′ = (b′_{1}, …, b′_{m}), C = (c_{1}, …, c_{m}) C′ = (c′_{1}, …, c′_{m}). Konečne položme s = h(A) a všimněme, si, že z matic [φ]_{BC}, [φ]_{B′C′}, [ψ]_{CB} a [ψ]_{C′B′} podle definice matice homomorfismu zjistíme, že

Kerφ = ⟨b_{s+1} , …, b_{m}⟩ = ⟨b′_{s+1} , …, b′_{m}⟩,

a dále Imψ_{1} = ⟨b_{1}, …, b_{s}⟩ a Imψ_{2} = ⟨b′_{1}, …, b′_{s}⟩. To znamená, že máme Im(ψ_{1}) = ⟨b_{1}, …, b_{s}⟩ = ⟨b_{s+1} , …, b_{m}⟩^{⊥} = ⟨c_{s+1} , …, c_{m}⟩^{⊥} = ⟨c_{1}, …, c_{s}⟩ = Im(ψ_{2}). Podobně z matic homomorfismů nahlédneme, že Imφ = ⟨c_{1}, …, c_{s}⟩ = ⟨c′_{1}, …, c′_{s}⟩ a že Kerψ_{1} = ⟨c_{s+1} , …, c_{n}⟩ a Kerψ_{2} = ⟨c′_{s+1} , …, c′_{n}⟩, proto i Ker(ψ_{1}) = Imφ^{⊥} = Ker(ψ_{2}).

Protože [ϕψ_{1}]_{CC} = (\begin{matrix}E & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) a [ϕψ_{2}]_{C′C′} = (\begin{matrix}E & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) máme ϕψ_{1} = Id = ϕψ_{2} na

Imφ a ϕψ_{1} = 0 = ϕψ_{2} na Imφ^{⊥}. Tudíž ϕ(ψ_{1} − ψ_{2}) = 0 a Im(ψ_{1} − ψ_{2}) ⊆ Kerϕ. Konečně protože Im(ψ_{1} − ψ_{2}) ⊆ b_{1}, …, b_{s}⟩ a Kerφ = ⟨b_{s+1} , …, b_{m}⟩, dostáváme, že Im(ψ_{1} − ψ_{2}) = {0}, tedy ψ_{1} = ψ_{2}. □

Definice. Buď A = U (\begin{matrix}D & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) \overline{V}^{T} URV rozklad reálné nebo komplexní matice A

typu (n, m), kde D je regulární. Jednoznačně určenou matici A^{†} = V (\begin{matrix}D^{−1} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) \overline{U}^{T}

typu (m, n) nazveme (Moore-Penroseovou) pseudoinverzní maticí k matici A.

Poznámka 5.13. Nechť A je reálná nebo komplexní matice. Pak platí:

(a) je-li A regulární, pak A^{†} = A^{−1}.

(b) AA^{†}A = A a A^{†}AA^{†} = A^{†},

(c) AA^{†} = (\overline{AA^{†}} )^{T} a A^{†}A = (\overline{A^{†}A} )^{T},

(d) \overline{A}^{T}= \overline{A}^{T}AA^{†} = A^{†}A\overline{A}^{T},

(e) \overline{A^{†}}^{T}= (\overline{A}^{T})^{†},

Důkaz. Uvažujme URV rozklad A = U (\begin{matrix}D & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) \overline{V}^{T}. Přímočarým výpočtem zjis-

tíme, že

AA^{†} = U (\begin{matrix}D & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) \overline{V}^{T}V (\begin{matrix}D^{−1} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) \overline{U}^{T}= U (\begin{matrix}E & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) \overline{U}^{T},

A^{†}A = V (\begin{matrix}D^{−1} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) \overline{U}^{T}U (\begin{matrix}D & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) \overline{V}^{T}= V (\begin{matrix}E & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) \overline{V}^{T}

proto

(a) AA^{†} = E pro regulární A,

(b) AA^{†}A = U (\begin{matrix}E & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) \overline{U}^{T}U (\begin{matrix}D & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) \overline{V}^{T}= A a obdobně A^{†}AA^{†} = A^{†}, (c) (\overline{AA^{†}} )^{T} = \overline{U (\begin{matrix}E & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) \overline{U}^{T}}^{T} = U (\begin{matrix}E & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) \overline{U}^{T} = AA^{†} a podobně (\overline{A^{†}A} )^{T} =

\overline{V (\begin{matrix}E & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) \overline{V}^{T}}^{T}= V (\begin{matrix}E & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) \overline{V}^{T}= A^{†}A,

(d) \overline{A}^{T}AA^{†} = V (\begin{matrix}\overline{D}^{T} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) \overline{U}^{T}U (\begin{matrix}E & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) \overline{U}^{T}= V (\begin{matrix}\overline{D}^{T} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) \overline{U}^{T}= \overline{A}^{T} a syme-

tricky A^{†}A\overline{A}^{T}= V (\begin{matrix}E & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) \overline{V}^{T}V (\begin{matrix}\overline{D}^{T} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) \overline{U}^{T}= V (\begin{matrix}\overline{D}^{T} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) \overline{U}^{T}= \overline{A}^{T}.
(e) Konečně \overline{A^{†}}^{T}= \overline{V (\begin{matrix}D^{−1} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) \overline{U}^{T}}^{T}= V (\begin{matrix}\overline{D^{T}}^{−1} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) \overline{U}^{T}= (\overline{A}^{T})^{†}
□

Příklad. Spočítejme pseudoinverzní matici k matici A = (\begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & −1 & 1 \end{matrix}). Uvědo-

mme si, že nám Poznámky 5.10 a 5.13(d) v tomto případě poskytují jinou metodu nalezení pseudoinverzní matice, než je URV rozklad. Protože matice A má hodnost dva, a tudíž má podle 5.10 i čtvercová matice A\overline{A}^{T} stupně dva hodnost dva, je A\overline{A}^{T} regulární matice. Jednoduchou úpravou druhé části 5.13(d) dostáváme, že

A^{†} = \overline{A}^{T}(A\overline{A}^{T})^{−1}. Snadno zjistíme, že (A\overline{A}^{T})^{−1} = (\begin{matrix}3 & 1 \\ 1 & 3 \end{matrix})^{−1} = (\begin{matrix}\frac{3}{8} & −\frac{1}{8} \\ −\frac{1}{8} & \frac{3}{8} \end{matrix}), a proto

A^{†} = (\begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & −1 \\ 1 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}\frac{3}{8} & −\frac{1}{8} \\ −\frac{1}{8} & \frac{3}{8} \end{matrix}) = (\frac{1}{2} −\frac{1}{2}_{\frac{1}{4}  \frac{1}{4}}^{\frac{1}{4}  \frac{1}{4}} ) .

Příklad. Nechť Ax^{T} = y^{T} je obecně nehomogenní soustava rovnic. Podle 5.13(d) je \overline{A}^{T}AA^{†}y^{T} = \overline{A}^{T}y^{T}. Pokud položíme x_{0}^{T} = A^{†}y^{T}, vidíme, že \overline{A}^{T}Ax_{0}^{T} = \overline{A}^{T}y^{T}, tedy A^{†}y^{T} je přibližným řešením soustavy Ax^{T} = y^{T} metodou nejmenších čtverců (pokud je soustava řešitelná, tak je to, jak víme, exaktní řešení dané soustavy).

Vezmeme-li například soustavu rovnic A (\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix}3 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}), kde A = (\begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & −1 \\ 1 & 1 \end{matrix}),

pak určíme A^{†} = (\frac{1}{4} −\frac{1}{2} \frac{1}{4}^{\frac{1}{4}  \frac{1}{2}  \frac{1}{4}}) pomocí předchozího příkladu a Poznámky 5.16.

Přibližné řešení soustavy metodou nejmenších čtverců je x_{0}^{T} = A^{†} (\begin{matrix}3 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix}2 \\ 0 \end{matrix}).

SVD rozklad

Poznámka 5.14. Nechť A je komplexní čtvercová matice. Pak \overline{A}^{T}A je normální matice a všechna vlastní čísla \overline{A}^{T}A jsou reálná a nezáporná.

Důkaz. Označme C = \overline{A}^{T}A, pak \overline{C}^{T} = C, proto \overline{C}^{T}· C = ·CC = C · \overline{C}^{T}, tedy C je normální. Díky 4.21 existuje unitární matice U, pro kterou \overline{U}^{T}CU je diagonální matice na jejíž diagonále jsou postupně všechna vlastní čísla λ_{i} matice C. Označímeli u_{1}, …, u_{n} sloupce matice U, pak λ_{i} = \overline{u_{i} A^{T}}A u_{i}^{T} = ω(u_{i} A^{T}, u_{i} A^{T}), tedy λ_{i} jsou nezáporná reálná čísla. □

Věta 5.15. Nechť T je reálné nebo komplexní těleso a A je matice typu (n, m) hodnosti k nad T. Potom nad tělesem T existují unitární matice U stupně n a V stupně m a diagonální matice D s kladnými reálnými hodnotami na diagonále stupně k tak, že

A = U (\begin{matrix}D & 0_{1} \\ 0_{2} & 0_{3} \end{matrix}) \overline{V}^{T},

kde 0_{1} je nulová matice typu (k, m − k), 0_{2} je nulová matice typu (n − k, k) a 0_{3} je nulová matice typu (n − k, m − k).

