PÍSEMKY A DOMÁCÍ ÚKOLY (STŘEDA, 10:40, M5)

1 (3.3). Buď B = ((1, 2), (3, 5)) a C = ((4, 3), (6, 6)) báze vektorového prostoru Z_{7}^{2}. Najděte matici [Id]_{CB} (tj. matici přechodu od báze B k bázi C).

Vyjádříme hledanou matici přechodu jako součin matice přechodu od a ke kanonické bází, které umíme vyjádřit:

[Id_{Z_{7}^{2}} ]_{CB} = [Id_{Z_{7}^{2}} ]_{K_{2} B} · [Id_{Z_{7}^{2}} ]_{CK_{2}} = [Id_{Z_{7}^{2}} ]_{BK_{2}}^{−1} · [Id_{Z_{7}^{2}} ]_{CK_{2}} =

= (\begin{matrix}1 & 3 \\ 2 & 5 \end{matrix})^{−1} · (\begin{matrix}4 & 6 \\ 3 & 6 \end{matrix}) .

Nyní standardním způsobem spočítáme hledaný součin matic:

(\begin{matrix}1 & 3 & |4 & 6 \\ 2 & 5 & |3 & 6 \end{matrix}) ∼ (\begin{matrix}1 & 0 & |3 & 2 \\ 0 & 6 & |2 & 1 \end{matrix}) ∼ (\begin{matrix}1 & 0 & |3 & 2 \\ 0 & 1 & |5 & 6 \end{matrix}) .

Tedy zjistili jsme, že [Id_{Z_{7}^{2}} ]_{CB} = (\begin{matrix}3 & 2 \\ 5 & 6 \end{matrix}). □

Domácí úkol k 1.písemce (prosím odevzdejte do 17.3): Uvažujme posloupnost vektorů M = ((1, 1, 1, 0, 0), (1, 2, 2, 0, 0), (3, 3, 2, 0, 0), (2, 1, 3, 1, 1), (3, 4, 2, 3, 4)) vektorového prostoru Z_{5}^{5}. Dokažte, že je M báze Z_{5}^{5}, spočítejte souřadnice vektoru (4, 0, 1, 3, 3) vzhledem k bázi M a najděte vektor v, jehož souřadnice vzhledem k bázi M jsou (1, 1, 1, 1, 1).

2 (10.3). Buď f bilineární forma na vektorovém prostoru Z_{5}^{3} nad tělesem Z_{5} s ma-

ticí A = (\begin{matrix}3 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 0 \end{matrix}) vzhledem k bázi B = ((1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)). Spočítejte

hodnoty f((0, 0, 1), (1, 1, 0)) a f((1, 1, 0)(0, 0, 1)) a najděte matice symetrické bilineární formy f_{s} a antisymetrické bilineární formy f_{a} vzhledem k bázi B, pro které f = f_{s} + f_{a}.

Využijeme-li pozorování, které říká, že f(v, w) = [v]_{B}[f]_{B}[w]_{B}^{T} pro každé dva vektory v, w ∈ Z_{5}^{3}, a přímočaře spočítáme souřadnice [(0, 0, 1)]_{B} = (1, 0, 4) a [(1, 1, 0)]_{B} = (0, 1, 0), vidíme, že

f((0, 0, 1), (1, 1, 0)) = (1, 0, 4) · (\begin{matrix}3 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 0 \end{matrix}) · (\begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) = (1, 0, 4) · (\begin{matrix}0 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}) = 2,

f((1, 1, 0), (0, 0, 1)) = (0, 1, 0) · (\begin{matrix}3 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 0 \end{matrix}) · (\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}) = (2, 1, 1) · (\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}) = 1,

Označíme A_{s} matici f_{s} a A_{a} matici f_{a} vzhledem k bázi B. Uvědomíme-li si že hledané matice A_{s} a A_{a} jsou matice rozkladu A na symetrickou a antisymetrickou část, stačí nám tento rozklad spočítat:

A_{s} = \frac{1}{2}(A + A^{T}) = 2^{−1} · ((\begin{matrix}3 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix}3 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 0 \end{matrix})) = (\begin{matrix}3 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & 0 \end{matrix}) ,

A_{a} = A − A_{s} = (\begin{matrix}3 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 0 \end{matrix}) − (\begin{matrix}3 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix}0 & 4 & 3 \\ 1 & 0 & 4 \\ 2 & 1 & 0 \end{matrix}) .

