7. Matice

Definice 7.15. Maticí typu m × n s prvky v tělese T rozumíme soubor čísel a_{ij} ∈ T, i = 1, …, m, j = 1, …, n. Matice obvykle zapisujeme ve tvaru

M = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & … & a_{2n} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{m1} & a_{m2} & … & a_{mn} \end{matrix} ) = (a_{ij}).

Prvek a_{ij} nazýváme také prvek namístě (i, j) matice M. Je-li m = n, říkáme že M je čtvercová matice stupně n.

Vektor (a_{i1}, …, a_{in}) nazýváme i-tý řádek matice M. Podobně vektor (a_{1j}, …, a_{mj}) nazýváme j-tý sloupec matice M. Sloupce budeme někdy zapisovat jako skutečné sloupce:

( a_{1j} ; a_{2j} ; ⋮ ; a_{mj} )

a pro zdůraznění, že máme na mysli takovýto zápis, budeme mluvit o sloupcovém vektoru. Sloupcový vektor je vlastně matice typu m × 1.

Je-li dána soustava m lineárních rovnic o n neznámých

a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + ⋯ + a_{1n}x_{n} = b_{1}
a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + ⋯ + a_{2n}x_{n} = b_{2}
⋮
a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + ⋯ + a_{mn}x_{n} = b_{m}

s koeficienty v tělese T, nazýváme matici

( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & … & a_{2n} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{m1} & a_{m2} & … & a_{mn} \end{matrix} )

maticí této soustavy, a matici

( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & … & a_{2n} & b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ... & & ⋮ \\ a_{m1} & a_{m2} & … & a_{mn} & b_{m} \end{matrix} )

Typeset by AMS-TEX

rozšířenou maticí této soustavy.

Jak souvisí matice s lineárními zobrazeními? Jsou-li U, V dva konečně dimenzionální prostory, dim U = n, dim V = m, x_{1}, …, x_{n} báze v U, y_{1}, …, y_{m} báze ve V, a A : U → V lineární zobrazení, pak je A jednoznačně určené vektory A(x_{j}) ∈ V pro j = 1, …, n, podle Věty 6.25. Každý prvek A(x_{j}) lze jednoznačně vyjádřit jako lineární kombinaci prvků báze y_{1}, …, y_{m}:

A(x_{j}) = ∑_{i=1}^{m}a_{ij}y_{i}.

Definice 7.16. Matici

M(A) = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & … & a_{2n} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{m1} & a_{m2} & … & a_{mn} \end{matrix} ) = (a_{ij})

nazýváme matice lineárního zobrazení A vzhledem k bázím x_{1}, …, x_{n} a y_{1}, …, y_{m}.

Matice lineárního zobrazení tedy závisí na zvolených bázích v prostorech U a V. Jedno a to samé lineární zobrazení může mít různé matice vzhledem k různým bázím. Všimněte si, že matice lineárního zobrazení vzhledem k bázím x_{1}, …, x_{n} a y_{1}, …, y_{m} závisí na pořadí prvků v těchto bázích.

Lemma 7.30. Je-li dána matice M = (a_{ij}) typu m × n, báze x_{1}, …, x_{n} prostoru U, báze y_{1}, …, y_{m} prostoru V, pak existuje právě jedno lineární zobrazení A : U → V takové, že jeho matice M(A) vzhledem k bázím x_{1}, …, x_{n} a y_{1}, …, y_{m} se rovná M. Je-li x = ∑_{1}^{n} b_{j}x_{j} libovolný vektor prostoru U, pak

A(x) = ∑_{i=1}^{m}a_{i}y_{i}, kde a_{i} = ∑_{j=1}^{n}a_{ij}b_{j}.

Důkaz. Aby byla M maticí nějakého lineárního zobrazení A : U → V vzhledem k bázím x_{1}, …, x_{n} a y_{1}, …, y_{m}, musí platit

A(x_{j}) = ∑_{i=1}^{m}a_{ij}y_{i}

pro všechna j = 1, …, n. Tímto požadavkem je zobrazení A určené jednoznačně podle Věty 6.25.

