I. Geometrie vektorů v rovině

Vektory

Vektor (reálný, dvoudimenzionální) je uspořádaná dvojice (x, y) reálných čísel x, y. Číslo x nazýváme první souřadnice vektoru, číslo y je druhá souřadnice vektoru. Vektory obvykle označujeme malými tučnými písmeny: x = (x, y). Kromě uve-

deného řádkového zápisu budeme často používat také sloupcový zápis: x = ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} ).

Pokud zvolíme v rovině pravoúhlý systém souřadnic, můžeme vektor x = (x, y) geometricky znázornit jako šipku (orientovanou úsečku), která má počáteční bod v počátku souřadnic a koncový bod v bodě o souřadnicích (x, y).

Jsou-li x = (x, y) a u = (u, v) dva vektory, pak definujeme součet vektorů x, y jako vektor x + y = (x + u, y + v). Podobně definujeme součin vektoru x a reálného čísla r jako vektor rx = (rx, ry). Říkáme rovněž, že vektor rx je skalárním násobkem vektoru x. Vektor (−1)x = (−x, −y) nazýváme opačný vektor k vektoru x a označujeme jej také −x.

Vektor (0, 0) nazýváme nulový vektor a označujeme jej 0. Vektory e_{1} = (1, 0) a e_{2} = (0, 1) jsou vektory standardní báze v rovině.

Je-li x = (x, y) ≠ 0 nenulový vektor, pak všechny násobky kx, kde k ∈ R je libovolné reálné číslo, leží na přímce procházející počátkem souřadnic a koncovým bodem (x, y) vektoru x. A naopak každý bod této přímky můžeme vyjádřit ve tvaru kx pro vhodné reálné číslo k. Množinu vektorů

{kx; k ∈ R}

proto nazýváme přímka určená vektorem x. Podobně definujeme (uzavřenou )polopřímku určenou vektorem x jako množinu {kx; k ≥ 0}. Otevřenou polopřímku definujeme analogicky. Polopřímka opačná k polopřímce určené vektorem x je polopřímka určená vektorem −x. Podobně definujeme uzavřenou úsečku určenou vektorem x jako množinu vektorů

{kx; k ∈ [0, 1]}.

Přímku určenou e_{1} (prvním vektorem standardní báze) nazýváme první osa souřadnic, zatímco přímka určená vektorem e_{2} je druhá osa souřadnic. Každý vektor x = (x, y) můžeme jednoznačně vyjádřit jako součet

x = xe_{1} + ye_{2}

jednoho vektoru z první osy souřadnic a jednoho vektoru z druhé osy souřadnic.

Následuje přehled základních vlastností operací sčítání vektorů a násobení vektoru reálným číslem”

(1) x + u = u + x pro libovolné dva vektory x, u,

Typeset by AMS-TEX

(2) x + (u + a) = (x + u) + a pro libovolné tři vektory x, u, a,

(3) existuje vektor 0 takový, že platí x + 0 = 0 + x = x pro libovolný vektor x,

(4) pro každý vektor x existuje vektor −x takový, že platí x+(−x) = (−x)+x = 0,

(5) r(x + u) = rx + ru pro libovolné dva vektory x, u a každé reálné číslo r,

(6) (r + s)x = rx + sx pro libovolná dvě reálná čísla r, s a každý vektor x,

(7) r(s(x)) = (rs)x pro libovolná dvě reálná čísla r, s a každý vektor x,

(8) 1x = x pro každý vektor x. Všech osm vlastností si můžete sami dokázat, vyjádříte-li si všechny vektory pomocí souřadnic. Stejně tak si můžete dokázat, že 0x = 0 pro libovolný vektor x. Rozdíl vektorů x a u definujeme jako vektor x − u = x + (−u).

Dvojice vektorů a, b je lineárně závislá, jestliže jeden z vektorů a, b je skalárním násobkem druhého. Pokud je jeden z těchto vektorů, např. a = 0, je dvojice a, b lineárně závislá, neboť a = 0 = 0b. Jsou-li oba vektory a, b nenulové a lineárně závislé, platí a = tb a b = t^{−1}a, oba vektory tedy určují stejnou přímku (procházející počátkem). Pokud vektory a, b nejsou lineárně závislé, říkáme také, že jsou lineárně nezávislé.

Jsou-li a, u ≠ 0 dva vektory, nazýváme množinu vektorů

{x = a + tu; t ∈ R}

přímka procházející a a rovnoběžná s vektorem u. Uvedené vyjádření přímky nazýváme parametrické vyjádření, neboť souřadnice jednotlivých bodů přímky závisejí na reálném parametru t.

Podobně, máme-li dány dva vektory u ≠ v, je množina

{u + t(v − u); t ∈ R}

parametrické vyjádření přímky procházející u a v. Najděte hodnoty parametru t, které dokazují, že oba vektory u, v na přímce leží.

