9. Transformace souřadnic a elementární transformace

Souřadnice vektoru x ∈ U závisí na bázi x_{1}, …, x_{n} tohoto prostoru. Vyjasníme si, jak souvisí souřadnice vektoru x vzhledem k bázi x_{1}, …, x_{n} se souřadnicemi téhož vektoru x vzhledem k jiné bázi y_{1}, …, y_{n} prostoru U. Uvažujme identické lineární zobrazení I : U → U a najděme jeho matici vzhledem k bázím y_{1}, …, y_{n} a x_{1}, …, x_{n}. K tomu potřebujeme najít vyjádření vektorů y_{j} = I(y_{j}) pomocí báze x_{1}, …, x_{n}. Nechť tedy

y_{j} = ∑_{i=1}^{n}a_{ij}x_{i}, j = 1, …, n.

Matice identického zobrazení vzhledem k bázím x_{1}, …, x_{n} a y_{1}, …, y_{n} se tedy rovná

M(I) = (a_{ij}).

Definice 9.20. Jsou-li x_{1}, …, x_{n} a y_{1}, …, y_{n} dvě báze prostoru U, pak matice identického zobrazení I : U → U vzhledem k bázím y_{1}, …, y_{n} a x_{1}, …, x_{n}, se nazývá matice přechodu od báze x_{1}, …, x_{n} k bázi y_{1}, …, y_{n}.

Vezmeme-li nyní libovolný vektor x = ∑_{j=1}^{n} b_{j}y_{j} ∈ U, pak jeho souřadnice vzhledem k bázi y_{1}, …, y_{n} jsou (b_{1}, …, b_{n}). Jeho souřadnice vzhledem k bázi x_{1}, …, x_{n} dostaneme po dosazení za y_{j} do vyjádření vektoru x pomocí báze y_{1}, …, y_{n}. Tedy

x = ∑_{j=1}^{n}b_{j}y_{j} = ∑_{j=1}^{n}b_{j}(∑_{i=1}^{n}a_{ij}x_{i}) = ∑_{j=1}^{n} ∑_{i=1}^{n}b_{j}a_{ij}x_{i} = ∑_{i=1}^{n}(∑_{j=1}^{n}a_{ij}b_{j})x_{i}.

Tím jsme dokázali následující větu.

Věta 9.36. Nechť x_{1}, …, x_{n} a y_{1}, …, y_{n} jsou dvě báze vektorového prostoru U, (b_{1}, …, b_{n}) souřadnice nějakého vektoru x vzhledem k bázi y_{1}, …, y_{n} a

M = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & … & a_{2n} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{n1} & a_{n2} & … & a_{nn} \end{matrix} )

matice přechodu od báze x_{1}, …, x_{n} k bázi y_{1}, …, y_{n}. Potom souřadnice (a_{1}, …, a_{n}) vektoru x vzhledem k bázi x_{1}, …, x_{n} dostaneme pomocí vztahu

a_{i} = ∑_{j=1}^{n}a_{ij}b_{j}, i = 1, …, n. □

Typeset by AMS-TEX

Všimněte si, že považujeme-li a = (a_{1}, …, a_{n}) a b = (b_{1}, …, b_{n}) za sloupcové vektory, pak platí

a = Mb.

Věta 9.36 je plně v souladu s tvrzením Lemma 7.30, protože matice M přechodu od báze x_{1}, …, x_{n} k bázi y_{1}, …, y_{n} je maticí identického zobrazení I : U → U vzhledem k bázím y_{1}, …, y_{n} a x_{1}, …, x_{n}. Známe-li tedy souřadnice vektoru y vzhledem k bázi y_{1}, …, y_{n}, dostaneme souřadnice vektoru y = I(y) vzhledem k bázi x_{1}, …, x_{n} také podle Lemma 7.30.

Příklad 9.16. V prostoru R^{4} uvažujme standardní bázi x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} a bázi y_{1}, y_{2}, y_{3}, y_{4}, kde tyto vektory mají vzhledem ke standardní bázi souřadnice y_{1} = (1, 1, 1, 1), y_{2} = (1, 1, 1, 0), y_{3} = (1, 1, 0, 0) a y_{4} = (1, 0, 0, 0). Vektor x má vzhledem k bázi y_{1}, y_{2}, y_{3}, y_{4} souřadnice (1, 0, 1, 0). Jaké jsou jeho souřadnice vzhledem ke standardní bázi x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}?