Důkaz. Podle 5.14 je matice \overline{A}^{T}A normální a všechna vlastní čísla \overline{A}^{T}A jsou nezáporná reálná. Věta 4.21 říká, že \overline{A}^{T}A je unitárně diagonalizovatelná, navíc, je-li A reálná, jde o reálnou unitárně diagonalizovatelnou matici. Tedy existuje taková unitární matice V = (v_{1}^{T}| … | v_{m}^{T}) stupně m nad tělesem T, že \overline{V}^{T}(\overline{A}^{T}A)V je diagonální matice, která má na diagonále po řádě právě vlastní čísla λ_{1}, …, λ_{m}, všechna nezáporná. Podle 5.10 je h(A) = h(\overline{A}^{T}A) = h(\overline{V}^{T}(\overline{A}^{T}A)V), proto právě k čísel λ_{i} je kladných, můžeme předpokládat, že jsou to právě vlastní čísla λ_{1}, …, λ_{k} a λ_{k+1} = ⋯ = λ_{m} = 0. Všimněme si, že pro všechna i = k + 1, …, m:

ω(v_{i} A^{T}, v_{i} A^{T}) = \overline{v_{i}}\overline{A}^{T}A v_{i}^{T} = 0 · \overline{v_{i}} v_{i}^{T} = 0,

tedy A v_{i}^{T} = 0^{T} v důsledku definice skalárního součinu. Dále položíme σ_{i} = \sqrt{λ_{i}} a u_{i}^{T} = \frac{A v _{i}^{T}}{σ_{i}} pro všechna i = 1, …, k. Potom

ω(u_{i}, u_{i}) = \frac{\overline{v_{i}}\overline{A}^{T}}{σ_{i}} \frac{A v_{i}^{T}}{σ_{i}} = \frac{\overline{v_{i}}(\overline{A}^{T}A) v_{i}^{T}}{λ_{i}} = \frac{λ_{i}\overline{v_{i}} v_{i}^{T}}{λ_{i}} = 1,

ω(u_{i}, u_{j}) = \frac{\overline{v_{i}}\overline{A}^{T}}{σ_{i}} \frac{A v_{j}^{T}}{σ_{j}} = \frac{\overline{v_{i}}(\overline{A}^{T}A) v_{j}^{T}}{σ_{i}σ_{j}} = \frac{λ_{j}\overline{v_{i}} v_{j}^{T}}{σ_{i}σ_{j}} = 0,

pro každé i, j = 1, …, k, i ≠ j. Tedy posloupnost vektorů u_{1} …, u_{k} je ortonormální v unitárním prostoru (T^{n}, ω) a můžeme ji podle Věty 3.8 doplnit na ortonormální bázi u_{1} …, u_{k}, u_{k+1} …, u_{n} prostoru (T^{n}, ω). Definujme nyní matici U = (u_{1}^{T}| … | u_{n}^{T}) a spočítejme hodnotu r_{ij} na i-tém řádku a j-tém sloupci matice R = \overline{U}^{T}AV:

r_{ij} = \overline{u_{i}}A v_{j}^{T} = \overline{u_{i}}σ_{j} u_{j} = σ_{j}ω(u_{i}, u_{j}) = \{ \begin{matrix}0 & pro i ≠ j, \\ σ_{j} & pro i = j, \end{matrix}

pro každé i = 1, …, n a každé j = 1, …, k. Konečně pro i = 1, …, n a j = k + 1, …, m

r_{ij} = \overline{u_{i}}A v_{j}^{T} = \overline{u_{i}} 0^{T}= 0.

Matice U a V jsou unitární, proto A = U\overline{U}^{T}AV\overline{V}^{T}= UR\overline{V}^{T}, kde R zjevně splňuje požadavky věty. □

Definice. Posloupnost matic U, (\begin{matrix}D & 0_{1} \\ 0_{2} & 0_{3} \end{matrix}) a \overline{V}^{T} z předchozí věty nazveme SVD

rozkladem (anglicky single value decomposition) reálné nebo komplexní matice A.

Kladným reálným číslům na diagonále matice D budeme říkat singulární hodnoty matice A.

Důsledek 5.16. Singulární hodnoty komplexní (reálné) matice A jsou určeny jednoznačně jako \sqrt{λ} pro všechna kladná vlastní čísla λ matice \overline{A}^{T}A nebo A\overline{A}^{T}.

Důsledek 5.17. Nechť φ : V → W je homomorfismus, kde (V, ω) a (W, ω) jsou unitární prostory nad týmž tělesem. Potom existují ortonormální báze B_{V} prostoru

(V, ω) a B_{W} prostoru (W, ω) tak, že [φ]_{B_{V} B_{W}} = (\begin{matrix}D & 0_{1} \\ 0_{2} & 0_{3} \end{matrix}), kde D je diagonální

matice s kladnou diagonálou a 0_{i} nulové matice příslušného typu.

Příklad. Najděme SVD rozklad reálné matice A = (\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & −1 & 1 & 0 \end{matrix}). Nejprve spo-

čítáme \overline{A}^{T}A = (\begin{matrix}6 & 0 & 3 & 3 \\ 0 & 2 & −1 & 1 \\ 3 & −1 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 1 & 2 \end{matrix}) a určíme tak spektrum σ(\overline{A}^{T}A) = \{0, 3, 9\}. Sin-

gulární hodnoty matice A jsou \sqrt{3}, 3. Snadno najdeme normalizované vlastní vektory příslušné vlastním číslům 3 a 9: v_{3} = (0, \frac{2}{\sqrt{6}}, −\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}) a v_{9} = (\frac{2}{\sqrt{6}}, 0, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}). Už jsme spočítali, že tuto dvojici můžeme doplnit dvojicí vektorů (−\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}, 0), (\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, 0, −\frac{2}{\sqrt{6}}) vlastních vzhledem k vlastnímu číslu 0 na ortonormální bázi celého (R^{4}, ω).

Nyní spočítáme u_{3} = \frac{1}{\sqrt{3}} v_{3} A^{T} = (\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, −\frac{1}{\sqrt{2}}) a u_{9} = \frac{1}{3} v_{9} A^{T} = (\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}). Vektor (\frac{1}{\sqrt{3}}, −\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}) doplňuje dvojici u_{3}, u_{9} na ortonormální bázi R^{3}. Nyní už

můžeme napsat SVD rozklad matice A = (\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & −1 & 1 & 0 \end{matrix}) =

= (\begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ 0 & \frac{2}{\sqrt{6}} & −\frac{1}{\sqrt{3}} \\ −\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \end{matrix} ) (\begin{matrix}\sqrt{3} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}0 & \frac{2}{\sqrt{6}} & −\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{2}{\sqrt{6}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ −\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{2}{\sqrt{6}} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & 0 & −\frac{2}{\sqrt{6}} \end{matrix} ) .

Příklad. Vyhledávač.

Mějme systém n výrazů a m dokumentů, v nichž budeme chtít vyhledávat výrazy. Na i-té souřadnici vektoru c_{j} budeme mít zaznamenán počet výskytů i-tého slova v j-tém dokumentu. Předpokládejme, že každý dokument obsahuje alespoň jeden výraz, tedy c_{j} ≠ 0. Normalizujeme-li tento vektor d_{j} = \frac{c_{j}}{∥c_{j}∥_{ω}} , budeme mít na i-té souřadnici vektoru d_{j} podíl i-tého slova v j-tém dokumentu vztažený k tomuto dokumentu. Položme A = (d_{1}^{T}| … |d_{m}^{T}).

Zadáme-li otázku sestávající z jisté množiny vyšetřovaných výrazů, budeme se ptát na relevanci jednotlivých dokumentů vzhledem k této otázce. K tomu účelu vytvoříme vektor q, který má na i-té souřadnici hodnotu 1, pokud otázka obsahuje i-tý výraz a všude jinde budou nuly. Uvědomme si, jaký význam má vektor (x_{1}, …, x_{m}) = \frac{qA}{∥q∥_{ω}} . Podle 3.4(a) qd_{i}^{T} = ω(q, d_{i}) ≤ ∥q∥_{ω}∥d_{i}∥_{ω} = ∥q∥_{ω}, proto x_{i} ≤ 1. Zřejmě x_{i} = qd_{i}^{T} = 0 právě tehdy, když se žádný z dotazovaných výrazů nevyskytuje v i-tém dokumentu.

Pomocí SVD faktorizace můžeme odstranit ”šumy” metody a zároveň zjednodušit výpočet. Nechť U = (u_{1}^{T}| … | u_{n}^{T}) a V = (v_{1}^{T}| … | v_{m}^{T}) a A = URV^{T} je SVD rozklad se singulárními hodnotami σ_{1} ≥ ⋯ ≥ σ_{r}, kde r = h(A). Snadno spočítáme, že A = ∑_{i=1}^{r} σ_{i} u_{i}^{T}v_{i} (kde u_{i}^{T}v_{i} je matice typu (n, m)). Předpokládejme, že singulární hodnoty σ_{k+1} , …, σ_{r} jsou výrazně menší než singulární hodnoty σ_{1}, …, σ_{k}. Vezměme místo matice A = ∑_{i=1}^{r} σ_{i} u_{i}^{T}v_{i} matici A_{k} = ∑_{i=1}^{k} σ_{i} u_{i}^{T}v_{i}. Dále vezměme U_{k} = (u_{1}^{T}| … | u_{k}^{T}), V_{k} = (v_{1}^{T}| … | v_{k}^{T}) a D_{k} buď diagonální čtvercová matice stupně k, která má na diagonále po řadě hodnoty σ_{1}, …, σ_{k}. Tedy platí: A_{k} = U_{k}D_{k}V_{k}^{T}. Nahraďme původní hodnoty x_{i} hodnotami

ξ_{i} = \frac{qA_{k}e_{i}^{T}}{∥q∥_{ω}∥e_{i}A_{k}^{T}∥_{ω}} .

Konečně položme S_{k} = D_{k}V_{k}^{T} = (s_{1}| … |s_{k}). Potom A_{k}e_{i}^{T} = U_{k}s_{i}^{T}. Uvědomíme-li si, že zobrazení s → sU^{T} je unitární pro libovolnou matici U typu Q, pak ∥s∥_{ω} = ∥sU^{T}∥_{ω}, a proto

∥e_{i}A_{k}^{T}∥_{ω} = ∥s_{i}U_{k}^{T}∥_{ω} = ∥s_{i}∥_{ω}.

Tedy k určení relevance i-tého dokumentu stačí spočítat

ξ_{i} = \frac{qU_{k}s_{i}^{T}}{∥q∥_{ω}∥s_{i}∥_{ω}}

a k tomu nám stačí předem znát (a pro daný systém dokumentů jednou spočítat) matice S_{k} a U_{k}. Jeli k výrazně menší než r (v mnoha konkrétních situacích to opravdu nastává) je výpočet hodnot ξ_{i} výrazně jednodušší než výpočet x_{i}.

Choleskyho rozklad symetrické matice

Definice. Řekneme, že symetrická reálná čtvercová matice A stupně n je pozitivně definitní, jestliže v A v^{T}> 0 pro každý nenulový vektor v ∈ R^{n}.

Poznámka 5.18. Buď A symetrická reálná čtvercová matice stupně n. Pak je následující ekvivalentní:

(1) A je pozitivně definitní,

(2) Zobrazení f : R^{n} × R^{n} → R dané předpisem f(u, v) = u A v^{T} je pozitivně definitní symetrická bilineární forma,

(3) existuje regulární matice P tak, že A = P^{T}P.

Důkaz. (1)⇒(2) Protože je A symetrická čtvercová matice, zobrazení f je podle 2.6 symetrická bilineární forma s maticí vzhledem ke kanonické bázi A, navíc, je-li A pozitivně definitní, pak je díky 3.2 f pozitivně definitní.

