II. Geometrie vektorů v prostoru

Vektory

Vektor (reálný, třídimenzionální) je uspořádaná trojice (x_{1}, x_{2}, x_{3}) reálných čísel x_{1} ,x_{2}, x_{3}. Číslo x_{1} nazýváme první souřadnice vektoru, číslo x_{2} je druhá souřadnice vektoru, číslo x_{3} je třetí souřadnice vektoru. Vektory v prostoru budeme opět označovat malými tučnými písmeny: x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}). Kromě uvedeného řádkového

zápisu budeme často používat také sloupcový zápis: x = ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ).

Pokud zvolíme v prostoru pravoúhlý systém souřadnic, můžeme vektor x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}) geometricky znázornit jako šipku (orientovanou úsečku), která má počáteční bod v počátku souřadnic (0, 0, 0) a koncový bod v bodě o souřadnicích (x_{1}, x_{2}, x_{3}).

Jsou-li x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}) a u = (u_{1}, u_{2}, u_{3}) dva vektory, pak definujeme součet vektorů x, u jako vektor x + u = (x_{1} + u_{1}, x_{2} + u_{2}, x_{3} + u_{3}). Podobně definujeme součin vektoru x a reálného čísla r jako vektor rx = (rx_{1}, rx_{2}, rx_{3}). Říkáme rovněž, že vektor rx je skalárním násobkem vektoru x. Vektor (−1)x = (−x_{1}, −x_{2}, −x_{3}) nazýváme opačný vektor k vektoru x a označujeme jej také −x.

Vektor (0, 0, 0) nazýváme nulový vektor a označujeme jej 0. Vektory e_{1} = (1, 0, 0), e_{2} = (0, 1, 0) a e_{3} = (0, 0, 1) jsou vektory standardní báze v rovině.

Je-li x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}) ≠ 0 nenulový vektor, pak všechny násobky kx, kde k ∈ R je libovolné reálné číslo, leží na přímce procházející počátkem souřadnic a koncovým bodem (x_{1}, x_{2}, x_{3}) vektoru x. A naopak každý bod této přímky můžeme vyjádřit ve tvaru kx pro vhodné reálné číslo k. Množinu vektorů

{kx; k ∈ R}

proto nazýváme přímka určená vektorem x. Podobně definujeme (uzavřenou )polopřímku určenou vektorem x jako množinu {kx; k ≥ 0}. Otevřenou polopřímku definujeme analogicky. Polopřímka opačná k polopřímce určené vektorem x je polopřímka určená vektorem −x. Podobně definujeme uzavřenou úsečku určenou vektorem x jako množinu vektorů

{kx; k ∈ [0, 1]}.

Přímku určenou e_{1} (prvním vektorem standardní báze) nazýváme první osa souřadnic, zatímco přímka určená vektorem e_{2} je druhá osa souřadnic a přímka určená vektorem e_{3} je třetí osa souřadnic. Každý vektor x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}) můžeme jednoznačně vyjádřit jako součet

x = x_{1}e_{1} + x_{2}e_{2} + x_{3}e_{3}

Typeset by AMS-TEX

nějakého vektoru z první osy souřadnic, nějakého vektoru z druhé osy souřadnic a nějakého vektoru z třetí osy souřadnic.

Sčítání vektorů v prostoru a jejich násobení reálnými čísly má stejné vlastnosti jako operace s vektory v rovině:

(1) x + u = u + x pro libovolné dva vektory x, u,

(2) x + (u + a) = (x + u) + a pro libovolné tři vektory x, u, a,

(3) existuje vektor 0 takový, že platí x + 0 = 0 + x = x pro libovolný vektor x,

(4) pro každý vektor x existuje vektor −x takový, že platí x+(−x) = (−x)+x = 0,

(5) r(x + u) = rx + ru pro libovolné dva vektory x, u a každé reálné číslo r,

(6) (r + s)x = rx + sx pro libovolná dvě reálná čísla r, s a každý vektor x,

(7) r(s(x)) = (rs)x pro libovolná dvě reálná čísla r, s a každý vektor x,

(8) 1x = x pro každý vektor x. Všech osm vlastností si můžete sami dokázat, vyjádříte-li si všechny vektory pomocí souřadnic. Stejně tak si můžete dokázat, že 0x = 0 pro libovolný vektor x. Rozdíl vektorů x a u definujeme jako vektor x − u = x + (−u).

Definice II.1. Jsou-li a, b dva vektory v prostoru, pak každý vektor tvaru

ra + sb,

kde r, s jsou libovolná reálná čísla, nazýváme lineární kombinace vektorů a, b. Podobně jako v rovině říkáme, že dva vektory a, b jsou lineárně závislé, jestliže jeden z nich je skalárním násobkem druhého. Tři vektory a, b, c jsou lineárně závislé, jestliže jeden z nich je lineární kombinací zbylých dvou. Nejsou-li vektory a, b, c lineárně závislé, říkáme rovněž, že jsou lineárně nezávislé.

Pokud jsou tři vektory a, b, c lineárně nezávislé, znamená to že žádný z nich není lineární kombinací zbylých dvou. Speciálně tedy není žádný z nich nulový vektor. Dále žádný z nich není skalárním násobkem jiného, tj. každé dva z vektorů a, b, c jsou lineárně nezávislé.

Příklad Dokažte, že tři vektory a, b, c jsou lineárně nezávislé, právě když z rovnosti ra + sb + tc = 0 plyne r = s = t = 0. Dokažte, že prvky standardní báze e_{1}, e_{2}, e_{3} jsou lineárně nezávislé.

Je-li a ≠ 0, pak množina {ka; k ∈ R} je parametrické vyjádření přímky v prostoru. Jsou-li a, b dva lineárně nezávislé vektory, pak každá jejich lineární kombinace ra + sb leží v rovině určené vektory a, b. Množinu {ra + sb; r, s ∈ R} nazýváme parametrické vyjádření roviny. Všimněte si, že jsou-li vektory a, b, c lineárně nezávislé, pak žádný z nich neleží v rovině určené zbylými dvěma vektory.

Podobně jako v rovině, jsou-li a, u ≠ 0 dva vektory v prostoru, pak je množina {a + ku; k ∈ R} parametrické vyjádření přímky, která prochází bodem a a je rovnoběžná s vektorem u. Stejně tak jsou-li u, v dva lineárně nezávislé vektory a a libovolný vektor v prostoru, pak je množina {a + ru + sv; r, s ∈ R} parametrické vyjádření roviny v prostoru, která prochází bodem a a je rovnoběžná s rovinou určenou vektory u, v.

Skalární součin

Délkou vektoru x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}) rozumíme vzdálenost bodů (0, 0, 0) a (x_{1}, x_{2}, x_{3}), která se podle Pythagorovy věty rovná \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}} . Délku vektoru x budeme označovat |x|. Pro každé reálné číslo r platí

|rx| = \sqrt{(rx_{1})^{2} + (ry_{2})^{2} + (rx_{3})^{2}} = \sqrt{r^{2}(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2})} = |r||x|.

Vzdáleností vektorů x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}) a u = (u_{1}, u_{2}, u_{3}) rozumíme délku vektoru x − u, tj. reálné číslo |x − u| = \sqrt{(x_{1} − u_{1})^{2} + (x_{2} − u_{2})^{2} + (x_{3} − u_{3})^{2}} .