Matice přechodu od standardní báze x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} k bázi y_{1}, y_{2}, y_{3}, y_{4} se rovná

( \begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) .

Podle Věty 9.36 jsou potom souřadnice vektoru x vzhledem ke standardní bázi x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} rovné

( \begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}2 \\ 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) .

Vektor x má tedy vzhledem ke standardní bázi x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} souřadnice (2, 2, 1, 1). Jak najít souřadnice nějakého vektoru y vzhledem k bázi y_{1}, y_{2}, y_{3}, y_{4}, známe-li jeho souřadnice vzhledem ke standardní bázi x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, si ukážeme v příští kapitole.

Skutečnost, že matice přechodu od báze x_{1}, …, x_{n} k bázi y_{1}, …, y_{n} je maticí identického zobrazení I : U → U vzhledem k bázím y_{1}, …, y_{n} a x_{1}, …, x_{n} využijeme také v důkazu následující věty.

Věta 9.37. Buď A : U → V lineární zobrazení, x_{1}, …, x_{n} báze prostoru U, y_{1}, …, y_{m} a z_{1}, …, z_{m} dvě báze prostoru V. Je-li M(A) = (a_{ij}) matice operátoru A vzhledem k bázím x_{1}, …, x_{n} a y_{1}, …, y_{m} a N = (b_{ki}) matice přechodu od báze z_{1}, …, z_{m} k bázi y_{1}, …, y_{m}, pak matice zobrazení A vzhledem k bázím x_{1}, …, x_{n} a z_{1}, …, z_{m} je rovná součinu matic NM(A). Je-li dále u_{1}, …, u_{n} jiná báze prostoru U a P = (c_{j}l) matice přechodu od báze x_{1}, …, x_{n} k bázi u_{1}, …, u_{n}, pak matice zobrazení A vzhledem k bázím u_{1}, …, u_{n} a y_{1}, …, y_{n} je rovna součinu matice M(A)P.

Důkaz. Víme, že N = M(I) je matice identického zobrazení I : V → V vzhledem k bázím y_{1}, …, y_{m} a z_{1}, …, z_{m}. Potom platí, že součin matic

NM(A) = M(I)M(A)

je matice složeného zobrazení IA = A : U → V vzhledem k bázím x_{1}, …, x_{n} a z_{1}, …, z_{m}, podle Věty 7.34.

Zcela stejně dokážeme i druhou část věty. Matice P je maticí identického zobrazení J : U → U vzhledem k bázím u_{1}, …, u_{n} a x_{1}, …, x_{n}. Podle Věty 7.34 je tedy součin matic M(A)P maticí složeného zobrazení AJ = J vzhledem k bázím u_{1}, …, u_{n} a x_{1}, …, x_{n}. □

Definice 9.21. Buď x_{1}, …, x_{n} posloupnost vektorů prostoru U. Elementární transformací této posloupnosti nazýváme každou z následujících tří transformací:

(I) prohození dvou vektorů x_{i} a x_{j},

(II) vynásobení některého z vektorů x_{i} nenulovým skalárem a, (III) nahrazení vektoru x_{i} vektorem x_{i} + ax_{j}, kde a je skalár a j ≠ i.

V další části si ukážeme, mimo jiné, že pomocí elementárních transformací lze modifikovat nějakou bázi prostoru U v jakoukoliv jinou bázi tohoto prostoru. Napřed si ale dokážeme několik jiných tvrzení. V části a) následující věty dokážeme, že ke každé elementární transformaci, existuje “inverzní” elementární transformace, kterou dostaneme zpět původní posloupnost x_{1}, …, x_{n}.