Skalární součin

Délkou vektoru x = (x, y) rozumíme vzdálenost bodů (0, 0) a (x, y), která se podle Pythagorovy věty rovná \sqrt{x^{2} + y^{2}} . Délku vektoru x budeme označovat |x|. Pro každé reálné číslo r platí

|rx| = \sqrt{(rx)^{2} + (ry)^{2}} = \sqrt{r^{2}(x^{2} + y^{2})} = |r||x|.

Vzdáleností vektorů x = (x, y) a u = (u, v) rozumíme délku vektoru x − u, tj. reálné číslo |x − u| = \sqrt{(x − u)^{2} + (y − v)^{2}} .

Je-li x ≠ 0, pak je délka |x| ≠ 0, vektor |x|^{−1}|x| leží na polopřímce určené vektorem x a má délku 1. Vektory délky 1 nazýváme jednotkové vektory. Jednotkové vektory leží na kružnici se středem v počátku a poloměrem 1. Každý vektor na jednotkové kružnici můžeme jednoznačně vyjádřit ve tvaru (cosθ, sinθ), kde úhel θ ∈ [0, 2π) nazýváme polární úhel tohoto vektoru. Každý nenulový vektor x pak můžeme jednoznačně vyjádřit ve tvaru

x = |x|(|x|^{−1}x) = |x|(cosθ, sinθ)

pro nějaký úhel θ ∈ [0, 2π) (polární úhel jednotkového vektoru |x|^{−1}x). Tomuto vyjádření říkáme polární tvar vektoru x ≠ 0.

Definice I.1. Skalárním součinem vektorů x = (x, y) a u = (u, v) nazýváme reálné číslo x · u = xu + yv.

Přímo z definice plyne, že pro každý vektor x = (x, y) platí x·x = x^{2}+y^{2} = |x|^{2}. Stejně snadno si můžete sami ověřit následující vlastnosti skalárního součinu:

(1) x · u = u · x pro každé dva vektory x, u,

(2) (rx) · u = r(x · u) pro každé dva vektory x, u a libovolné reálné číslo r,

(3) a · (x + u) = a · x + a · u pro každé tři vektory a, x, u.

Důkaz si ukážeme pro poslední vlastnost. Jsou-li tedy a = (a, b), x = (x, y) a u = (u, v) tři vektory, pak platí

a·(x+u) = (a, b)·(x+u, y+v) = a(x+u)+b(y+v) = (ax+by)+(au+bv) = a·x+a·u.

Vyjasníme si teď geometrický význam skalárního součinu dvou nenulových vektorů x a u. Oba vektory si vyjádříme v polárním tvaru, x = |x|(cosθ, sinθ) a u = |u|(cosϕ, sinϕ). Potom platí

x·u = |x||u|((cosθ, sinθ)·(cosϕ, sinϕ)) = (cosθ cosϕ+sinθ sinϕ) = |x||u| cos(θ−ϕ).

Skalární součin dvou nenulových vektorů se tedy rovná součinu jejich délek a cosinu úhlu, který svírají. Skalární součin dvou nenulových vektorů je tedy kladný, pokud oba vektory svírají ostrý úhel, a je záporný, pokud svírají tupý úhel. Skalární součin se rovná 0 právě když jsou oba vektory kolmé. Pokud je jeden z vektorů nulový, je skalární součin rovněž 0. Můžeme tedy definovat, že dva vektory x, u jsou kolmé (ortogonální) pokud pro jejich skalární součin platí x · u = 0.

Skalární součin úzce souvisí s kosinovou větou. Jsou-li x, u dva různé nenulové vektory, pak podle kosinové věty platí

|x − u|^{2} = |x|^{2} + |u|^{2} − 2|x||u| cosψ,

kde ψ je úhel mezi vektory x, u. Pomocí skalárního součinu spočítáme druhou mocninu délky vektoru x−u ještě jiným způsobem (s použitím vlastností skalárního součinu):

|x − u|^{2} = (x − u) · (x − u) = u · u − x · u − u · x + x · x = |x|^{2} + |u|^{2} − 2|x||u|.

Srovnáním obou výpočtů dostáváme ještě jednou, že

x · u = |x||u| cosψ.

Nejsou-li obě čísla a, b rovná 0, pak rovnice

ax + by = 0

popisuje všechny vektory x = (x, y), které jsou kolmé k (nenulovému) vektoru a = (a, b). Jsou to všechny vektory ležící na přímce určené vektorem (−b, a).

Nyní si ukážeme jak spočítat souřadnice projekce vektoru na přímku procházející počátkem. Nechť u je nenulový vektor. Chceme najít souřadnice ortogonální projekce nějakého vektoru x na přímku určenou vektorem u. Projekce, kterou si označíme P_{u}(x), se musí rovnat jednomu z vektorů tu, kde t je vhodné reálné číslo. Vektor x − tu musí být kolmý na vektor u (protože hledáme ortogonální projekci), proto musí platit

0 = (x − tu) · u = x · u − t(u · u).