□

Domácí úkol k 2.písemce (prosím odevzdat do 24.3, ti, co za 2.písemku získali 3 body, dostanou 4. bod, spočítají-li správně část a)): Buď f biline-

ární forma na vektorovém prostoru Z_{7}^{3} nad tělesem Z_{7} s maticí [f]_{B} = (\begin{matrix}3 & 5 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 5 & 6 & 5 \end{matrix})

vzhledem k bázi B = ((4, 0, 1), (2, 2, 0), (1, 3, 0)).

a) Spočítejte hodnoty f((0, 0, 1), (1, 1, 0)) a f((1, 1, 0)(0, 0, 1)).

b) Najděte matice symetrické bilineární formy f_{s} a antisymetrické bilineární formy f_{a} vzhledem k bázi C = ((1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)), pro které f = f_{s} + f_{a}.

3 (17.3). Mějme g_{2} kvadratickou forma na Z_{5}^{2} danou předpisem g_{2}(x_{1}, x_{2}) = x_{1}x_{2}. Spočítejte vzhledem ke kanonické bázi matici symetrické bilineární formy g, která vytváří g_{2} (tj. g_{2}(v) = g(v, v)), a najděte nějakou polární bázi P formy g a matici g vzhledem k P.

Protože g((x_{1}, x_{2}), (y_{1}, y_{2})) = 3x_{1}y_{2} + 3x_{2}y_{1}, máme matici [g]_{K_{2}} = (\begin{matrix}0 & 3 \\ 3 & 0 \end{matrix}).

Postupujeme-li metodou I, nejprve zvolíme vektor p_{1}, pro nějž g_{2}(p_{1}) ≠ 0. Zjevně sice g_{2}(e_{1}) = g_{2}(e_{2}) = 0, ale g_{2}(e_{1} + e_{2}) = 1. Položíme tedy p_{1} = (1, 1) a poté řešíme homogenní soustavu rovnic s maticí

[p_{1}]_{K_{2}}[g]_{K_{2}} = (1, 1) · (\begin{matrix}0 & 3 \\ 3 & 0 \end{matrix}) = (3 3) .

Vidíme, že soustavu řeší p_{2} = (4, 1) a g_{2}(p_{2}) = 4 · 1 = 4, tedy jsme našli polární

bázi P = ((1, 1), (4, 1)) a [g]_{P} = (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 4 \end{matrix}). □

Domácí úkol k 3.písemce (prosím odevzdat do 31.3, ti, co za 2.písemku získali 3 body, dostanou 4. bod, spočítají-li správně část a)): Buď h symetrická bilineární forma na Z_{5}^{4} splňující podmínky h(e_{i}, e_{i}) = 3 pro i = 1, …, 4 a h(e_{i}, e_{j}) = 4 pro i ≠ j. Najděte a) vrchol h, b) nějakou polární bázi h.

4 (24.3). Mějme f_{2} kvadratickou forma na R^{3} danou předpisem f_{2}(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{2} + 2x_{1}x_{2} + 2x_{1}x_{3} + 2x_{2}^{2} + 6x_{2}x_{3} + x_{3}^{2}. Najděte nějakou polární bázi symetrické bilineární formy f vytvářející f_{2}, a rozhodněte, zda existuje vektor v ∈ R^{3}, pro který f_{2}(v) < 0.

Nejprve určíme matici symetrické bilineární formy f vzhledem ke kanonické bázi

[f]_{K_{3}} = (\begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 1 \end{matrix}) a postupujeme například metodou II z přednášky, tj. upravu-

jeme posloupností symetrických elementárních úprav a řádkové úpravy zaznamenáváme.