Je-li x ≠ 0, pak je délka |x| ≠ 0, vektor |xx|^{−1}|x| leží na polopřímce určené vektorem x a má délku 1. Vektory délky 1 nazýváme jednotkové vektory. Jednotkové vektory leží na sféře se středem v počátku a poloměrem 1. Analogií polárního vyjádření vektorů v rovině jsou v prostoru sférické souřadnice. Jeli u = (u_{1}, u_{2}, u_{3}) jednotkový vektor v prostoru, platí u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + u_{3}^{2} = 1. Jelikož |u_{3}| ≤ 1, existuje jednoznačně určený úhel ϕ ∈ [−π/2, π/2] takový, že u_{3} = sinϕ. Potom \sqrt{u_{1}^{2} + u_{2}^{2}} = \sqrt{1 − u_{3}^{2}} = \sqrt{1 − sin^{2} ϕ} = cosϕ. Existuje tedy jednoznačně určený úhel θ ∈ [0, 2π) (polární úhel vektoru (u_{1}, u_{2}), pokud je nenulový, a 0, pokud u_{1} = u_{2} = 0) takový, že

u_{1} = cosϕ cosθ, u_{2} = cosϕ sinθ.

Jde vlastně o zeměpisné souřadnice bodu u, ϕ je zeměpisná šířka a θ je zeměpisná délka. Platí tedy, že každý nenulový vektor x v prostoru můžeme jednoznačně vyjádřit ve tvaru

x = |x|(cosϕ cosθ, cosϕ sinθ, sinϕ).

Tomuto vyjádření říkáme sférické souřadnice bodu x.

Skalárním součinem vektorů x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}) a u = (u_{1}, u_{2}, u_{3}) nazýváme reálné číslo x · u = x_{1}u_{1} + x_{2}u_{2} + x_{3}u_{3}.

Přímo z definice skalárního součinu v prostoru plyne, že pro každý vektor x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}) platí x·x = x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2} = |x|^{2}. Stejně snadno jako v případě skalárního součinu vektorů v rovině si můžete sami ověřit následující vlastnosti skalárního součinu vektorů v prostoru:

(1) x · u = u · x pro každé dva vektory x, u,

(2) (rx) · u = r(x · u) pro každé dva vektory x, u a libovolné reálné číslo r,

(3) a · (x + u) = a · x + a · u pro každé tři vektory a, x, u.

Geometrický význam skalárního součinu dvou nenulových a lineárně nezávislých vektorů x, u si ujasníme pomocí kosinové věty. V trojúhelníku s vrcholy 0, x, u platí

|x − u|^{2} = |x|^{2} + |u|^{2} − 2|x||u| cosθ,

kde θ je úhel, který svírají vektory x, u.

Délku vektoru x − u můžeme spočítat také pomocí skalárního součinu:

|x − u|^{2} = (x − u) · (x − u) = (x · x) + (u · u) − 2(x · u) = |x|^{2} + |u|^{2} − 2(x · u).

Porovnáním obou výpočtů dostaneme rovnost x · u = |x||u| cosθ. Skalární součin dvou nenulových vektorů se tedy rovná součinu jejich délek a cosinu úhlu, který svírají. Skalární součin dvou nenulových vektorů je tedy kladný, pokud oba vektory svírají ostrý úhel, a je záporný, pokud svírají tupý úhel. Skalární součin se rovná 0 právě když jsou oba vektory kolmé. Pokud je jeden z vektorů nulový, je skalární součin rovněž 0. Můžeme tedy definovat, že dva vektory x, u jsou kolmé (ortogonální) pokud pro jejich skalární součin platí x · u = 0. Pomocí skalárního součinu můžeme stejně jako v rovině spočítat cosinus úhlu mezi dvěma vektory, případně zjistit, jsou-li ortogonální.

Dále se naučíme počítat ortogonální projekci P_{u}(x) vektoru u na přímku určenou nenulovým vektorem u. Libovolný bod na této přímce lze vyjádřit ve tvaru tu, kde t je vhodné reálné číslo. Hledáme hodnotu parametru t, pro kterou je vektor x − tu kolmý na u, tj. pro kterou platí (x − tu) · u = 0, neboli x · u − t(u · u) = 0. Odtud dostáváme

t = \frac{x · u}{u · u} = \frac{x · u}{|u|^{2}}

a tedy

P_{u}(x) = \frac{x · u}{|u|^{2}} u.

Příklad Najděte souřadnice ortogonální projekce vektoru b = (3, 1, 1) na přímku určenou vektorem a = (1, 2, 1)

Řešení dostaneme za použití právě odvozeného vzorce:

P_{a}(b) = (\frac{b · a}{a · a} ) a = \frac{6}{6}(1, 2, 1) = (1, 2, 1).

Dále se budeme zabývat výpočtem projekce Q(x) vektoru x na rovinu kolmou k vektoru u ≠ 0. Je-li u = (u_{1}, u_{2}, u_{3}), pak je rovina dána (neparametrickou) rovnicí u · x = u_{1}x_{1} + u_{2}x_{2} + u_{3}x_{3} = 0. Vektor x − Q(x) má být kolmý k této rovině, neboli násobkem vektoru u. Proto x − Q(x) = tu pro nějaké reálné číslo t. To znamená, že x − tu = Q(x) leží v dané rovině, a proto (x − tu) · u = 0. Odtud vyplývá (podle odstavce před posledním příkladem), že tu = P_{u}(x), neboli Q(x) = x − P_{u}(x).

Příklad Najděte projekci vektoru x = (3, 1, 1) na rovinu x_{1} + 2x_{2} + x_{3} = 0.

Vzdálenost d vektoru x od roviny kolmé k vektoru u ≠ 0 spočítáme snadno, neboť se rovná velikosti projekce P_{u}(x) vektoru x na přímku určenou vektorem u. Proto

d = |P_{u}(x)| = \frac{|x · u|}{|u|^{2}} |u| = \frac{|x · u|}{|u|} .

Jako další spočítáme vzdálenost d′ vektoru x od přímky určené vektorem u ≠ 0. Tato vzdálenost se rovná velikosti vektoru Q(x), který jsme spočítali výše. Protože vektory x − P_{u}(x) a P_{u}(x) jsou navzájem kolmé, platí

|Q(x)|^{2} = |x − P_{u}(x)|^{2} = |x|^{2} − |P_{u}(x)|^{2} = x · x − \frac{|x · u|^{2}}{|u|^{2}} .

Platí proto

|Q(x)| = \sqrt{x · x − \frac{(x · u)^{2}}{(u · u)^{2}}} = \frac{\sqrt{(x · x)(u · u) − (x · u)^{2}}}{|u|} .

Toho dále využijeme při výpočtu plochy rovnoběžníku určeného dvěma nenulovými vektory a, b. Právě jsme spočítali vzdálenost koncového bodu vektoru a od přímky určené vektorem b. Tu vynásobíme délkou vektoru b a dostaneme tak plochu rovnoběžníku určeného vektory a, b:

|b|\frac{1}{|b|} \sqrt{(a · a)(b · b) − (a · b)^{2}} = \sqrt{(a · a)(b · b) − (a · b)^{2}} .

Vektorový součin

Pokusme se vyřešit soustavu dvou rovnic o třech neznámých

a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + a_{3}x_{3} = 0,
b_{1}x_{1} + b_{2}x_{2} + b_{3}x_{3} = 0.

Označíme-li a = (a_{1}, a_{2}, a_{3}), b = (b_{1}, b_{2}, b_{3}) vektory koeficientů a x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}) vektor neznámých, můžeme soustavu přepsat ve vektorovém tvaru

a · x = 0,
b · x = 0.

Nějaký vektor x vyhovující soustavě můžeme najít třeba tak, že vynásobíme první rovnici číslem b_{1}, druhou rovnici a_{1} a pak je odečteme. Dostaneme postupně

a_{1}b_{1}x_{1} + a_{2}b_{1}x_{2} + a_{3}b_{1}x_{3} = 0,
a_{1}b_{1}x_{1} + a_{1}b_{2}x_{2} + a_{1}b_{3}x_{3} = 0,

a tedy

(a_{2}b_{1} − a_{1}b_{2})x_{2} + (a_{3}b_{1} − a_{1}b_{3})x_{3} = 0.

