PÍSEMKY A DOMÁCÍ ÚKOLY (ÚTERÝ, 14:00, M4)

1 (2.3). Buď M = ((1, 2, 1), (3, 0, 2), (4, 4, 1)) báze vektorového prostoru Z_{5}^{3}. Spočítejte souřadnice vektoru (0, 3, 2) vzhledem k bázi M a najděte vektor v, jehož souřadnice vzhledem k M jsou (3, 0, 1).

Řešení: Souřadnice vektoru u vzhledem k bázi M tvoří vektor (x_{1}, x_{2}, x_{3}) ∈ Z_{5}^{3} splňující podmínku u = x_{1}(1, 2, 1) + x_{2}(3, 0, 2) + x_{3}(4, 4, 1). V prvním případě tedy řešíme nehomogenní soustavu rovnic:

(\begin{matrix}1 & 3 & 4 & | & 0 \\ 2 & 0 & 4 & | & 3 \\ 1 & 2 & 1 & | & 2 \end{matrix}) ∼ (\begin{matrix}1 & 0 & 2 & | & 4 \\ 0 & 3 & 2 & | & 1 \\ 0 & 2 & 4 & | & 3 \end{matrix}) ∼ (\begin{matrix}1 & 0 & 2 & | & 4 \\ 0 & 3 & 2 & | & 1 \\ 0 & 0 & 1 & | & 4 \end{matrix})

Odtud už snadno dopočítáme [(0, 3, 2)]_{M} = (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (1, 1, 4).

V druhém případě stačí dosadit známé souřadnice

v = 3 · (1, 2, 1) + 0 · (3, 0, 2) + 1 · (4, 4, 1) = (2, 0, 4).
□

Domácí úkol k 1.písemce (prosím odevzdat do 16.3):Buď B = ((1, 1, 1, 2), (1, 1, 2, 1), (1, 2, 1, 1), (2, 1, 1, 1)) a C = ((2, 1, 0, 0), (1, 1, 0, 1), (2, 2, 1, 2), (1, 1, 0, 0)) posloupnosti vektorů vektorového prostoru Z_{3}^{4}. Dokažte, že jde o báze a najděte matici [Id]_{CB} (tj. matici přechodu od báze B k bázi C).

2 (9.3). Buď f bilineární forma na vektorovém prostoru Z_{7}^{2} nad tělesem Z_{7} s ma-

ticí A = (\begin{matrix}1 & 2 \\ 1 & 2 \end{matrix}) vzhledem k bázi B = ((3, 1), (5, 5)). Najděte matice vzhledem

ke kanonické bázi a) bilineární formy f, b) symetrické bilineární formy f_{s} a c) antisymetrické bilineární formy f_{a}, pro které f = f_{s} + f_{a}.

Označme D matici f, dále D_{s} matici f_{s} a D_{a} matici f_{a} vzhledem k bázi B a připomeňme, že D = [Id]_{K_{2} B}^{T} · A · [Id]_{K_{2} B}. Nejprve tedy spočítáme například pomocí adjungované matice a hodnoty det([Id]_{K_{2} B}) = 3 matici přechodu [Id]_{K_{2} B} =

[Id]_{BK_{2}}^{−1} = 3^{−1} · (\begin{matrix}5 & 2 \\ 6 & 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix}4 & 3 \\ 2 & 1 \end{matrix}). Nyní vynásobíme matice

D = [Id]_{K_{2} B}^{T} · A · [Id]_{K_{2} B} = (\begin{matrix}4 & 2 \\ 3 & 1 \end{matrix}) · (\begin{matrix}1 & 2 \\ 1 & 2 \end{matrix}) · (\begin{matrix}4 & 3 \\ 2 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix}6 & 2 \\ 4 & 6 \end{matrix}) .

Uvědomíme-li si, že hledané matice jsou právě matice rozkladu D na symetrickou a antisymetrickou část, stačí nám tento rozklad spočítat:

D_{s} = \frac{1}{2}(D + D^{T}) = 2^{−1} · ((\begin{matrix}6 & 4 \\ 2 & 6 \end{matrix}) + (\begin{matrix}6 & 2 \\ 4 & 6 \end{matrix})) = (\begin{matrix}6 & 3 \\ 3 & 6 \end{matrix}) ,

D_{a} = D − D_{s} = (\begin{matrix}6 & 4 \\ 2 & 6 \end{matrix}) − (\begin{matrix}6 & 3 \\ 3 & 6 \end{matrix}) = (\begin{matrix}0 & 6 \\ 1 & 0 \end{matrix}) .