(\begin{matrix}1 & 1 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & | & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) ∼_{s} (\begin{matrix}1 & 0 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & | & −1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) ∼_{s}

∼_{s} (\begin{matrix}1 & 0 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & | & −1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & | & −1 & 0 & 1 \end{matrix}) ∼_{s} (\begin{matrix}1 & 0 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & −1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & −4 & | & 1 & −2 & 1 \end{matrix}) .

Protože je pravá část matice právě matice transponovaná k matici přechodu od

polární báze P ke kanonické bázi, tedy [Id]_{P K_{3}} = (\begin{matrix}1 & −1 & 1 \\ 0 & 1 & −2 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}), máme P =

((1, 0, 0), (−1, 1, 0), (1, −2, 1)). Zároveň jsme zjistili, že [f]_{P} = (\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & −4 \end{matrix}), proto

f_{2}((1, −2, 1)) = −4, tedy vektor v ∈ R^{3}, pro který f_{2}(v) < 0 existuje. □

Domácí úkol k 4.písemce (prosím odevzdat do 7.4, ti, co za 4.písemku získali 3 body, dostanou 4. bod, spočítají-li správně část a)): Mějme f_{2} kvadratickou forma na R^{4} danou předpisem f_{2}(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = −2x_{1}x_{2} − 2x_{1}x_{3} + 2x_{1}x_{4} + x_{2}^{2} + 4x_{2}x_{3} − 2x_{2}x_{4} − x_{3}^{2} + 2x_{4}^{2}. Označme f symetrickou bilineární formu f vytvářející f_{2}.

a) Spočítejte signaturu f,

b) najděte nějakou polární bázi f.

5 (31.3). Spočítejte signaturu symetrické bilineární formy g na R^{4} s maticí [g]_{K_{4}} =

(\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}) vzhledem ke kanonické bázi K_{4} a určete vrchol g.

Signaturu spočítáme například metodou II, tedy matici [g]_{K_{4}} upravíme posloupností symetrických úprav na diagonální matici. Nejprve odečteme čtvrý řádek a sloupec od druhého, poté odečteme od čtvrého řádku a sloupce první a nakonec čtvrý řádek a sloupec přičteme ke třetímu:

(\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}) ∼_{s} (\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}) ∼_{s} (\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & −1 \end{matrix}) ∼_{s} (\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & −1 \end{matrix}) .

Vidíme, že na diagonále nalezené diagonální matice jsou tři hodnoty kladné a jedna záporná, proto má g signaturu (0, 3, 1). Protože se na diagonále této matice nevyskytuje nula, je vrchol triviální, tedy V (g) = {0}. □

Domácí úkol k 5.písemce (prosím odevzdat do 14.4, ti, co za 5.písemku získali 3 body, dostanou 4. bod, spočítají-li správně část a)): Mějme M = ((1, −1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, −1, 1), (1, 1, −1, 1, 1), (−1, 1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1, −1)) ortonormální bázi skalárního součinu g na reálném vektorovém prostoru R^{5}.

a) Spočítejte g((1, 0, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0, 0)),

b) najděte matici g zhledem ke kanonické bázi.

6 (7.4). Uvažujme standardní skalární součin · na reálném vektorovém prostoru R^{4}. Ověřte, že je B = (\frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, 1, 0), \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 0, −1, 1), \frac{1}{\sqrt{3}}(1, −1, 0, −1), \frac{1}{\sqrt{3}}(0, 1, −1, −1), ortonormální báze R^{4} vzhledem k · a spočítejte souřadnice [(1, 1, −1, 2)]_{B}.

Označme si vektory posloupnosti B = (b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}). Nyní přímočarým výpočtem zjistíme, že b_{i} · b_{j} = δ_{ij}, čímž jsme ověřili, že B je ortonormální posloupnost. Tudíž je B lineárně nezávislá posloupnost délky 4 ve vektorovém prostoru dimenze 4, a proto jde o ortonormální bázi R^{4}.