(2)⇒(3) Protože je A matice f vzhledem ke kanonické bázi a díky 2.23 existuje báze B vůči níž má f jednotkovou matici, stačí položit P = [Id]_{K_{n}B} a využít Větu 2.3, podle které A = [f]_{K_{n}} = [Id]_{K_{n}B}^{T}[f]_{K_{n}}[Id]_{K_{n}B} = P^{T}EP = P^{T}P.

(3)⇒(1) Vezmeme-li nenulový vektor v ∈ R^{n}, pak v P^{T} je pro regulární matici P opět nenulový, a proto v A v^{T}= v P^{T}P v^{T}= ω(v P^{T}, v P^{T}) > 0 □

Příklad. Zjistíme, zda je reálná matice A = (\begin{matrix}1 & −1 & 1 \\ −1 & 5 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{matrix}) pozitivně definitní.

Budeme-li ji chápat jako matici reálné bilineární f formy vzhledem ke kanonické bázi, stačí podle Poznámky 5.18 ověřit, zda je tato forma pozitivně definitní. Tedy potřebujeme zjistit, zda matice formy f vzhledem k polární bázi obsahuje na diagonále samá kladná čísla. Budeme tedy symetricky upravovat matici A:

(\begin{matrix}1 & −1 & 1 \\ −1 & 5 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{matrix}) ∼ (\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \end{matrix}) ∼ (\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) .

Vidíme, že matice má na diagonále pouze kladná čísla, tudíž je pozitivně definitní.

Věta 5.19. Je-li A pozitivně definitní symetrická reálná čtvercová matice stupně n, pak existuje právě jedna taková reálná horní trojúhelníková matice R stupně n s kladnými hodnotami na diagonále, že A = R^{T}R.

Důkaz. Vezměme regulární matici P, pro níž A = P^{T}P, kterou zaručuje Poznámka 5.18. Podle 5.7 existuje QR rozklad matice P = QR, proto A = P^{T}P = R^{T}Q^{T}QR = R^{T}R. Matice R je podle definice QR rozkladu horní trojúhelníková s kladnými čísly na diagonále.

Zbývá nám ověřit jednoznačnost. Nechť tedy A = R^{T}R = S^{T}S pro dvě horní trojúhelníkové matice R = (r_{ij}) a S = (s_{ij}) takové, že r_{ii} > 0 a s_{ii} > 0. Nejprve si všimněme, že diagonála matice SR^{−1} je opět kladná. Zřejmě (RS^{−1})^{T} = (S^{T})^{−1}R^{T} = SR^{−1}. Matice R a S jsou obě typu U, proto i součin RS^{−1} a SR^{−1} jsou podle 5.1 typu U. To ovšem znamená, že jsou matice RS^{−1} a SR^{−1} horní a zároveň dolní trojúhelníkové, tedy diagonální. Dále (SR^{−1})^{−1} = RS^{−1} = (RS^{−1})^{T} = SR^{−1}, tudíž SR^{−1} je diagonální matice s kladnou diagonálou inverzní sama k sobě, tj. SR^{−1} = E, a proto S = R. □

Definice. Nechť A je pozitivně definitní symetrická reálná čtvercová matice. Potom jednoznačně určenému rozkladu A = R^{T}R, kde R je reálná horní trojúhelníková matice s kladnými čísly na diagonále, budeme říkat Choleskyho rozklad.

Příklad. Spočítejme Choleskyho rozklad matice A = (\begin{matrix}1 & −1 & 1 \\ −1 & 5 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{matrix}). Budeme-li

počítat v souladu s důkazem 5.19, měli bychom nejprve najít regulární matici P tak, aby P^{T}P = A, a potom bychom hledali QR rozklad matice P. Jednodušší ovšem bude, když se nám podaří rovnou určit matici P jako horní trojúhelníkovou s kladnými čísly na digonále. Upravujme opět matici A symetrickými elementárními úpravami na řádky a na sloupce tak, abychom dostali jednotkovou matici (tj. kromě odčítání řádků budeme řádky a zároveň odpovídající sloupce násobit také skalárem) a úpravy inverzní k provedeným úpravám na řádky si zapamatujeme

(\begin{matrix}1 & −1 & 1 \\ −1 & 5 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{matrix}) ∼ (\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \end{matrix}) ∼ (\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{matrix}) ∼ (\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) .

Inverzní úpravy k provedeným jsou:

R^{T}= (\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ −1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ −1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix})

Zřejmě (R^{T})^{−1}AR^{−1} = E, tedy R^{T}R = A a matice R splňuje podmínky Choles-

kyho rozkladu. Tedy A = (\begin{matrix}1 & −1 & 1 \\ −1 & 5 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ −1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & −1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) .

6. Jordanův kanonický tvar matice

Je-li f endomorfismus na prostoru V, bude f^{n} = f … f značit složení n endomorfismů f pro každé n ≥ 1 a f^{0} = Id. Je-li B nějaká množina, pak zápisem f[B] budeme rozumět množinu {f(b) | b ∈ B}.

Poznámka 6.1. Nechť f je endomorfismus na komplexním vektorovém prostoru V konečné dimenze n. Potom Imf^{k} ⊇ Imf^{k+1} a Kerf^{k} ⊆ Kerf^{k+1} pro každé k ≥ 1 a dále

(a) Imf^{m} = Imf^{n} pro všechna m ≥ n,

(b) Kerf^{m} = Kerf^{n} pro všechna m ≥ n,
(c) V = Imf^{n} ⊕ Kerf^{n}.

Důkaz. Nejprve si všimněme, že f^{k+1} (V) = f^{k}(f(V)) ⊆ f^{k}(V), a jestliže f^{k}(v) = 0, pak f^{k+1} (v) = f(f^{k}(v)) = f(0) = 0, proto Imf^{k} ⊇ Imf^{k+1} a Kerf^{k} ⊆ Kerf^{k+1} .

(a) Protože dim(Imf^{k}) < dim(Imf^{k+1} ), jakmile Imf^{k} ≠ Imf^{k+1} , existuje k, pro které Imf^{k} = Imf^{k+1} . Kdyby k > n měli bychom n = dim(V) > dim(Imf) > dim(Imf^{2}) > ⋯ > dim(Imf^{n+1} ) > dim(Imf^{n+1} ) ≥ 0, což není možné, proto Imf^{n} = Imf^{n+1} = Imf^{n+2} = . . ..

(b) Dostáváme z (a), inkluze Kerf^{k} ⊆ Kerf^{k+1} a z dokázaného faktu, že dim(Kerf^{k}) = n − dim(Imf^{k}).

(c) Zvolme v ∈ V. Protože Imf^{2n} = Imf^{n}, existuje vektor w ∈ V, pro který f^{2n}(w) = f^{n}(v). Nyní f^{n}(v −f^{n}(w)) = f^{n}(v) − f^{2n}(w) = 0, proto v −f^{n}(w) ∈ Kerf^{n} a v = f^{n}(w) + (v −f^{n}(w)) ∈ Imf^{n} ∨ Kerf^{n}. Tedy V = Imf^{n} ∨ Kerf^{n}. Konečně protože n = dim(V) = dim(Imf^{n}) + dim(Kerf^{n}). □

Definice. Buď φ endomorfismus na vektorovém prostoru V, řekneme, že podprostor U prostoru V je invariantním podprostorem endomorfismu φ, pokud φ(U) ⊆ U.

Příklad. (1) Triviální podprostory {0} a V prostoru V jsou invariantními podprostory libovolného endomorfismu na V.

(2) Mějme podprostor U = ⟨v_{1}, …, v_{k}⟩ prostoru V generovaný vlastními vektory endomorfimsu φ na V. Pak U je invariantním podprostorem endomorfismu φ.

Je-li φ endomorfimus na vektorovém prostoru V a U je jeho invariantním podprostor, pak restrikcí endomorfismu φ na invariantním podprostor U budeme rozumět endomorfismus φ_{U} na U daný předpisem φ_{U}(u) = φ(u) pro každé u ∈ U.

Věta 6.2. Nechť φ je endomorfismus na komplexním vektorovém prostoru konečné dimenze n, λ ∈ σ(φ) a f = φ − λ Id. Pak Imf^{k} a Kerf^{k} jsou invariantní podprostory endomorfismu φ pro každé k ≥ 1.

Důkaz. Je-li u ∈ Imf^{k}, pak φ(u) = f(u) + λ u. Protože λ u i f(u) leží v Imf^{k}, leží také φ(u) v Imf^{k} a prostor je invariantní.

Nechť u ∈ Kerf^{k}. Ptáme se, zda φ(u) ∈ Kerf^{k}. Platí f^{k}(φ(u)) = f(f^{k}(u)) + λf^{k}(u) = 0 a prostor Kerf^{k} je tedy invariantní. □

Poznámka 6.3. Buď f endomorfismus na vektorovém prostoru konečné dimenze. Je-li r > 1 a B lineárně nezávislá podmnožina nějakého doplňku Kerf^{r−1} v Kerf^{r}, pak je f[B] lineárně nezávislá podmnožina nějakého doplňku Kerf^{r−2} v Kerf^{r−1}.

Důkaz. Nechť B = {u_{1}, …, u_{k}}. Máme-li lineární kombinaci ∑_{j=1}^{k} α_{j}f(u_{j}) = 0,

pak také f (∑_{j=1}^{k} α_{j} u_{j}) = 0. Protože ⟨B⟩ má nulový průnik s Kerf^{r−1}, a tedy

také s Kerf, platí ∑_{j=1}^{k} α_{j} u_{j} = 0. Všechny koeficienty jsou tedy nulové, neboť B je lineárně nezávislá množina. Vztah f[B] ⊂ Kerf^{r−1} plyne z toho, že pro každé u ∈ B platí 0 = f^{r}(u) = f^{r−1}(f(u)). Konečně, pokud f^{r−2} (∑_{j=1}^{k} α_{j}f(u_{j})) = 0,

pak f^{r−1} (∑_{j=1}^{k} α_{j} u_{j}) = 0, a tedy jsou jako výše všechny koeficienty nulové, díky

⟨B⟩ ⋂ Kerf^{r−1} = {0}. □

Věta 6.4. Buď φ endomorfismus na komplexním vektorovém prostoru V konečné dimenze n, λ ∈ σ(φ) a nechť platí, že Ker(φ − λ Id)^{k} = V pro nějaké k > 0. Potom σ(φ) = {λ} a existuje báze B prostoru V a taková čísla ϵ_{1}, …, ϵ_{n−1} ∈ {0, 1}, že

[φ]_{B} = (\begin{matrix}λ & ϵ_{1} & 0 & … & 0 \\ 0 & λ & ϵ_{2} & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & … & λ & ϵ_{n−1} \\ 0 & 0 & … & 0 & λ \end{matrix})

Důkaz. Položme f = φ − λ Id. Nechť s ≥ 0 je takové číslo, pro které Kerf^{s} = V a Kerf^{s−1} ≠ V. Budeme postupně konstruovat bázi s požadovanými vlastnostmi.