□

Domácí úkol k 2.písemce (prosím odevzdat do 23.3, ti, co za 2.písemku získali 3 body, dostanou 4. bod, spočítají-li správně část a)): Buď f biline-

ární forma na vektorovém prostoru Z_{7}^{3} nad tělesem Z_{7} s maticí [f]_{B} = (\begin{matrix}1 & 6 & 2 \\ 4 & 5 & 1 \\ 2 & 0 & 4 \end{matrix})

vzhledem k bázi B = ((4, 0, 1), (1, 5, 0), (1, 3, 0)).

a) Spočítejte hodnoty f((0, 0, 1), (1, 1, 0)) a f((1, 1, 0)(0, 0, 1)).

b) Najděte matice symetrické bilineární formy f_{s} a antisymetrické bilineární formy f_{a} vzhledem k bázi C = ((1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)), pro které f = f_{s} + f_{a}.

3 (16.3). Mějme f_{2} kvadratickou forma na Z_{3}^{3} danou předpisem f_{2}(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+2x_{2}x_{3}. Spočítejte vzhledem ke kanonické bázi matici symetrické bilineární formy f, která vytváří f_{2} (tj. f_{2}(v) = f(v, v)), a najděte nějakou polární bázi f.

Okamžitě vidíme, že

f((x_{1}, x_{2}, x_{3}), (y_{1}, y_{2}, y_{3})) = x_{1}y_{1} + x_{1}y_{2} + x_{2}y_{1} + 2x_{1}y_{3} + 2x_{3}y_{1} + x_{2}y_{3} + x_{3}y_{2},

a proto [f]_{K_{3}} = (\begin{matrix}1 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{matrix}). Vyřešíme-li homogenní soustavu rovnic s touto maticí,

najdeme bázi vrcholu p_{1} = (2, 2, 1). Postupujeme-li metodou I*, doplníme vektor p_{1} na bázi Z_{3}^{3} například vektory e_{1} a e_{2} kanonické báze. Definujeme symetrickou bilineární formy f̃ na podprostor U = ⟨e_{1}, e_{2}⟩, předpisem f̃(u, v) = f(u, v) pro

každé u, v ∈ U, pak přímočaře spočítáme matici [f̃]_{N} = (\begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) vzhledem k bázi

N = (e_{1}, e_{2}). Nejprve tedy přímo vidíme, že f̃_{2}(e_{1}) = 1 ≠ 0, tedy máme 2. vektor polární báze p_{2} = (1, 0, 0) a poté vyřešíme homogenní soustavu rovnic s maticí

[p_{2}]_{N}[f̃]_{N} = (1, 0) · (\begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) = (1 1) .

Vidíme, že soustavu řeší [p_{3}]_{B} = (2, 1), tedy p_{3} = 2 · e_{1} + e_{2} = (2, 1, 0) Našli jsme polární bázi ((2, 2, 1), (1, 0, 0), (2, 1, 0)). □

Domácí úkol k 3.písemce (prosím odevzdat do 30.3, ti, co za 2.písemku získali 3 body, dostanou 4. bod, spočítají-li správně část a)): Buď b_{1} = (1, 1, 1), b_{2} = (1, 0, 1), b_{3} = (1, 0, 2) ∈ Z_{7}^{3} a buď g symetrická bilineární forma na Z_{7}^{3} splňující podmínky g(b_{i}, b_{i}) = 1 pro i = 1, 2, 3 a g(b_{i}, b_{j}) = 3 pro i ≠ j. Najděte a) vrchol g, b) nějakou polární bázi g.

4 (23.3). Mějme f_{2} kvadratickou forma na R^{2} danou předpisem f_{2}(x_{1}, x_{2}) = 3x_{1}^{2} + 4x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}. Najděte nějakou polární bázi P symetrické bilineární formy f vytvářející f_{2}, matici [f]_{P} a nenulový vektor v ∈ R^{2}, pro který f_{2}(v) = 0.

