Předchozí cvičení

17.3./19.3.

1. Zjistěte, zda je skalárním součinem zobrazení f z R²xR² do reálných čísel určené předpisem f((x₁,x₂), (y₁,y₂)) = 5x₁y₁ - x₁y₂ -x₂y₁ +x₂y₂.
   

Nad reálným vektorovým prostorem potřebujeme zjistit, zda je f pozitivně definitní symetrická bilineární forma. Snadno nahlédneme, že se jedná o bilineární formu s maticí

[f]K2 =

5 -1 -1 1

.

Tedy vidíme, že [f]_K2 je symetrická matice, proto je f symetrická bilineární forma. Zbývá standardním postupem určit její signaturu:

5 -1 -1 1

~sym

4 0 0 1

.

Zjistili jsme, že f je pozitivně definitní symetrická bilineární forma, tedy jde o skalární součin.



2. Najděte nějakou ortonormální bázi vektorového prostoru R² vzhledem ke skalárnímu součinu f z předchozího příkladu.
   

Připomeňme, že B je ortonormální báze právě tehdy, když je [f]_B jednotková matice. Hledáme tedy takovou polární bázi vzhledem k f, že f(v, v) = 1 pro každý vektor v z báze B. Budeme tedy opět upravovat posloupností symetrických úprav matici [f]_K2 tentokrát tak, abychom dostali jednotkovou matici. Řádkové úpravy budeme obvyklým způsobem zaznamenávat do matice:

5 -1 1 0 -1 1 0 1

~sym

4 0 1 1 0 1 0 1

~sym

1 0 1/2 1/2 0 1 0 1

.

Našli jsme ortonormální bázi B = ((1/2, 1/2), (0,1)).



3. Najděte unitární zobrazení unitárního prostoru (R², f) do unitárního prostoru (R², w), kde f je skalární součin z předchzích dvou příkladů a w je skalární součin z Poznámky 14.2 z přednášky (tzv. standardní skalární součin).
   

Protože jsme v druhém příkladu našli ortonormální bázi B = ((1/2, 1/2), (0,1)) vzhledem ke skalárnímu součinu f, dostaneme jako hledané unitární zobrazení podle Věty 14.18 izomorfismus F(v) = {v}_B.



4. Ověřte, že je zobrazení g z R³xR³ do R skalárním součinem, je-li dané předpisem g((x₁,x₂,x₃), (y₁,y₂,y₃)) = x₁y₁ - x₁y₂ - x₁y₃ + 2x₂y₂ - x₂y₁ + x₂y₃ + 5x₃y₃ - x₃y₁ + x₃y₂ a najděte nějakou jeho ortonormální bázi.
   

Nad reálným vektorovým prostorem potřebujeme zjistit, zda je f pozitivně definitní symetrická bilineární forma. Snadno nahlédneme, že se jedná o bilineární formu s maticí

[f]K2 =

1 -1 -1 -1 2 1 -1 1 5

.

Tedy vidíme, že [f]_K2 je symetrická matice, proto je f symetrická bilineární forma. Zbývá standardním postupem určit její signaturu a najít takovou polární bázi M, vůči níž je matice f právě jednotková:

1 -1 -1 1 0 0 -1 2 1 0 1 0 -1 1 5 0 0 1

~sym

1 0 -1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 -1 0 5 0 0 1

~sym

1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 4 1 0 1

~sym

1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1/2 0 1/2

.

Ověřili jsme, že f je skalární součin s ortonormální bází M = (1,0,0), (1,1,0), (1/2,0,1/2)).



5. Nechť B = ((1,0,1), (1,1,0), (0,1,1)) je ortonormální báze vzhledem ke skalárnímu součinu h na R³. Určete matici skalárního součinu h vzhledem ke kanonické bázi.

Podle předpokladů [h]_B = E. Pomocí Věty 12.3 spočítáme [h]_K3 (inverzní matice určíme obvyklým algoritmem):

[h]K3 = [Id]K3BT[h]B[Id]K3B = ([Id]BK3T)-1([Id]BK3)-1 =

1 0 1 1 1 0 0 1 1

-1

1 1 0 0 1 1 1 0 1

-1

=   1/4 .

3 -1 -1 -1 3 -1 -1 -1 3

.

24.3./26.3.

