2.12.

6. Regulární matice

6.1. Rozhodněte, zda je nad tělesy Q, Z_{5} a Z_{7} regulární matice:

A = (\begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 4 & 4 \end{matrix}), B = (\begin{matrix}2 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \end{matrix}), A · B a A^{555}.

Díky Větě 8.4 stačí zjistit, zda jsou determinanty jednotlivých matic nenulové. Spočítejme nejprve determinanty matic A a B:

detA = det (\begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 4 & 4 \end{matrix}) = det (\begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ −3 & −4 & 0 \end{matrix}) = det(\begin{matrix}2 & 1 \\ −3 & −4 \end{matrix}) = −5

nad Q, detA = 0 nad Z_{5} a detA = 2 nad Z_{7}, což znamená, že je A regulární nad Q a Z_{7} a A je singulární nad Z_{5}. Podobně

detB = det (\begin{matrix}2 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \end{matrix}) = det (\begin{matrix}2 & 0 & 3 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 3 \end{matrix}) = 2 · det(\begin{matrix}2 & 3 \\ 1 & 3 \end{matrix}) = 6

nad Q, detB = 1 nad Z_{5} a detB = 6 nad Z_{7}, tedy B jr regulární nad všemi tělesy Q, Z_{5} a Z_{7}. Použijeme-li Větu 7.21, která říká, že det(A·B) = det(A)·det(B), pak vidíme, že det(A · B) ≠ 0 právě když detA ≠ 0 a detB ≠ 0. Tudíž matice A · B je regulární nad Q a Z_{7} a není regulární nad Z_{5}. Konečně indukčním rozšířením Věty 7.21 dostaneme, že det(A^{555}) = det(A)^{555}, a proto je matice A^{555} regulární právě nad tělesy Q a Z_{7}. □

6.2. Rozhodněte pro která reálná a jsou reálné matice P(a) = (\begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ a & 1 & a \\ 1 & a & 0 \end{matrix}), Q(a) =

(\begin{matrix}a & −1 & −1 \\ a − 1 & 1 & 1 \\ a + 1 & 1 & 0 \end{matrix}) a P(a) · Q(a) regulární.

Nejprve spočítáme determinanty det(P(a)) = det (\begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ a & 1 & a \\ 1 & a & 0 \end{matrix}) = a − a^{2}, a

det(Q(a)) = det (\begin{matrix}a & −1 & −1 \\ a − 1 & 1 & 1 \\ a + 1 & 1 & 0 \end{matrix}) = det (\begin{matrix}2a − 1 & 0 & 0 \\ a − 1 & 1 & 1 \\ a + 1 & 1 & 0 \end{matrix}) = 1 − 2a.

Věta 8.4 z přednášky říká, že je matice regulární, právě když je její determinant nenulový. Determinaty matic P(a) a Q(a) už jsme spočítali, zbývá nám s využitím Věty 7.21 spočítat det(P(a) · Q(a)) = det(P(a)) · det(Q(a)) = a(1 − a)(1 − 2a). Vidíme, že je matice P(a) regulární, právě když a ∈ R \ {0, 1}, matice Q(a) je regulární, právě když a ∈ R \ \{\frac{1}{2}\} a součin P(a) · Q(a) je regulární, právě když a ∈ R \ \{0, \frac{1}{2}, 1\}. □

6.3. Rozhodněte pro která x ∈ Z_{5} je matice (\begin{matrix}2x & x + 3 & 2x + 1 \\ x + 4 & 3x + 2 & 3 \\ x + 1 & x & 4x \end{matrix} ) nad tělesem

Z_{5} singulární.

Opět nejprve spočítáme determinant matice A(x) = (\begin{matrix}2x & x + 3 & 2x + 1 \\ x + 4 & 3x + 2 & 3 \\ x + 1 & x & 4x \end{matrix} ),

nejprve přičteme třetí sloupec k druhému a pak rozvedeme podle třetího řádku:

det (\begin{matrix}2x & x + 3 & 2x + 1 \\ x + 4 & 3x + 2 & 3 \\ x + 1 & x & 4x \end{matrix} ) = det (\begin{matrix}2x & 3x + 4 & 2x + 1 \\ x + 4 & 3x & 3 \\ x + 1 & 0 & 4x \end{matrix} ) =

= (x + 1) · (4x^{2} + x + 2) + 4x · (3x^{2} + 4x + 4) = x^{3} + x^{2} + 4x + 2.

Stejně jako v předchozí úloze potřebujeme najít x ∈ Z_{5}, pro něž je hodnota det(A(x)) = x^{3} + x^{2} + 4x + 2 = 0, což snadno zjistíme dosazováním jednotlivých prvků tělesa Z_{5}:

det(A(0)) = 2, det(A(1)) = 1^{3}+1^{2}+4·1+2 = 3, det(A(2)) = 2^{3}+2^{2}+4·2+2 = 2,

det(A(3)) = 3^{3} + 3^{2} + 4 · 3 + 2 = 0, det(A(4)) = 4^{3} + 4^{2} + 4 · 4 + 2 = 3.