Protože pro každý vektor v ∈ R^{4} a ortonormální bázi B platí [v]_{B} = (b_{1} · v, b_{2} · v, b_{3} · v, b_{4} · v), spočítáme

\frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, 1, 0) · (1, 1, −1, 2) = \frac{1}{\sqrt{3}}(1 + 1 − 1) = \frac{1}{\sqrt{3}},

\frac{1}{\sqrt{3}}(1, 0, −1, 1) · (1, 1, −1, 2) = \frac{1}{\sqrt{3}}(1 + 1 + 2) = \frac{4}{\sqrt{3}},

\frac{1}{\sqrt{3}}(1, −1, 0, −1) · (1, 1, −1, 2) = \frac{1}{\sqrt{3}}(1 − 1 − 2) = −\frac{2}{\sqrt{3}},

\frac{1}{\sqrt{3}}(0, 1, −1, −1) · (1, 1, −1, 2) = \frac{1}{\sqrt{3}}(1 + 1 − 2) = 0.

tedy [(1, 1, −1, 2)]_{B} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 4, −2, 0). □

Domácí úkol k 6.písemce (prosím odevzdat do 21.4, ti, co za 6.písemku získali 3 body, dostanou 4. bod, spočítají-li správně část a)): Uvažujme standardní skalární součin · na reálném vektorovém prostoru R^{4} a mějme vektory u_{1} = \frac{1}{\sqrt{11}} (1, 0, 1, 3) u_{2} = \frac{1}{\sqrt{6}}(1, 2, −1, 0), a u_{3} = \frac{1}{5}(2, 1, 4, −2).

a) Dokažte, že je posloupnost (u_{1}, u_{2}, u_{3}) ortonormální a dopňte ji na ortonormální bázi M.

b) Spočítejte souřadnice [(1, 3, 1, 2)]_{M} a [(0, −1, 1, 1)]_{M}.

7 (14.4). Buď · standardní skalární součin na reálném vektorovém prostoru R^{5}. Najděte nějakou ortonormální bázi podprostoru V = ⟨(1, 0, 1, 1, −1), (2, 3, 1, 0, 1), (1, 2, −3, 1, 1)⟩ a rozhodněte, zda (−1, 1, 0, 0, 1) ∈ V^{⊥}.

Označme u_{1} = (1, 0, 1, 1, −1), u_{2} = (2, 3, 1, 0, 1), u_{3} = (1, 2, −3, 1, 1), Vytvoříme pomoc Gramovy-Schmidtovy ortogonalizace ortonormální posloupnost v_{1}, v_{2}, v_{3}, pro kterou platí, že ⟨v_{1}⟩ = ⟨u_{1}⟩, ⟨v_{1}, v_{2}⟩ = ⟨u_{1}, u_{2}⟩ a ⟨v_{1}, v_{2}, v_{3}⟩ = ⟨u_{1}, u_{2}, u_{3}⟩.

1. v_{1} = \frac{(1,0,1,1,−1)}{∥(1,0,1,1,−1)∥} = \frac{1}{2}(1, 0, 1, 1, −1).

2. Nejprve spočítáme b_{1} = v_{1} ·(2, 3, 1, 0, 1) = \frac{2}{2} = 1. Získáme ortogonalizovaný vektor v′_{2} = u_{2} −b_{1} v_{1} = (2, 3, 1, 0, 1) − \frac{1}{2}(1, 0, 1, 1, −1) = \frac{1}{2}(3, 6, 1, −1, 3),

proto v_{2} = \frac{1}{2\sqrt{14}} (3, 6, 1, −1, 3).

3. Opět spočítáme skalární součiny c_{1} = v_{1} ·(1, 2, −3, 1, 1) = −\frac{2}{2} = −1 a c_{2} = v_{2} ·(1, 2, −3, 1, 1) = \frac{14}{2\sqrt{14}} = \frac{\sqrt{14}}{2} . Potom v′_{3} = u_{3} −c_{1} v_{1} −c_{2} v_{2} = (1, 2, −3, 1, 1) + \frac{1}{2}(1, 0, 1, 1, −1) − \frac{1}{4}(3, 6, 1, −1, 3) = \frac{1}{4}(3, 2, −11, 7, −1) Tedy

v_{3} = \frac{1}{\sqrt{184}} (3, 2, −11, 7, −1).

Tedy (\frac{1}{2}(1, 0, 1, 1, −1), \frac{1}{2\sqrt{14}} (3, 6, 1, −1, 3), \frac{1}{2\sqrt{46}} (3, 2, −11, 7, −1)) je hledaná ortonormální báze.