Stejně tak můžeme vynásobit první rovnici b_{2}, druhou a_{2} a odečíst, dostaneme:

(a_{1}b_{2} − a_{2}b_{1})x_{1} + (a_{3}b_{2} − a_{2}b_{3})x_{3} = 0.

Podíváme-li se pozorně na obě nově získané rovnice, můžeme přímo napsat jedno možné řešení původní soustavy:

x_{1} = a_{2}b_{3} − a_{3}b_{2},
x_{2} = a_{3}b_{1} − a_{1}b_{3},
x_{3} = a_{1}b_{2} − a_{2}b_{1}.

Definice II.2. Jsou-li a = (a_{1}, a_{2}, a_{3}), b = (b_{1}, b_{2}, b_{3}) dva vektory v prostoru, pak definujeme jejich vektorový součin a × b jako vektor

a × b = (a_{2}b_{3} − a_{3}b_{2}, a_{3}b_{1} − a_{1}b_{3}, a_{1}b_{2} − a_{2}b_{1}).

Přímým výpočtem se přesvědčíme, že vektor a×b je skutečně kolmý k vektorům a, b. Platí

a · (a × b) = a_{1}(a_{2}b_{3} − a_{3}b_{2}) + a_{2}(a_{3}b_{1} − a_{1}b_{3}) + a_{3}(a_{1}b_{2} − a_{2}b_{1}) = 0.

Zcela stejně vyjde rovněž b · (a × b) = 0.

Stejně snadno si můžete přímým výpočtem ověřit následující vlastnosti vektorového součinu:

(1) a × a = 0 pro každý vektor a,

(2) b × a = −(a × b) pro libovolné vektory a, b,

(3) a × (b + c) = a × b + a × c pro všechny vektory a, b, c,

(4) (ta) × b = t(a × b) pro každý skalár t a libovolné vektory a, b.

Příklad Spočítejte vektorové součiny e_{1} × e_{2}, e_{2} × e_{3}, e_{1} × e_{3} pro standardní bázi e_{1}, e_{2}, e_{3}.

Příklad Dokažte, že pro libovolné vektory a, b, c platí a · (b × c) = b · (c × a) = c · (a × b).

Dále si dokážeme následující důležité tvrzení.

Věta II.1. Dva vektory a, b jsou lineárně závislé právě když a × b = 0.

Důkaz. Je-li b = 0, pak a × b = 0. Pokud b ≠ 0, pak z předpokladu lineární závislosti a, b vyplývá, že a = tb pro nějaké číslo t. Potom a × b = (ta) × b = t(a × b) = 0.

Nechť naopak platí a × b = 0. Označme a = (a_{1}, a_{2}, a_{3}) a b = (b_{1}, b_{2}, b_{3}). Je-li b = 0, jsou vektory a, b lineárně závislé. Je-li b ≠ 0, je aspoň jedna ze souřadnic, řekněme b_{3}, různá od 0. Potom z rovnosti a_{3}b_{2} − a_{2}b_{3} = 0 vyplývá a_{2} = (a_{3}/b_{3})b_{2} a z rovnosti a_{3}b_{1} − a_{1}b_{3} = 0 vyplývá a_{1} = (a_{3}/b_{3})b_{1}. Protože rovněž a_{3} = (a_{3}/b_{3})b_{3}, platí a = (a_{3}/b_{3})b. Vektory a, b jsou proto lineárně závislé. □

Pomocí této věty a předcházejícího příkladu snadno vyřešíte následující příklad.

Příklad Jsou-li a, b, c lineárně závislé vektory, pak platí a · (b × c) = b · (c × a) = c · (a × b) = 0.

Příklad Plocha rovnoběžníku určeného vektory a, b, kde b ≠ 0, se rovná |a × b|.

Návod. Využijte toho, že užvíme, že druhá mocnina plochy rovnoběžníku se rovná (a · a)(b · b) − (a · b)^{2}. Úpravami tohoto výrazu dostanete druhou mocninu délky vektorového součinu a × b.

Věta II.1 a poslední příklad do velké míry vyjasňují geometrický význam vektorového součinu dvou vektorů a, b. Jsou-li tyto vektory lineárně nezávislé, pak a × b je nenulový vektor kolmý jak k vektoru a tak i k vektoru b. Jeho délka se rovná obsahu rovnoběžníku určeného vektory a, b. Tyto vlastnosti má kromě vektorového součinu a × b také opačný vektor −(a × b) = b × a. Geometrický význam znaménka si ujasníme později. Jsou-li vektory a, b lineárně závislé, pak podle Věty II.1 je a × b = 0 a tedy i v tomto případě je vektorový součin a × b roven obsahu rovnoběžníku určeného vektory a, b.

Následující cvičení obsahuje zajímavé třídimenzionální zobecnění Pythagorovy věty. Dokážete jej snadno pomocí příkladu před Větou II.1.

Příklad Nechť a = (a_{1}, a_{2}, a_{3}), b = (b_{1}, b_{2}, b_{3}) jsou dva vektory v prostoru. Označme Γ rovnoběžník určený těmito vektory. Dále označme Γ_{12} projekci tohoto rovnoběžníku do roviny určené vektory e_{1}, e_{2} standardní báze, tj. rovnoběžník určený vektory (a_{1}, a_{2}, 0) a (b_{1}, b_{2}, 0). Podobně označíme Γ_{23} rovnoběžník určený vektory (0, a_{2}, a_{3}) a (0, b_{2}, b_{3}) (projekce Γ do roviny určené e_{2}, e_{3}) a Γ_{13} rovnoběžník určený vektory (a_{1}, 0, a_{3}) a (b_{1}, 0, b_{3}) (projekce Γ do roviny určené vektory e_{1}, e_{3}). Potom platí, že čtverec obsahu rovnoběžníku Γ se rovná součtu čtverců obsahů rovnoběžníků Γ_{12}, Γ_{13} a Γ_{23}. Dokažte.

Dále si ukážeme, jak spočítat obsah rovnoběžnostěnu určeného třemi vektory a, b, c v prostoru. Tyto vektory určují rovnoběžnostěn Δ = {ra + sb + tc; r, s, t ∈ [0, 1]}. Jsou-li vektory a, b, c lineárně nezávislé, pak se vzdálenost vektoru c od roviny určené vektory a, b rovná délce projekce vektoru c do přímky určené vektorovým součinem a × b. Tato vzdálenost se tedy rovná

\frac{|c · (a × b)|}{|a × b|} .

Základna rovnoběžnostěnu, tj. rovnoběžník určený vektory a, b, má plochu |a × b|. Objem Δ se proto rovná |c · (a × b)|.

Jsou-li vektory a, b, c lineárně závislé, leží všechny tři v jedné rovině a objem rovnoběžnostěnu Δ je proto 0 = c · (a × b), jak vyplývá z jednoho z předchozích příkladů.

Věta II.2. Jsou-li a, b, c tři lineárně nezávislé vektory v prostoru, pak lze každý vektor y vyjádřit jednoznačně ve tvaru y = ra+sb+tc, tj. jako lineární kombinaci vektorů a, b, c.

Důkaz. Vektor c není lineární kombinací vektorů a, b a proto neleží v rovině určené těmito vektory. Přímka {y−tc; t ∈ R} procházející bodem y rovnoběžně s vektorem c proto není rovnoběžná s rovinou určenou vektory a, b. Existují proto hodnoty parametrů r, s, t, které vyjadřují průsečík této přímky a roviny určené a, b. Pro tyto hodnoty parametrů r, s, t pak platí

y − tc = ra + sb,

tj. y = ra + sb + tc.