Zjistili jsme, že je matice A(x) singulární, právě když je x = 3. □

6.4. Vyřešte nad reálnými čísly soustavu rovnic Ax^{T} = (1, 0, 0)^{T} s reálným para-

metrem a, kde A = (\begin{matrix}2a + 1 & a & 2a \\ a & 1 & a + 1 \\ 2a & 0 & 2a \end{matrix} ).

Pro počítání použijeme Cramerovo pravidlo. Nejdříve určíme detA = 2a·(a+1). To znamená, že Cramerovo pravidlo můžeme využít pro parametr a ∈ R \ {0, −1}, t.j. je-li matice A regulární. Dále určíme determinant matic A_{i}, které vzniknou z matice A nahrazením i-tého sloupce sloupcem pravých stran vektorem, tedy

(1, 0, 0)^{T}: detA_{1} = det (\begin{matrix}1 & a & 2a \\ 0 & 1 & a + 1 \\ 0 & 0 & 2a \end{matrix} ) = 2a, detA_{2} = det (\begin{matrix}2a + 1 & 1 & 2a \\ a & 0 & a + 1 \\ 2a & 0 & 2a \end{matrix} ) =

2a a detA_{3} = det (\begin{matrix}2a + 1 & a & 1 \\ a & 1 & 0 \\ 2a & 0 & 0 \end{matrix}) = −2a. Nyní pomocí Cramerova pravidla (Věta

8.13) spočítáme hodnotu i-té neznámé jako x_{i} = \frac{det A_{i}}{det A} . Tedy x_{1} = x_{2} = \frac{2a}{2a(a+1)} = \frac{1}{a+1} a x_{3} = \frac{−2a}{2a(a+1)} = −\frac{1}{a+1} .

Konečně standardním postupem zjistíme, že soustava pro a = −1 nemá řešení a pro a = 0 leží všechna řešení v množině (1, 0, 0) + ⟨(0, 1, −1)⟩. □

9.12.

6.5. Existuje-li, najděte inverzní matici k reálné matici B = (\begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ −2 & −3 & 1 \\ 2 & 4 & 3 \end{matrix}).

Využijeme Větu 8.8 z přednášky a budeme elementárními úpravami upravovat matici B rozšířenou o jednotkovou matici, tedy matici (B|E) tak, abychom dostali matici (E|C). Podaří-li se nám to, bude matice C právě inverzní maticí k matici B:

(\begin{matrix}1 & 2 & 1 & |1 & 0 & 0 \\ −2 & −3 & 1 & |0 & 1 & 0 \\ 2 & 4 & 3 & |0 & 0 & 1 \end{matrix}) ∼ (\begin{matrix}1 & 2 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & | & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & −2 & 0 & 1 \end{matrix}) ∼

∼ (\begin{matrix}1 & 2 & 0 & | & 3 & 0 & −1 \\ 0 & 1 & 0 & | & 8 & 1 & −3 \\ 0 & 0 & 1 & | & −2 & 0 & 1 \end{matrix}) ∼ (\begin{matrix}1 & 0 & 0 & | & −13 & −2 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & | & 8 & 1 & −3 \\ 0 & 0 & 1 & | & −2 & 0 & 1 \end{matrix}) .

Zjistili jsme, že B^{−1} = (\begin{matrix}−13 & −2 & 5 \\ 8 & 1 & −3 \\ −2 & 0 & 1 \end{matrix}). □

6.6. Existuje-li, spočítejte nad tělesem Z_{7} matici (\begin{matrix}1 & 2 & 4 \\ 3 & 2 & 6 \\ 1 & 0 & 5 \end{matrix})^{−1}.

Postupujeme stejně jako v předchozím příkladě:

(\begin{matrix}1 & 2 & 4 & |1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 6 & |0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 5 & |0 & 0 & 1 \end{matrix}) ∼ (\begin{matrix}1 & 0 & 5 & |0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 5 & |0 & 1 & 4 \\ 0 & 2 & 6 & |1 & 0 & 6 \end{matrix}) ∼ (\begin{matrix}1 & 0 & 0 & |2 & 5 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & |1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & |1 & 6 & 2 \end{matrix}) .

Dostali jsme (\begin{matrix}1 & 2 & 4 \\ 3 & 2 & 6 \\ 1 & 0 & 5 \end{matrix})^{−1} = (\begin{matrix}2 & 5 & 5 \\ 1 & 3 & 4 \\ 1 & 6 & 2 \end{matrix}). □

6.7. Spočítejte součin reálných matic (\begin{matrix}2 & 3 \\ 1 & 1 \end{matrix})^{−1} · (\begin{matrix}1 & 3 & 1 & −1 \\ 2 & 0 & −1 & 2 \end{matrix}).