Věta 9.38. Buď x_{1}, …, x_{n} posloupnost vektorů prostoru U a y_{1}, …, y_{n} posloupnost, kterou dostaneme z x_{1}, …, x_{n} některou z elementárních transformací. Potom platí

(a) posloupnost x_{1}, …, x_{n} lze dostat z y_{1}, …, y_{n} pomocí nějaké elementární transformace,

(b) l(x_{1}, …, x_{n}) = l(y_{1}, …, y_{n}) a tedy také dim l(x_{1}, …, x_{n}) = dim l(y_{1}, …, y_{n}),

(c) x_{1}, …, x_{n} je lineárně nezávislý systém právě tehdy, je-li y_{1}, …, y_{n} lineárně nezávislý,

(d) x_{1}, …, x_{n} je báze prostoru U právě když je y_{1}, …, y_{n} báze U.

Buď dále z_{1}, …, z_{n} posloupnost vektorů prostoru U, kterou dostaneme z x_{1}, …, x_{n} nějakou posloupností elementárních transformací. Potom platí

(e) posloupnost x_{1}, …, x_{n} lze dostat ze z_{1}, …, z_{n} pomocí nějaké posloupnosti elementárních transformací,

(f) l(x_{1}, …, x_{n}) = l(z_{1}, …, z_{n}) a tedy také dim l(x_{1}, …, x_{n}) = dim l(z_{1}, …, z_{n}),

(g) x_{1}, …, x_{n} je lineárně nezávislý systém právě když je z_{1}, …, z_{n} lineárně nezávislý systém,

(h) x_{1}, …, x_{n} je báze U právě tehdy, je-li z_{1}, …, z_{n} báze U.

Důkaz. a) Pokud jsme dostali y_{1}, …, y_{n} z posloupnosti x_{1}, …, x_{n} pomocí elementární transformace (I), pak dostaneme x_{1}, …, x_{n} zpátky z y_{1}, …, y_{n} pomocí prohození vektorů y_{i} a y_{j}. Pokud jsme dostali y_{1}, …, y_{n} z x_{1}, …, x_{n} pomocí elementární transformace (II), tj. vynásobením vektoru x_{i} skalárem a ≠ 0, pak dostaneme x_{1}, …, x_{n} z y_{1}, …, y_{n} vynásobením vektoru y_{i} = ax_{i} skalárem a^{−1} ≠ 0. A pokud jsme dostali y_{1}, …, y_{n} z x_{1}, …, x_{n} pomocí elementární transformace (III), tj. přičtením ax_{j} k vektoru x_{i}, pak dostaneme x_{1}, …, x_{n} zpátky z y_{1}, …, y_{n} elementární transformací (III), při které přičteme k vektoru y_{i} = x_{i} + ax_{j} vektor (−a)y_{j} = (−a)x_{j}.

b) Je-li x ∈ l(x_{1}, …, x_{n}), pak x = ∑_{i} a_{i}x_{i}. Dostaneme-li y_{1}, …, y_{n} z x_{1}, …, x_{n} transformací (I), pak stačí v sumě přehodit i-tý a j-tý člen a dostaneme, že x ∈ l(y_{1}, …, y_{n}). Tedy l(x_{1}, …, x_{n}) ⊆ l(y_{1}, …, y_{n}). Protože také x_{1}, …, x_{n} dostaneme z y_{1}, …, y_{n} pomocí elementární transformace (I), platí rovněž l(y_{1}, …, y_{n}) ⊆ l(x_{1}, …, x_{n}).

Podobně v případě, že jsme dostali y_{1}, …, y_{n} z x_{1}, …, x_{n} pomocí elementární transformace (II) a x = ∑_{j} a_{j}x_{j}, platí rovněž x = ∑_{j≠i} a_{j}x_{j} + a_{i}a^{−1}(ax_{i}), tedy l(x_{1}, …, x_{n}) ⊆ l(y_{1}, …, y_{n}). Ze stejného důvodu jako v případě elementární transformace (I) dostaneme i opačnou inkluzi l(x_{1}, …, x_{n}) ⊆ l(y_{1}, …, y_{n}).