Toto vyjádření je jednoznačné. Je-li totiž y = r′a + s′b + t′c jiné vyjádření y jako lineární kombinace vektorů a, b, c, pak odečtením obou vyjádření dostaneme rovnost

0 = (r − r′)a + (s − s′)b + (t − t′)c.

Z lineární nezávislosti vektorů a, b, c ale vyplývá, že r = r′, s = s′ a t = t′. □

Jako poslední si v části o vektorovém součinu ukážeme nutnou a postačující podmínku pro existenci nenulového řešení soustavy rovnic

a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + a_{3}x_{3} = 0,
b_{1}x_{1} + b_{2}x_{2} + b_{3}x_{3} = 0,
c_{1}x_{1} + c_{2}x_{2} + c_{3}x_{3} = 0.

Řešením soustavy jsou takové vektory x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}), které jsou kolmé k vektorům a = (a_{1}, a_{2}, a_{3}), b = (b_{1}, b_{2}, b_{3}) a c = (c_{1}, c_{2}, c_{3}). Věta II.2 naznačuje, že k existenci netriviálního řešení této soustavy je nutné, aby byly vektory a, b, c lineárně závislé, neboli ležely v jedné rovině. Objem rovnoběžnostěnu určeného vektory a, b, c, neboli (smíšený) součin c · (a × b), musí být roven 0. Dokážeme si nyní, že netriviální řešení soustavy skutečně existuje právě když c · (a × b) = 0.

Nechť jsou tedy vektory a, b, c lineárně závislé, neboli c · (a × b) = 0. Jsou-li už vektory a, b lineárně závislé, leží všechny tři vektory a, b, c v jedné rovině a proto existuje nenulový vektor x, který je k této rovině kolmý. Tento vektor x je potom nenulovým řešením dané soustavy.

Jsou-li vektory a, b lineárně nezávislé, je a × b nenulový vektor, který je kolmý k a i k b. Na základě předpokladu c · (a × b) = 0 je vektor a × b rovněž kolmý k c a je tedy nenulovým řešením dané soustavy.

Je-li naopak c · (a × b) ≠ 0, musí být a × b ≠ 0, a tedy vektory a, b jsou lineárně nezávislé. Vektor a×b je potom nenulový vektor kolmý k rovině určené a, b. Každý jiný vektor kolmý k této rovině je pak skalárním násobkem a×b. Je-li tedy vektor x řešením naší soustavy, je kolmý k rovině určené a, b a existuje tedy skalár t takový, že x = t(a × b). Protože rovněž x · c = 0, platí t(a × b) · c = t((a × b) · c) = t(c · (a × b)) = 0. Protože předpokládáme c · (a × b) ≠ 0, musí být t = 0 a tedy x = 0.

Lineární transformace v prostoru

Na začátek opět několik příkladů.

Příklad Popište zobrazení, které každému vektoru x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}) v prostoru přiřadí jeho pravoúhlou projekci na přímku určenou vektorem u = (1, 1, 1).

Řešení. V předchozí části jsme si ukázali, že označíme-li toto zobrazení P_{u}, pak platí

P_{u}(x) = (\frac{x · u}{u · u} ) u = (\frac{x_{1} + x_{2} + x_{3}}{3} ) (1, 1, 1).

Pro souřadnice (y_{1}, y_{2}, y_{3}) vektoru P_{u}(x) pak platí

y_{1} = \frac{1}{3}x_{1} + \frac{1}{3}x_{2} + \frac{1}{3}x_{3},
y_{2} = \frac{1}{3}x_{1} + \frac{1}{3}x_{2} + \frac{1}{3}x_{3},
y_{3} = \frac{1}{3}x_{1} + \frac{1}{3}x_{2} + \frac{1}{3}x_{3}.

Příklad Popište osovou symetrii S_{u} vzhledem k přímce určené vektorem u = (1, 1, 1).

Řešení. Stejně jako v rovině je vektor S_{u}(x) charakterizován podmínkou, že projekce P_{u}(x) je středem úsečky s koncovými body x a S_{u}(x). Proto S_{u}(x) = 2P_{u}(x) − x, tj. označíme-li (y_{1}, y_{2}, y_{3}) souřadnice vektoru S_{u}(x), pak platí

y_{1} = (−\frac{1}{3})x_{1} + \frac{2}{3}x_{2} + \frac{2}{3}x_{3},
y_{2} = \frac{2}{3}x_{2} + (−\frac{1}{3})x_{2} + \frac{2}{3}x_{3},
y_{3} = \frac{2}{3}x_{1} + \frac{2}{3}x_{2} + (−1)\frac{1}{3}x_{3}.

Příklad Popište projekci Q na rovinu kolmou k vektoru u = (1, 1, 1).

Řešení. Ukázali jsme si už, že pro každý vektor x platí Q(x) = x − P_{u}(x), a tedy

Q ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) − ( \begin{matrix}\frac{1}{3}x_{1} + \frac{1}{3}x_{2} + \frac{1}{3}x_{3} \\ \frac{1}{3}x_{1} + \frac{1}{3}x_{2} + \frac{1}{3}x_{3} \\ \frac{1}{3}x_{1} + \frac{1}{3}x_{2} + \frac{1}{3}x_{3} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}\frac{2}{3}x_{1} − \frac{1}{3}x_{2} − \frac{1}{3}x_{3} \\ −\frac{1}{3}x_{1} + \frac{2}{3}x_{2} − \frac{1}{3}x_{3} \\ −\frac{1}{3}x_{1} − \frac{1}{3}x_{2} + \frac{2}{3}x_{3} \end{matrix} ) .

Příklad Popište symetrii R vzhledem k rovině kolmé k vektoru u = (1, 1, 1).

Řešení. Stejně jako v rovině platí, že projekce Q(x) vektoru x na rovinu kolmou k vektoru u = (1, 1, 1) je středem úsečky s krajními body x a R(x). Z rovnosti Q(x) = \frac{1}{2}(x + R(x)) vyplývá R(x) = 2Q(x) − x. Proto

R ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) = 2 ( \begin{matrix}\frac{2}{3}x_{1} − \frac{1}{3}x_{2} − \frac{1}{3}x_{3} \\ −\frac{1}{3}x_{1} + \frac{2}{3}x_{2} − \frac{1}{3}x_{3} \\ −\frac{1}{3}x_{1} − \frac{1}{3}x_{2} + \frac{2}{3}x_{3} \end{matrix} ) − ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}\frac{1}{3}x_{1} − \frac{2}{3}x_{2} − \frac{2}{3}x_{3} \\ −\frac{2}{3}x_{1} + \frac{1}{3}x_{2} − \frac{2}{3}x_{3} \\ −\frac{2}{3}x_{1} − \frac{2}{3}x_{2} + \frac{1}{3}x_{3} \end{matrix} ) .

Příklad Dilatace D_{r} se středem v počátku souřadnic a koeficientem r je popsána rovností

D_{r} ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}rx_{1} \\ rx_{2} \\ rx_{3} \end{matrix} ) .

Příklad Rotace R_{θ}^{1} kolem osy určené vektorem e_{1} (prvním vektorem standardní báze) o úhel θ v kladném směru je popsána rovností

R_{θ}^{1} ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}x_{1} \\ (cosθ)x_{2} − (sinθ)x_{3} \\ (sinθ)x_{2} + (cosθ)x_{3} \end{matrix} ) .