Nejprve obvyklým způsobem určíme matici symetrické bilineární formy f vzhle-

dem ke kanonické bázi [f]_{K_{2}} = (\begin{matrix}3 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix}) a postupujeme metodou II z přednášky,

tj. upravujeme posloupností symetrických elementárních úprav a tyto úpravy (ve skutečnosti provedeme jedinou symetrickou úpravu) zaznamenáváme.

(\begin{matrix}3 & 2 & | & 1 & 0 \\ 2 & 1 & | & 0 & 1 \end{matrix}) ∼_{s} (\begin{matrix}−1 & 0 & | & 1 & −2 \\ 0 & 1 & | & 0 & 1 \end{matrix}) .

Protože je pravá část matice právě matice transponovaná k matici přechodu

od polární báze P ke kanonické bázi, tedy [Id]_{P K_{2}} = (\begin{matrix}1 & 0 \\ −2 & 1 \end{matrix}), máme P =

((1, −2), (0, 1)) a [f]_{P} = (\begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}). Vezmeme-li nyní vektory polární báze P a

hodnoty f_{2}((1, −2)) = −1 a f_{2}((0, 1)) = 1, vidíme, že f_{2}((1, −2) + (0, 1)) = f_{2}((1, −2)) + f_{2}((0, 1)) = −1 + 1 = 0, tedy f_{2}((1, −1)) = 0 a hledaným vektorem v je například v = (1, −1). □

Domácí úkol k 4.písemce (prosím odevzdat do 6.4, ti, co za 4.písemku získali 3 body, dostanou 4. bod, spočítají-li správně část a)): Mějme f_{2} kvadratickou formu na R^{4} danou předpisem f_{2}(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = 2x_{1}^{2} − 2x_{1}x_{2} + 2x_{1}x_{4} + x_{2}^{2} + 4x_{2}x_{3} − 2x_{2}x_{4} − x_{3}^{2} − 2x_{3}x_{4}. Označme f symetrickou bilineární formu f vytvářející f_{2}.

a) Spočítejte signaturu f,

b) najděte nějakou polární bázi f.

5 (30.3). Rozhodněte, zda je zobrazení g((x_{1}, x_{2}, x_{3}), (y_{1}, y_{2}, y_{3})) = 2x_{1}y_{1} − x_{1}y_{2} − x_{2}y_{1} + 3x_{2}y_{2} − 2x_{2}y_{3} − 2x_{3}y_{2} + 2x_{3}y_{3} skalární součin na R^{3}.

Nad reálným vektorovým prostorem R^{3} potřebujeme zjistit, zda je g pozitivně definitní symetrická bilineární forma. Přitom z definice zobrazení vidíme, že se jedná

o bilineární formu s maticí [g]_{K_{3}} = (\begin{matrix}2 & −1 & 0 \\ −1 & 3 & −2 \\ 0 & −2 & 2 \end{matrix}). Protože je [g]_{K_{3}} symetrická

matice, je g symetrická bilineární forma. Zbývá nám určit signaturu, použijme k tomu například metodou II a symetricky upravujme:

(\begin{matrix}2 & −1 & 0 \\ −1 & 3 & −2 \\ 0 & −2 & 2 \end{matrix}) ∼_{s} (\begin{matrix}2 & −1 & 0 \\ −1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix}) ∼_{s} (\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix}) .

Vidíme, že na diagonále nalezené diagonální matice jsou všechny hodnoty kladné, tedy g má signaturu (0, 3, 0), proto jde to pozitivně definitní symetrickou bilineární forma.

Podobně snadno jsme mohli použít metodu III, spočítat determinanty

det(2) = 2, det(\begin{matrix}2 & −1 \\ −1 & 3 \end{matrix}) = 5, det (\begin{matrix}2 & −1 & 0 \\ −1 & 3 & −2 \\ 0 & −2 & 2 \end{matrix}) = 2

a odtud díky jejich kladnosti usoudit, že se je g pozitivně definitní.