Je-li x = ∑_{k} a_{k}x_{k} a y_{i} = x_{i} + ax_{j}, y_{k} = x_{k} pro k ≠ i, pak také x = ∑_{k} a_{k}y_{k} + (−a)y_{j}, tedy l(x_{1}, …, x_{n}) ⊆ l(y_{1}, …, y_{n}). Z již známého důvodu platí i opačná inkluze.

c) Předpokládejme, že x_{1}, …, x_{n} je lineárně nezávislý systém. Dostaneme-li y_{1}, …, y_{n} z x_{1}, …, x_{n} pomocí elementární transformace (I) nebo (II), plyne tvrzení přímo z definic. Dostaneme-li y_{1}, …, y_{n} z x_{1}, …, x_{n} pomocí elementární transformace (III), není situace příliš obtížnější. V tomto případě platí y_{k} = x_{k} pro k ≠ i a y_{i} = x_{i} + ax_{j}. Je-li tedy ∑_{k} b_{k}y_{k} = 0 pro nějaké skaláry b_{1}, …, b_{n}, platí také

∑_{k≠i}b_{k}x_{k} + b_{i}(x_{i} + ax_{j}) = ∑_{k≠j}b_{k}x_{k} + (b_{i}a + b_{j})x_{j} = 0.

Protože je systém x_{1}, …, x_{n} lineárně nezávislý, platí b_{k} = 0 pro k ≠ j a také b_{i}a + b_{j} = b_{j} = 0. Tedy také y_{1}, …, y_{n} je lineárně nezávislý systém. Protože opět můžeme dostat x_{1}, …, x_{n} z y_{1}, …, y_{n} pomocí elementární transformace (III), plyne z lineární nezávislosti y_{1}, …, y_{n} rovněž lineární nezávislost x_{1}, …, x_{n}.

d) To plyne okamžitě z částí b) a c).

Tvrzení e), f), g) a h) plynou okamžitě z odpovídajících tvrzení a), b), c) a d). □

Dále se budeme zabývat tím, jak vypadají matice přechodu od báze y_{1}, …, y_{m} prostoru V k bázi z_{1}, …, z_{m}, jestliže jsme novou bázi z_{1}, …, z_{m} dostali z y_{1}, …, y_{m} pomocí nějaké elementární transformace.

Elementární transformace (I). V tomto případě platí z_{k} = y_{k} pro k ≠ i, j, z_{i} = y_{j} a z_{j} = y_{i}. Matice přechodu E_{ij} = (a_{pq}) od y_{1}, …, y_{m} k z_{1}, …, z_{m} tak v tomto případě vypadá následovně

a_{ij} = a_{ji} = 1,
a_{kk} = 1,  k ≠ i, j,

a všechny ostatní prvky matice E_{ij} jsou rovné 0.

Všimněme si ještě, že použijeme-li na bázi z_{1}, …, z_{m} tutéž elementární transformaci typu (I), tj. přehození vektorů na místech i a j, dostaneme zpět původní bázi y_{1}, …, y_{m}. Matice přechodu od báze z_{1}, …, z_{m} k bázi y_{1}, …, y_{m} se tedy také rovná matici E_{ij}.

Elementární transformace (II). V tomto případě platí z_{k} = y_{k} pro k ≠ i a z_{i} = ay_{i}. Matice přechodu E_{i}(a) = (a_{pq}) od báze y_{1}, …, y_{m} k bázi z_{1}, …, z_{m} tedy vypadá následovně

a_{ii} = a,
a_{kk} = 1,  k ≠ i,

a všechny ostatní prvky matice E_{i}(a) jsou rovné 0. Prvky na hlavní diagonále jsou různé od 0, zatímco všechny prvky mimo hlavní diagonálu jsou 0.

V tomto případě se od báze z_{1}, …, z_{m} dostaneme zpět k původní bázi y_{1}, …, y_{m} dostaneme elementární transformací (II), která prvek z_{i} = ay_{i} vynásobí skalárem a^{−1} ≠ 0. Matice přechodu od báze z_{1}, …, z_{m} k bázi y_{1}, …, y_{m} se tedy rovná matici E_{i}(a^{−1}).