Označme A = (\begin{matrix}2 & 3 \\ 1 & 1 \end{matrix}) a B = (\begin{matrix}1 & 3 & 1 & −1 \\ 2 & 0 & −1 & 2 \end{matrix}). Rozšíříme-li matici A o matici

B a budeme-li vzniklou matici (A|B) upravovat stejně jako v předchozích dvou úlohách takovými elementárními úpravami, abychom vlevo obdrželi jednotkovou matici, snadno nahlédneme, že

(A|B) ∼ A^{−1} · (A|B) = (E|A^{−1}B),

Tedy vpravo dostaneme hledaný součin A^{−1}B. Počítejme:

(\begin{matrix}2 & 3 & |1 & 3 & 1 & −1 \\ 1 & 1 & |2 & 0 & −1 & 2 \end{matrix}) ∼ (\begin{matrix}1 & 1 & |2 & 0 & −1 & 2 \\ 2 & 3 & |1 & 3 & 1 & −1 \end{matrix}) ∼

∼ (\begin{matrix}1 & 1 & | & 2 & 0 & −1 & 2 \\ 0 & 1 & | & −3 & 3 & 3 & −5 \end{matrix}) ∼ (\begin{matrix}1 & 0 & | & 5 & −3 & −4 & 7 \\ 0 & 1 & | & −3 & 3 & 3 & −5 \end{matrix}) .

Spočítali jsme, že (\begin{matrix}2 & 3 \\ 1 & 1 \end{matrix})^{−1} · (\begin{matrix}1 & 3 & 1 & −1 \\ 2 & 0 & −1 & 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix}5 & −3 & −4 & 7 \\ −3 & 3 & 3 & −5 \end{matrix}). □

6.8. Spočítejte součin reálných matic (\begin{matrix}2 & 0 \\ −1 & 3 \\ 1 & 2 \end{matrix}) · (\begin{matrix}3 & 4 \\ 2 & 3 \end{matrix})^{−1}.

Označme C = (\begin{matrix}2 & 0 \\ −1 & 3 \\ 1 & 2 \end{matrix}) a D = (\begin{matrix}3 & 4 \\ 2 & 3 \end{matrix}). Uvědomíme-li si, že (C · D^{−1})^{T} =

(D^{−1})^{T} · C^{T} = (D^{T})^{−1} · C^{T}, můžemem postupovat stejným způsobem jako v minulém příkladu, ovšem pro součin transponovaných matic v obráceném pořadí:

(\begin{matrix}3 & 2 & |2 & −1 & 1 \\ 4 & 3 & |0 & 3 & 2 \end{matrix}) ∼ (\begin{matrix}12 & 8 & |8 & −4 & 4 \\ 12 & 9 & |0 & 9 & 6 \end{matrix}) ∼ (\begin{matrix}3 & 2 & | & 2 & −1 & 1 \\ 0 & 1 & | & −8 & 13 & 2 \end{matrix}) ∼

∼ (\begin{matrix}3 & 0 & | & 18 & −27 & −3 \\ 0 & 1 & | & −8 & 13 & 2 \end{matrix}) ∼ (\begin{matrix}1 & 0 & | & 6 & −9 & −1 \\ 0 & 1 & | & −8 & 13 & 2 \end{matrix}) .

Zjistili jsme, že (D^{T})^{−1}·C^{T} = (\begin{matrix}6 & −9 & −1 \\ −8 & 13 & 2 \end{matrix}), a proto C·D^{−1} = (\begin{matrix}6 & −8 \\ −9 & 13 \\ −1 & 2 \end{matrix}). □

6.9. Najděte nad tělesem Z_{7} adjungovanou matici k maticím A = (\begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 6 \end{matrix}), B =

(\begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}), C = (\begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{matrix}) a D = (\begin{matrix}1 & 2 & 4 \\ 3 & 2 & 6 \\ 1 & 0 & 5 \end{matrix}).

Postupujme nejprve podle definice, na i-tém řádku a v j-tém sloupci adjungované matice se nachází subdeterminant původní matice, v níž vyškrtneme j-tý řádek a i-tý sloupec, vynásobený hodnotou (−1)^{i+j} :

adj(A) = (\begin{matrix}6 & 5 \\ 4 & 1 \end{matrix}) , adj(B) = (\begin{matrix}2 & 6 \\ 6 & 1 \end{matrix}) , adj(C) = (\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) .

U poslední matice, o níž z příkladu 6.6 víme, že je regulární, a známe její inverz, stačí abychom spočetli determinant det(D) = 5 a využili Věty 8.12, která říká, že D · adj(D) = det(D) · E, proto adj(D) = det(D) · D^{−1}, tedy adj(D) = 5 ·

(\begin{matrix}2 & 5 & 5 \\ 1 & 3 & 4 \\ 1 & 6 & 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix}3 & 4 & 4 \\ 5 & 1 & 6 \\ 5 & 2 & 3 \end{matrix}). □

16.12.