Zjistili jsme, že g je skalární součin. □

Domácí úkol k 5.písemce (prosím odevzdat do 13.4, ti, co za 5.písemku získali 3 body, dostanou 4. bod, spočítají-li správně část a)): Mějme M = ((1, 0, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0, 1), (1, 1, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1, 0)) ortonormální bázi skalárního součinu g na reálném vektorovém prostoru R^{5}.

a) Spočítejte g((1, 0, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0)),

b) najděte matici g zhledem ke kanonické bázi.

6 (6.4). Uvažujme standardní skalární součin · na reálném vektorovém prostoru R^{4}. Ověřte, že je B = ((\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}), (\frac{1}{2}, −\frac{1}{2}, −\frac{1}{2}, \frac{1}{2}), (−\frac{1}{2}, −\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}), (−\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, −\frac{1}{2}, \frac{1}{2})) je ortonormální báze R^{4} vzhledem k · a spočítejte souřadnice [(1, 2, 0, 3)]_{B}.

Označme si vektory posloupnosti B = (b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}). Nyní přímočarým výpočtem zjistíme, že b_{i} · b_{j} = δ_{ij}, tedy jsme zjistili, že B je ortonormální posloupnost. Tudíž je B lineárně nezávislá posloupnost délky 4 ve vektorovém prostoru dimenze 4, a proto jde o ortonormální bázi R^{4}.

Protože pro každý vektor v ∈ R^{4} a ortonormální bázi B platí [v]_{B} = (b_{1} · v, b_{2} · v, b_{3} · v, b_{4} · v), spočítáme

(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}) · (1, 2, 0, 3) = \frac{1}{2}(1 + 2 + 3) = 3,

(\frac{1}{2}, −\frac{1}{2}, −\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) · (1, 2, 0, 3) = \frac{1}{2}(1 − 2 + 3) = 1,

(−\frac{1}{2}, −\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}) · (1, 2, 0, 3) = \frac{1}{2}(−1 − 2 + 3) = 0,

(−\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, −\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) · (1, 2, 0, 3) = \frac{1}{2}(−1 + 2 + 3) = 2,

tedy [(1, 2, 0, 3)]_{B} = (3, 1, 0, 2). □

Domácí úkol k 6.písemce (prosím odevzdat do 20.4, ti, co za 6.písemku získali 3 body, dostanou 4. bod, spočítají-li správně část a)): Uvažujme standardní skalární součin · na reálném vektorovém prostoru R^{4} a mějme vektory u_{1} = \frac{1}{\sqrt{6}}(1, 2, −1, 0) u_{2} = \frac{1}{\sqrt{11}} (1, 0, 1, 3) a u_{3} = \frac{1}{\sqrt{34}} (1, 2, 5, −2).

a) Dokažte, že je posloupnost (u_{1}, u_{2}, u_{3}) ortonormální a dopňte ji na ortonormální bázi M.

b) Spočítejte souřadnice [(1, 2, 0, 3)]_{M} a [(1, 1, 1, −1)]_{M}.

7 (13.4). Uvažujme standardní skalární součin · na reálném vektorovém prostoru R^{4}. Najděte ortogonální bázi podprostoru V = ⟨(1, 1, 2, 1), (0, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 3)⟩ a nějakou bázi ortogonálního doplňku V^{⊥}.

Označme u_{1} = (1, 1, 2, 1), u_{2} = (0, 1, 1, 1), u_{3} = (1, 2, 1, 3), Vytvoříme pomoc Gramovy-Schmidtovy ortogonalizace dokonce ortonormální posloupnost v_{1}, v_{2}, v_{3}, pro kterou platí, že ⟨v_{1}⟩ = ⟨u_{1}⟩, ⟨v_{1}, v_{2}⟩ = ⟨u_{1}, u_{2}⟩ a ⟨v_{1}, v_{2}, v_{3}⟩ = ⟨u_{1}, u_{2}, u_{3}⟩.

1. v_{1} = \frac{(1,1,2,1)}{∥(1,1,2,1)∥} = \frac{1}{\sqrt{7}}(1, 1, 2, 1).

2. v′_{2} = (0, 1, 1, 1) − \frac{1}{\sqrt{7}}(1, 1, 2, 1) · (0, 1, 1, 1) · \frac{1}{\sqrt{7}}(1, 1, 2, 1) = (0, 1, 1, 1) −

\frac{4}{7}(1, 1, 2, 1) = \frac{1}{7}(−4, 3, −1, 3). Proto v_{2} = \frac{1}{\sqrt{35}} (−4, 3, −1, 3).