6. Buď w standardní skalární součin na vektorovém prostoru R³ a V = < (1,1,0), (1,3,2) >. Najděte nějakou ortonormální bázi V.
   

Budeme upravovat bázi (1,1,0), (1,3,2) Gramovu-Schmidtovu ortogonalizací (viz Věta 14.8). Položíme nejprve v₁ = (1,1,0)/||(1,1,0)|| = (1/V2, 1/V2, 0). Dále hledáme vektor u₂ ve tvaru u₂ = (1,3,2) + c.v₁. Z podmínky w(v₁, v₂) = 0 dostáváme, že a = - w((1/V2, 1/V2, 0), (1,3,2)) = -4/V2, proto u₂ = (-1,1,2). Nyní vektor u₂ normalizujeme a dostanme v₁ = (-1,1,2)/||(-1,1,2)|| = (-1/V6,1/V6,V2/V3).

Hledanou ortonormální bází je tedy posloupnost ((1/V2, 1/V2, 0), (-1/V6,1/V6,V2/V3)).



7. Nechť V je podprostor reálného vektorového prostoru R⁴ se standardním skalárním součinem w. generovaný vektory (1,1,-2,1), (2,0,1,0), (0,1,0,1). Najděte nějakou ortonormální bázi podprostoru V.
   

Nejprve zvolíme vhodnou bázi prostoru V = < (1,1,-2,1), (2,0,1,0), (0,1,0,1) >, kterou budeme ortogonalizovat ("ortonormalizovat") pomocí Gramovy-Schmidtovy ortogonalizace. Vektor (2,0,1,0) je zřejmě kolmý na zbývající vektory, zvolme tedy bázi V, tak aby byl vektor (2,0,1,0) na jejím prvním místě (čímž si ušetříme práci s počítáním skalárních součinů). Tedy ortogonalizujme bázi ((2,0,1,0), (0,1,0,1), (1,1,-2,1)). Gramovu-Schmidtovu ortogonalizaci tentokrát mírně modifikujeme: najdeme nejprve ortogonální bázi a tu budeme normalizovat až na závěr.

Neboť jsme si už všimli, že w((2,0,1,0), (0,1,0,1))=0, tedy máme první dva (zatím jen ortogonální, nikoli ortonormální) vektory hledané báze: v₁' = (2,0,1,0), v₂' = (0,1,0,1). Nyní budeme hledat třetí bázický vektor ve tvaru v₃' = (1,1,-2,1) - a.v₁' - b.v₂'. Přitom má splňovat podmínky, že w(v_i', v₃') = 0 pro i=1,2, z čehož (využitím linearity skalárního součinu v druhé složce) dostáváme, že

a = w((1,1,-2,1), (2,0,1,0)) / w((2,0,1,0), (2,0,1,0)) = 0,
b = w((1,1,-2,1), (0,1,0,1)) / w((0,1,0,1), (0,1,0,1)) = - w((1,1,-2,1), (0,1,0,1)) / ||(0,1,0,1)^T||² = -1.

Všimněme si, že koeficient je roven 0 díky volbě vektoru v₁' kolmého na všechny následující vektory, tedy stačilo ným hledat ortogonální bázi podprostoru < (1,1,-2,1), (0,1,0,1) >, která musí být kolmá na vektor (2,0,1,0). Tedy v₃' = (1,1,-2,1) - (0,1,0,1) = (1,0,-2,0) je posledním hledaným kolmým vektorem. Posloupnost vektorů ((2,0,1,0), (0,1,0,1), (1,0,-2,0)) tvoří zřejmě ortogonální bázi prostoru V. Zbývá nám jednotlivé vektory normalizovat:

v₁ = v₁' / ||v₁'|| = 1/V5.(2,0,1,0),
v₂ = v₂' / ||v₂'|| = 1/V2(0,1,0,1),
v₃ = v₃' / ||v₃'|| = 1/V5.(1,0,-2,0).

Ortonormální bází je tedy například posloupnost vektorů (1/V5.(2,0,1,0), 1/V2(0,1,0,1), 1/V5.(1,0,-2,0)).



8. Buď w standardní skalární součinu na reálném vektorovém prostoru R⁵. Najděte nějakou bázi ortogonálního doplňku U' k podprostoru U = < (1,2,1,1,1), (0,-1,1,1,2) >.