Konečně, protože stačí spočítat skalární součin u_{1} ·(−1, 1, 0, 0, 1) = −2 ≠ 0 vidíme, že (−1, 1, 0, 0, 1) ∉ V^{⊥}. □

Domácí úkol k 7.písemce (prosím odevzdat do 28.4, ti, co za 7.písemku získali 3 body, dostanou 4. bod, spočítají-li správně část a)): Uvažujme standardní skalární součin · na reálném vektorovém prostoru R^{4} a vektory u_{1} = (1, −1, −2, 1), u_{2} = (1, 2, −5, −1), a u_{3} = (1, 0, −3, 2). Najděte ortonormální bázi (v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}) prostoru R^{4}, aby

(a) ⟨v_{1}⟩ = ⟨u_{1}⟩, ⟨v_{1}, v_{2}⟩ = ⟨u_{1}, u_{2}⟩ a ⟨v_{1}, v_{2}, v_{3}⟩ = ⟨u_{1}, u_{2}, u_{3}⟩,

(b) ⟨v_{1}⟩ = ⟨u_{3}⟩, ⟨v_{1}, v_{2}⟩ = ⟨u_{2}, u_{3}⟩ a ⟨v_{1}, v_{2}, v_{3}⟩ = ⟨u_{1}, u_{2}, u_{3}⟩.

8 (21.4). Uvažujme standardní skalární součin na reálném vektorovém prostoru R^{4} a U = ⟨(2, 1, 2, −1), (1, 0, 1, 1)⟩. Najděte vektor u ∈ U a u^{⊥} ∈ U^{⊥}, aby (−1, 2, 2, 5) = u + u^{⊥},

Hledáme takovou lineární kombinaci vektorů x_{1} ·(2, 1, 2, −1)+x_{2} ·(1, 0, 1, 1), aby byl vektor (−2, 3, 1, 1) − x_{1} · (2, 1, 2, −1) − x_{2} · (1, 0, 1, 1) kolmý na prostor U, tedy na oba generující vektory (2, 1, 2, −1), (1, 0, 1, 1). Spočítáme-li skalární součiny

(2, 1, 2, −1) · (2, 1, 2, −1) = 10, (2, 1, 2, −1) · (1, 0, 1, 1) = 3,
(1, 0, 1, 1) · (1, 0, 1, 1) = 3, (2, 1, 2, −1) · (−1, 2, 2, 5) = −1

a (1, 0, 1, 1) · (−1, 2, 2, 5) = 6, dostaneme z této úvahu Gramovu matici soustavy, kterou upravíme:

(\begin{matrix}10 & 3 & | & −1 \\ 3 & 3 & | & 6 \end{matrix}) ∼ (\begin{matrix}1 & 1 & | & 2 \\ 7 & 0 & | & −7 \end{matrix}) ∼ (\begin{matrix}1 & 0 & | & −1 \\ 0 & 1 & | & 3 \end{matrix}) .

Odtud již zjistíme, že x_{1} = −1 a x_{2} = 3, proto je ortogonální projekce vektoru (−1, 2, 2, 5) na podprostor U vektor u = −(2, 1, 2, −1) + 3 · (1, 0, 1, 1) = (1, −1, 1, 4) a u^{⊥} = (−1, 2, 2, 5) − (1, −1, 1, 4) = (−2, 3, 1, 1). □

Domácí úkol k 8.písemce (prosím odevzdat do 5.5: Spočítejte ortogonální projekci vektoru (1, 1, i, −i) do podprostoru U = ⟨(1 − i, 1, 0, 1 + i), (1, −1, i, 0)⟩ komplexního vektorovém prostoru C^{4} se standardním skalárním součinem.

9 (28.4). Najděte všechna vlastní čísla a všechny vlastní vektory matice A =

(\begin{matrix}1 & 0 & 3 \\ 2 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & −1 \end{matrix}) nad tělesem reálných čísel.