Odtud dostáváme

t = \frac{x · u}{u · u} ,

a tedy

P_{u}(x) = (\frac{x · u}{u · u} ) u.

Příklad Najděte souřadnice ortogonální projekce vektoru b = (3, 1) na přímku určenou vektorem a = (1, 2)

Řešení dostaneme za použití právě odvozeného vzorce:

P_{a}(b) = (\frac{b · a}{a · a} ) a = \frac{5}{5}(1, 2) = (1, 2).

Dále se budeme zabývat výpočtem vzdálenosti d vektoru x = (x_{0}, y_{0}) od přímky určené rovnicí ax + by = 0, kde aspoň jedno z čísel a, b je různé od 0. Rovnice ax + by = 0 popisuje přímku určenou vektorem (−b, a) ≠ (0, 0), zatímco (a, b) je nenulový vektor kolmý k této přímce. Vzdálenost vektoru x od přímky ax + by = 0 se tedy rovná ortogonální projekci tohoto vektoru na přímku určenou vektorem a = (a, b). Platí proto

d = |P_{a}(x)| = |\frac{x · a}{a · a} | |a| = \frac{|x · a|}{|a|^{2}} |a| = \frac{|x · a|}{|a|} = \frac{ax_{0} + by_{0}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} .

Podobně můžeme spočítat obsah rovnoběžníku určeného nenulovými vektory a = (a, c) a b = (b, d). Zbylé dva vrcholy tohoto rovnoběžníku jsou 0 a a+b. Délka výšky v tomto rovnoběžníku z vrcholu a na stranu b se rovná vzdálenosti vektoru a od přímky určené vektorem b. Tato přímka je popsána rovnicí dx − by = 0. Výška má potom délku

\frac{|ad − bc|}{\sqrt{b^{2} + d^{2}}} .

Po vynásobení délkou vektoru b dostáváme, že obsah rovnoběžníku se rovná |ad − bc|.

A závěrem části o skalárním součinu si řekneme o geometrické interpretaci soustavy lineárních rovnic

ax + by = 0,
cx + dy = 0.

Budeme předpokládat, že v každé rovnici je aspoň jeden z koeficientů nenulový. První rovnice popisuje všechny vektory kolmé k (a, b), druhá pak vektory kolmé k (c, d). Samozřejmě, x = 0, y = 0 je řešením soustavy. Jsou-li vektory (a, b) a (c, d) lineárně nezávislé, určují různé přímky a soustava žádné jiné řešení nemá, neboť jediný vektor v rovině kolmý ke dvěma různým přímkám je nulový vektor. Jsou-li vektory (a, b) a (c, d) lineárně závislé, určují stejnou přímku a naše soustava pak má nekonečně mnoho řešení, všechna řešení leží na přímce procházející počátkem kolmo k přímce určené vektory (a, b), (c, d).

Lineární transformace v rovině

Na začátek několik příkladů.

Příklad 1. Popište zobrazení, které každému vektoru x = (x, y) v rovině přiřadí jeho pravoúhlou projekci na přímku určenou vektorem u = (1, 2).

Řešení. V předchozí kapitole jsme si ukázali, že označíme-li toto zobrazení P_{u}(x) = (x′, y′), pak platí

P_{u}(x) = (\frac{x · u}{u · u} ) u = (\frac{x + 2y}{5} ) (1, 2).

Proto

x′ = \frac{x + 2y}{5} ,
y′ = \frac{2}{5}(x + 2y).

Příklad 2. Popište osovou symetrii vzhledem k přímce určené vektorem u = (u, v) = (1, 2).

Řešení. Označme obraz vektoru x = (x, y) vzhledem k této symetrii S_{u}(x) = (x′, y′). Pravoúhlá projekce P_{u}(x) vektoru x na přímku určenou vektorem u je středem úsečky s krajními body x a S_{u}(x). Platí proto

P_{u}(x) = \frac{1}{2}(x + S_{u}(x)).

Odtud vypočítáme

S_{u}(x) = 2P_{u}(x) − x.

Dosadíme za P_{u}(x) vyjádření nalezené v minulém příkladu a najdeme

x′ = \frac{2}{5}(x − 2y) − x = −\frac{3}{5}x + \frac{4}{5}y,
y′ = \frac{4}{5}x + \frac{8}{5}y − y = \frac{4}{5}x + \frac{3}{5}y.

Příklad 3. Popište dilataci se středem v počátku souřadnic a koeficientem r. Řešení. Označme hodnotu dilatace v bodě x jako D_{r}(x) = (x′, y′). Potom platí

x′ = rx
y′ = ry.