Nejprve zvolme bázi B_{s} nějakého doplňku podprostoru Kerf^{s−1} v prostoru Kerf^{s} = V a označíme ji B_{s}. Dále postupně definujeme množiny B_{r}, r = 1, …, s− 1, tak, aby B_{r} byla báze nějakého doplňku podprostoru Kerf^{r−1} v prostoru Kerf^{r} a současně f[B_{r+1} ] ⊆ B_{r}. To je možné díky Větě 6.2. Dostaneme tak bázi B = ⋃_{i=1}^{s} B_{i} celého prostoru V. Vektory báze lze seřadit tak, aby pro libovolné po sobě následující vektory v_{i−1}, v_{i} platilo

f(v_{i}) = \{ \begin{matrix}0 & nebo \\ v_{i−1}, \end{matrix} a tedy φ(v_{i}) = \{ \begin{matrix}λ v_{i} nebo \\ λ v_{i} + v_{i−1} . \end{matrix}

To ovšem znamená, že má matice endomorfismu φ vzhledem k bázi B právě požadovaný tvar. □

Definice. Mějme čtvercové komplexní matice

J_{i} = (\begin{matrix}λ_{i} & 1 & 0 & … & 0 \\ 0 & λ_{i} & 1 & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & … & λ_{i} & 1 \\ 0 & 0 & … & 0 & λ_{i} \end{matrix}) , J = (\begin{matrix}J_{1} & 0 & … & 0 \\ 0 & J_{2} & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & … & J_{k} \end{matrix} ) .

Potom matici J_{i}, která má na diagonále komplexní číslo λ_{i}, nad diagonálou, tj. na pozicích (i, i + 1), jedničku a všude jinde nuly, nazveme Jordanovou buňkou a matici J obsahující v blocích na diagonále Jordanovy buňky J_{i} nazveme Jordanovou maticí.

Poznámka 6.5. Nechť J je Jordanova matice podobná matici A, buď λ ∈ σ(A). Označíme-li F = A − λE, pak h(F^{s−1}) + h(F^{s+1} ) − 2h(F^{s}) udává právě počet Jordanových buněk matice stupně s s hodnotou λ na diagonále v matici J.

Důkaz. Protože jsou matice A a J podobné, existuje regulární matice P, pro níž J = P^{−1}AP. Snadno nahlédneme, že J − λE = P^{−1}(A − λE)P a (J − λE)^{s} = P^{−1}(A − λE)^{s}P pro každé s, proto h((J − λE)^{s}) = h((A − λE)^{s}) a můžeme tedy bez újmy na obecnosti počítat s maticí F = J − λE.

Je-li J_{i} Jordanova buňka stupně s matice J a σ(J_{i}) = {λ}, potom a h((J_{i} − λE)^{s−k}) = k pro všechna přirozená k < s a (J_{i} − λE)^{s} = 0. Jestliže λ ∉ σ(J_{i}), pak h((J_{i}−λE)^{k}) = s pro všechna k. Odtud vidíme, že h((J_{i}−λE)^{s−1})−h((J_{i}−λE)^{s−1}) je to rovno jedné, právě když σ(J_{i}) = {λ} a stupeň J_{i} je aspoň s, a je to rovno nule jindy. Nyní stačí poznamenat, že rozdíl hodností h(F^{s−1})−h(F^{s}) udává právě počet Jordanových buněk stupně aspoň s v matice J, proto h(F^{s−1}) − h(F^{s}) − (h(F^{s}) − h(F^{s+1} )) = h(F^{s−1})+h(F^{s+1} )−2h(F^{s}) je počet Jordanových buněk matice stupně právě s s vlastním číslam λ. □

Díky 6.4 a předchozímu pozorování dostáváme

Důsledek 6.6. Nechť φ je endomorfismus na komplexním vektorovém prostoru V konečné dimenze, λ ∈ σ(φ) a nechť platí, že Ker(φ − λ Id)^{k} = V pro nějaké k > 0. Potom existuje báze B prostoru V taková, že je [φ]_{B} Jordanova matice. Tato matice je určena jednoznačně až na pořadí Jordanových buněk

Věta 6.7 (Jordanova věta). Buď φ endomorfismus na konečně dimenzionálním komplexním vektorovém prostoru V. Pak existuje báze B prostoru V, pro níž je [φ]_{B} Jordanovou maticí. Tato matice je určena jednoznačně až na pořadí Jordanových buněk.

Důkaz. Položme n = dim(V) a předpokládejme, že n > 0, v opačném případě je tvrzení triviální. Nejprve rozložíme vektorový prostor V na direktní součet invariantních podprostorů, na nichž bude restrikce endomorfismu φ splňovat předpoklady Věty 6.4.

Podle 4.20 existuje vlastní číslo λ_{1} endomorfismu φ. Definujme f_{1} = φ − λ_{1} Id. Potom 6.2 zaručuje, že Imf_{1}^{n} a Kerf_{1}^{n} jsou invariantní podprostory endomorfismu φ a podle 6.1(c) máme V = Imf_{1}^{n} ⊕ Kerf_{1}^{n}. Označme nyní ψ_{1} restrikci endomorfismu φ na invariantní podprostor Imf_{1}^{n}. Pokud Imf_{1}^{n} ≠ {0} použijeme opět Poznámku 4.20, podle níž existuje vlastní číslo λ_{2} endomorfismu ψ_{1} (a tedy i endomorfismu φ). Označme nyní f_{2} = ψ_{1} − λ_{2} Id. Díky 6.1(c) a 6.2 dostáváme rozklad Imf_{1}^{n} = Imf_{2}^{n} ⊕ Kerf_{2}^{n} podprostoru Imf_{1} na dva invariantní podprostory. Dále definujme restrikci ψ_{2} endomorfismu ψ_{1} (a zároveň φ) na invariantní podprostor Imf_{2}^{n}a je-li tento prostor nenulový dostáváme vlastní číslo λ_{3} endomorfismu ψ_{2} a φ. Opět definujeme f_{3} = ψ_{2} − λ_{3} Id a dostáváme invariantní (vzhledem k φ i ψ_{2}) rozklad Imf_{2}^{n} = Imf_{3}^{n} ⊕ Kerf_{3}^{n} atd.

Všimněme si, že v každém kroku je dim(Kerf_{i}^{n}) ≥ 1, protože podprostor Kerf_{i}^{n} obsahuje vlastní vektory příslušné vlastnímu číslu λ_{i}. Proto po konečně mnoha krocích nastane Imf_{k}^{n} = {0} a získáme tak rozklad

V = Kerf_{1}^{n} ⊕ Kerf_{2}^{n} ⊕ ⋯ ⊕ Kerf_{k}^{n}.

Definujeme-li nyní endomorfismus φ_{i} jako restrikci endomorfismu φ na invariantní podprostor Kerf_{i}^{n}, pak φ_{i} splňuje předpoklady 6.6. Tudíž existují báze B_{i} podprostorů Kerf_{i}^{n} tak, že [φ_{i}]_{B_{i}} je Jordanova matice. Konečně položme B = ⋃_{i=1}^{k} B_{i}. Zřejmě je B báze celého V a navíc

[φ]_{B} = (\begin{matrix}[φ_{1}]_{B_{1}} & 0 & … & 0 \\ 0 & [φ_{2}]_{B_{2}} & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & … & [φ_{k}]_{B_{k}} \end{matrix}) ,

tedy [φ]_{B} je opět Jordanova matice.

Zbývá ověřit jednoznačnost nalezené Jordanovy matice. Nechť tedy B a C jsou dvě báze takové, že [φ]_{B} a [φ]_{C} jsou Jordanovy matice. Potom jsou matice [φ]_{B} a [φ]_{C} podobné a závěr plyne z 6.5. □

Příklad. Mějme endomorfismus φ na C^{3} s maticí [φ]_{K_{3}} = (\begin{matrix}2 & −2 & −1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \end{matrix}) vzhle-

dem ke kanonické bázi K_{3}. Najdeme bázi, vůči níž bude mít φ Jordanovu matici. Nejprve musíme určit spektrum σ(φ) = {3}. Definujme f = φ − 3 Id. Určíme jádra Kerf a Kerf^{2} (Kerf^{3} už nutně musí být celý prostor C^{3}). Nejprve spočítáme matice

[f]_{K_{3}} = [φ]_{K_{3}} − 3E = (\begin{matrix}−1 & −2 & −1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix}) , [f^{2}]_{K_{3}} = [f]_{K_{3}}^{2} = (\begin{matrix}−2 & 0 & −2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \end{matrix}) .

Dále najdeme řešení homogenních soustav rovnic s danými maticemi, což budou právě jádra endomorfismů f a f^{2}. Tedy Kerf^{3} = C^{3}, Kerf^{2} = ⟨(0, 1, 0), (1, 0, −1)⟩ a Kerf = ⟨(1, 0, −1)⟩. Zvolíme vektor doplňku Kerf^{2} v prostoru Kerf^{3}, například (1, 0, 0). Konečně spočítáme vektory f(1, 0, 0) = (−1, 1, 1) a f^{2}(1, 0, 0) = (−2, 0, 2)

a položíme B = ((−2, 0, 2), (−1, 1, 1), (1, 0, 0)). Potom [φ]_{B} = (\begin{matrix}3 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix}).

Uvážíme-li, že čtvercovou komplexní matici můžeme chápat jako matici endomorfismu vzhledem ke kanonické bázi prostoru C^{n}, dostáváme

Definice. Jordanovu matici podobnou komplexní čtvercové matici A nazveme Jordanovým kanonickým tvarem matice A.

Důsledek 6.8. (1) Každá kompexní čtvercová matice má Jordanův kanonickým tvar, který je určen jednozmačně až na pořadí buněk.

(2) Dvě kompexní čtvercové matice jsou podobné, právě když mají až na pořadí Jordanových buněk stejný Jordanův kanonický tvar.

Všimněme si, že na diagonále Jordanova kanonického tvaru matice se vyskytují všechna vlastní čísla, každé tolikrát, jaká je jeho násobnost v charakteristickém polynomu.