7. Homomorfismy vektorových prostorů

7.1. Uvažujme reálný vektorový prostor R[x] všech reálných polynomů. Dokažte, že první derivace ′ tvoří homomorfismus R[x] do R[x]. Jak vypadá jádro Ker(′) a obraz Im(′)?

Tvrzení, že (p+q)′ = p′+q′ a (c.p)′ = c.p′ je dokázáno na přednášce matematické analýzy (nejen) pro všechny polynomy p a q a každou reálnou konstantu c. Tedy první derivace je homomorfismus. Snadno nahlédneme, že Ker(′) obsahuje právě všechnny konstantní funkce a Im(′) = R[x]. □

7.2. Je-li n > 1 přirozené číslo, dokažte, že n-tá derivace ^{(n)} tvoří endomorfismus na R[x] a popište jádro Ker(^{(n)}) a obraz Im(^{(n)})?

Uvážíme-li, že je n-tá derivace složením n prvních derivací, je ^{(n)} homorfismus díky Větě 9.5. Protože je první derivace epimorfismus a složení epimorfismů je opět epimorfismus podle Věty 9.7, dostáváme, že Im(^{(n)}) = R[x]. Koněčně analytické pozorování říká, že n-tá derivace polynomu je nulová, právě když jde o polynom stupně menšího jak n, proto, že Ker(^{(n)}) obsahuje právě všechnny polynomy stupně menšího jak n. □

7.3. Nechť f : Z_{5}^{3} → Z_{5}^{2} je zobrazení dané předpisem f(v) = v · (\begin{matrix}4 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix}).

Rozhodněte, zda jde o homomorfismus.

Podle Věty 4.7 z přednášky zobrazení dané násobením sloupcového vektoru (tedy matice typu (n, 1)) maticí splňuje axiomy homomorfismu, tedy (u + v) · A = u · A + v · A a (r · u) · A = r · (u · A) pro každé u, v ∈ Z_{5}^{3} a r ∈ Z_{5}. □

7.4. Pro homomorfismus f z předchozího příkladu popište podprostory Kerf a Imf.

Připomeňme, že Kerf = {v| f(v) = 0} = {v| v · A = 0}. Tedy Kerf je právě množina všech řešení homogenní soustavy s maticí A. Snadno spočítáme, že Kerf = ⟨(2, 0, 1)⟩.

Vezmeme-li libovolnou generující množinu G vektorového prostoru Z_{5}^{3} (například kanonickou bázi), potom f(G) tvoří generující množinu podprostoru Imf = f(Z_{5}^{3}). Vidíme, že f((1, 0, 0)) = (4, 1), f((0, 1, 0)) = (1, 2) a f((0, 0, 1)) = (2, 3) (tj. obrazy vektorů kanonické báze tvoří právě sloupce matice A). Zbývá si všimnout, že ⟨(4, 1), (1, 2), (2, 3)⟩ = Z_{5}^{2}. □

Označujme K_{n} kanonickou bázi libovolného aritmetického vektorového prostoru T^{n} nad tělesem T a její i-tý vektor e_{i}.

7.5. Najděte matici homomorfismus f z předchozí úlohy vzhledem ke kanonickým bázím.

Podle definice nejprve potřebujeme zjistit souřadnice vektorů f(e_{i}) vzhledem ke kanonické bázi prostoru Z_{5}^{2}: {f(e_{1})}_{K_{2}} = {(4, 1)}_{K_{2}} = (4, 1), {f(e_{2})}_{K_{2}} = {(1, 2)}_{K_{2}} = (1, 2), {f(e_{3})}_{K_{2}} = {(2, 3)}_{K_{2}} = (2, 3).

Nyní zbývá souřadnicové vektory uspořádat do sloupců matice homomorfismu

vzhledem ke kanonickým bázím [f]_{K_{3} K_{2}} = (\begin{matrix}4 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix})^{T} = (\begin{matrix}4 & 1 \\ 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix}). □

7.6. Nechť g : R^{2} → R^{3} je zobrazení určené předpisem g((x_{1}, x_{2})) = (x_{1} + 2x_{2}, 4x_{1} − x_{2}, 2x_{2}). Dokažte, že se jedná o homomorfismus.