3. Nejprve spočítáme c_{1} = v_{1} ·(1, 2, 1, 3) = \frac{8}{\sqrt{7}} a c_{2} = v_{2} ·(1, 2, 1, 3) = \frac{10}{\sqrt{35}} . Potom v′_{3} = u_{3} −c_{1} v_{1} −c_{2} v_{2} = (1, 2, 1, 3) − \frac{8}{7}(1, 1, 2, 1) − \frac{2}{7}(−4, 3, −1, 3) =

\frac{1}{7}(7, 0, −7, 7) = (1, 0, −1, 1) Tedy v_{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 0, −1, 1).

Našli jsme ortonormální bázi (\frac{1}{\sqrt{7}}(1, 1, 2, 1), \frac{1}{\sqrt{35}} (−4, 3, −1, 3), \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 0, −1, 1)). Konečně poznamenejme, že ortogonální bázi tvoří například i posloupnost ((1, 1, 2, 1), (−4, 3, −1, 3), (1, 0, −1, 1)).

Protože potřebujeme najít vektor kolmý na všechny vektory u_{1}, u_{2}, u_{3}, stačí například, abychom vyřešili homogenní soustavu s maticí

(\begin{matrix}1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 3 \end{matrix}) ∼ (\begin{matrix}1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & −1 & 2 \end{matrix}) ∼ (\begin{matrix}1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & −2 & 1 \end{matrix}) ,

tedy vidíme, že bází řešení soustavy i bází V^{⊥} je vektor (−1, −3, 1, 2). □

Domácí úkol k 7.písemce (prosím odevzdat do 27.4, ti, co za 7.písemku získali 3 body, dostanou 4. bod, spočítají-li správně část a)): Uvažujme standardní skalární součin · na reálném vektorovém prostoru R^{4} a vektory u_{1} = (1, 1, −1, 2), u_{2} = (1, 2, −2, 3), a u_{3} = (0, 2, 1, 5). Najděte ortonormální báze podprostorů:

a) ⟨u_{1}, u_{2}⟩ a ⟨u_{1}, u_{2}, u_{3}⟩,

b) ⟨u_{2}, u_{3}⟩ a ⟨u_{1}, u_{3}⟩.

8 (20.4). Spočítejte ortogonální projekci vektoru (2, −3, 2, 0, 2) do podprostoru U = ⟨(1, 0, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 1, 1)⟩ vektorovém prostoru R^{5} se standardním skalárním součinem.

Hledáme takovou lineární kombinaci vektorů x_{1} · (1, 0, 1, 1, 1) + x_{2} · (0, 1, 1, 1, 1), aby byl vektor (2, −3, 2, 0, 2) − x_{1} · (1, 0, 1, 1, 1) − x_{2} · (0, 1, 1, 1, 1) kolmý na prostor U, tedy na oba generující vektory (1, 0, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 1, 1). Spočítáme-li skalární součiny

(1, 0, 1, 1, 1) · (1, 0, 1, 1, 1) = 4, (1, 0, 1, 1, 1) · (0, 1, 1, 1, 1) = 3,
(0, 1, 1, 1, 1) · (0, 1, 1, 1, 1) = 4, (1, 0, 1, 1, 1) · (2, −3, 2, 0, 2) = 6

a (0, 1, 1, 1, 1)·(2, −3, 2, 0, 2) = 1, dostaneme z této úvahu Gramovu matici soustavy, kterou upravíme:

(\begin{matrix}4 & 3 & | & 6 \\ 3 & 4 & | & 1 \end{matrix}) ∼ (\begin{matrix}1 & −1 & | & 5 \\ 0 & 7 & | & −14 \end{matrix}) .

Odtud již zjistíme, že x_{1} = 3 a x_{2} = −2, proto je ortogonální projekce vektoru (2, −3, 2, 0, 2) na podprostor U vektor 3 · (1, 0, 1, 1, 1) − 2 · (0, 1, 1, 1, 1) = (3, −2, 1, 1, 1). □

Domácí úkol k 8.písemce (prosím odevzdat do 4.5: Spočítejte ortogonální projekci vektoru (1, i, 1 − i, 0) do podprostoru U = ⟨(1, 0, i, 1 + i), (i, −1, 0, 1)⟩ komplexního vektorovém prostoru C^{4} se standardním skalárním součinem.