Příklad 4. Popište otočení se středem v počátku souřadnic o úhel θ v kladném směru.

Označme opět hodnotu této rotace v bodě x jako R_{θ}(x) = (x′, y′). Vyjádříme x v polárním tvaru jako x = |x|(cosϕ, sinϕ). Potom

R_{θ}(x) = |x|(cos(ϕ+θ), sin(ϕ+θ)) = |x|(cosϕ cosθ−sinϕ sinθ, sinϕ cosθ+cosϕ sinθ).

Nyní stačí si uvědomit, že |x| cosϕ = x a |x| sinϕ = y. Platí tedy

x′ = (cosθ)x − (sinθ)y
y′ = (sinθ)x + (cosθ)y.

Příklad 5. Posledním příkladem transformace roviny, který si nyní uvedeme, je zobrazení, které každému vektoru x = (x, y) přiřazuje vektor (x′, y′), kde

x′ = x
y′ = x^{2} + y.

První čtyři zobrazení jsou podobného typu. Všechny přiřazují libovolnému vektoru x vektor (x′, y′), kde

x′ = ax + by
y′ = cx + dy,

a a, b, c, d jsou vhodná reálná čísla. Taková zobrazení se v geometrii roviny vyskytují velmi často a zaslouží si samostatný název.

Definice I.2. Lineární zobrazení (transformace) roviny je zobrazení A(x) = x′ = (x′, y′), které každému vektoru x = (x, y) přiřazuje vektor (x′, y′), kde

x′ = ax + by,
y′ = cx + dy,

a a, b, c, d jsou reálná čísla. Koeficienty obvykle zapisujeme v následující podobě

( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ,

kterou nazýváme matice zobrazení A a označujeme m(A).

Tak například matice identického zobrazení, které každému vektoru x přiřazuje vektor I(x) = x, se rovná jednotkové matici

m(I) = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) .

Podobně matice nulového zobrazení, které každému vektoru x přiřazuje vektor O(x) = 0, má matici

m(O) = ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) ,

kterou nazýváme nulová matice.

Při výpočtu hodnoty lineárního zobrazení A s maticí m(A) v bodě x = (x, y) obvykle používáme sloupcový zápis vektorů:

A(x) = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} ) .

První souřadnici vektoru A(x) tedy dostaneme tak, že skalárně vynásobíme první řádek matice m(A) se sloupcovým zápisem vektoru x, zatímco druhou souřadnici vektoru A(x) dostaneme jako skalární součin druhého řádku matice m(A) se sloupcovým zápisem vektoru x.

Následující vlastnosti lineárních zobrazení si opět může každý ověřit sám z definice.

(1) A(0) = 0,

(2) A(x + u) = A(x) + A(u) pro libovolné dva vektory x, u,

(3) A(tx) = tA(x) pro libovolný vektor x a každé reálné číslo t.

Následující věta ukazuje, že podmínky (2) a (3) lineární zobrazení charakterizují.

Věta I.1. Transformace roviny A je lineární právě když zobrazení A splňuje podmínky (2) a (3) nebo ekvivalentně, splňuje-li podmínku

A(tx + su) = tA(x) + sA(u) pro každé dva vektory x, u a libovolná čísla t, s.

Důkaz. Označme x = (x, y) a u = (u, v) souřadnice vektorů x, u a nechť matice zobrazení A je

m(A) = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) .

Potom A(x + u) = (a(x + u) + b(y + v), c(x + u) + d(y + v)) = (ax + by, cx + dy) + (au + bv, cu + dv) = A(x) + A(u). Druhou vlastnost (3) dokážeme podobně.

Nechť naopak zobrazení A splňuje podmínky (2) a (3). Víme už, že každý vektor x = (x, y) můžeme jednoznačně vyjádřit ve tvaru x = xe_{1} + ye_{2}. Z podmínek (2) a (3) potom plyne

A(x) = A(xe_{1} + ye_{2}) = A(xe_{1}) + A(ye_{2}) = xA(e_{1}) + yA(e_{2}).

Označíme-li vektory A(e_{1}) = ( \begin{matrix}a \\ c \end{matrix} ) a A(e_{2}) = ( \begin{matrix}b \\ d \end{matrix} ), platí pro vektor A(x) = (x′, y′)

x′ = ax + by
y′ = cx + dy.

Tím jsme dokázali, že podmínky (2) a (3) jsou ekvivalentní linearitě zobrazení A. Dokážeme ještě, že jsou tyto dvě podmínky ekvivalentní jediné podmínce ze znění věty. Jsou-li podmínky (2), (3) splněné, platí pro každé dva vektory x, u a reálná čísla t, s, že A(tx + su) = A(tx) + A(su) = tA(x) + sA(u).

