Domácí úkoly

4.3. Buď X nekonečná množina. Dokažte, že existuje těleso kardinality stejné jakou má X. (Návod: Zkonstruujte okruh polynomů s neurčitými X nad konečným či spočetným tělesem jako monoidový okruh s monoidem N_{0}^{(X)}, jehož prvky jsou skoro všude nulová zobrazení X → N_{0}, ukažte, že jde o obor integrity a vezměte jeho podílové těleso.)

11.3. Definujme ţdosazovací” zobrazení ψ : Z[x] → C vztahem ψ(p) = p(i). Dokažte, že je ψ okruhový homomorfismus a rozhodněte (a své tvrzení dokažte), zda je ideál Kerψ hlavní.

18.3. Dokažte, že je F(R) = (𝔽(R), +, −, 0, ·, 1) z příkladu 1.10 okruh. 25.3. Dokažte, že okruh C_{0}(R) spojitých reálných funkcí (tj. podokruh F(R) z

cvičení) neni noetherovský. 8.4. Najděte takový prvoideál P okruhu (Z[x], +, −, 0, ·, 1), aby faktorový okruh

Z[x]/P nesplňoval podmínku (D) (a tvrzení dokažte). (Návod: Uvažte například dosazovací homomorfismus prvku \sqrt{5} a jeho jádro.)

15.4. Uvažujme okruh (Z[\sqrt{3}], +, −, 0, ·, 1), kde Z[\sqrt{3}] = \{a + b\sqrt{3} ∈ R| a, b ∈ Z\} je podokruh tělesa reálných čísel. Dokažte, že je okruh (Z[\sqrt{3}], +, −, 0, ·, 1) eukleidovský s eukleidovskou normou μ(a + b\sqrt{3}) = |a^{2} − 3b^{2}|.

29.4. Dokažte, že je prvek \frac{3\sqrt{5}−2\sqrt{7}+\sqrt{35}}{1−\sqrt{5}+\sqrt{7}} ∈ R algebraický nad Q a najděte nad

Q jeho minimální polynom. 6.5. Najděte kořenové nadtěleso polynomu x^{2} + x + 2 nad tělesem Z_{3} a popište

jeho prvky.