Připomeňme, že U' = {v z R⁵| w(u, v) = 0 pro všechna u z U} = {v z R⁵| w(b, v) = 0 pro všechna b z B}, kde B je nějaká báze U. Snadno uvážíme, že potřebujeme najít právě řešení homogenní soustavy rovnic s maticí

1 2 1 1 1 0 -1 1 1 2

Tedy bázi U' tvoří například vektory (-3,1,1,0,0), (-3,1,0,1,0), (-5,2,0,0,1).



9. Mějme w standardní skalární součinu na vektorovém prostoru R⁴. Najděte nějakou ortogonální bázi prostoru U = < (1,1,0,1), (1,0,1,1) > a ortogonální bázi ortogonálního doplňku U' prostoru U.

Můžeme postupovat několika způsoby. Jednak můžeme doplnit vektory (1,1,0,1), (1,0,1,1) na bázi celého prostoru R⁴ (například vektory (1,0,0,0) a (0,1,0,0)) a tuto bázi upravit Gramovou-Schmidtovou ortogonalizací. První dva vektory ortogonalizované báze budou přitom tvořit ortogonální bázi U, další dva vektory budou tvořit ortogonální bázi doplňku U'.

Rovněž nám stačí najít libovolnou bázi U' (například týmž postupem jako v předchozím příkladu) a obě báze ortogonalizovat. Postupujme druhým způsobem: Bázi U' tvoří například posloupnost (-1,1,1,0), (0,1,1,-1). Vektor (0,1,1,-1) můžeme upravit jedním krokem Gramovy-Schmidtovy ortogonalizace:

(0,1,1,-1) - [W((-1,1,1,0), (0,1,1,-1))/ 3].(-1,1,1,0) = 1/3. (2,1,1,-3)

Zřejmě tedy (-1,1,1,0) a (2,1,1,-3) tvoří ortogonální bázi U'.

Obdobně (1,1,0,1), (1,-2,3,1) tvoří ortogonální bázi U.



10. Najděte souřadnice vektoru (1,2,1) vůči ortonormální bázi M = ((1/V2,1/V2,0), (0,0,1), (1/V2,-1/V2,0)) vzhledem ke standardnímu skalárnímu součinu .

Hledáme-li souřadnice (a₁, a₂, a₃) vzhledem k ortonormální bázi M = (u₁, u₂, u₃),

tj. (1,2,1) = a₁u₁ + a₂u₂ + a₃u₃,

můžeme si uvědomit, že w((1,2,1), u_i) = a_iw(u_i, u_i) = a_i. Tedy stačí, abychom spočetli skalární součiny a_i = w((1,2,1), u_i):

a₁ = w((1,2,1), (1/V2,1/V2,0)) = 3/V2,   a₂ = w((1,2,1), (0,0,1)) = 1,   a₃ = w((1,2,1), (1/V2,-1/V2,0)) = -1/V2.

Spočítali jsme, že {(1,2,1)}_M = (3/V2, 1, -1/V2).

31.3./2.4.

11. Najděte ortogonální projekci vektoru (2,4,3) na podprostor V prostoru R³ se standardním skalárním součinem w generovaný vektory (1,3,-2) a (1,1,-1), tj. vektor v z V, pro který platí, že (2,4,3)-v leží v ortogonálním doplňku V.
    

Náš úkol můžeme interpretovat tak, že hledáme takovou lineární kombinaci a(1,3,-2)+b(1,1,-1), aby byl vektor (2,4,3)-a(1,3,-2)-b(1,1,-1) kolmý na prostor V= < (1,3,-2) ,(1,1,-1) >. To můžeme ekvivalentně vyjádřit tak, že vektor (2,4,3)-a(1,3,-2)-b(1,1,-1) je kolmý na vektor (1,3,-2) i (1,1,-1) a odtud dostáváme soustavu rovnic

w((1,3,-2) , (2,4,3)-a(1,3,-2)-b(1,1,-1)) = w((1,3,-2) , (2,4,3)) - a.w((1,3,-2) , (1,3,-2)) - b.w((1,3,-2) , (1,1,-1)) = 0
w((1,1,-1) , (2,4,3)-a(1,3,-2)-b(1,1,-1)) = w((1,1,-1) , (2,4,3)) - a.w((1,1,-1) , (1,3,-2)) - b.w((1,1,-1) , (1,1,-1)) = 0.