Na tomto místě je nutné podrobněji se zmínit o tom, co se myslí kladným směrem rotace v třídimenzionálním prostoru. Rotace v rovině určené vektory e_{2}, e_{3} je proti směru nebo ve směru hodinových ručiček podle toho, ze kterého poloprostoru určeného rovinou e_{2}, e_{3} se na tuto rovinu díváme. Díváme-li se z poloprostoru, ve kterém leží vektor e_{1}, pak je úhel mezi vektory e_{2} a e_{3} roven π/2. Díváme-li se z poloprostoru, ve kterém leží vektor −e_{1}, pak je úhel mezi vektory e_{2} a e_{3} roven −π/2. Otočením kolem osy určené vektorem e_{1} o úhel θ v kladném směru se rozumí otočení proti směru hodinových ručiček, díváme-li se na rovinu určenou e_{2}, e_{3} z poloprostoru obsahujícího vektor e_{1}.

Nyní si můžete sami ověřit správnost popisu následujících dvou rotací.

Příklad Rotace R_{θ}^{3} kolem osy určené vektorem e_{3} o úhel θ v kladném směru je popsána rovností

R_{θ}^{3} ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}(cosθ)x_{1} − (sinθ)x_{2} \\ (sinθ)x_{1} + (cosθ)x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) .

Příklad Rotace R_{θ}^{2} kolem osy určené vektorem e_{2} o úhel θ v kladném směru je popsána rovností

R_{θ}^{2} ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}(cosθ)x_{1} + (sinθ)x_{2} \\ x_{2} \\ (− sinθ)x_{1} + (cosθ)x_{3} \end{matrix} ) .

Lineární transformace v prostoru a matice

Všechny transformace, které jsme si uvedli v předcházející části, měly podobný tvar:

T ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + a_{13}x_{3} \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + a_{23}x_{3} \\ a_{31}x_{1} + a_{32}x_{2} + a_{33}x_{3} \end{matrix} ) .

Definice II.3. Zobrazení v prostoru, které každému vektoru x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}) přiřazuje vektor T (x) definovaný předcházející rovností, kde a_{ij} jsou libovolná reálná čísla pro i, j = 1, 2, 3, se nazývá lineární zobrazení (transformace) v prostoru. Matice

( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} )

se nazývá matice zobrazení T a označuje se m(T).

Prvek a_{ij} se nachází v i-tém řádku a v j-tém sloupci matice, první index i je řádkový index, druhý index j je sloupcový index.

Matice identického zobrazení I(x) = x se rovná

m(I) = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )

a nazývá se jednotková matice řádu 3. Podobně matice nulového zobrazení O(x) = 0 se nazývá nulová matice řádu 3. Její prvky jsou samé nuly. Matice dalších lineárních zobrazení vyčtete z příkladů v předchozí části.

Dále si ukážeme dvě základní vlastnosti lineárních transformací. Je-li T lineární transformace v prostoru, pak platí

(1) T (x + y) = T (x) + T (y) pro každé dva vektory x, y,

(2) T (kx) = kT (x) pro každý vektor x a libovolné reálné číslo k. Ukážeme si například vlastnost (2). Je-li

m(T) = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} )

a x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}), pak platí

T (kx) = T ( \begin{matrix}kx_{1} \\ kx_{2} \\ kx_{3} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}a_{11}kx_{1} + a_{12}kx_{2} + a_{13}kx_{3} \\ a_{21}kx_{1} + a_{22}kx_{2} + a_{23}kx_{3} \\ a_{31}kx_{1} + a_{32}kx_{2} + a_{33}kx_{3} \end{matrix} ) =

= k ( \begin{matrix}a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + a_{13}x_{3} \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + a_{23}x_{3} \\ a_{31}x_{1} + a_{32}x_{2} + a_{33}x_{3} \end{matrix} ) = kT (x).

Následující věta ukazuje, že podmínky (1) a (2) lineární zobrazení charakterizují.

Věta II.3. Zobrazení T, které každému vektoru x v prostoru přiřazuje vektor T (x), je lineární právě tehdy, když splňuje podmínky (1), (2).

Důkaz. To, že každé lineární zobrazení splňuje také podmínku (1), si můžete dokázat sami. Nechť naopak má zobrazení T vlastnosti (1) a (2). Každý vektor x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}) si můžeme jednoznačně vyjádřit ve tvaru x = x_{1}e_{1} + x_{2}e_{2} + x_{3}e_{3}. Z podmínek (1) a (2) pak plyne

T (x) = T (x_{1}e_{1} + x_{2}e_{2} + x_{3}e_{3}) = x_{1}T (e_{1}) + x_{2}T (e_{2}) + x_{3}T (e_{3}).

Označme si vektory

T (e_{1}) = ( \begin{matrix}a_{11} \\ a_{21} \\ a_{31} \end{matrix} ) , T (e_{2}) = ( \begin{matrix}a_{12} \\ a_{22} \\ a_{32} \end{matrix} ) , T (e_{3}) = ( \begin{matrix}a_{13} \\ a_{23} \\ a_{33} \end{matrix} ) .

Potom platí

T (x) = x_{1} ( \begin{matrix}a_{11} \\ a_{21} \\ a_{31} \end{matrix} ) + x_{2} ( \begin{matrix}a_{12} \\ a_{22} \\ a_{32} \end{matrix} ) + x_{3} ( \begin{matrix}a_{13} \\ a_{23} \\ a_{33} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}a_{11}x_{1} \\ a_{21}x_{1} \\ a_{31}x_{1} \end{matrix} ) + ( \begin{matrix}a_{12}x_{2} \\ a_{22}x_{2} \\ a_{32}x_{3} \end{matrix} ) + ( \begin{matrix}a_{13}x_{3} \\ a_{23}x_{3} \\ a_{33}x_{3} \end{matrix} ) =

( \begin{matrix}a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + a_{13}x_{3} \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + a_{23}x_{3} \\ a_{31}x_{1} + a_{32}x_{2} + a_{33}x_{3} \end{matrix} ) .

Zobrazení T je proto lineární. □

Stejně jako v rovině je důležité si všimnout, že první sloupec matice m(T) se rovná obrazu T (e_{1}) prvního vektoru standardní báze zobrazením T, druhý sloupec se rovná vektoru T (e_{2}) a třetí sloupec m(T) se rovná vektoru T (e_{3}). To je důležité, hledáme-li matici nějakého lineárního zobrazení.

Příklad Najděte matici projekce P_{u}Q na přímku určenou vektorem u = (u_{1}, u_{2}, u_{3}). Řešení. Víme už, že pro každý vektor x platí

P_{u}(x) = (\frac{x · u}{u · u} ) u.

Potom

P_{u}(e_{1}) = ( \frac{u_{1}^{2}}{u_{1}^{2} +u_{2}^{2} +u_{3}^{2}} ; \frac{u_{1} u_{2}}{u_{1}^{2} +u_{2}^{2} +u_{3}^{2}} ; \frac{u_{1} u_{3}}{u_{1}^{2} +u_{2}^{2} +u_{3}^{2}} ) , P_{u}(e_{2}) = ( \frac{u_{2} u_{1}}{u_{1}^{2} +u_{2}^{2} +u_{3}^{2}} ; \frac{u_{2}^{2}}{u_{1}^{2} +u_{2}^{2} +u_{3}^{2}} ; \frac{u_{2} u_{3}}{u_{1}^{2} +u_{2}^{2} +u_{3}^{2}} ) , P_{u}(e_{3}) = ( \frac{u_{3} u_{1}}{u_{1}^{2} +u_{2}^{2} +u_{3}^{2}} ; \frac{u_{3} u_{2}}{u_{1}^{2} +u_{2}^{2} +u_{3}^{2}} ; \frac{u_{3}^{2}}{u_{1}^{2} +u_{2}^{2} +u_{3}^{2}} ) .