Elementární transformace (III). V tomto případě platí z_{k} = y_{k} pro k ≠ i a z_{i} = y_{i}+ay_{j}. Matice přechodu M_{ij}(a) = (a_{pq}) od y_{1}, …, y_{m} k bázi z_{1}, …, z_{m} má proto následující tvar

a_{ij} = a,
a_{kk} = 1,  k = 1, …, m,

a všechny ostatní prvky jsou rovné 0. Matice E_{ij}(a) má tedy na hlavní diagonále všechny prvky rovné 1 a mimo hlavní diagonálu jsou všechny prvky rovné 0 s možnou výjimkou prvku na místě (i, j), který se rovná a (a může být také nulový).

Od báze z_{1}, …, z_{m} se můžeme vrátit k původní bázi y_{1}, …, y_{m} pomocí elementární transformace (III), která k prvku z_{i} = y_{i} + ay_{j} přičítá (−a)-násobek prvku z_{j} = y_{j}. Matice přechodu od báze z_{1}, …, z_{m} k bázi y_{1}, …, y_{m} se tedy rovná matici E_{ij}(−a).

Definice 9.22. Libovolnou čtvercovou matici E_{ij}, E_{i}(a), kde a ≠ 0, a E_{ij}(a), kde i ≠ j a a ∈ T, řádu m nazýváme elementární matice řádu m.

Ve Větě 9.36 jsme si ukázali, jak vypočítat souřadnice vektoru x vzhledem k bázi y_{1}, …, y_{m}, známe-li jeho souřadnice vzhledem k bázi z_{1}, …, z_{m} a matici přechodu od báze y_{1}, …, y_{m} k bázi z_{1}, …, z_{m}. Předchozí odstavce nám spolu s Větou 9.36 dávají možnost spočítat naopak souřadnice vektoru x vzhledem k bázi z_{1}, …, z_{m}, známe-li jeho souřadnice vzhledem k bázi y_{1}, …, y_{m} a přejdeme-li od báze y_{1}, …, y_{m} k bázi z_{1}, …, z_{m} nějakou elementární transformací. Ukázali jsme si totiž, jak v takovém případě vypadá matice přechodu od báze z_{1}, …, z_{m} k bázi y_{1}, …, y_{m}, a pak už můžeme Větu 9.36 použít.

Nechť má vektor x ∈ V vzhledem k bázi y_{1}, …, y_{m} souřadnice (a_{1}, a_{2}, …, a_{m}). V případě elementární transformace (I) je matice přechodu od báze z_{1}, …, z_{m} k bázi y_{1}, …, y_{m} rovna matici E_{ij}. Označíme-li a souřadnice x zapsané sloupcově, rovnají se nové souřadnice vektoru x vzhledem k bázi z_{1}, …, z_{m} součinu E_{ij}a a dostaneme je ze souřadnic vektoru x přehozením i-té a j-té složky.

Podobně je to s ostatními elementárními transformacemi. Pokud vynásobíme i-tý vektor báze y_{1}, …, y_{m} skalárem a ≠ 0, je matice přechodu od báze z_{1}, …, z_{m} k bázi y_{1}, …, y_{m} rovna matici E_{i}(a^{−1}). Souřadnice vektoru x vzhledem k bázi z_{1}, …, z_{m} tedy dostaneme jako součin E_{i}(a^{−1})a. Jinak řečeno, souřadnice x vzhledem k bázi z_{1}, …, z_{m} dostaneme ze souřadnic (a_{1}, …, a_{m}) vynásobením i-té souřadnice a_{i} číslem a^{−1}.

Pokud přičteme k vektoru x_{i} vektor ax_{j}, je matice přechodu od báze z_{1}, …, z_{m} k bázi y_{1}, …, y_{m} rovna elementární matici E_{ij}(−a). Součin E_{ij}(−a)a tedy vyjadřuje souřadnice vektoru x vzhledem k bázi z_{1}, …, z_{m} pomocí jeho souřadnic vzhledem k bázi y_{1}, …, y_{m}. Dostaneme je tak, že k souřadnici a_{i} přičteme (−a)-násobek j-té souřadnice a_{j}. Nová i-tá souřadnice se tedy rovná a_{i} − aa_{j} a všechny ostatní souřadnice zůstávají nezměněné.

Tím jsme v podstatě dokázali následující větu.