Platí-li naopak podmínka ze znění věty, dostaneme podmínku (2) volbou t = s = 1, zatímco podmínku (3) dostaneme volbou u = 0. □

Z důkazu Věty I.1. vyplývá jedna důležitá věc. Matice zobrazení A je jednoznačně určená hodnotami zobrazení A na vektorech e_{1}, e_{2} standardní báze. Této vlastnosti lineárních zobrazení využijeme při řešení následujícího příkladu.

Příklad 6. Najděte matici projekce P_{u} na přímku určenou libovolným nenulovým vektorem u = (u, v).

Řešení. Najdeme hodnotu projekce P_{u} v prvcích standardní báze. Platí

P_{u}(e_{1}) = \frac{e_{1} · u}{u · u} u = \frac{u}{u^{2} + v^{2}} (u, v) = (\frac{u^{2}}{u^{2} + v^{2}} , \frac{uv}{u^{2} + v^{2}} ).

Podobně dostaneme

P_{u}(e_{2}) = (\frac{uv}{u^{2} + v^{2}} , \frac{v^{2}}{u^{2} + v^{2}} ).

Pro matici m(P_{u}) tak dostáváme vyjádření

m(P_{u}) = ( \begin{matrix}\frac{u^{2}}{u^{2} +v^{2}} & \frac{uv}{u^{2} +v^{2}} \\ \frac{uv}{u^{2} +v^{2}} & \frac{v^{2}}{u^{2} +v^{2}} \end{matrix} ) .

Speciálně, je-li u = (cosθ, sinθ) jednotkový vektor, pak platí

m(P_{u}) = ( \begin{matrix}cos^{2} θ & sinθ cosθ \\ sinθ cosθ & sin^{2} θ \end{matrix} ) .

Je-li L = {a + tu; t ∈ R} přímka procházející bodem a a rovnoběžná s vektorem u ≠ 0 a A lineární zobrazení, pak obrazem přímky L zobrazením A rozumíme množinu

A(L) = {A(a + tu); t ∈ R}

obrazů všech vektorů ležících na přímce L. Pro obrazy přímek lineárními transformacemi platí následující tvrzení.

Věta I.2. Je-li A lineární transformace v rovině, pak obraz každé přímky je přímka nebo bod.

Důkaz. Stačí použít Větu I.1. Pro množinu A(L) platí

A(L) = {A(a) + tA(u); t ∈ R}.

Je-li A(u) ≠ 0, je A(L) přímka procházející bodem A(a) a rovnoběžná s vektorem A(u). Je-li A(u) = 0, je A(L) = {A(a)}, neboli obrazem přímky L je jediný bod A(a). □

Jsou-li dány dva vektory x, u v rovině, nazýváme množinu

Γ = {rx + su; r, s ∈ [0, 1]}

rovnoběžník určený vektory x, u. Pokud jsou vektory x, u lineárně nezávislé, je Γ skutečný rovnoběžník s vrcholy 0, x, u a x + u. Pokud jsou vektory x, u lineárně závislé, je Γ úsečka nebo bod 0 (degenerovaný rovnoběžník).

Je-li navíc A lineární zobrazení, je obraz rovnoběžníku Γ zobrazením A roven množině

A(Γ) = {rA(x) + sA(u); r, s ∈ [0, 1]}.

Množina A(Γ) je tedy opět rovnoběžník, nedegenerovaný v případě lineární nezávislosti vektorů A(x) a A(u).

Zobrazení v rovině můžeme skládat. Jsou-li A, B nějaká dvě (nemusí být nutně lineární) zobrazení, pak složením AB nazýváme zobrazení v rovině, které každému vektoru x přiřazuje vektor A(B(x)). Platí tedy

(AB)(x) = A(B(x)).

Složení dvou zobrazení závisí na pořadí, ve kterém je skládáme. Snadno si najdete příklad dvou lineárních zobrazení A, B, pro která platí AB ≠ BA. Například dvě osové symetrie určené různými neortogonálními přímkami. Pokud jsou osy symetrie ortogonální, je složení AB = BA středovou symetrií vzhledem k počátku souřadnic. Snadno si také ukážete, že pro každé lineární zobrazení A v rovině platí AI = IA = A a AO = OA = O.

Složení dvou lineárních zobrazení nejlépe spočítáme za použití matic obou zob-

razení. Nechť je zobrazení A určené maticí m(A) = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) a zobrazení B maticí

m(B) = ( \begin{matrix}p & q \\ r & s \end{matrix} ). Potom se obraz vektoru x = (x, y) zobrazením B rovná vek-

toru B(x) = (x′, y′), kde x′ = px + qy, y′ = rx + sy. Zobrazíme-li dále vektor B(x) = (x′, y′) zobrazením A, dostaneme vektor A(B(x) = (x′′, y′′), kde

x′′ = ax′ + by′ = a(px + qy) + b(rx + sy) = (ap + br)x + (aq + bs)y
y′′ = cx′ + dy′ = c(px + qy) + d(rx + sy) = (cp + dr)x + (cq + ds)y.