Příklad. Spočítáme Jordanův kanonický tvar komplexní matice A = (\begin{matrix}2 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 2 \end{matrix})

Okamžitě vidíme, že σ(A) = {2}. Snadno také zjistíme, že matice A − 2E má hodnost 2, proto existuje až na násobek jen jeden vlastní vektor matice A. Je-li A podobná Jordanově matici J, pak P^{−1}AP = J, proto i P^{−1}(A − 2E)P = J − 2E pro nějakou regulární matici P. Tedy hodnosti matic A − 2E a J − 2E jsou stejné. To ovšem znamená, že ze tří možných Jordanových matic

(\begin{matrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix}) , (\begin{matrix}2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix}) , (\begin{matrix}2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix})

je matici A podobná právě poslední z nich.

Příklad. Komplexní matice (\begin{matrix}5 & 3 \\ −3 & −1 \end{matrix}) a (\begin{matrix}2 & 0 \\ 9 & 2 \end{matrix}) mají obě stejný Jordanův ka-

nonický tvar (\begin{matrix}2 & 1 \\ 0 & 2 \end{matrix}), a proto jsou podobné.

Připomeňme přirozenou definici k-té mocniny čtvercové matice A^{k} = \overbrace{AA … A}^{k-krát}.

Příklad. Jordanova věta nám může pomoct při počítání mocnin matic. Nejdříve si uvědomme, že mocninou libovolné Jordanovy matice J skládající se z Jordanových buněk J_{1}, …, J_{s} je

J^{k} = (\begin{matrix}J_{1} & 0 & … & 0 \\ 0 & J_{2} & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & … & J_{s} \end{matrix} )^{k} = (\begin{matrix}J_{1}^{k} & 0 & … & 0 \\ 0 & J_{2}^{k} & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & … & J_{s}^{k} \end{matrix} )

a mocninu Jordanovy buňky dostaneme jako

J_{i}^{k} = (\begin{matrix}λ_{i} & 1 & 0 & … & 0 \\ 0 & λ_{i} & 1 & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & … & λ_{i} & 1 \\ 0 & 0 & … & 0 & λ_{i} \end{matrix})^{k} = (\begin{matrix}λ_{i}^{k} & \binom{k}{1}λ_{i}^{k−1} & \binom{k}{2}λ_{i}^{k−2} & … & \binom{k}{n−1}λ_{i}^{k−n+1} \\ 0 & λ_{i}^{k} & \binom{k}{1}λ_{i}^{k−1} & … & \binom{k}{n−2}λ_{i}^{k−n+2} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & … & λ_{i}^{k} & \binom{k}{1}λ_{i}^{k−1} \\ 0 & 0 & … & 0 & λ_{i}^{k} \end{matrix} ) ,

kde definitoricky položíme \binom{k}{r}λ_{i}^{k−r} = 0 pro r > k. Dále z 6.8 víme, že pro každou čtvercovou komplexní matici A existují regulární matice P a Jordanova matice J tak, že A = PJP^{−1}, proto A^{k} = PJP^{−1}PJP^{−1} … PJP^{−1} = PJ^{k}P^{−1}.

Popsaným postupem najdeme mocnimu A^{45} pro matici A = \frac{1}{3} (\begin{matrix}2 & −2 & −1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \end{matrix}).

Už jsme spočítali (viz příklad po 6.7), že

3A = (\begin{matrix}2 & −2 & −1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix}−2 & −1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}3 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix}) (\begin{matrix}−2 & −1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \end{matrix})^{−1} .

Proto

A^{45} = \frac{1}{3^{45}} (\begin{matrix}−2 & −1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}3^{45} & 45 · 3^{44} & 990 · 3^{43} \\ 0 & 3^{45} & 45 · 3^{44} \\ 0 & 0 & 3^{45} \end{matrix} ) (\begin{matrix}−2 & −1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \end{matrix})^{−1} =

= (\begin{matrix}−2 & −1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & 15 & 110 \\ 0 & 1 & 15 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}0 & −\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix}−234 & −30 & −235 \\ 15 & 1 & 15 \\ 235 & 30 & 236 \end{matrix}) .

Definice. Spektrálním poloměrem komplexní čtvercové matice A nazveme reálné číslo ρ(A) = max{|λ| ∈ R | λ ∈ σ(A)}.

Poznámka 6.9. Je-li A komplexní čtvercová matice a k přirozené číslo, pak (a) σ(A^{k}) = {λ_{1}^{k}, …, λ_{s}^{k}}, jestliže σ(A) = {λ_{1}, …, λ_{s}},

(b) ρ(A^{k}) = ρ(A)^{k},

(c) ρ(A) = 0, právě když existuje k > 0 tak, že A^{k} = 0,

(d) ρ(a · A) = |a|ρ(A) pro každé a ∈ C.

Důkaz. Označme J Jordanův kanonický tvar matice A.

(a) Stačí spočítat J^{k} a uvážit, že σ(A^{k}) = σ(J^{k}).

(b) Plyne okamžitě z (a).

(c) Protože ρ(A) = 0, právě když σ(A) = {0}, tedy Jordanův kanonický tvar J matice A má na diagonále samé 0. Proto existuje k > 0 tak, že J^{k} = 0, a tedy A^{k} = 0.

(d) Je-li σ(A) = {λ_{1}, …, λ_{s}}, stačí si všimnout, že σ(aA) = {aλ_{1}, …, aλ_{s}}. □

Příklad. Snado spočítáme, že pro komplexní matici M = (\begin{matrix}−2 & 3 & 2 \\ −1 & 1 & 1 \\ −1 & 2 & 1 \end{matrix}) je spek-

trum σ(M) = {0}, proto ρ(M) = 0 a M^{k} = 0 pro vhodné přirozené číslo k (zřejmě už M^{3} = 0).

Budeme psát A = lim_{n→∞} A_{n}, kde A = (a_{ij}) a A_{n} = (a_{nij}) jsou reálné nebo komplexní matice stejného typu, pokud a_{ij} = lim_{n→∞} a_{nij} pro všechna i, j. Pokud všechny posloupnosti {a_{nij}}_{n} konvergují, říkáme, že posloupnost matic {A_{n}}_{n} konverguje.

Poznámka 6.10. Nechť je A komplexní čtvercová matice a ρ(A) < 1.

(a) lim_{n→∞} A^{n} = 0,

(b) lim_{n→∞}(E + A + A^{2} + ⋯ + A^{n}) = (E − A)^{−1}.

Důkaz. Buď J = (\begin{matrix}J_{1} & 0 & … & 0 \\ 0 & J_{2} & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & … & J_{s} \end{matrix} ) Jordanův kanonický tvar matice A, tedy

existuje regulární matice P, pro níž A = PJP^{−1}.

(a) Protože

A^{n} = PJ^{n}P^{−1} = P (\begin{matrix}J_{1}^{n} & 0 & … & 0 \\ 0 & J_{2}^{n} & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & … & J_{s}^{n} \end{matrix} ) P^{−1}

stačí dokázat, že lim_{n→∞} J^{n} = 0. Připomeňme, že

J_{i}^{n} = (\begin{matrix}λ_{i} & 1 & 0 & … & 0 \\ 0 & λ_{i} & 1 & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & … & λ_{i} & 1 \\ 0 & 0 & … & 0 & λ_{i} \end{matrix})^{n} = (\begin{matrix}λ_{i}^{n} & \binom{n}{1}λ_{i}^{n−1} & \binom{n}{2}λ_{i}^{n−2} & … & \binom{n}{s−1}λ_{i}^{n−s+1} \\ 0 & λ_{i}^{n} & \binom{n}{1}λ_{i}^{n−1} & … & \binom{n}{s−2}λ_{i}^{n−s+2} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & … & λ_{i}^{n} & \binom{n}{1}λ_{i}^{n−1} \\ 0 & 0 & … & 0 & λ_{i}^{n} \end{matrix} ) ,

kde s je stupeň matice J_{i}. Protože je |λ_{i}| < 0, dostáváme, že lim_{n→∞} λ_{i}^{n} = 0 a

lim_{n→∞} \binom{n}{k}λ_{i}^{n−k} = 0 pro k < s, tedy lim_{n→∞} J^{n} = 0.

(b) Podobně jako v (a) nahlédneme, že existuje limita lim_{n→∞}(∑_{i=0}^{n} J^{i}), a proto

existuje lim_{n→∞}(∑_{i=0}^{n} A^{i}). Poté stačí dokázat, že

lim_{n→∞}((E − A) ∑_{i=0}^{n}A^{i}) = lim_{n→∞}(E − A^{n+1} ) = 0,

což platí díky (a). □

7. Nezáporné matice

Jsou-li A = (a_{ij}) a B = (b_{ij}) dvě reálné matice stejného typu, potom budeme psát A > B resp. A ≥ B, pokud a_{ij} > b_{ij} resp. a_{ij} ≥ b_{ij} pro všechny indexy i, j. Podobně pro reálné (řádkové nebo sloupcové) vektory u = (u_{1}, …, u_{n}) a v = (v_{1}, …, v_{n}) budeme psát u > v resp. u ≥ v pokud u_{i} > v_{i} resp. u_{i} ≥ v_{i} pro všechna i = 1, …, n.

Definice. Nechť A je matice. Řekneme, že A je kladná resp. nezáporná, pokud je reálná a A > 0 resp A ≥ 0. Podobně nazveme vektor v kladným resp. nezáporným, pokud se jedná o reálný vektor a v > 0, resp. v ≥ 0.

Poznámka 7.1. Nechť N_{1} a N_{3} jsou nezáporné matice typu (n, m) a N_{2} a N_{4} jsou nezáporné matice typu (m, k). Pokud N_{1} ≥ N_{3} a N_{2} ≥ N_{4}, pak N_{1}N_{2} ≥ N_{3}N_{4}. Jestlie N_{1} > N_{3} a N_{2} > N_{4}, pak N_{1}N_{2} > N_{3}N_{4}.

Důkaz. Stačí uvážit, že N_{1}N_{2} ≥ N_{1}N_{4} ≥ N_{3}N_{4} v prvním případě, a N_{1}N_{2} > N_{1}N_{4} > N_{3}N_{4}. □

Pro reálnou nebo komplexní matici A = (a_{ij}) budeme značit |A| = (|a_{i}j|) a podobně pro vektor v = (v_{1}, …, v_{n}) budeme značit | v | = (|v_{1}|, …, |v_{n}|). Zřejmě |A| = A pro každou nezápornou matici.

Poznámka 7.2. Nechť P je kladná a N nezáporná čtvercová matice. Potom (a) P^{k} je kladná a N^{k} je nezáporná matice pro každé k > 0,

(b) N u^{T}≥ N v^{T}, jestliže u ≥ v ≥ 0 a mají-li součiny smysl,

(c) P u^{T}> P v^{T}, jestliže u ≥ v ≥ 0, v ≠ u a mají-li součiny smysl,

(d) N| u |^{T}≥ |N u^{T}| pro každý vektor u, mají-li součiny smysl,

(e) ρ(P) > 0.