Věta 9.39. Buď A : U → V lineární zobrazení, x_{1}, …, x_{n} báze v U, y_{1}, …, y_{m} a z_{1}, …, z_{m} báze ve V. Jestliže bázi z_{1}, …, z_{m} dostaneme z báze y_{1}, …, y_{m} pomocí nějaké elementární transformace a E je matice přechodu od báze z_{1}, …, z_{m} k bázi y_{1}, …, y_{m}, pak matice zobrazení A vzhledem k bázím x_{1}, …, x_{n} a z_{1}, …, z_{m} se rovná součinu EM(A), kde M(A) je matice zobrazení A vzhledem k bázím x_{1}, …, x_{n} a y_{1}, …, y_{m}.

Speciálně, je-li E = E_{ij}, pak matici EM(A) dostaneme z M(A) prohozením i-tého a j-tého řádku. Je-li E = E_{i}(a), pak EM(A) dostaneme z M(A) vynásobením i-tého řádku skalárem a. A je-li E = E_{ij}(a), pak EM(A) dostaneme tak, že k i-tému řádku přičteme a-násobek j-tého řádku.

Důkaz. První část plyne z poznámek v odstavcích před formulací Věty 9.39. Druhá část plyne z tvaru elementárních matic a z definice součinu matic. □

Definice 9.23. Je-li M matice tvaru m×n a E elementární matice řádu m, pak součin EM nazýváme elementární řádkovou transformací matice M. Dvě matice M, N tvaru m × n nazýváme řádkově ekvivalentní, jestliže jednu z druhé dostaneme nějakou posloupností elementárních řádkových transformací.

Věta 9.39 tedy říká, že známe-li matici M lineárního zobrazení A : U → V vzhledem k bázím x_{1}, …, x_{n} a y_{1}, …, y_{m}, a změníme-li bázi y_{1}, …, y_{m} prostoru V nějakou elementární transformací, pak dostaneme matici téhož zobrazení A vzhledem k bázím x_{1}, …, x_{n} a z_{1}, …, z_{m} příslušnou elementární řádkovou transformací matice M. Je také důležité podívat se na předchozí větu z opačné strany. Libovolná matice M může být maticí nějakého lineárního zobrazení vzhledem k bázím x_{1}, …, x_{n} a y_{1}, …, y_{m}. Uděláme-li na matici M nějakou elementární transformaci, můžeme ji považovat za důsledek příslušné elementární transformace provedené na bázi y_{1}, …, y_{m}. Tato úvaha objasňuje geometrický význam následující věty.

Věta 9.40. Každá matice M tvaru m × n je řádkově ekvivalentní matici N, která má následující vlastnosti:

(a) prvních r řádků matice N je nenulových pro nějaké r ≥ 0, r ≤ m, a všechny zbývající řádky jsou nulové,

(b) v i-tém řádku (pro všechna i = 1, …, r) je první nenulový prvek roven 1 a vyskytuje se v c_{i}-tém sloupci,

(c) c_{1} < c_{2} < ⋯ < c_{r},

(d) v c_{i}-tém sloupci je jediný nenulový prvek číslo 1 v i-tém řádku.

Důkaz. Označme si c_{1} číslo prvního nenulového sloupce matice M. Pokud žádný takový sloupec neexistuje, jsou všechny prvky matice M rovné 0 a taková matice má všechny vlastnosti (a)-(d).

V c_{1}-tém sloupci je nějaký nenulový prvek v i-tém řádku a pokud to není první řádek, prohodíme i-tý řádek s prvním elementární řádkovou transformací (I). Nenulový prvek a je tedy nyní na místě (1, c_{1}) naší matice. Vynásobením prvního řádku skalárem a^{−1} (elementární řádková transformace (II)) dosáhneme toho, aby se prvek na místě (1, c_{1}) rovnal 1.

Je-li v c_{1}-tém sloupci ještě nějaký jiný nenulový prvek b v j-tém řádku, j ≠ 1, odečteme od j-tého řádku b-násobek prvního řádku (elementární řádková transformace (III)). Opakováním tohoto triku docílíme toho, že všechny prvky v c_{1}-tém sloupci jsou rovné 0 až na prvek 1 v prvním řádku.