Nejprve spočítáme charakteristický polynom matice A, tedy det(A − λE) =

(\begin{matrix}1 − λ & 0 & 3 \\ 2 & 2 − λ & 2 \\ 1 & 2 & −1 − λ \end{matrix}) = (1 − λ)(λ^{2} − λ − 6) + 3(λ + 2) = −λ^{3} + 2λ^{2} + 8λ =

−λ(λ + 2)(λ − 4). Dosazením najdeme vlastní čísla 0, −2, 4. Dále hledáme vlastní vektory, tj. řešíme homogenní soustavy rovnic s maticí A − 0E, A + 2E a A − 4E:

A − 0E = (\begin{matrix}1 & 0 & 3 \\ 2 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & −1 \end{matrix}) ∼ (\begin{matrix}1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & −2 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) ,

tedy ⟨(−3, 2, 1), ⟩ \ {(0, 0, 0)} jsou všechny vlastní vektory příslušné vlastnímu číslu 0,

A + 2E = (\begin{matrix}3 & 0 & 3 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix}) ∼ (\begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) ,

tedy ⟨(−1, 0, 1), ⟩ \ {(0, 0, 0)} jsou všechny vlastní vektory příslušné vlastnímu číslu 3,

A − 4E = (\begin{matrix}−3 & 0 & 3 \\ 2 & −2 & 2 \\ 1 & 2 & −5 \end{matrix}) ∼ (\begin{matrix}−1 & 0 & 1 \\ 0 & −2 & 4 \\ 0 & 2 & −4 \end{matrix}) ∼ (\begin{matrix}−1 & 0 & 1 \\ 0 & −1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) ,

tedy ⟨(1, 2, 1), ⟩ \ {(0, 0, 0)} jsou všechny vlastní vektory příslušné vlastnímu číslu 4. □

Domácí úkol k 9.písemce (prosím odevzdat do 19.5, ti, co za 9.písemku získali 3 body, dostanou 4. bod, spočítají-li správně část a)): Buď A =

(\begin{matrix}2 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 1 & 3 \end{matrix}) nad tělesem R.

a) Najděte všechna vlastní čísla A,

b) najděte všechny vlastní vektory A.

10 (5.5). Buď A = (\begin{matrix}3 & 2 \\ 1 & 2 \end{matrix}) matice nad tělesem Z_{7}. Najděte regulární matici P

nad Z_{7}, pro niž je P^{−1}AP diagonální a spočítejte A^{6}.

Nejprve spočítáme charakteristický polynom det(A − λE) = (3 − λ)(2 − λ) − 2 = λ^{2} + 2λ + 4 a dosazením najdeme vlastní čísla 1 a 4. Nyní vyřešíme-li soustavy s

maticemi A − 1E = (\begin{matrix}2 & 2 \\ 1 & 1 \end{matrix}) a A − 4E = (\begin{matrix}6 & 2 \\ 1 & 5 \end{matrix}). najdeme bázi B = ((1, 6), (2, 1))

prostoru Z_{7}^{2} složenou z vlastních vektorů matice A. Položíme-li nyní P = [Id]_{BK_{2}} =

(\begin{matrix}1 & 2 \\ 6 & 1 \end{matrix}), dostáváme P^{−1}AP = (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 4 \end{matrix}). Konečně

A^{6} = P (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 4 \end{matrix})^{6} P^{−1} = P (\begin{matrix}1^{6} & 0 \\ 0 & 4^{6} \end{matrix}) P^{−1} = PEP^{−1} = (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) .

□

Domácí úkol k 10.písemce (prosím odevzdat do 19.5, ti, co za 10.písemku získali 3 body, dostanou 4. bod, spočítají-li správně část a)): Nechť ψ je endomorfismus na vektorovém prostoru R^{4} nad tělesem R daný předpisem ψ(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = (x_{2} +x_{3} +x_{4}, x_{1} +x_{3} +x_{4}, x_{1} +x_{2} +x_{4}, x_{1} +x_{2} +x_{3}). Existuje-li, najděte

a) bázi B, vůči níž ma endomorfismus ψ diagonální matici a určete [ψ]_{B},

b) ortonormální bázi B, vůči níž ma endomorfismus ψ diagonální matici a určete [ψ]_{B}.