Snadno zjistíme, že lze předpis definující zobrazení g vyjádřit jako součin matice

a aritmetického vektoru: g((x_{1}, x_{2})) = (x_{1}, x_{2}) · (\begin{matrix}1 & 4 & 0 \\ 2 & −1 & 2 \end{matrix}). Proto jde podle Věty

4.7 o homomorfismus. □

7.7. Najděte matici vzhledem ke kanonickým bázím homomorfismu g z předchozího příkladu.

Postupujeme stejně jako v Příkladu 7.5. Stačí tedy dosadit vektory kanonické

báze do g a seřadíme je do sloupců matice [g]_{K_{2} K_{3}} = (\begin{matrix}1 & 2 \\ 4 & −1 \\ 0 & 2 \end{matrix}). □

7.8. Mějme A = ((1, 4), (3, 1)) bázi prostoru Z_{7}^{2} a B = ((1, 1, 2), (1, 0, 3), (6, 0, 5)) bázi prostoru Z_{7}^{3}. Najděte matici homomorfismu h : Z_{7}^{2} → Z_{7}^{3} vzhledem k bázím A

a B, známe-li matici h vzhledem ke kanonickým bázím [h]_{K_{2} K_{3}} = (\begin{matrix}1 & 3 \\ 4 & 0 \\ 2 & 6 \end{matrix}).

Dvojí aplikací Věty 10.6 můžeme vyjádřit hledanou matici [h]_{AB} jakou součin matic:

[h]_{AB} = [1_{Z_{7}^{3}} ]_{K_{3} B} · [h]_{AK_{3}} = [1_{Z_{7}^{3}} ]_{K_{3} B} · [h]_{K_{2} K_{3}} · [1_{Z_{7}^{2}} ]_{AK_{2}}.

Snadno určíme přímo podle definice matice přechodu od kanonické báze k bázi A resp. B, tj. do sloupečků sepíšeme bázi A resp. B:

[1_{Z_{7}^{2}} ]_{AK_{2}} = (\begin{matrix}1 & 3 \\ 4 & 1 \end{matrix}) , [1_{Z_{7}^{3}} ]_{BK_{3}} = (\begin{matrix}1 & 1 & 6 \\ 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 5 \end{matrix}) .

Konečně zbývá uvážit, že [1_{Z_{7}^{3}} ]_{BK_{3}} · [1_{Z_{7}^{3}} ]_{K_{3} B} = [1_{Z_{7}^{3}} ]_{K_{3} K_{3}} = E, tedy [1_{Z_{7}^{3}} ]_{K_{3} B} = [1_{Z_{7}^{3}} ]_{BK_{3}}^{−1}. Dokončení úlohy je už jen rutinním počítáním s maticemi:

[h]_{AB} = (\begin{matrix}1 & 1 & 6 \\ 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 5 \end{matrix})^{−1} · (\begin{matrix}1 & 3 \\ 4 & 0 \\ 2 & 6 \end{matrix}) · (\begin{matrix}1 & 3 \\ 4 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix}1 & 1 & 6 \\ 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 5 \end{matrix})^{−1} · (\begin{matrix}6 & 6 \\ 4 & 5 \\ 5 & 5 \end{matrix}) ·

Hledaný součin matic dopočítáme způsobem prezentoveným v 6.7:

(\begin{matrix}1 & 1 & 6 & |6 & 6 \\ 1 & 0 & 0 & |4 & 5 \\ 2 & 3 & 5 & |5 & 5 \end{matrix}) ∼ (\begin{matrix}1 & 0 & 0 & |4 & 5 \\ 0 & 1 & 6 & |2 & 1 \\ 0 & 3 & 5 & |4 & 2 \end{matrix}) ∼

∼ (\begin{matrix}1 & 0 & 0 & |4 & 5 \\ 0 & 1 & 6 & |2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & |5 & 6 \end{matrix}) ∼ (\begin{matrix}1 & 0 & 0 & |4 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & |0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & |5 & 6 \end{matrix}) .

Zjistili jsme, že [h]_{AB} = (\begin{matrix}4 & 5 \\ 0 & 0 \\ 5 & 6 \end{matrix}). □

7.9. Buď A = ((1, 1, 1), (1, 0, 1)(1, 1, 0)) báze vektorového prostoru Z_{3}^{3} a B = ((1, 2), (1, 1)) báze vektorového prostoru Z_{3}^{2}. Najděte maticí homomorfismu ψ :

Z_{3}^{3} → Z_{3}^{2} vzhledem ke kanonickým bázím, má-li matici [ψ]_{AB} = (\begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{matrix}) vzhle-

dem k bazím A a B.

Postupujeme standardní cestou s využitím Věty 10.6 (či speciální Věty 10.13):

[ψ]_{K_{3} K_{2}} = [1_{Z_{3}^{2}} ]_{BK_{2}} · [ψ]_{AB} · [1_{Z_{3}^{3}} ]_{K_{3} A} = (\begin{matrix}1 & 1 \\ 2 & 1 \end{matrix}) · (\begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{matrix}) · (\begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix})^{−1} .

a některým ze známých způsobů dopočítáme [ψ]_{K_{3} K_{2}} = (\begin{matrix}0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}). □

7.10. Najděte matici endomorfismus φ vektorového prostoru R^{2} vzhledem ke kanonické bázi, víte-li, že φ((1, 2)) = (3, 0) a φ((2, 1)) = (3, 3).

