6. Lineární zobrazení

Geometrická motivace lineárních zobrazení.

Definice 6.14. Jsou-li U, V vektorové prostory nad stejným tělesem T a A : U → V zobrazení, pak říkáme, že A je lineární zobrazení, platí-li

A(ax + by) = aA(x) + bA(y)

pro každé dva vektory x, y ∈ U a každé dva skaláry a, b ∈ T. Lineární zobrazení A je prosté (monomorfizmus), je-li zobrazení A prosté, je na (epimorfizmus), je-li A zobrazení na, a nazývá se izomorfizmus, je-li A vzájemně jednoznačné (tj. prosté a na) zobrazení.

Připomeňme, že co je to izomorfizmus dvou vektorových prostorů jsme definovali už v Definici 5.11. Srovnáním obou definic dostáváme, že izomorfizmus je lineární zobrazení, které je vzájemně jednoznačné.

Příklad 6.12. a) Identické zobrazení vektorového prostoru na sebe je lineární zobrazení.

b) Zobrazení A : U → V, které každému x ∈ U přiřazuje nulový vektor prostoru V, je lineární zobrazení.

c) Zobrazení π_{i} : T^{n} → T^{n−1}, i = 1, 2, …, n, definované předpisem

π_{i}(a_{1}, …, a_{n}) = (a_{1}, …, a_{i−1}, a_{i+1} , …, a_{n})

je lineární zobrazení.

d) Zobrazení ρ_{i} : T^{n} → T , i = 1, 2, …, n, definované předpisem ρ_{i}(a_{1}, …, a_{n}) = a_{i} je lineární zobrazení.

Příklad 6.13. a) Dokažte, že jsou-li A : U → V a B : V → W lineární zobrazení, pak také jejich složení BA : U → W je lineární zobrazení.

b) Dokažte, že jsou-li A : U → V a B : V → W izomorfizmy, pak také BA : U → W je izomorfizmus.

c) Dokažte, že je-li A : U → V izomorfizmus, pak také inverzní zobrazení A^{−1} : V → U je izomorfizmus.

d) Dokažte, že každé dva vektorové prostoty stejné konečné dimenze n nad tělesem T jsou izomorfní.

Zavedeme ještě následující označení. Je-li A : U → V lineární zobrazení, pak obraz prostoru U zobrazením A budeme označovat A(U) nebo také Im(A), je to množina {y ∈ V : a(x) = y pro nějaké x ∈ U}. Obecněji, je-li S ⊆ U, pak obraz A(S) množiny S zobrazením A je množina {y ∈ V : A(x) = y pro nějaké x ∈ S}. Jádro lineárního zobrazení A je

Typeset by AMS-TEX

podprostor {x ∈ U : A(x) = 0} prostoru U. (Dokažte si, že je to opravdu podprostor U.) A nakonec, je-li S podmnožina U, pak l(S) označuje lineární obal S. Je-li S = {x_{1}, …, x_{n}}, pak píšeme také l(x_{1}, …, x_{n}) místo l(S).

Příklad 6.14. Soustava m lineárních rovnic o n neznámých coby lineární zobrazení. Uvažujme soustavu rovnic

a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + ⋯ + a_{1n}x_{n} = b_{1}
a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + ⋯ + a_{2n}x_{n} = b_{2}
⋮
a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + ⋯ + a_{mn}x_{n} = b_{m}.

Koeficienty a_{ij} této soustavy jsou prvky nějakého tělesa T. Levé strany rovnic této soustavy určují lineární zobrazení z prostoru T^{n} do prostoru T^{m}. Skutečně, označme si u_{j} vektor (a_{1j}, a_{2j}, …, a_{mj}) koeficientů u neznámé x_{j}. Pro názornost si jej můžeme zapsat ve sloupcovém tvaru:

u_{j} = ( a_{1j} ; a_{2j} ; ⋮ ; a_{mj} ) .