Je-li x = ∑_{1}^{n} b_{j}x_{j} libovolný vektor prostoru U, pak spočítáme hodnotu A(x) následovně:

A(x) = A(∑_{j=1}^{n}b_{j}x_{j}) = ∑_{j=1}^{n}b_{j}A(x_{j}) = ∑_{j=1}^{n}b_{j}(∑_{i=1}^{m}a_{ij}y_{i}) =

∑_{j=1}^{n} ∑_{i=1}^{m}b_{j}a_{ij}y_{i} = ∑_{i=1}^{m} ∑_{j=1}^{n}a_{ij}b_{j}y_{j} = ∑_{i=1}^{m}(∑_{j=1}^{n}a_{ij}b_{j})y_{i}.

Platí tedy a_{i} = ∑_{j=1}^{n} a_{ij}b_{j} pro všechna i = 1, …, m. □

Formulku pro výpočet a_{i} si zapamatujeme tak, že “skalárně” násobíme i-tý řádek matice M, tj. vektor (a_{i1}, …, a_{in}) s vektorem (b_{1}, …, b_{n}) souřadnic x vzhledem k bázi x_{1}, …, x_{n}.

Všimněme si ještě toho, že matice M určuje jednoznačně lineární zobrazení A : U → V teprve tehdy, zvolíme-li bázi x_{1}, …, x_{n} v U a bázi y_{1}, …, y_{m} ve V. Stejná matice M určuje při různých volbách bází x_{1}, …, x_{n} a y_{1}, …, y_{m} různá lineární zobrazení.

Je-li dána pouze matice M typu m × n s prvky v tělese T, domluvíme se, že ji budeme považovat za matici lineárního zobrazení A : T^{n} → T^{m} vzhledem ke standardním bázím x_{1}, …, x_{n} v T^{n} a y_{1}, …, y_{m} v T^{m}. Standardní bází v T^{n} rozumíme bázi tvořenou prvky x_{j} = (0, …, 0, 1, 0, …, 0), kde 1 je pouze na j-tém místě. Podobně y_{i} = (0, …, 0, 1, 0, …, 0) ∈ T^{m}, kde 1 je pouze na i-tém místě. Podle Lemma 7.30 je potom hodnota lineárního zobrazení A v bodě x = (a_{1}, …, a_{n}) rovna vektoru b = (b_{1}, …, b_{m}) ∈ T^{m}, kde

b_{i} = ∑_{j=1}^{n}a_{ij}a_{j}.

Je-li tedy dána soustava m lineárních rovnic o n neznámých

a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + ⋯ + a_{1n}x_{n} = b_{1}
a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + ⋯ + a_{2n}x_{n} = b_{2}
⋮
a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + ⋯ + a_{mn}x_{n} = b_{m}

označíme si M matici této soustavy a b = (b_{1}, …, b_{m}) vektor pravých stran této soustavy. Matice M určuje jednoznačně lineární zobrazení A : T^{n} → T^{m} (vzhledem ke standardním bázím) a nějaký vektor x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ T^{n} je řešením této soustavy právě když A(x) = b.

Definice 7.17. Buď M = (a_{ij}) matice typu m×n s prvky v tělese T. Řádkovým prostorem matice M nazýváme lineární obal řádkových vektorů a_{i} = (a_{i1}, …, a_{in}), i = 1, …, m, a řádkovou hodností matice M nazýváme dimenzi tohoto lineárního obalu, tj. dimenzi řádkového prostoru matice M.

Podobně sloupcovým prostorem matice M nazýváme lineární obal sloupcových vektorů b_{j} = (b_{1j}, …, b_{mj}) ∈ T^{m}, j = 1, …, n, a sloupcovou hodností matice M nazýváme dimenzi sloupcového prostoru matice M.