Protože B = ((1, 2), (2, 1)) tvoří bázi R^{2}, zaručuje nám Věta 9.22, že daná podmínka určuje homomorfismus f jednoznačně, a bezprostředně z definice dostaneme

matici [φ]_{BK_{3}} = (\begin{matrix}3 & 3 \\ 0 & 3 \end{matrix}). Dále postupujeme obvyklým způsobem:

[φ]_{K_{2}} = [φ]_{K_{2} K_{2}} = [φ]_{BK_{2}} · [1_{R^{2}} ]_{K_{2} B} = [φ]_{BK_{2}} · [1_{R^{2}} ]_{BK_{2}}^{−1} =

= (\begin{matrix}3 & 3 \\ 0 & 3 \end{matrix}) · (\begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix})^{−1} = (\begin{matrix}3 & 3 \\ 0 & 3 \end{matrix}) · (\begin{matrix}−\frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} & −\frac{1}{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix}1 & 1 \\ 2 & −1 \end{matrix}) .

□

6.1.

7.11. Najděte ve vektorovém prostoru Z_{3}^{2} matici přechodu od báze M = ((2, 1), (1, 1)) k bázi N = ((1, 1), (0, 1)).

Uvědomíme si, že matice přechodu od báze M k bázi N je právě maticí [1_{Z_{3}} ]_{NM} identického homomorfismu vzhledem k bázím N a M. Nyní opět použíjeme Větu 5.6, abychom dostali:

[1_{Z_{3}} ]_{NM} = [1_{Z_{3}} ]_{K_{2} M}·[1_{Z_{3}} ]_{NK_{2}} = [1_{Z_{3}} ]_{MK_{2}}^{−1}·[1_{Z_{3}} ]_{NK_{2}} = (\begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix})^{−1}·(\begin{matrix}1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix}0 & 2 \\ 1 & 2 \end{matrix}) .

□

7.12. Je-li (\begin{matrix}2 & 3 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 2 & 5 \\ 1 & 2 & 6 & 6 \end{matrix}) matice homomorfismu f : Z_{7}^{4} → Z_{7}^{3} vzhledem k bazím

M = ((1, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 1), (1, 0, 0, 0)) a N = ((3, 1, 4), (3, 3, 0), (2, 1, 6)). Určete dimenze jádra Kerf a obrazu Imf.

Nejprve spočítáme hodnost matice [f]_{MN} = (\begin{matrix}2 & 3 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 2 & 5 \\ 1 & 2 & 6 & 6 \end{matrix}), obvyklým způso-

bem zjistíme, že h([f]_{MN}) = 2. Nyní využijeme Větu 10.19, která říká, že dim(Imf) = h([f]_{MN}) = 2 a Větu 9.27, která říká, že dim(Imf) + dim(Kerf) = dim(Z_{7}^{4}) = 4, a proto dim(Kerf) = 4 − dim(Imf) = 2. □

13.1.

8. Lineární formy

8.1. Dokažte, že je zobrazení f : Z_{7}^{4} → Z_{7} definované předpisem f((x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})) = 2x_{1} + 3x_{2} + 4x_{4} lineární forma a najděte souřadnice f vzhledem ke kanonické bázi K_{4} a vzhledem k bázi B = ((1, 1, 1, 1), (2, 0, 2, 2), (1, 1, 0, 1), (4, 4, 4, 0)).

Vidíme, že hodnotu f(v) dostaneme jako součin vektoru va sloupcového vektoru (2, 3, 0, 4)^{T}, jde tedy o homomorfismus vektorového prostoru Z_{7}^{4} do Z_{7}, tj. jde podle definice o lineární formu na prostoru Z74.

Souřadnice f vzhledem k jakékoli bázi dostaneme dosazením jednotlivých bázických vektorů a jejich seřazením do řádku (v případě lineárních forem na aritmetickém vektorovém prostoru jde zřejmě právě o matici homomotrfismu f), tedy {f}_{K_{4}} = [f]_{K_{4} 1} = (2, 3, 0, 4) a {f}_{B} = [f]_{B1} = (2, 5, 2, 6). □

8.2. Nechť {g}_{B} = (3, 4, 2, 1) jsou souřadnice lineární formy g : Z_{7}^{4} → Z_{7} vzhledem k bázi B = ((1, 1, 1, 1), (2, 0, 2, 2), (1, 1, 0, 1), (4, 4, 4, 0)). Najděte souřadnice a analytické vyjádření g vzhledem ke kanonické bázi K_{4} a

Hledáme-li vektor {g}_{K_{4}} stačí si uvědomit, že vlastně jedná o matici homomorfismu, a poté využít Větu 10.6, protože

\{g\}_{K_{4}} = [g]_{K_{4} 1} = [g]_{B1} · [1_{Z_{7}^{4}} ]_{K_{4} B} = (3, 4, 2, 1) · (\begin{matrix}1 & 2 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 0 & 4 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \end{matrix})^{−1} .