Matice složeného zobrazení AB se tedy rovná

m(AB) = ( \begin{matrix}ap + br & aq + bs \\ cp + dr & cq + ds \end{matrix} ) .

Výpočet, který jsme právě uvedli, motivuje následující definici.

Definice I.1. Jsou-li M = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) a N = ( \begin{matrix}p & q \\ r & s \end{matrix} ) dvě matice, pak jejich souči-

nem nazýváme matici

MN = ( \begin{matrix}ap + br & aq + bs \\ cp + dr & cq + ds \end{matrix} ) .

Matice násobíme podle pravidla řádek krát sloupec. To znamená, že v prvním řádku a prvním sloupci součinu matic je skalární součin prvního řádku levé matice a prvního sloupce pravé matice, v prvním řádku a druhém sloupci součinu matic je skalární součin prvního řádku a druhého sloupce, atd.

Příklad Zobrazení U je dáno maticí ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}). Jaký je jeho geometrický význam?

Pomocí násobení matic dokažte, že UU = I.

Ještě před definicí součinu matic jsme dokázali následující tvrzení.

Věta I.3. Pro libovolná dvě lineární zobrazení A, B platí m(AB) = m(A)m(B). □

Příklad Dokažte, že pro libovolné dva úhly θ, ψ platí R_{θ}R_{ψ} = R_{θ+ψ} .

Příklad Označme S_{θ} osovou symetrii vzhledem k ose určené vektorem (cosθ, sinθ). Jaké zobrazení dostaneme složením S_{θ}S_{ψ}?

Věta I.4. Pro libovolná tři lineární zobrazení A, B, C platí A(BC) = (AB)C a

m(A)(m(B)m(C)) = (m(A)m(B))m(C).

Důkaz. Pro každý vektor x platí

(A(BC))(x) = A(BC(x)) = A(B(C(x))) = (AB)(C(x)) = ((AB)C)(x),

proto jsou si zobrazení A(BC) a (AB)C rovná. Opakovaným použitím Věty I.3 pak dostáváme rovněž

m(A)(m(B)m(C)) = (m(A)m(B))m(C).

Důsledek Násobení matic je asociativní.

Důkaz. Každá z matic K, L, M je maticí nějakého lineárního zobrazení: K = m(A), L = m(B) a M = m(C). Podle druhé části předchozí věty platí

K(LM) = m(A)(m(B)m(C)) = (m(A)m(B))m(C) = (KL)M.

□

Můžete si zkusit dokázat poslední důsledek přímo podle definice násobení matic. Náš důkaz s využitím skládání lineárních zobrazení umožnil vyhnout se složitějšímu výpočtu.

Lineární zobrazení můžeme také sčítat a násobit reálným číslem. Jsou-li A, B dvě lineární zobrazení, pak definujeme součet těchto zobrazení A + B jako zobrazení, které každému vektoru x přiřazuje vektor (A + B)(x) = A(x) + B(x). Stejně tak pro reálné číslo k definujeme zobrazení kA předpisem (kA)(x) = k(A(x)) pro každý vektor x a nazýváme jej součin zobrazení A s reálným číslem k.

Příklad Dokažte, že platí S_{u} = 2P_{u} − I pro každý nenulový vektor u.

Jaká je matice součtu zobrazení A + B? Je-li m(A) = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) a m(A) =

( \begin{matrix}p & q \\ r & s \end{matrix} ), pak pro libovolný vektor x = (x, y) platí A(x) = (ax + by, cx + dy) a

B(x) = (px + qy, rx + sy). Proto

A(x) + B(x) = ((a + p)x + (b + q)y, (c + r)x + (d + s)y).

Zobrazení A + B je tedy lineární a určené maticí

m(A + B) = ( \begin{matrix}a + p & b + q \\ c + r & d + s \end{matrix} ) .

Tuto matici nazýváme součet matic ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) a ( \begin{matrix}p & q \\ r & s \end{matrix} ).

Podobně si můžete dokázat, že m(kA) = ( \begin{matrix}ka & kb \\ kc & kd \end{matrix} ). Tato matice se nazývá

součin matice ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) s reálným číslem k.

Příklad Dokažte, že osová symetrie vzhledem k ose určené vektorem u = (cosθ, sinθ) má matici

m(S_{u}) = ( \begin{matrix}cos2θ & sin2θ \\ sin2θr & − cos2θ \end{matrix}) .

Využijte toho, že víme, že S_{u} = 2P_{u} − I a že známe matici m(P_{u}).

A závěrem části o operacích s maticemi ještě několik příkladů matic. Matice

( \begin{matrix}c & 0 \\ 0 & d \end{matrix} )

nazýváme diagonální matice. Permutační matice je matice

( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) .