Důkaz. (a) Indukční rozšíření 7.1.

(b) a (c) Okamžitý důsledek 7.1.

(d) Snadno dostaneme N| u |^{T}= |N|| u |^{T}≥ |N u^{T}|.

(e) Protože P^{k} ≠ 0 podle (a), není ρ(P) rovno nule díky 6.9(c). □

Věta 7.3. Nechť A je kladná čtvercová matice. Potom ρ(A) je vlastní číslo matice A, a pokud je v vlastním vektorem příslušným vlastnímu číslu ρ(A), pak | v | je kladným vlastním vektorem příslušným ρ(A).

Důkaz. Vezměme vlastní číslo λ, pro něž |λ| = ρ(A) a buď v příslušný vlastní vektor. Podle 6.9 a 7.2(e) můžeme bez újmy na obecnosti předpokládat, že ρ(A) = 1, tj. ρ(A) > 0 a místo matice A vezmeme matici \frac{A}{ρ(A)} . Potom podle 7.2(d) platí, že

A| v |^{T}= |A|| v |^{T}≥ |A v^{T}| = |λ v^{T}| = |λ|| v |^{T}= ρ(A)| v |^{T}= | v |^{T},

neboť A je kladná. Dokažme nyní, že | v |^{T}≥ A| v |^{T}.

Položme u^{T}= A| v |^{T} a ke sporu předpokládejme, že u ≠ | v |. Už jsme dokázali, že u^{T} = A| v |^{T} ≥ | v |^{T}, proto w = u −| v | ≥ 0 a w ≠ 0. Podle 7.2(c) u^{T} > 0^{T} a A w^{T}> 0^{T}, tedy existuje (dostatečně malé) ϵ > 0 takové, že A w^{T}> ϵ u^{T}. Proto

A u^{T}− u^{T}= A w^{T}> ϵ u^{T}, tudíž \frac{A u^{T}}{1 + ϵ} > u^{T}.

Položíme B = \frac{A}{1+ϵ} . Z 7.2(c) plyne, že B u^{T} > u^{T}, B^{2} u^{T} > B u^{T} > u^{T} atd. Tedy B^{k} u^{T} > u^{T} pro každé k > 0. Podle 6.9 je ρ(B) = \frac{ρ(A)}{1+ϵ} < 1, proto nám 6.10(a) zaručuje, že lim_{n→∞} B^{n} = 0. Dostali jsme spor s tím, že u je kladný vektor, neboť

B^{k} u^{T}> u^{T}, a proto 0^{T}= lim_{n→∞} B^{n} u^{T}≥ u^{T}> 0^{T}. Tudíž | v |^{T}= A| v |^{T}. □

Věta 7.4 (Perronova věta). Nechť A je kladná čtvercová matice. Potom ρ(A) je vlastní číslo matice A a existuje právě jeden jeho kladný vlastní vektor p = (p_{1}, …, p_{n}) tak, že p_{1} +⋯+p_{n} = 1. Navíc každý vlastní vektor příslušný vlastnímu číslu ρ(A) je násobkem vektoru p.

Důkaz. Ve Větě 7.3 jsme dokázali, že ρ(A) je vlastním číslem matice A, a že pro něj existuje kladný vlastní vektor | v | = v = (v_{1}, …, v_{n}). Položíme-li p = \frac{v}{v_{1} +···+v_{n}} , pak p zřejmě splňuje požadavek věty. Konečně předpokládejme, že u je vlastním vektorem příslušným vlastnímu číslu ρ(A), pro nějž u = (u_{1}, …, u_{n}) ∉ ⟨v⟩ = ⟨p⟩. Vektor u je nenulový, tedy existuje i tak, že u_{i} ≠ 0. Zřejmě je w = v −\frac{v_{i}}{u_{i}} u opět (nenulovým) vlastním vektorem, jehož i-tá souřadnice je ovšem nulová, tedy | w | není kladný vektor. Podle 7.3 ovšem vektor | w | kladným vlastním vektorem je, čímž jsme odvodili spor. □

Poznámka 7.5. Jsou-li A a B dvě nezáporné čtvercové matice stejného stupně a A ≥ B, pak ρ(A) ≥ ρ(B).

Důkaz. Předpokládejme, že ρ(A) < ρ(B), a A_{1} = \frac{1}{ρ(B)} A a B_{1} = \frac{1}{ρ(B)} B Potom ρ(A_{1}) < 1, a proto A_{1}^{n} → 0 podle 6.10(a), tedy i B_{1}^{n} → 0. Konečně, protože ρ(B_{1}) = 1, existuje komplexní vlastní číslo λ a vlastní vektor v, pro které |λ| = 1 a B_{1}^{n} v^{T}= λ^{n} v^{T}. Ovšem λ^{n} ↛ 0, zatímco B_{1}^{n} v^{T}→ 0, spor. □

Poznámka 7.6. Je-li A nezáporná čtvercová matice, pak je ρ(A) vlastní číslo matice A a existuje nezáporný vlastní vektor matice A příslušný vlastnímu číslu ρ(A).

Důkaz. Pro každé přirozené číslo k > 1 definujme kladnou matici A_{k} takto: (A_{k})_{i,j} = \frac{1}{k}, pokud (A)_{i,j} = 0 a jinak (A_{k})_{i,j} = (A)_{i,j}. Matice A je zřejmě limitou posloupnosti (A_{k})_{1}^{∞}. Podle Perronovy věty má každá matice A_{k} kladný vlastní vektor v_{k}, jehož součet souřadnic je jedna. Z posloupnosti (v_{k})_{1}^{∞} tedy můžeme vybrat konvergentní podposloupnost konvergující k nějakému vektoru v. Díky 7.5 ρ(A_{k}) ≥ ρ(A_{k+1} ) ≥ ρ(A), proto ρ(A_{k}) konverguje k reálnému λ ≥ ρ(A). Poznamenejme, že součet jeho souřadnic je 1, proto je v nenulový. Konečně

A v^{T}= lim_{k→∞} A_{k} · lim_{k→∞} v_{k}^{T} = lim_{k→∞} A_{k} v_{k}^{T} = lim_{k→∞} ρ(A_{k}) v_{k}^{T} = λ v^{T},

Tedy v je vlastní vektor matice A a λ ≥ ρ(A). □

Příklad. Je-li A = (\begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}), pak ρ(A) = 0 a nezáporný vlastní vektor matice A je

tvaru (r, 0) pro r kladné, tedy kladný vlastní vektor ani kladné vlastní číslo matice A neexistuje.

Definice. Řekneme, že matice A je primitivní, pokud je nezáporná čtvercová a existuje k > 0 takové, že A^{k} > 0.

Věta 7.7 (Perronova-Frobeniova věta). Nechť A je primitivní matice. Potom ρ(A) je kladné vlastní číslo matice A a existuje právě jeden kladný vlastní vektor p = (p_{1}, …, p_{n}) tak, že p_{1} +⋯+p_{n} = 1. Navíc každý vlastní vektor příslušný vlastnímu číslu ρ(A) je násobkem vektoru p.

Důkaz. Podle 7.6 je ρ(A) vlastní číslo A a díky 7.4 s 6.9(b) je ρ(A^{k}) = ρ(A)^{k} vlastní číslo A^{k} a ρ(A)^{k} > 0, je-li k > 0 takové, že A^{k} > 0. Navíc máme-li A v^{T} = ρ(A) v^{T}, pak A^{k} v^{T} = ρ(A)^{k} v^{T}. Z unicity vlastního vektoru matice A^{k} příslušného vlastnímu číslu ρ(A^{k}) plyne závěr. □

Jednoznačně určenému vektoru p z 7.4 a 7.7 budeme říkat Perronův vektor matice A.

Příklad. Mějme orientovaný (případně kladnými reálnými hodnotami ohodnocený orientovaný) graf G s množinou vrcholů {v_{1}, …, v_{n}} a buď A matice incidence grafu G, tj.

a_{ij} = \{ \begin{matrix}1 pokud existuje hrana v_{i} → v_{j} \\ 0 jindy \end{matrix}

(v případě ohodnoceného grafu je a_{ij} rovno hodnotě hrany v_{i} → v_{j}). Poznamenejme, že A je nezáporná čtvercová matice. Předpokládejme, že jsou každé dva různé vrcholy grafu G spojeny orientovanou cestou (tj. pro každé i a j existuje posloupnost hran v_{i} → v_{i_{1}} → … v_{i_{s}} → v_{j}, řekneme, že G je silně souvislý), ukážeme, že (A + E)^{n} > 0, tedy že A + E je primitivní matice. Uvědomme si, že nejkratší orientovaná cesta z vrcholu i do vrcholu j má nejvýše n − 1 hran, vezměme si takovou orientovanou cestu v_{i} → v_{i_{1}} → … v_{i_{k−1}} → v_{j}, která zřejmě obsahuje právě k < n hran. Dále si všimněme, že číslo na pozici (i, j) matice A^{k+1} je součtem nezáporných hodnot, z nichž sčítanec a_{ii_{1}}a_{i_{1} i_{2}} … a_{i_{k−2} i_{k−1}}a_{i_{k−1} j} je zřejmě kladný. Protože však je hodnota na j-té pozici diagonály matice (A+E)^{n−k−1} také kladná, máme na místě (i, j) matice (A + E)^{n} = (A + E)^{k+1} (A + E)^{n−k−1} kladné číslo. Tím jsme dokázali, že (A + E)^{n} je kladná matice, tedy matice A + E je primitivní. Navíc si všimněme, že A^{n} ≠ 0, proto ρ(A) > 0 podle 6.9(d).

Příklad (Google). Mějme systém webových stránek označených čísly 1, 2, …, n, který budeme reprezentovat jako vrcholy grafu G, přitom z vrcholu (stránky) i povede j do hrana právě tehdy, když bude na stránku i odkazovat stránka j. Nechť A = (a_{ij}) je matice incidence tohoto grafu. Vyslovme požadavek, že důležitost i-té webové stránky je lineárně závislá na součtu důležitostí stránek, které na ni odkazují. To můžeme pomocí matice A vyjádřit tak, že x_{i} = c ∑_{j=1}^{n} a_{ij}x_{j}, kde x_{i} je ”hodnota důležitosti” i-té stránky a c je kladná konstanta vyjadřující naší přímou úměrnost. Označíme-li x = (x_{1}, …, x_{n}) vektor důležitosti, pak Ax^{T}= \frac{1}{c} x^{T}. Pochopitelně chceme, aby byl vektor důležitost nezáporný.