Tuto nehomogenní soustavu rovnic sepíšeme do matice a vyřešíme (její matice se často nazývá Gramovou maticí):

	14	6		8
	6	3		3

Snadno zjistíme, že a = 1 a b = -1, tedy ortogonální projekce vektoru (2,4,3) na podprostor V je (1,3,-2) - (1,1,-1) = (0,2,-1)



12. Najděte ortogonální projekci vektoru (2,1,3,0) na podprostor U = < (1/V2,0,0,1/V2), (0,0,1,0), (0,1,0,0) > prostoru R⁴ se standardním skalárním součinem w.
    

Označme u₁ = (1/V2,0,0,1/V2), u₂ = (0,0,1,0), u₃ = (0,1,0,0) a v = (2,1,3,0). Všimněme si, že (u₁, u₂, u₃) tvoří ortonormální bázi prostoru U. Hledáme-li stejnou metodou jako v předchozí úloze x₁, x₂, x₃ tak, aby v - (x₁u₁ + x₂u₃ + x₃u₃) bylo kolmé na všechny vektory u_i, kde i = 1,2,3, pak dostáváme, že x_i = w(u_i, v). Tedy zbývá dopočítat ortogonální projekci:

w(u₁, v) u₁ + w(u₂, v) u₃ + w(u₃, v) u₃ = (1,0,0,1) + (0,0,3,0) + (0,1,0,0) = (1,1,3,1)



13. Najděte vektor u z U a u' z ortogonálního doplňku U tak, aby (1,2,4) = u + u', je-li U = < (1,2,1), (2,1,-1) > podprostor vektorového prostoru R³ se standardním skalárním součinem w.
    

Postupujeme obdobně jako v prvním příkladě. Tedy nejprve najdeme taková reálná x a y, aby (1,2,4) - x.(1,2,1) - y.(2,1,-1) bylo kolmé na podprostor U, což vede k řešení nehomogenní soustavy s maticí

w((1,2,1), (1,2,1)) w((1,2,1), (2,1,-1)) w((1,2,1), (1,2,4)) w((2,1,-1), (1,2,1)) w((2,1,-1), (2,1,-1)) w((2,1,-1), (1,2,4))

=

6 3 9 3 6 0

Snadno spočítáme, že x = 2 a y = -1 a ortogonální projekce vektoru (1,2,4) na podprostor U je u = 2.(1,2,1) - 1.(2,1,-1) = (0,3,3) a u' = (1,2,4) - (0,3,3) = (1,-1,1).

1. Najděte všechna vlastní čísla a všechny jim příslušné vlastní vektory lineárního operátoru F na reálném vektorovém prostoru R² s maticí vzhledem ke kanonické bázi K₂:
   

   [F]K2 =

   3 2 2 6

   
   

Potřebujeme zjistit, pro která reálná x (vlastní čísla) existuje nenulový vektor v (vlastní vektor) tak, že F(v) = xv. To můžeme ekvivalentně vyjádřit ve tvaru (F-x.Id)(v) = 0, a v maticovém zápisu pro libovolnou bázi B prostoru R² ve tvaru

([F]_B - x.E) {v}_B^T = [(F-x.Id)]_B{v}_B^T = {0}_B^T = (0,0)^T.

Hledáme tedy všechna taková x z R, pro něž existuje netriviální řešení homogenní soustavy rovnic se čtvercovou maticí [(F-x.Id)]_B. To nastává právě tehdy, když je matice [F]_B - x.E = [(F-x.Id)]_B singulární. Spočítáme tedy nejprve vlastní čísla matice lineárního operátoru vzhledem k nějaké pevně zvolené bázi (při tom nezáleží na volbě báze, ale je důležité, abychom počítali s maticí lineárního operátoru, tj. s maticí daného lineárního zobrazení vzhledem k stejné bázi v definičním oboru i oboru hodnot), v tomto případě je nejjednodušší vzít matici [F]_K2.