Následující dva typy matic se nazývají matice zkosení nebo také trojúhelníkové matice:

( \begin{matrix}1 & k \\ 0 & 1 \end{matrix}) , ( \begin{matrix}1 & 0 \\ m & 1 \end{matrix}) .

Inverzní matice

Soustavu rovnic

ax + by = u
cx + dy = v

můžeme chápat jako jedinou rovnici

A(x) = u,

kde A je lineární operátor určený maticí ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ), x je neznámý vektor, a u = (u, v)

je vektor pravých stran. Na první pohled podobnou rovnici ax = u, kde a ≠ 0, u jsou reálná čísla a x je neznámé reálné číslo, vyřešíme snadno tak, že ji vynásobíme číslem a^{−1}. K tomu, abychom stejně mohli vyřešit rovnici A(x) = u, potřebujeme najít lineární transformaci B takovou, že platí BA = I. Pokud takovou transformaci B najdeme, můžeme ji aplikovat na obě strany rovnice A(x) = u (obě strany jsou vektory!) a dostaneme tak postupně

BA(x) = B(u)
I(x) = B(u)
x = B(u).

Řešením rovnice A(x) = u tak může být pouze vektor B(u). Je-li jím skutečně, zjistíme zkouškou. Musí platit AB(u) = u. Abychom to mohli dokázat, musíme navíc předpokládat, že AB = I. Tyto úvahy motivují následující definici.

Definice I.4. Je-li A lineární transformace, pak lineární transformaci B nazýváme inverzní transformace k transformaci A, platí-li BA = AB = I.

Později si ukážeme, že stačí předpokládat pouze jednu z rovností BA = I nebo AB = I, neboť z kterékoliv z těchto rovností plyne ta druhá.

Pokud existuje inverzní zobrazení k lineární transformaci A, je určené jednoznačně. Nechť jsou B, C dvě lineární transformace inverzní k A. Potom platí

B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C.

Inverzní zobrazení k A, pokud existuje, označujeme A^{−1}.

Příklad Pomocí matice zobrazení dokažte, že D_{r}^{−1} = D_{r^{−1}} a R_{θ}^{−1} = R_{−θ}.

Příklad Dokažte, že neexistuje inverzní zobrazení k projekci P na první osu souřadnic. (Návod: jakou hodnotu by mělo mít lineární zobrazení P^{−1} v bodě 0?)

Následující věta udává nutnou a postačující podmínku pro existenci inverzních lineárních zobrazení.

Věta I.5. Buď A lineární transformace v rovině s maticí ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ). Potom jsou

následující dvě podmínky ekvivalentní:

(1) existuje inverzní transformace A^{−1},

(2) ad − bc ≠ 0.

Pokud jsou tyto podmínky splněné, platí pro matici inverzního zobrazení

m(A^{−1}) = ( \begin{matrix}\frac{d}{ad−bc} & \frac{−b}{ad−bc} \\ \frac{−c}{ad−bc} & \frac{a}{ad−bc} \end{matrix} ) .

Důkaz. (2)⇒(1). Nejdříve ukážeme, že pokud k A existuje inverzní zobrazení, pak z rovnosti A(x) = 0 plyne x = 0. Pokud na obě strany rovnosti A(x) = 0 aplikujeme inverzní zobrazení A^{−1}, dostaneme rovnost A^{−1}(A(x)) = A^{−1}(0) = 0. Protože A^{−1}A = I, platí (A^{−1}A)(x) = I(x) = x.

Protože předpokládáme, že inverzní zobrazení A^{−1} existuje, platí A(e_{1}) = ( \begin{matrix}a \\ c \end{matrix} ) ≠

0, proto aspoň jedno z čísel a, c musí být různé od 0. Podobně z rovnosti A(e_{2}) =

( \begin{matrix}b \\ d \end{matrix} ) ≠ 0 plyne, že také aspoň jedno z čísel b, d je nenulové. Dále platí

A ( \begin{matrix}−b \\ a \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ( \begin{matrix}−b \\ a \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 \\ −bc + ad \end{matrix} ) .

Protože (−b, a) ≠ (0, 0) a A((−b, a)) ≠ (0, 0), musí platit ad − bc ≠ 0.

(1)⇒(2). Ukážeme, že

m(A^{−1}) = ( \begin{matrix}\frac{d}{ad−bc} & \frac{−b}{ad−bc} \\ \frac{−c}{ad−bc} & \frac{a}{ad−bc} \end{matrix} )

je skutečně maticí inverzního zobrazení k A. Vynásobením matic dostaneme

m(A^{−1}A) = m(A^{−1})m(A) = ( \begin{matrix}\frac{d}{ad−bc} & \frac{−b}{ad−bc} \\ \frac{−c}{ad−bc} & \frac{a}{ad−bc} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) .