Vidíme, že nám stačí vyřešit nehomogenní soustavu s maticí

(\begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 & |3 \\ 2 & 0 & 2 & 2 & |4 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & |2 \\ 4 & 4 & 4 & 0 & |1 \end{matrix}) .

Standardním postupem tedy najdeme vektor (0, 1, 1, 1), který je právě hledaným souřadnicovým vektorem {g}_{K_{4}} □

8.3. Najděte souřadnice lineární formy f chápané jako vektor duálního vektorového prostoru vzhledem duální bázi ke kanonické bazi a vzhledem k duální bázi k bázi B, kde f a B bereme z Příkladu 8.1.

□

Označme (f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4}) hledanou duální bázi. Z definice víme, že f_{i}(e_{j}) = 0, je-li i ≠ j, a f_{i}(e_{i}) = 0. To přímo podle definice znamená, že {f_{i}}_{K_{4}} = e_{i}, a proto f_{i}(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = x_{i}.

Označme K̃_{4}, respektive B̃ duální báze k bázím K_{4} a B. Nejprve přímo podle definice a předchozí úlohy vidíme, že {f}K̃_{4} = (2, 3, 0, 4). Využijeme-li dále Větu 11.7 z přednášky, pak snadno určíme souřadnice lineární formy vzhledem k duální bázi B̃ bez toho, že bychom B̃ museli hledat, neboť platí {f}B̃ = {f}_{B} = (2, 5, 2, 6).

□ 8.4. Mějme bázi B = ((1, 0, 1), (3, 2, 2), (2, 0, 4)) vektorového prostoru Z_{5}^{3}. Určete analytické vyjádření lineárních forem duální báze k bázi B.

Potřebujeme najít souřadnice linárních forem duální báze vzhledem ke kanonické bázi, z nichž už snadno dostaneme analytický tvar. Označme B̃ = (f_{1}, f_{2}, f_{3}) duální bázi k bázi B a souřadnice forem: {f_{i}}_{K_{3}} = (a_{i1}, a_{i2}, a_{i3}) pro i = 1, 2, 3. Uvědomme si, že požadavek na duální bazi lze v maticovém zápisu vyjádřit následovně:

(\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} ) · (\begin{matrix}1 & 3 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

Hledáme tedy obvyklým způsobem inverzní matici ke známé matici, snadno, teedy spočítáme, že

(\begin{matrix}\{f_{1}\}_{K_{3}} \\ \{f_{2}\}_{K_{3}} \\ \{f_{3}\}_{K_{3}} \end{matrix} ) = (\begin{matrix}1 & 3 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 4 \end{matrix})^{−1} = (\begin{matrix}2 & 3 & 4 \\ 0 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 3 \end{matrix}) .

Zbývá sepsat analytické vyjádření forem: f_{1}(x, y, z) = 2x+3y+4z , f_{2}(x, y, z) = 3y, f_{3}(x, y, z) = 2x + 4y + 3z. □

8.5. Uvažujme bázi M = ((1, −1), (−1, 2)) aritmetického vektorového prostoru R^{2}. Najděte souřadnice vzhledem k M a vzhledem ke kanonické bázi lineárních forem duální báze k bázi M.

Označme M̃ = (g_{1}, g_{2}) duální bázi k bázi M. Okamžitě z definice vidíme, že {g_{1}}_{M} = (1, 0) a {g_{2}}_{M} == (0, 1), tedy souřadnice jsou právě vektory kanonické báze. Při hledání souřadnic giK2 můžeme postupovat stejně jako v předchozím příkladu nebo podle Věty 11.9. V obou případech nám zbývá najít inverzní matici:

(\begin{matrix}\{g_{1}\}_{K_{2}} \\ \{g_{2}\}_{K_{2}} \end{matrix}) = (\begin{matrix}1 & −1 \\ −1 & 2 \end{matrix})^{−1} = (\begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}) .

Tedy {g_{1}}_{K_{2}} = (2, 1) a {g_{2}}_{K_{2}} = (1, 1). □

8.6. Uvažujme h_{1}(x) = 4x2 + 4x3, h_{2}(x) = 4x1 + 2x2 + x3 a h_{3}(x) = 3x1 + 3x2 lineární formy na vektorovém prostoru Z_{5}^{3}. Ověřte, že (h_{1}, h_{2}, h_{3}) tvoří bázi duálního vektorového prostoru, a najděte bázi B prostoru Z_{5}^{3} tak, aby (h_{1}, h_{2}, h_{3}) byla duální bází k bázi B.