Určíme charkteristický polynom matice det([F]_K2-xE)= (3-x)(6-x)-4 = x²-9x+14 = (x-2)(x-7). Vlastní čísla matice [F]_K2 jsou tedy právě kořeny charakteristického polynomu 2 a 7. Dále budeme postupně dosazovat do matice [F]_K2-xE vypočtená vlastní čísla a budeme hledat vlastní vektory matice [F]_S2, tedy nenulová řešení homogenních soustav rovnic s maticemi, která tvoří právě souřadnicové vektory vlastních vektorů operátoru F:

[F]K2 - 2E =

1 2 2 4

[F]K2 - 7E =

-4 2 2 -1

Snadno zjistíme, že všechny nenulové násobky vektoru (-2,1)^T jsou vlastními vektory matice [F]_K2 příslušnými vlastnímu číslu 2 a všechny nenulové násobky vektoru (1,2) jsou vlastními vektory matice [F]_K2 příslušnými vlastnímu číslu 7.

Konečně máme-li spočítané souřadnice vlastních vektorů [v]_K2 vzhledem ke kanonické bázi, okamžitě vidíme, že množinu všech vlastních vektorů příslušných vlastnímu číslu 2 tvoří < (-2,1) > - {(0,0)} a množinu všech vlastních vektorů příslušných vlastnímu číslu 7 tvoří <(1,2) > - {(0,0)}.

7.4./9.4.

2. Najděte nad tělesem Z₅ všechna vlastní čísla a všechny vlastní vektory matice
   

   M =

   4 0 2 4 1 1 2 0 4

   .

   
   

Nejprve hledáme kořeny polynomu (nad Z₅) p(x) = det([G]_S3-xI_n) = 4x³+4x²+2. Prostým dosazením, zjistíme, že p(1)=0 a p(2)=0, tedy vlastní čísla operátoru H jsou právě 1 a 2. Dále opět řešíme homogenní soustavy rovnic s maticí M-1I_n a M-2I_n:

M-1E =

3 0 2 4 0 1 2 0 3

M-2E =

2 0 2 4 4 1 2 0 2

Zřejmě například vektory (1,0,1) a (0,1,0) tvoří bázi podprostoru vlastních vektorů příslušných vlastnímu číslu 1 a vektor (1,3,4) tvoří bázi podprostoru vlastních vektorů příslušných vlastnímu číslu 2.



3. Nechť H je endomorfismus na vektorové prostoru R³ nad tělesem reálných čísel daný předpisem H(x,y,z) = (x+2y+z, 2x-y+2z, -2y). Najděte všechna vlastní čísla a podprostory generované vlastními vektory endomorfismu H.
   

S pomocí Věty 15.9 nahlédneme, že potřebujeme najít právě vlastní čísla a vlastní vektory matice endomorfismu vzhledem ke kanonické bázi. Nejprve tedy určíme matici

[H]K3 =

1 2 1 2 -1 2 0 -2 0

.

Nyní spočítáme obvyklým způsobem vlastní čísla matice [H]_K3 (a tedy i endomorfismu H), tj. kořeny polynomu det([H]_K3-xI_n) = -x(x+1)(x-1). Máme tři různá vlastní čísla 0, 1 a -1 na prostoru dimenze 3, to znamená.

Zbývá nám najít vlastní vektory tj. všechna nenulová řešení homogenních soustav s maticemi:

[H]K3 - 0E =

1 2 1 2 -1 2 0 -2 0

[H]K3 - 1E =

0 2 1 2 -2 2 0 -2 -1

[H]K3 + 1E =

2 2 1 2 0 2 0 -2 1

.

Každá z množin řešení je jednodimenzionální, tedy položíme-li U_x = < (1,0,-1) >, U_-1 = < (3,1,-2) > a U₁ = < (-2,1,2) >, pak platí, že že H(u) = x.u pro všechna u z U_x a všechna vlastní čísla x.



4. Uvažujme endomorfismus H z předchozího příkladu. Najděte bázi B, vůči níž ma endomorfismus H diagonální matici.
   

Všimněme si, že vlastní vektory (1,0,-1), (3,1,-2), (-2,1,2) jsou lineárně nezávislé vektory a proto tvoří bázi bázi, položme B = ((1,0,-1), (3,1,-2), (-2,1,2)). Nyní zbývá nahlédnout, že

[H]B =

0 0 0 0 1 0 0 0 -1

,

tj. matice [H]_B vůči bázi složené z vlastních vektorů je diagonální.

Následující téma