Budeme předpokládat, že orientovaný graf webu G je silně souvislý (tj. vyšetřujeme zvlášť každou komponentu silné souvislosti grafu webu, hrany v takovém případě mohou vést pouze z ”důležitější” komponenty do komponenty ”méně důležité”, žádná opačně). Zjistili jsme (viz předchozí příklad), že ρ(A) > 0, dále podle 7.6 je ρ(A) vlastní číslo matice A, a podle 7.7 je ρ(A) + 1 > 1 vlastní číslo matice A+E. Tudíž r = ρ(A+E) ≥ ρ(A)+1 > 1. Navíc víme, že A+E je primitivní matice, tedy podle 7.7 existuje kladný Perronův vektor x, pro nějž (A + E)x^{T} = rx^{T}, a proto Ax^{T} = (r − 1)x^{T}. Položíme-li c = \frac{1}{r−1} > 0, našli jsme vektor důležitosti (dané komponenty souvislosti) našeho systém webových stránek.

Definice. Stochastickou maticí budeme rozumět nezápornou čtvercovou matici, jejíž každý řádek ma součet hodnot roven jedné.

Poznámka 7.8. Součin stochastických matic stejného stupně je stochastickou maticí.

Důkaz. Mějme stochastické matice S = (s_{ij}), P = (p_{ij}), pak součet hodnot v i-tém řádku matice SP je ∑_{j} ∑_{k} s_{ik}p_{kj} = ∑_{k} s_{ik} ∑_{j} p_{kj} = ∑_{k} s_{ik} = 1. □

Příklad. Buď S_{1}, S_{2}, …, S_{n} stavy (nějakého děje či přístroje) a označme p_{ij} pravděpodobnost toho, že po uplynutí jedné časové jednotky nastane po stavu S_{i} stav S_{j}. Protože po každém stavu nastane některý ze stavů S_{j}, platí, že ∑_{j=1}^{n} p_{ij} = 1. Tedy P = (p_{ij}) je stochastická matice. Pozice (i, j) (podle 7.9 rovněž stochastické) matice P^{k} přitom obsahuje právě pravděpodobnost toho, že se po uplynutí k časových jednotek stav S_{i} změní na stav S_{j}.

Poznámka 7.9. Nechť A je stochastická matice stupně n a e = (1, 1, …, 1) ∈ R^{n}. Pak Ae^{T}= e^{T} a ρ(A) = 1.

Důkaz. Podmínka Ae^{T} = e^{T} plyne přímo z definice stochastické matice. Díky 7.6 je ρ(A) vlastní číslo a existuje jeho nezáporný vlastní vektor v = (v_{1}, …, v_{n}), pro který platí v_{i} ≤ 1 pro všechna i a existuje takové j, že v_{i} ≠ 0. Potom A^{s} v^{T} = ρ(A)^{s} v^{T} pro všechna s ∈ N. Označíme-li (x_{1}, …, x_{n}) = A^{s} v^{T}, pak x_{i} = ∑_{j} A_{ij}^{s}v_{j} ≤ ∑_{j} A_{ij}^{s} = 1, protože A^{s} je stochastická matice podle 7.8. To ovšem znamená, že ρ(A)^{s}v_{j} ≤ 1 pro všechna s, tedy ρ(A) = 1. □

Poznámka 7.10. Nechť S je stochastická matice a A nezáporná matice, pro níž A ≠ S, S ≥ A a existuje kladný vlastní vektor matice A^{T} příslušný vlastnímu číslu ρ(A) = ρ(A^{T}). Pak ρ(A) < 1.

Důkaz. Podle 7.5 a 7.9 je ρ(A) ≤ 1 vlastní číslo A. Bu λ = ρ(A) a v kladný vlastní vektor matice A^{T} příslušný λ. Potom e = eS^{T}≥ eA^{T} a existuje souřadnice, kde se součiny liší, proto e v^{T}= eS^{T}v^{T}> eA^{T}v^{T}= λe v^{T}, tudíž λ < 1. □

Příklad (Leontievův ekonomický model). Uvažujeme uzavřenou soustavu průmyslových podniků označených P_{1}, …, P_{n}, z nichž každý vyrábí právě jeden výrobek. P-jednotkou nazveme počet (resp. podíl) výrobků podniku P s cenou rovnou jedné finanční jednotce (např 1 US dolar). Označme

s_{i} počet P_{i}-jednotek produkovaných podnikem P_{i} za rok a

a_{ij} počet P_{i}-jednotek potřebných pro produkci jedné P_{j}-jednotky, potom je

a_{ij}s_{j} počet P_{i}-jednotek spotřebovaných podnikem P_{j} za rok,

∑_{j=1}^{n} a_{ij}s_{j} počet P_{i}-jednotek spotřebovaných všemi podniky za rok a

c_{j} = ∑_{i=1}^{n} a_{ij} je množství finančních jednotek nutných k výrobě P_{j}-jednotky.

Konečně

d_{i} = s_{i} − ∑_{j=1}^{n} a_{ij}s_{j} je počet P_{i}-jednotek určených k (vnější) spotřebě.

Položme A = (a_{ij}) ≥ 0 a nazvěme d = (d_{1}, …, d_{n}) ≥ 0 vektorem poptávky a s = (s_{1}, …, s_{n}) vektorem nabídky. Rádi bychom určili vektor s pro předem daný vektor poptávky d, samozřejmě rozumným řešením úlohy budou jen nezáporné hodnoty s_{i}, tj požadujeme, aby s ≥ 0.

Převedeme-li úlohu do maticového tvaru máme najít s tak, aby d^{T}= (E − A)s^{T}, tedy pro regulární matici dostáváme, že s^{T} = (E − A)^{−1}d^{T}. Nemáme ovšem ničím zaručeno, že matice (E−A)^{−1} a vektor s budou nezáporné (koneckonců nevíme ani to, zda je matice (E − A) regulární), proto musíme uvážit další podmínky kladené na systém. Předně můžeme oprávněně předpokládat, že každý výrobek alespoň zprostředkovaně ke své produkci potřebuje všechny ostatní výrobky, tj. orientovaný ohodnocený graf s maticí A je silně souvislý. Navíc by ve zdravé ekonomice mělo pro všechna j platit, že c_{j} ≤ 1 (tj. náklady na výrobek by neměly převyšovat cenu výrobku) a alespoň jeden podnik P_{k} by měl vydělávat, tj. c_{k} < 1. Potom S ≥ A^{T}pro nějakou stochastickou matici S ≠ A^{T}, stejnou úvahou jako v předchozím příkladu najdeme kladný vlastní vektor matice A příslušný ρ(A), proto podle Poznámky 7.10 je ρ(A) = ρ(A^{T}) < 1. Tudíž z 6.10(b) dostáváme, že (E − A)^{−1} = lim_{n→∞}(E + A +

A^{2} + ⋯ + A^{n}) ≥ 0 (mohli bychom dokonce dokázat, že (E − A)^{−1} je kladná matice, což plyne z pozorování, které jsme učinili v předchozích dvou příkladech, totiž že (E + A)^{k} > 0). Ukázali jsme, že za vyslovených předpokladů je matice (E − A) regulární a vektor nabídky je jednoznačně určený nezáporný vektor s^{T} = (E − A)^{−1}d^{T}≥ 0^{T}.

8. Afinní a euklidovské prostory

Definice. Afinním prostorem nazveme dvojici (A, V), kde A je neprázdná množina (bodů) a V je vektorový prostor konečné dimenze, spolu se zobrazením + : A×V → A splňujícím podmínky

(1) a + 0 = a a a + (u + v) = (a + u) + v pro všechna a ∈ A a u, v ∈ V,

(2) pro každé a, b ∈ A existuje právě jeden vektor v ∈ V tak, že a + v = b.

Jednoznačně určený vektor v pro nějž a + v = b budeme značit b − a.

Euklidovským prostorem budeme rozumět trojici (A, V, g), kde (A, V) je afinní a (V, g) reálný unitární prostor.

Všimněme si, že symbolem + značíme dvě různá zobrazení, jednak binární operaci na vektorovém prostoru a potom zobrazení ţposunutí bodu o vektor”. Podobně i symbol − používáme ve dvou různých (vzájemně nezaměnitelných) významech.

Příklad. 1) Nechť V je libovolný vektorový prostor konečné dimenze, potom dvojice (V, V) s afinním zobrazením V ×V → V daným vektorovým sčítáním je afinním prostorem.

2) Nechť (V, g) je libovolný reálný unitární prostor konečné dimenze, potom dvojice (V, V, g) se zobrazením V ×V → V daným vektorovým sčítáním je euklidovským prostorem.

3) Obvyklý ţgeometrický” třídimenzionální prostor bodů a vektorů v R^{3} se standardním pojmem vzdálenosti, je euklidovským prostorem (R^{3}, R^{3}, ω) z předchozí konstrukce.

Poznámka 8.1. Buď (A, V) afinním prostoru, a, b, c ∈ A a u, v ∈ V. Pak a) a + (b − a) = b (∈ A),

b) (a − b) + (b − c) = a − c (∈ V),
c) (a + u) − (b + v) = (a − b) + u − v (∈ V),
d) (a + u) − (b + u) = (a − b),
e) (a + u) − (a + v) = u − v.

Definice. Podprostorem afinního prostoru (A, V) nazveme takovou dvojici (B, W), že B ⊆ A, W je podprostorem V a (B, W) je afinním prostorem s operací posunutí bodu o vektor + : A × V → A omezenou na podmnožinu B × W. Podprostorem euklidovského prostoru (A, V, g) nazveme podprostor (B, W) afinního podprostoru (A, V).

Každý euklidovský prostor je zároveň afinním prostorem (zapomeneme-li na skalární součin), proto následující tvrzení o afinních prostorech popisují i vlastnosti euklidovských prostorů.

Poznámka 8.2. Nechť (A, V) je afinní prostor, ∅ ≠ B ⊆ A a W je podprostor V. Pak (B, W) je podprostorem (A, V) právě tehdy, když pro každé a, b ∈ B a v ∈ W je b − a ∈ W a a + v ∈ B.

Poznámka 8.3. Nechť (A, V) je afinní prostor.

a) Je-li W podprostor V, a ∈ A a B = {a + w | w ∈ W }, pak (B, W) je podprostor (A, V).

b) Je-li (B, W) podprostor (A, V) a a ∈ B, pak B = {a + w | w ∈ W }.