Tím jsme dostali matici M_{1}. Jsou-li v matici M_{1} všechny řádky s výjimkou prvního nulové, má matice M_{1} všechny požadované vlastnosti (a)-(d). Pokud jsou v M_{1} ještě další nenulové řádky, najdeme první sloupec, který má nenulový prvek v jiném, než prvním řádku. Nechť c_{2} je pořadí tohoto sloupce. Přehozením řádků docílíme toho, aby v c_{2}- tém sloupci byl nenulový prvek ve druhém řádku. Vynásobením druhého řádku vhodnou konstantou dosáhneme toho, aby byl prvek na místě (2, c_{2}) roven 1. Odečtením vhodného násobku druhého řádku od ostatních řádků dosáhneme toho, že v c_{2}-tém sloupci jsou všechny prvky rovné 0 s výjimkou 1 ve druhém řádku. Během všech těchto transformací se c_{1}-tý sloupec nemění.

Opakováním tohoto postupu nakonec vede k situaci, kdy v c_{r}-tém sloupci jsou všechny prvky rovné 0 s výjimkou 1 v r-tém řádku a všechny zbývající řádky pod r-tým řádkem jsou nulové (nebo neexistují). Taková matice už má všechny vlastnosti (a)-(d). □

Definice 9.24. Splňuje-li matice N podmínky (a)-(d) Věty 9.40, říkáme, že je v odstupňovaném tvaru. Anglicky se tomu říká reduced row echelon form.

Věta 9.41. Buď M libovolná matice (typu m × n) s prvky v tělese T. Potom její řádková hodnost se rovná její sloupcové hodnosti.

Důkaz. Matice M je maticí nějakého lineárního zobrazení A : T^{n} → T^{m} vzhledem ke standardním bázím. Označíme-li s sloupcovou hodnost matice M, tak potom podle Věty 6.27 (nebo Věty 7.32) platí rovnost n − s = dim Ker(A).

Podle Věty 9.40 je matice M řádkově ekvivalentní matici N, která splňuje podmínky (a)- (d) této věty. Platí tedy N = E_{k}E_{k−1} ⋯ E_{1}M, kde E_{i}, i = i = 1, …, k, jsou elementární matice řádu m. Podle první části Věty 9.39 je tedy N maticí operátoru A vzhledem ke standardní bázi x_{1}, …, x_{n} v T^{n} a nějaké jiné bázi y_{1}, …, y_{m} v T^{m}.

Řádková hodnost matice N je rovna řádkové hodnosti matice M podle Věty 9.38b) a rovná se počtu nenulových řádků matice N, tj. r. To plyne z tvaru sloupců c_{1}, …, c_{r}. Z matice N také vyčteme dimenzi oboru hodnot Im(A) operátoru A. Prostor Im(A) se podle Věty 6.22b) rovná lineárnímu obalu vektorů A(x_{1}), …, A(x_{n}). Obraz vektoru x_{i} lineárním zobrazením A je v bázi y_{1}, …, y_{m} dán i-tým sloupcem matice N. Sloupce c_{1}, …, c_{r} jsou lineárně nezávislé, jsou tedy lineárně nezávislé i vektory A(x_{c_{1}}), …, A(x_{c_{r}}), prostor Im(A) má tedy dimenzi aspoň r. Všechny ostatní sloupce matice N, tedy všechny vektory A(x_{j}), j ≠ c_{1}, …, c_{r}, jsou dále lineárně závislé na vektorech A(x_{c_{1}}), …, A(x_{c_{r}}), dimenze Im(A) se tedy rovná přesně r.

Podle Věty 6.27 platí n = dim T^{n} = dim Ker(A) + dim Im(A) = dim Ker(A) + r, tj. n − r = dim Ker(A). Srovnáním této rovnosti s rovností z konce prvního odstavce důkazu dostáváme r = s. □

Definice 9.25. Hodností (nebo také rankem) matice M nazýváme její řádkovou (sloupcovou) hodnost.

Zkuste si sami zformulovat a dokázat všechna tvrzení z této kapitoly týkající se elementárních řádkových transformací také pro elementární sloupcové transformace matic. Rozmyslete si geometrický význam těchto “sloupcových” tvrzení.