Proto

m(P_{u}) = ( \begin{matrix}\frac{u_{1}^{2}}{u_{1}^{2} +u_{2}^{2} +u_{3}^{2}} & \frac{u_{2} u_{1}}{u_{1}^{2} +u_{2}^{2} +u_{3}^{2}} & \frac{u_{3} u_{1}}{u_{1}^{2} +u_{2}^{2} +u_{3}^{2}} \\ \frac{u_{1} u_{2}}{u_{1}^{2} +u_{2}^{2} +u_{3}^{2}} & \frac{u_{2}^{2}}{u_{1}^{2} +u_{2}^{2} +u_{3}^{2}} & \frac{u_{3} u_{2}}{u_{1}^{2} +u_{2}^{2} +u_{3}^{2}} \\ \frac{u_{1} u_{3}}{u_{1}^{2} +u_{2}^{2} +u_{3}^{2}} & \frac{u_{2} u_{3}}{u_{1}^{2} +u_{2}^{2} +u_{3}^{2}} & \frac{u_{3}^{2}}{u_{1}^{2} +u_{2}^{2} +u_{3}^{2}} \end{matrix} ) .

Stejně jako v rovině platí následující věta.

Věta II.4. Buď T lineární zobrazení v prostoru. Obraz T (L) libovolné přímky L je buď bod nebo přímka. Obraz T (P) libovolné roviny P je buď bod, přímka nebo rovina.

Důkaz. Ukážeme si jej pouze v případě roviny. Pro přímku je důkaz zcela stejný jako důkaz Věty I.2. Nechť

P = {a + ru + sv; r, s ∈ R}

je parametrické vyjádření roviny procházející bodem a a rovnoběžné se dvěma lineárně nezávislými vektory u, v. Potom platí (protože T má vlastnosti (1), (2)):

T (P) = {T (a) + rT (u) + sT (v); r, s ∈ R}.

Jsou-li vektory T (u), T (v) lineárně nezávislé, je T (P) parametrické vyjádření roviny procházející bodem T (a) a rovnoběžné s rovinou určenou vektory T (u), T (v). Je-li naopak T (u) = T (v) = 0, rovná se obraz T (P) jedinému bodu T (a). A nakonec, jsou-li vektory T (u), T (v) lineárně závislé a např. T (u) ≠ 0, pak T (v) = kT (u) pro nějaké reálné číslo k a

T (P) = {T (a) + (r + ks)u; r, s ∈ R}

je parametrické vyjádření přímky procházející bodem T (a) rovnoběžné s vektorem T (u). Všimněte si, že jeden a ten samý bod této přímky můžeme dostat různými volbami parametrů r, s. To odpovídá tomu, že do jednoho bodu přímky T (P) se zobrazí různé body roviny P. □

Součet a součin matic a lineárních zobrazení

Stejně jako v případě roviny definujeme součet dvou lineárních transformací S, T v prostoru jako transformaci S + T, která každému vektoru x přiřazuje vektor (S + T)(x) = S(x) + T (x). Podobně součin lineární transformace T a reálného čísla k je transformace kT, která vektor x zobrazuje do vektoru (kT)(x) = k(T (x)).

Podobně definujeme součet matice

M = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} )

a matice

N = ( \begin{matrix}b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{matrix} )

jako matici

M + N = ( \begin{matrix}a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & a_{13} + b_{13} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & a_{23} + b_{23} \\ a_{31} + b_{31} & a_{32} + b_{32} & a_{33} + b_{33} \end{matrix} )

a součin matice M se skalárem k jako matici

kM = ( \begin{matrix}ka_{11} & ka_{12} & ka_{13} \\ ka_{21} & ka_{22} & ka_{23} \\ ka_{31} & ka_{32} & ka_{33} \end{matrix} ) .

Přímým výpočtem si snadno dokážete, že pro matice lineárních zobrazení v prostoru platí

m(S + T) = m(S) + m(T), m(kT) = km(T).

Součet lineárních zobrazení je tedy rovněž lineární zobrazení, stejně tak součin lineárního zobrazení a skaláru je také lineární zobrazení.

Součin lineárních transformací S, T je zobrazení (ST)(x) = S(T (x)). Jsou-li m(S) = (a_{ij}) a m(T) = (b_{jk}) matice těchto lineárních transformací, můžeme podobně jako v rovině spočítat matici m(ST) součinu zobrazení ST:

M(ST) = ( \begin{matrix}a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} + a_{13}b_{31} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} + a_{13}b_{32} & a_{11}b_{13} + a_{12}b_{23} + a_{13}b_{33} \\ a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} + a_{23}b_{31} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} + a_{23}b_{32} & a_{21}b_{13} + a_{22}b_{23} + a_{23}b_{33} \\ a_{31}b_{11} + a_{32}b_{21} + a_{33}b_{31} & a_{31}b_{12} + a_{32}b_{22} + a_{33}b_{32} & a_{31}b_{13} + a_{32}b_{23} + a_{33}b_{33} \end{matrix} ) .

Tuto matici nazýváme součin matic m(S) a m(T). Všimněte si, že prvek na místě (ij) v součinu je roven skalárnímu součinu i-tého řádku matice m(S) a j-tého řádku matice m(T). Platí proto věta

Věta II.5. Jsou-li S, T lineární transformace v prostoru, pak platí

m(ST) = m(S)m(T).

□

Věta II.6. Pro každé tři lineární transformace R, S, T v prostoru platí R(ST) = (RS)T a

m(R)(m(S)m(T)) = (m(R)m(S))m(T).

□ Důkaz je opět zcela stejný jako v rovině. Platí proto i

Důsledek Násobení matic je asociativní. □

Je-li u = (u_{1}, u_{2}, u_{3}) jednotkový vektor, pak projekce P_{u} na přímku určenou vektorem u má matici

m(P_{u}) = ( \begin{matrix}u_{1}^{2} & u_{2}u_{1} & u_{3}u_{1} \\ u_{1}u_{2} & u_{2}^{2} & u_{3}u_{2} \\ u_{1}u_{3} & u_{2}u_{3} & u_{3}^{2} \end{matrix} ) .

Matice osové symetrie Q_{u} vzhledem k ose určené vektorem u se tedy rovná

m(2P_{u} − I) = 2m(P_{u}) − m(I) = ( \begin{matrix}2u_{1}^{2} − 1 & 2u_{2}u_{1} & 2u_{3}u_{1} \\ 2u_{1}u_{2} & 2u_{2}^{2} − 1 & 2u_{3}u_{2} \\ 2u_{1}u_{3} & 2u_{2}u_{3} & 2u_{3}^{2} − 1 \end{matrix} ) .

Podobně si můžete spočítat matice projekce na rovinu kolmou k vektoru u a symetrie určené touto rovinou.

Matice zkosení E_{ij}^{s}, kde i ≠ j, je matice, která má na hlavní diagonále prvky 1 a na místě (i, j) prvek s. Např.

E_{12}^{s} = ( \begin{matrix}1 & s & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) , E_{31}^{s} = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ s & 0 & 1 \end{matrix} ) .

Permutační matice P_{ij}, kde i ≠ j je matice, kterou dostaneme z jednotkové matice prohozením i-tého a j-tého řádku. Např.

P_{12}^{s} = ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) , P_{13}^{s} = ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) .

Těmto dvěma typům matic se říká elementární matice. Elementární matice jsou rovněž matice

D_{1}^{r} = ( \begin{matrix}r & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) , D_{2}^{s} = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & s & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) , D_{3}^{t} = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & t \end{matrix} ) .

Tyto matice jsou rovněž speciálním případem diagonálních matic:

( \begin{matrix}r & 0 & 0 \\ 0 & s & 0 \\ 0 & 0 & t \end{matrix} ) .