Věta 7.31. Buď

a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + ⋯ + a_{1n}x_{n} = b_{1}
a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + ⋯ + a_{2n}x_{n} = b_{2}
⋮
a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + ⋯ + a_{mn}x_{n} = b_{m}

soustava m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty v tělese T. Označme M její matici a buď A : T^{n} → T^{m} příslušné lineární zobrazení (určené standardními bázemi v T^{n} a T^{m}). Je-li x_{j} = (0, …, 1, …, 0) ∈ T^{n}, kde 1 je na j-tém místě, pak A(x_{j}) = (a_{1j}, …, a_{mj}), tj. A(x_{j}) je j-tý sloupcový vektor matice M. Soustava má řešení právě když vektor pravých stran b = (b_{1}, …, b_{m}) leží ve sloupcovém prostoru matice M, což je právě když je sloupcová hodnost matice soustavy rovna sloupcové hodnosti rozšířené matice soustavy.

Důkaz. Rovnost A(x_{j}) = (a_{1j} …, a_{mj}) plyne z Lemma 7.30.

Je-li x = (a_{1}, …, a_{n}) řešení soustavy, je x = ∑_{1}^{n} a_{j}x_{j} a b = A(x) = ∑_{1}^{n} x_{j}A(x_{j}), tedy vektor b je lineární kombinací sloupců matice M a leží tedy v jejím sloupcovém prostoru.

Je-li naopak b prvek sloupcového prostoru matice M, tj. lineární kombinace sloupcových vektorů A(x_{j}), j = 1, …, n, existují čísla a_{j} ∈ T, j = 1, …, n, taková že b = ∑_{1}^{n} a_{j}A(x_{j}), neboli b = A(∑_{1}^{n} a_{j}x_{j}). Vektor (a_{1}, …, a_{n}) ∈ T^{n} je tedy řešením soustavy.

Platí l(A(x_{1}), …, A(x_{n})) ⊆ l(A(x_{1}), …, A(x_{n}), b). Dimenze obou podprostorů T^{m} se rovnají právě když se rovnají oba prostory a to je právě když je b lineární kombinací sloupcových vektorů A(x_{1}), …, A(x_{n}), což je právě když b leží ve sloupcovém prostoru matice M. □

Věta 7.32. Buď

a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + ⋯ + a_{1n}x_{n} = 0
a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + ⋯ + a_{2n}x_{n} = 0
⋮
a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + ⋯ + a_{mn}x_{n} = 0

soustava m homogenních lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty v tělese T. Označme M její matici a buď A : T^{n} → T^{m} příslušné lineární zobrazení (určené standardními bázemi v T^{n} a T^{m}). Vektor x = (x_{1}, …, x_{n}) je řešením této soustavy právě když platí A(x) = 0. Množina všech řešení soustavy je tedy podprostor T^{n}. Jeho dimenze je rovna rozdílu mezi n (počtem neznámých) a sloupcovou hodností matice M.

Důkaz. Vektor x = (x_{1}, …, x_{n}) je řešení soustavy právě když A(x) = 0 podle předchozí Věty 7.31. Množina všech řešení této soustavy je tedy jádro operátoru A a to je podprostor T^{n} podle Věty 6.22e. Podle Věty 6.27 platí n = dim U = dim Ker(A)+dim Im(A). Obraz Im(A) se rovná lineárnímu obalu vektorů A(x_{i}), i = 1, …, n, kde x_{1}, …, x_{n} je standardní báze T^{n}, neboli sloupcovému prostoru matice M. Dimenze podprostoru Im(A) je tedy rovna sloupcové hodnosti matice M. □