Řešíme duální úlohu k předchozím dvěma příkladům. Známe tentokrát souřadnice lineárních forem vzhledem ke kanonické bázi a potřebujeme najít vektory u_{i} tak, aby součin u_{i}{g_{j}}_{K_{3}}^{T} = δ_{ij}, což snadno vyjádříme pomocí matic:

(\begin{matrix}\{u_{1}\}_{K_{3}} \\ \{u_{2}\}_{K_{3}} \\ \{u_{3}\}_{K_{3}} \end{matrix} ) · (\{g_{1}\}_{K_{3}}^{T}, \{g_{2}\}_{K_{3}}^{T}, \{g_{3}\}_{K_{3}}^{T}) = E

Tedy opět se úkol redukuje na nalezení inverzní matice. Navíc teprve při hledání inverzní matice můžeme zodpovědět otázku existence báze B. Jestliže by neexistovala inverzní matice k dané matici (tj. pokud by souřadnice lineárních forem hi byly lineárně závislé), pak by lineární formy h_{i} netvořili bázi, v opačném případě bází budou. Dopočítáme tedy:

(\begin{matrix}\{u_{1}\}_{K_{3}} \\ \{u_{2}\}_{K_{3}} \\ \{u_{3}\}_{K_{3}} \end{matrix} ) = (\begin{matrix}0 & 4 & 3 \\ 4 & 2 & 3 \\ 4 & 1 & 0 \end{matrix})^{−1} = (\begin{matrix}2 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 4 \end{matrix}) .

Zjistili jsme, že u_{1} = (2, 3, 1), u_{2} = (2, 3, 2) a u_{3} = (1, 1, 4) a (h_{1}, h_{2}, h_{3}) je duální bází vzhledem k bázi (u_{1}, u_{2}, u_{3}). □

Další úlohy

(1) Rozhodněte, zda jsou nad tělesy Q, Z_{3}, Z_{5} a Z_{7} regulární matice A =

(\begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \end{matrix}), B = (\begin{matrix}0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{matrix}) a B^{3}.

(2) Najděte nad tělesy Q, Z_{3}, Z_{5} a Z_{7} adjungované matice k maticím z předchozí úlohy.

(3) Rozhodněte, pro která a ∈ Z_{7} je nad Z_{7} matice (\begin{matrix}a & 2 + a & 1 \\ 3a + 2 & 1 & a \\ 2a^{2} & a + 6 & 2 + a \end{matrix} )

regulární.

(4) Najděte pro všechna a ∈ Z_{7}, pro něž je to možné, inverzní matici k matici z předchozí úlohy.

(5) Spočítejte součin (\begin{matrix}1 & 1 \\ 2 & 3 \end{matrix})^{−1} · (\begin{matrix}3 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix})^{−1} · (\begin{matrix}0 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix})^{−1} · (\begin{matrix}1 & 4 \\ 1 & 3 \end{matrix})^{−1} nad tělesy

R, Z_{5} a Z_{7}.

(6) Uvažujme zobrazení f, g, h : Z_{7}^{4} → Z_{7}^{3} vektorových prostrorů nad tělesem Z_{7}, kde f je určené předpisem f((x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})) = (x_{2} + 3x_{3} + 5x_{4}, 4x_{1} + x_{3}, x_{1} + 6x_{3} + x_{4}), dále g je určené svou maticí vzhledem ke kanonickým

bázím [g]_{K_{4} K_{3}} = (\begin{matrix}5 & 3 & 2 & 4 \\ 2 & 4 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & 6 \end{matrix}) a h je určené předpisem h(v) = f(v) + 3 ·

g(v) pro každé v ∈ Z_{7}^{4}.

a) Dokažte, že je h homomorfismus.

b) Najděte matice g a h vzhledem ke kanonickým bazím.

c) Najděte matice f, g a h vzhledem k bazím M = ((1, 1, 2, 3), (1, 1, 1, 0), (5, 0, 1, 0), (4, 0, 2, 0)) a N = ((3, 1, 2), (1, 2, 0), (6, 6, 0)).

d) Určete jádro a obraz homomorfismů f, g a h.

e) Rozhodněte, zda existuje v ∈ Z_{7}^{4}, pro které f(v) = (1, 0, 3).

f) Rozhodněte, zda existuje v ∈ Z_{7}^{4}, pro které f(v) = (1, 0, 3).

g) Najděte matice ψ ∘ f, ψ ∘ g a ψ ∘ h vzhledem ke kanonickým ba-

zím je-li ψ endomorfismus daný maticí [ψ]_{AB} = (\begin{matrix}3 & 5 & 6 \\ 4 & 0 & 5 \end{matrix}) vzhledem

k bázím A = ((0, 1, 2), (2, 0, 1)(1, 2, 0)) báze vektorového prostoru Z_{3}^{3} a B = ((2, 5), (1, 2)).

(7) Dokažte, že je endomorfismus φ z Příkladu 7.10 izomorfismus a najděte matice φ^{−1} vzhledem ke kanonické bázi.