Vyzkoušejte si, jak vypadají matice E_{ij}^{s}M, ME_{ij}^{s}, P_{ij}M, MP_{ij}, D_{i}^{t}M, MD_{i}^{t}, jak souvisejí s maticí M.

Inverzní zobrazení a matice

Stejně jako v případě lineárních transformací v rovině říkáme, že lineární transformace S v prostoru je inverzní k lineární transformaci T, jestliže platí ST = I = T S. Důkaz, že inverzní transformace k T, pokud existuje, je určená jednoznačně, lze přenést z roviny do prostoru beze změny. Pokud tedy inverzní transformace k T existuje, budeme ji značit T^{−1}.

Příklad Dokažte, že D_{r}^{−1} = D_{1/r} a že inverzní transformace k R_{θ}^{1} se rovná R_{−θ}^{1}. Najděte inverzní transformaci k transformaci A, jejíž matice m(A) se rovná

( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix} ) .

Je-li T lineární transformace v prostoru a u vektor, můžeme uvažovat rovnici T (x) = u. Je to vlastně soustava tří lineárních rovnic o třech neznámých. Existujeli transformace S inverzní k T, pak platí

x = I(x) = ST (x) = S(u).

Vektor S(u) je tedy jediným možným řešením rovnice T (x) = u. Skutečně jím také je, jak se přesvědčíme dosazením:

T (S(u)) = (T S)(u) = I(u) = u.

Pokud tedy existuje inverzní transformace k T, má rovnice T (x) = u právě jedno řešení pro každou pravou stranu u.

Nechť má naopak rovnice T (x) = u právě jedno řešení pro jakoukoliv pravou stranu u. Označme toto řešení S(u). Platí proto T (S(u)) = u pro každý vektor u, neboli T S = I. Je-li naopak x libovolný vektor, označme u = T (x). Tento vektor x je tedy jediným řešením rovnice T (x) = u. Proto x = S(u) a x = S(u) = S(T (x)) = (ST)(x) pro každý vektor x, tedy ST = I.

Zobrazení S je proto inverzní k transformaci T. Je ale také lineární? Zvolme libovolné dva vektory u, v. Potom platí (protože T lineární je):

T (S(u) + S(v)) = T (S(u)) + T (S(v)) = (T S)(u) + (T S)(v) = u + v.

Proto je S(u)+S(v) řešením rovnice T (x) = u+v, neboli S(u+v) = S(u)+S(v). Podobně ukážeme, že

T (kS(u)) = kT (S(u)) = kI(u) = ku

a tedy S(ku) = kS(u). Zobrazení S je tedy opravdu lineární transformace v prostoru. Dokázali jsme tak následující větu.

Věta II.7. K lineární transformaci T existuje inverzní transformace právě když rovnice

T (x) = u

má právě jedno řešení pro jakoukoliv pravou stranu u. □

Dokážeme si nyní třídimenzionální analogii Věty I.5, která charakterizuje invertibilní lineární transformace v rovině.

Věta II.8. Nechť T je lineární transformace v prostoru s maticí

m(T) = ( \begin{matrix}a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{matrix} ) .

Označme postupně a = (a_{1}, a_{2}, a_{3}), b = (b_{1}, b_{2}, b_{3}) a c = (c_{1}, c_{2}, c_{3}) řádkové vektory matice m(T). Potom inverzní transformace k T existuje právě tehdy když a · (b × c) ≠ 0.

Důkaz. Nechť existuje inverzní transformace k T. Potom z Věty II.7 a rovnosti T (0) = 0, která platí pro každou lineární transformaci, plyne, že homogenní soustava T (x) = 0 má pouze nulové řešení. V závěru části o vektorovém součinu jsme si ukázali, že pak platí a · (b × c) ≠ 0.

Nechť naopak Δ = a · (b × c) ≠ 0. Chceme vypočítat matici

m(T^{−1}) = ( \begin{matrix}u_{1} & v_{1} & w_{1} \\ u_{2} & v_{2} & w_{2} \\ u_{3} & v_{3} & w_{3} \end{matrix} ) .

Potom musí platit

T^{−1}(e_{1}) = T^{−1} ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} \end{matrix} ) , T^{−1}(e_{2}) = ( \begin{matrix}v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix} ) , T^{−1}(e_{3}) = ( \begin{matrix}w_{1} \\ w_{2} \\ w_{3} \end{matrix} ) .

Rovnosti

T^{−1} ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} \end{matrix} ) , T ( \begin{matrix}u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} )

jsou ekvivalentní a ta druhá znamená najít řešení soustavy

a_{1}u_{1} + a_{2}u_{2} + a_{3}u_{3} = 1,
b_{1}u_{1} + b_{2}u_{2} + b_{3}u_{3} = 0,
c_{1}u_{1} + c_{2}u_{2} + c_{3}u_{3} = 0.

Protože platí

a · (b × c) = Δ,
b · (b × c) = 0,
c · (b × c) = 0,

je

( \begin{matrix}u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} \end{matrix} ) = \frac{b × c}{Δ}

řešením naší soustavy. Proto

\frac{(b × c)}{Δ} = T^{−1} ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) .

Podobně pomocí rovností a · (b × c) = b · (c × a) = c · (a × b) dokážeme

\frac{(c × a)}{Δ} = T^{−1} ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} )

a

\frac{(a × b)}{Δ} = T^{−1} ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) .

Z definice vektorového součinu dostáváme

b × c = ( \begin{matrix}| & \begin{matrix}b_{2} & b_{3} \\ c_{2} & c_{3} \end{matrix} & | \\ | & \begin{matrix}b_{3} & b_{1} \\ c_{3} & c_{1} \end{matrix} & | \\ | & \begin{matrix}b_{1} & b_{2} \\ c_{1} & c_{2} \end{matrix} & | \end{matrix} ) ,

c × a = ( \begin{matrix}| & \begin{matrix}c_{2} & c_{3} \\ a_{2} & a_{3} \end{matrix} & | \\ | & \begin{matrix}c_{3} & c_{1} \\ a_{3} & a_{1} \end{matrix} & | \\ | & \begin{matrix}c_{1} & c_{2} \\ a_{1} & a_{2} \end{matrix} & | \end{matrix} ) ,

a × b = ( \begin{matrix}| & \begin{matrix}a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3} \end{matrix} & | \\ | & \begin{matrix}a_{3} & a_{1} \\ b_{3} & b_{1} \end{matrix} & | \\ | & \begin{matrix}a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{matrix} & | \end{matrix} ) .

Pro matici inverzního zobrazení proto platí

m(T^{−1}) = \frac{1}{Δ} ( \begin{matrix}| \begin{matrix}b_{2} & b_{3} \\ c_{2} & c_{3} \end{matrix} | & | \begin{matrix}c_{2} & c_{3} \\ a_{2} & a_{3} \end{matrix} | & | \begin{matrix}a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3} \end{matrix} | \\ | \begin{matrix}b_{3} & b_{1} \\ c_{3} & c_{1} \end{matrix} | & | \begin{matrix}c_{3} & c_{1} \\ a_{3} & a_{1} \end{matrix} | & | \begin{matrix}a_{3} & a_{1} \\ b_{3} & b_{1} \end{matrix} | \\ | \begin{matrix}b_{1} & b_{2} \\ c_{1} & c_{2} \end{matrix} | & | \begin{matrix}c_{1} & c_{2} \\ a_{1} & a_{2} \end{matrix} | & | \begin{matrix}a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{matrix} | \end{matrix} ) .

□ Spočítejte si sami inverzní matice k elementárním a diagonálním maticím.