Věta 7.33. Buď

a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + ⋯ + a_{1n}x_{n} = b_{1}
a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + ⋯ + a_{2n}x_{n} = b_{2}
⋮
a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + ⋯ + a_{mn}x_{n} = b_{m}

soustava m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty v tělese T. Buď x nějaké řešení této soustavy. Potom libovolné řešení této soustavy je tvaru x + x_{0}, kde x_{0} je libovolné řešení příslušné homogenní soustavy

a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + ⋯ + a_{1n}x_{n} = 0
a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + ⋯ + a_{2n}x_{n} = 0
⋮
a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + ⋯ + a_{mn}x_{n} = 0

Naopak, každý vektor tvaru x + x_{0}, kde x_{0} je řešení homogenní soustavy, je řešením původní soustavy.

Důkaz. Je-li y nějaké řešení původní (nehomogenní) soustavy, je A(y) = b. Protože také A(x) = b, platí A(y − x) = 0. Můžeme tedy položit x_{0} = y − x.

Je-li naopak x_{0} libovolné řešení homogenní soustavy, platí A(x + x_{0}) = b + 0 = b, tedy x + x_{0} je řešení původní (nehomogenní) soustavy. □

Poslední větu můžeme stručně vyjádřit tak, že množina všech řešení soustavy m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty v tělese T je lineál v aritmetickém prostoru T^{n}.

Definice 7.18. Jsou-li M = (a_{ij}) matice typu m × n a N = (b_{ki}) matice typu p × m, pak součinem matic N, M (v tomto pořadí) rozumíme matici NM = (c_{kj}) typu p × n, kde prvek c_{kj} na místě (k, j) vypočteme ze vztahu

c_{kj} = ∑_{i=1}^{m}b_{ki}c_{ij}.

Je důležité si uvědomit, že součin matic N a M je v tomto pořadí definován pouze v případě, kdy počet sloupců matice N se rovná počtu řádků matice M. V takovém případě je prvek c_{kj} na místě (k, j) součinu NM roven “skalárnímu součinu” k-tého řádku matice N s j-tým sloupcem matice M.

Následující věta je zdůvodněním, proč se součin matic definuje právě tímto způsobem.

Věta 7.34. Jsou-li A : U → V a B : V → W lineární zobrazení, x_{1}, …, x_{n} báze v U, y_{1}, …, y_{m} báze ve V, z_{1}, …, z_{p} báze v W, M(A) = (a_{ij}) matice zobrazení A vzhledem k bázím x_{1}, …, x_{n} a y_{1}, …, y_{m} a M(B) = (b_{ki}) matice zobrazení B vzhledem k bázím y_{1}, …, y_{m} a z_{1}, …, z_{p}, pak matice M(BA) = (c_{kj}) složeného lineárního zobrazení z U do W vzhledem k bázím x_{1}, …, x_{n} a z_{1}, …, z_{p} se rovná součinu matic M(B) a M(A), tj.

M(BA) = M(B)M(A).

Důkaz. Buď x_{j} libovolný prvek dané báze v U. Pak

A(x_{j}) = ∑_{i=1}^{m}a_{ij}y_{i}.

Podobně

B(y_{i}) = ∑_{k=1}^{p}b_{ki}z_{k}.

Potom dostáváme

BA(x_{j}) = B(∑_{i=1}^{m}a_{ij}y_{i}) = ∑_{i=1}^{m}a_{ij}B(y_{i}) = ∑_{i=1}^{m}a_{ij}(∑_{k=1}^{p}b_{ki}z_{k}) =

∑_{i=1}^{m} ∑_{k=1}^{p}a_{ij}b_{ki}z_{k} = ∑_{k=1}^{p} ∑_{i=1}^{m}b_{ki}a_{ij}z_{k} = ∑_{k=1}^{p}(∑_{i=1}^{m}b_{ki}a_{ij})z_{k}.

Tedy c_{kj} = ∑_{i=1}^{m} b_{ki}a_{ij}. □

Věta 7.35. Násobení matic je asociativní.