Vynásobíme-li obě matice v opačném pořadí, dostaneme také

m(AA^{−1}) = m(A)m(A^{−1}) = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ( \begin{matrix}\frac{d}{ad−bc} & \frac{−b}{ad−bc} \\ \frac{−c}{ad−bc} & \frac{a}{ad−bc} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) .

Platí proto A^{−1}A = AA^{−1} = I. □

Matici inverzního zobrazení k A můžete snadno vypočítat řešením soustavy rovnic, kterou dostaneme z rovnosti

( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ( \begin{matrix}p & q \\ r & s \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) .

Z ní totiž plyne soustava rovnic

ap + br = 1
cp + dr = 0
aq + bs = 0
cq + ds = 1.

Řešením této soustavy dostaneme prvky matice m(A^{−1}) ze znění Věty I.5.

Determinant

Příklad Jsou-li a = (a, c) = |a|(cosθ, sinθ) a b = (b, d) = |b|(cosϕ, sinϕ) dva vektory, dokažte že

sin(ϕ − θ) = \frac{ad − bc}{|a||b|}.

Výraz ad − bc se také objevil v matici inverzního zobrazení a rovněž při výpočtu obsahu rovnoběžníku určeného vektory a = (a, c) a b = (b, d).

Definice I.5. Je-li M = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) matice, pak výraz ad−bc nazýváme determinant

matice M. Značíme jej |M| nebo také det(M).

Známe už geometrický význam absolutní hodnoty determinantu matice M. Je to obsah rovnoběžníku definovaného vektory a = (a, c) a b = (b, d). Zbývá tedy vyjasnit geometrický význam znaménka determinantu matice. Z prvního příkladu

části o determinantu vyplývá, že znaménko determinantu | \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} | je kladné právě

když orientovaný úhel mezi vektory (a, c) a (b, d) leží v intervalu (0, π) a je záporné právě když orientovaný úhel mezi oběma vektory leží v intervalu (π, 2π).

Definice I.6. Uspořádaná dvojice lineárně nezávislých vektorů x_{1} = (x_{1}, y_{1}) a x_{2} = (x_{2}, y_{2}) se nazývá kladně orientovaná, jestliže

| \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} | > 0,

a nazývá se záporně orientovaná, je-li tento determinant záporný.

Příklad Standardní báze e_{1}, e_{2} je kladně orientovaná. Dvojice (1, 2), (−1, 2) je rovněž kladně orientovaná. Dvojice (−1, 2), (1, 2) je orientovaná záporně.

Ukážeme si ještě, co říká znaménko determinantu matice lineárního zobrazení.

Definice I.7. Říkáme, že lineární zobrazení A zachovává orientaci, jestliže pro každou kladně orientovanou dvojici vektorů x_{1}, x_{2} platí, že také dvojice A(x_{1}), A(x_{2}) je kladně orientovaná. Pokud pro každou kladně orientovanou dvojici x_{1}, x_{2} platí, že A(x_{1}), A(x_{2}) je záporně orientovaná, říkáme že A obrací orientaci.

Věta I.6. Lineární zobrazení A s maticí m(A) = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) zachovává orientaci

právě když det(m()A) > 0 a obrací orientaci právě když det(m(A)) < 0.

Důkaz. Nechť A zachovává orientaci. Potom je dvojice vektorů A(e_{1}) = (a, c) a A(e_{2}) = (b, d) kladně orientovaná a tedy

| \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} | = det(m(A)) > 0.

Nechť naopak det(m(A)) > 0. Pro libovolnou kladně orientovanou dvojici x_{1} = (x_{1}, y_{1}) a x_{2} = (x_{2}, y_{2}) platí

A ( \begin{matrix}x_{1} \\ y_{1} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x_{1} \\ y_{1} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}ax_{1} + by_{1} \\ cx_{1} + dy_{1} \end{matrix} )

a rovněž

A ( \begin{matrix}x_{2} \\ y_{2} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x_{2} \\ y_{2} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}ax_{2} + by_{2} \\ cx_{2} + dy_{2} \end{matrix} ) .

Orientaci dvojice A(x_{1}), A(x_{2}) poznáme podle znaménka determinantu

| \begin{matrix}ax_{1} + by_{1} & ax_{2} + by_{2} \\ cx_{1} + dy_{1} & cx_{2} + dy_{2} \end{matrix} | = (ax_{1} + by_{1})(cx_{2} + dy_{2}) − (cx_{1} + dy_{1})(ax_{2} + by_{2})

= (ad − bc)(x_{1}y_{2} − x_{2}y_{1}) = | \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} | | \begin{matrix}x_{1} & x_{2} \\ y_{1} & y_{2} \end{matrix} | .

Oba determinanty jsou podle předpokladu kladné, dvojice A(x_{1}), A(x_{2}) je tedy kladně orientovaná.

Druhé tvrzení věty dokážeme zcela analogicky, jediná změna je ve znaménku ad − bc. □