Determinant

V rovině platí, že k lineární transformaci T s maticí ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) existuje inverzní

transformace právě když ad−bc ≠ 0. Toto číslo jsme nazvali determinantem matice

( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ), viz Definice I.5.

Definice II.4. Jsou-li a = (a_{1}, a_{2}, a_{3}), b = (b_{1}, b_{2}, b_{3}) a c = (c_{1}, c_{2}, c_{3}) tři vektory v prostoru, pak determinantem matice

M = ( \begin{matrix}a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{matrix} )

nazýváme číslo a · (b × c) a značíme jej |M|.

Přímým výpočtem přímo z definice dostaneme, že

|M| = a_{1} | \begin{matrix}b_{2} & b_{3} \\ c_{2} & c_{3} \end{matrix} | + a_{2} | \begin{matrix}b_{3} & b_{1} \\ c_{3} & c_{1} \end{matrix} | + a_{3} | \begin{matrix}b_{1} & b_{2} \\ c_{1} & c_{2} \end{matrix} |
= a_{1}b_{2}c_{3} + a_{2}b_{3}c_{1} + a_{3}b_{1}c_{2} − a_{1}b_{3}c_{2} − a_{2}b_{1}c_{3} − a_{3}b_{2}c_{1}.

K lineární transformaci T tak podle Věty II.8 existuje inverzní transformace T^{−1} právě když |m(T)| ≠ 0. Spočítejte si determinanty elementárních matic a diagonálních matic. Stejně tak si můžete přímým výpočtem (jednoduchým ale pracným) dokázat, že pro každé dvě matice M, N (řádu 3) platí |NM| = |N| · |M|.

Závěrem části o geometrii vektorů v prostoru si ukážeme geometrický význam determinantu a znaménka vektorového součinu. Jsou-li x_{1}, x_{2} dva vektory v prostoru, pak velikost vektoru x_{1} × x_{2} je rovna obsahu rovnoběžníku určeného vektory x_{1}, x_{2}. Jsou-li tyto vektory lineárně nezávislé, pak je x_{1} ×x_{2} nenulový vektor kolmý k rovině určené vektory x_{1}, x_{2}. Díváme-li se na tuto rovinu z poloprostoru obsahujícího vektor x_{1} × x_{2}, je úhel mezi vektory x_{1} a x_{2} měřený v kladném směru menší než π. V rovině jsme tomu říkali, že vektory x_{1}, x_{2} jsou kladně orientované. Díváme-li se na rovinu určenou vektory x_{1}, x_{2} z poloprostoru obsahujícího vektor −(x_{1}×x_{2}), je úhel mezi vektory x_{1}, x_{2} měřený v kladném směru (proti směru hodinových ručiček) v intervalu (π, 2π), vektory x_{1}, x_{2} jsou v tomto případě orientované záporně.

Definice II.5. Je-li trojice vektorů x_{1}, x_{2}, x_{3} lineárně nezávislá, pak říkáme, že je kladně orientovaná, jestliže (x_{1} × x_{2}) · x_{3} > 0. Je-li (x_{1} × x_{2}) · x_{3} < 0, říkáme, že je trojice vektorů x_{1}, x_{2}, x_{3} orientovaná záporně.

Jinými slovy, znaménko vektoru x_{1} × x_{2} je zvoleno tak, aby trojice vektorů x_{1}, x_{2}, x_{1} × x_{2} byla orientovaná kladně (podle pravé ruky). Obecná lineárně nezávislá trojice vektorů x_{1}, x_{2}, x_{3} je orientovaná kladně, leží-li vektory x_{3} a x_{1} × x_{2} v témže poloprostoru definovaném rovinou určenou vektory x_{1}, x_{2}. Je orientovaná záporně, leží-li v opačných poloprostorech.

Nyní si zavedeme pomocné označení. Jsou-li dány vektory

x_{1} = ( \begin{matrix}x_{11} \\ x_{21} \\ x_{31} \end{matrix} ) , x_{2} = ( \begin{matrix}x_{12} \\ x_{22} \\ x_{32} \end{matrix} ) , x_{3} = ( \begin{matrix}x_{13} \\ x_{23} \\ x_{33} \end{matrix} ) ,

pak symbolem (x_{1}|x_{2}|x_{3}) budeme značit matici

( \begin{matrix}x_{11} & x_{12} & x_{13} \\ x_{22} & x_{22} & x_{23} \\ x_{31} & x_{32} & x_{33} \end{matrix} ) .

Přímým výpočtem si můžete dokázat, že platí

|(x_{1}|x_{2}|x_{3})| = (x_{1} × x_{2}) · x_{3}.

Tím dokážete následující tvrzení.

Věta II.9. Trojice x_{1}, x_{2}, x_{3} je kladně orientovaná právě když |(x_{1}|x_{2}|x_{3})| > 0 a je orientovaná záporně právě když |(x_{1}|x_{2}|x_{3})| < 0.

Definice II.6. Říkáme, že lineární transformace v prostoru T zachovává orientaci, jestliže pro každou kladně orientovanou trojici x_{1}, x_{2}, x_{3} platí, že také trojice T (x_{1}), T (x_{2}), T (x_{3}) je rovněž kladně orientovaná. Transformace T obrací orientaci, je-li pro každou kladně orientovanou trojici x_{1}, x_{2}, x_{3} trojice T (x_{1}), T (x_{2}), T (x_{3}) záporně orientovaná.

Ve Větě I.6 jsme dokázali, že lineární transformace roviny zachovává orientaci právě když je determinant její matice kladný, a že orientaci obrací právě když je determinant její matice záporný. Přímým výpočtem (tentokrát o něco delším) si můžete dokázat třídimenzionální analogii Věty I.6.

Věta II.10. Buď T lineární transformace v prostoru. Potom T zachovává orientaci právě když |m(T)| > 0 a obrací orientaci právě když |m(T)| < 0. □

Před Větou II.2 jsme si ukázali, že objem rovnoběžnostěnu určeného vektory x_{1}, x_{2}, x_{3} se rovná absolutní hodnotě smíšeného součinu x_{3} · (x_{1} × x_{2}) = (x_{1} × x_{2}) · x_{3}. Pokud jste si provedli výpočet před Větou II.9, dokázali jste rovněž následující tvrzení.

Věta II.11. Objem rovnoběžnostěnu Π určeného vektory x_{1}, x_{2} a x_{3} se rovná |(x_{1}|x_{2}|x_{3})|. □

Tím jsme si plně ozřejmili geometrický význam determinantu matice (x_{1}|x_{2}|x_{3}). Absolutní hodnota tohoto determinantu se rovná objemu rovnoběžnostěnu určeného vektory x_{1}, x_{2}, x_{3}. Je-li tento determinant nenulový, tj. jsou-li vektory x_{1}, x_{2}, x_{3} lineárně nezávislé, pak je determinant kladný právě když je trojice x_{1}, x_{2}, x_{3} kladně orientovaná a je záporný právě když je záporně orientovaná.

Obrazem rovnoběžnostěnu Π určeného vektory x_{1}, x_{2}, x_{3} lineární transformací T rozumíme rovnoběžnostěn určený vektory T (x_{1}), T (x_{2}), T (x_{3}). Stejný výpočet, který vede k důkazu Věty II.9 dokazuje také následující tvrzení.

Věta II.12. Je-li T lineární transformace v prostoru a Π rovnoběžnostěn určený vektory x_{1}, x_{2}, x_{3}, pak objem obrazu T (Π) tohoto rovnoběžnostěnu transformací T se rovná součinu absolutní hodnoty determinantu m(T) a objemu rovnoběžnostěnu Π, tj.

objem(T (Π)) = |m(T)| · objem(Π).

□