Důkaz. Nechť M = (a_{ij}) je matice tvaru m × n, N = (b_{jk}) je matice tvaru n × p a P = (c_{kl}) je matice tvaru p × q, všechny matice s prvky v tělese T. Oba součiny (MN)P a M(NP) jsou tedy definované a musíme ukázat, že se rovnají jedné a téže matici tvaru m × q. Ukážeme si dva důkazy, první “aritmetický” a druhý “geometrický”.

V aritmetickém důkazu si označíme E = (e_{ik}) součin MN. Matice E je tedy tvaru m×p a

e_{ik} = ∑_{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}.

Označíme-li dále F = (f_{il}) součin EP = (MN)P, platí potom

f_{il} = ∑_{k=1}^{p}e_{ik}c_{kl} = ∑_{k=1}^{p}(∑_{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk})c_{kl} = ∑_{k=1}^{p} ∑_{j=1}^{n}(a_{ij}b_{jk})c_{kl}.

Podobně spočteme také součin M(NP). Označme si tedy G = (g_{jl}) = NP. Potom

g_{jl} = ∑_{k=1}^{p}b_{jk}c_{kl}.

Dále si označíme H = (h_{il}) = M(NP). Pak dále platí

h_{il} = ∑_{j=1}^{n}a_{ij}g_{jl} = ∑_{j=1}^{n}a_{ij}(∑_{k=1}^{p}b_{jk}c_{kl}) = ∑_{j=1}^{n} ∑_{k=1}^{p}a_{ij}(b_{jk}c_{kl}).

Vzhledem k tomu, že násobení v tělese T je asociativní, sčítáme ve vyjádřeních f_{il} a h_{il} stejné prvky tělesa T, pouze v jiném pořadí. Protože je sčítání v T komutativní, platí rovnost f_{il} = h_{il} pro všechna i = 1, …, m a l = 1, … q, tedy (MN)P = F = H = M(NP).

V geometrickém důkazu vyjdeme z toho, že matice M je maticí lineárního zobrazení A : T^{n} → T^{m} vzhledem ke standardním bázím z_{1}, …, z_{n} a u_{1}, …, u_{m}, matice N je maticí lineárního zobrazení B : T^{p} → T^{n} vzhledem ke standardním bázím y_{1}, …, y_{p} a z_{1}, …, z_{m}, a matice P je maticí lineárního zobrazení C : T^{q} → T^{p} vzhledem ke standardním bázím x_{1}, …, x_{q} a y_{1}, …, y_{p}. Opakovaným použitím Věty 7.34 dostaneme, že (MN)P je matice lineárního zobrazení (AB)C vzhledem ke standardním bázím x_{1}, …, x_{q} a u_{1}, …, u_{m}, a matice M(NP) je matice lineárního zobrazení A(BC) vzhledem ke standardním bázím x_{1}, …, x_{q} a u_{1}, …, u_{m}. Skládání zobrazení je ale asociativní, tj. (AB)C = A(BC) = ABC, a vzhledem k tomu, že matice lineárního zobrazení ABC : T^{q} → T^{m} je určena volbou bází x_{1}, …, x_{q} a u_{1}, …, u_{m} jednoznačně, plyne odtud rovnost (MN)P a M(NP). □

Považujeme-li sloupcové vektory za matice tvaru n × 1, můžeme soustavu

a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + ⋯ + a_{1n}x_{n} = b_{1}
a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + ⋯ + a_{2n}x_{n} = b_{2}
⋮
a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + ⋯ + a_{mn}x_{n} = b_{m}

zapsat jednoduše ve tvaru

Mx = b,

kde M = (a_{ij}) je matice soustavy, sloupcový vektor

x = ( x_{1} ; x_{2} ; ⋮ ; x_{n} )

je vektor neznámých a

b = ( b_{1} ; b_{2} ; ⋮ ; b_{m} )

je vektor pravých stran.

Rovnice

Mx = b

je zápis původní soustavy v maticovém tvaru.