Předchozí poznámka umožňuje zápis libovolnéhp podprostoru (B, W) afinního podprostoru (A, V) ve tvaru B = b + W, tj. jako součtu vybraného bodu b ∈ B a podprostoru W. Všimněme si, že A = a + V pro všechny body a ∈ A.

Příklad. Mějme afinní prostor (R^{3}, R^{3}) (nebo euklidovský prostor (R^{3}, R^{3}, ω)). Pak každou reálnou přímku můžeme vyjádřit ve tvaru {a + t v | t ∈ R} = a + ⟨v⟩ a každou rovinu můžeme vyjádřit ve tvaru {a + (s u +t v)| s, t ∈ R} = a + ⟨u, v⟩, kde u a v jsou lineárně nezávislé vektory. V Poznámce 8.2 a) jsme ukázali, že přímky a roviny jsou podprostory afinního prostoru (R^{3}, R^{3}). Přidáme-li k nim ještě podprostory tvaru a + {0} a R^{3} = a + R^{3}, pak nám Poznámka 8.2 b) říká, že už žádné další podprostory afinního prostoru (R^{3}, R^{3}) neexistují.

Definice. Souřadnou soustavou afinního prostoru (A, V) budeme rozumět takovou posloupnost S = {a, v_{1}, v_{2}, …, v_{n}}, že a ∈ A a B = (v_{1}, …, v_{n}) je báze V. Souřadnicemi bodu b ∈ A vzhledem k souřadné soustavě S nazveme souřadnice vektoru b − a vzhledem k bázi B, píšeme {b}_{S} = {b − a}_{B}.

Kartézskou souřadnou soustavou euklidovského prostoru (A, V, g) nazveme souřadnou soustavu S = {a, v_{1}, v_{2}, …, v_{n}} afinního prostoru (A, V), v níž (v_{1}, …, v_{n}) tvoří ortonormální bázi unitárního prostoru (V, g).

Poznámka 8.4 (Transformace souřadnic). Nechť S = {a, v_{1}, v_{2}, …, v_{n}} a S′ = {a′, v′_{1}, v′_{2}, …, v′_{n}} jsou dvě souřadné soustavy v afinním prostoru (A, V). Pak pro každý bod b ∈ A platí

{b}_{S} = {a′}_{S} + {b}_{S′}[Id]_{(v ′_{i})(v_{i})}^{T} ,

kde [Id]_{(v ′_{i})(v_{i})} je matice přechodu od báze (v_{1}, …, v_{n}) k bázi (v′_{1}, …, v′_{n}).

Příklad. Uvažujme afinní prostor (R^{2}, R^{2}) se sčítáním bodu a vektoru po složkách (tj. daným sčítáním v reálném vektorovém prostoru R^{2}). Pro přehlednost budeme body i jejich souřadnice označovat [r, s] ∈ R^{2} narozdíl od vektorů značených (r, s) ∈ R^{2}. Mějme souřadné soustavy S = {[0, 0], (1, 0), (0, 1)} a S′ = {[1, 1], (1, 1), (1, −1)} a označme B = ((1, 0), (0, 1)) a B′ = ((1, 1), (1, −1)). Známe-li souřadnice bodu {b}_{S′} = [1, 2]. Určíme podle Poznámky 8.3 jeho souřadnice vzhledem ke (kanonické) bázi S:

\{b\}_{S} = \{[1, 1]\}_{S} + [1, 2][Id]_{B′B}^{T} = \{[1, 1] − [0, 0]\}_{B} + [1, 2] (\begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & −1 \end{matrix}) =

= [1, 1] + [3, −1] = [4, 0].

Věta 8.5 (Popis podprostorů rovnicemi). Buď V vektorový prostor nad tělesem T dimenze n, W jeho podprostor dimenze n − k, S = {a, v_{1}, v_{2}, …, v_{n}} souřadná soustava v afinním prostoru (A, V) a nechť (B, W) je podprostor (A, V), kde B = b + W. Pak existuje matice M typu (k, n) a vektor y ∈ T^{k} tak, že bod c ∈ A leží v B právě tehdy, když M{c}_{S}^{T} = y^{T}.

Důkaz. Označme D = (v_{1}, v_{2}, …, v_{n}) a W_{D} = {{w}_{D} ∈ T^{n}| w ∈ W } ⊆ T^{n}. Pak je W_{D} podprostor dimenze n−k prostoru T^{n}. Zvolme nějakou bázi (w_{1}, …, w_{n−k})

podprostoru W_{D} a seřaďme vektory w_{i} do matice B = ( w_{1} ; ⋮ ; w_{n−k}). Matice B má

zřejmě hodnost n − k a existuje nějaká báze (v_{1}, …, v_{k}) ⊆ T^{n} podprostoru všech

řešení homogenní soustavy s maticí B. Položme M = (v_{1} ; ⋮ ; v_{k}). Snadno nahléd-

neme, že M je matice hodnosti k, jejíž množinu všech řešení tvoří právě W_{D}. Podle Poznámky 8.3 je c ∈ B, právě když c − b ∈ W, tj. {c − b}_{D} ∈ W_{D}. To nastává v důsledku Poznámky 8.1 b) právě tehdy, když 0 = M{c − b}_{D}^{T} = M{c − a}_{D}^{T} − M{b − a}_{D}^{T} = M{c}_{S}^{T} − M{b}_{S}^{T}, což je konečně ekvivalentní tomu, že M{c}_{S} = y^{T}, kde y = M{b}_{S}. □

Příklad. Buď S = {[0, 0, 0, 0], (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)} souřadná soustava v afinním prostoru (R^{4}, R^{4}) a buď (B, W) podprostor (R^{4}, R^{4}), kde W = ⟨(2, 1, −2, −1), (1, 1, 3, 1)⟩ a B = [0, 2, 1, 0] + W. Najdeme podle Věty 8.5 rovnice, které nám vzhledem k souřadné soustavě S určují podprostor B.

Snadno zjistíme, že například vektory (5, −8, 1, 0) a (2, −3, 0, 1) tvoří bázi ře-

šení homogenní soustavy rovnic s maticí (\begin{matrix}2 & 1 & −2 & −1 \\ 1 & 1 & 3 & 1 \end{matrix}). Dále \{[0, 2, 1, 0]\}_{S} =

[0, 2, 1, 0], proto v podprostoru B leží právě ty body x ∈ A pro něž

(\begin{matrix}5 & −8 & 1 & 0 \\ 2 & −3 & 0 & 1 \end{matrix}) x^{T}= (\begin{matrix}5 & −8 & 1 & 0 \\ 2 & −3 & 0 & 1 \end{matrix}) [0, 2, 1, 0]^{T}= [−15, −6]^{T}.

Tedy {[x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}]}_{S} = [x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}] ∈ B právě tehdy, když

\begin{aligned}5x_{1} − 8x_{2} + x_{3} & = & −15, \\ 2x_{1} − 3x_{2} + x_{4} & = & −6. \end{aligned}

Definice. Buď (B_{1}, W_{1}) a (B_{2}, W_{2}) dva podprostory afinního prostoru (A, V). Pak řekneme, že podprostory (B_{1}, W_{1}) a (B_{2}, W_{2}) jsou

– rovnoběžné, pokud W_{1} ⊆ W_{2} nebo W_{2} ⊆ W_{1},

– různoběžné, pokud nejsou rovnoběžné a B_{1} ∩ B_{2} ≠ ∅,

– mimoběžné, pokud nejsou rovnoběžné ani různoběžné.

Poznámka 8.6. Nechť (B_{1}, W_{1}) a (B_{2}, W_{2}) jsou dva podprostory afinního prostoru (A, V). Pak jsou následující podmínky ekvivalentní.

(1) B_{1} ∩ B_{2} ≠ ∅.

(2) Pro každé b_{1} ∈ B_{1} a b_{2} ∈ B_{2} je b_{1} − b_{2} ∈ W_{1} + W_{2}.
(3) Existují b_{1} ∈ B_{1} a b_{2} ∈ B_{2} takové, že b_{1} − b_{2} ∈ W_{1} + W_{2}.

Příklad. Podprostory [1, 1, 2, 0] + ⟨(1, 0, 1, 0), (1, 1, 0, 0)⟩ a [0, 0, 1, 0] + ⟨(0, 0, 0, 1)⟩ afinního prostoru (R^{4}, R^{4}) podle definice zřejmě nejsou rovnoběžné, neboť platí, že ⟨(1, 0, 1, 0), (1, 1, 0, 0)⟩∩⟨(0, 0, 0, 1)⟩ = {0}. Navíc (1, 1, 1, 0) = [1, 1, 2, 0]−[0, 0, 1, 0] ∉ ⟨(1, 0, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 1)⟩, proto jsou podprostory podle Poznámky 8.6 mimoběžné.

Příklad (Vzdálenost mimoběžných podprostorů). Buď (B_{1}, W_{1}) a (B_{2}, W_{2}) dvojice mimoběžných podprostorů euklidovského prostoru (A, V, g). Vzdáleností dvou bodů a, b ∈ A budeme rozumět hodnotu ∥a − b∥_{g} a vzdáleností podprostorů B_{1} a B_{2} budeme nazývat hodnotu d(B_{1}, B_{2}) = min{∥b_{1} − b_{2}∥_{g}| b_{1} ∈ B_{1}, b_{2} ∈ B_{2}}. Pokud B_{1} = a_{1} + W_{1} a B_{2} = a_{2} + W_{2}, hledáme minimální hodnotu ∥(a_{1} − a_{2}) − w ∥_{g}, kde w ∈ W_{1} + W_{2}. Z Poznámky 3.17 víme, že hodnota ∥(a_{1} − a_{2}) − w ∥_{g} je minimální, pokud w = P_{W_{1} +W_{2}} (a_{1} − a_{2}), tj. vektor je (a_{1} − a_{2}) − w kolmý na W. Můžeme tedy úkol řešit pomocí metody nejmenších čtverců.

Mějme B_{1} = [1, 0, 5] + ⟨(1, 1, 2)⟩ a B_{2} = [0, 0, 1] + ⟨(1, 0, 1)⟩ dva mimoběžné podprostory euklidovského prostoru (R^{3}, R^{3}, ω). Pomocí metody nejmenších čtverců zjistíme, že ([1, 0, 5]−[0, 0, 1])−1·(1, 1, 2)−1·(1, 0, 1) = (−1, −1, 1) je kolmou částí rozkladu vektoru [1, 0, 5] − [0, 0, 1] na část vektoru z W a W^{⊥}. Z předchozí úvahy plyne, že vzdálenost podprostorů B_{1} a B_{2} je ∥(−1, −1, 1)∥_{ω} = \sqrt{3}.