9 (27.4). Najděte všechna vlastní čísla a všechny vlastní vektory matice A =

(\begin{matrix}0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 6 \\ 3 & 6 & 0 \end{matrix}) nad tělesem Z_{7}

Nejprve spočítáme charakteristický polynom matice A, tedy det(A − λE) =

det (\begin{matrix}−λ & 1 & 2 \\ 2 & −λ & 6 \\ 3 & 6 & −λ \end{matrix}) = −λ^{3} + 4 + 3 + 6λ + λ + 2λ = −(λ^{2} + 5)λ. Dosazením

najdeme vlastní čísla 0, 3, 4. Dále hledáme vlastní vektory, tj. řešíme homogenní soustavy rovnic s maticí A, A − 3 · E a A − 4 · E:

A = (\begin{matrix}0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 6 \\ 3 & 6 & 0 \end{matrix}) ∼ (\begin{matrix}2 & 0 & 6 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) ,

tedy ⟨(4, 5, 1), ⟩ \ {(0, 0, 0)} jsou všechny vlastní vektory příslušné vlastnímu číslu 0,

A − 3E = (\begin{matrix}4 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 4 \end{matrix}) ∼ (\begin{matrix}4 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) ,

tedy ⟨(5, 1, 0), ⟩ \ {(0, 0, 0)} jsou všechny vlastní vektory příslušné vlastnímu číslu 3,

A − 4E = (\begin{matrix}3 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 6 \\ 3 & 6 & 3 \end{matrix}) ∼ (\begin{matrix}3 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 \end{matrix}) ,

tedy ⟨(5, 4, 1), ⟩ \ {(0, 0, 0)} jsou všechny vlastní vektory příslušné vlastnímu číslu 4. □

Domácí úkol k 9.písemce (prosím odevzdat do 11.5, ti, co za 9.písemku získali 3 body, dostanou 4. bod, spočítají-li správně část a)): Buď A =

(\begin{matrix}1 & 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 & 3 \\ 3 & 3 & 1 & 4 \\ 3 & 2 & 3 & 2 \end{matrix}) nad tělesem Z_{5}.

a) Najděte všechna vlastní čísla A,

b) najděte všechny vlastní vektory A.

10 (4.5). Nechť ψ je endomorfismus na vektorové prostoru R^{3} nad tělesem reálných čísel daný předpisem ψ(x, y, z) = (x + y + z, 2y + z, 2y + 3z). Existuje-li, najděte bázi B, vůči níž ma endomorfismus ψ diagonální matici a určete [ψ]_{B}.

Nejprve určíme matici endomorfismu [ψ]_{K_{3}} = (\begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 3 \end{matrix}) vzhledem ke kano-

nické bázi K_{3} a spočítáme charakteristický polynom (λ − 1)^{2}(λ − 4), tedy áme dvě

vlastní čísla 1 a 4. Vyřešíme-li soustavy s maticemi [ψ]_{K_{3}} − 1E = (\begin{matrix}0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \end{matrix}) a

[ψ]_{K_{3}} − 4E = (\begin{matrix}−3 & 1 & 1 \\ 0 & −2 & 1 \\ 0 & 2 & −1 \end{matrix}), najdeme bázi B = ((1, 0, 0), (0, −1, 1), (1, 1, 2))

prostoru R^{3} složenou z vlastních vektorů matice [ψ]_{K_{3}}. Protože jsme pracovali s maticí ψ vzhledem ke kanonické bázi, jedná se vlastní vektory endomorfismu ψ.

Proto [ψ]_{B} = (\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{matrix}). □

Domácí úkol k 10.písemce (prosím odevzdat do 18.5, ti, co za 10.písemku získali 3 body, dostanou 4. bod, spočítají-li správně část a)): Buď

C = (\begin{matrix}1 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 1 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 1 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 1 \end{matrix}) nad tělesem Z_{7}.

a) Najděte regulární matici P, aby byla P^{−1}CP diagonální,

b) spočítejte kolik takových matic existuje