Je-li nyní (a_{1}, …, a_{n}) ∈ T^{n} libovolný vektor n-dimenzionálního aritmetického prostoru T^{n}, můžeme vypočítat vektor

u_{1}a_{1} + ⋯ + u_{n}a_{n} = ( a_{11} ; a_{21} ; ⋮ ; a_{mj} ) a_{1} + ( a_{12} ; a_{22} ; ⋮ ; a_{m2} ) a_{2} + ⋯ + ( a_{1n} ; a_{2n} ; ⋮ ; a_{mn} ) a_{n}.

Pokud se tento vektor bude rovnat vektoru pravých stran

( b_{1} ; b_{2} ; ⋮ ; b_{m} )

naší soustavy, budou čísla a_{1}, …, a_{n} řešením této soustavy. Zobrazení A : T^{n} → T^{m}, které každému vektoru x = (x_{1}, x_{2}, …, x_{n} ∈ T^{n} přiřazuje vektor

A(x) = u_{1}x_{1} + u_{2}x_{2} + ⋯ u_{n}x_{n}

je lineární zobrazení. Naše soustava má aspoň jedno řešení právě když vektor pravých stran (b_{1}, …, b_{m}) leží v obrazu Im(A) operátoru A. Soustava má nejvýše jedno řešení právě když je operátor A prostý.

Věta 6.22. Základní vlastnosti lineárních zobrazení. Buď A : U → V lineární zobrazení. Potom platí

a) A(a_{1}x_{1} + ⋯ + a_{n}x_{n}) = a_{1}A(x_{1}) + ⋯ + a_{n}A(x_{n}) pro každé n ≥ 1, libovolné vektory x_{1}, …, x_{n} ∈ U a libovolné skaláry a_{1}, …, a_{n}.

b) A(l(x_{1}, …, x_{n})) = l(A(x_{1}), …, A(x_{n})) pro libovolné vektory x_{1}, …, x_{n} ∈ U.

c) A(l(S)) = l(A(S)) pro každou podmnožinu S prostoru U.

d) Je-li S podprostor vektorového prostoru U, pak A(S) je podprostor prostoru V. Speciálně, Im(A) = A(U) je podprostor V.

e) Je-li S podprostor V, pak A^{−1}(S) = {x ∈ U : A(x) ∈ S} je podprostor U. Speciálně, jádro Ker(A) lineárního zobrazení A je podprostor U.

f) A(0) = 0.

Důkaz. a) Pro n = 2 to plyne přímo z definice. Je-li n > 2, platí A(a_{1}x_{1}+⋯+a_{n−1}x_{n−1}+ a_{n}x_{n}) = A(a_{1}x_{1}+⋯+a_{n−1}x_{n−1})+a_{n}A(x_{n}) = ⋯ = a_{1}A(x_{1})+⋯ a_{n}A(x_{n}). Zbývá n = 1. V tomto případě A(a_{1}x_{1}) = A(a_{1}x_{1} + 0x_{2}) = a_{1}A(x_{1}) + 0A(x_{2}) = a_{1}A(x_{1}).

Formálnější důkaz lze udělat indukcí podle n.

b) Je-li x ∈ l(x_{1}, …, x_{n}), platí x = ∑_{1}^{n} a_{i}x_{i} pro nějaké skaláry a_{1}, …, a_{n} podle Věty 5.17. Potom dostáváme, že A(x) = A(∑_{1}^{n} a_{i}x_{i}) = ∑_{1}^{n} a_{i}A(x_{i}) (podle části a)), a tedy také A(x) ∈ l(A(x_{1}), …, A(x_{n})).

Opačně, je-li y ∈ l(A(x_{1}), …, A(x_{n})), platí opět podle Věty 5.17, že y = ∑_{1}^{n} b_{i}A(x_{i}) pro nějaká čísla b_{1}, …, b_{n}. Podle části a) potom platí y = ∑_{1}^{n} b_{i}A(x_{i}) = A(∑_{1}^{n} b_{i}x_{i}), tedy y ∈ A(l(x_{1}, …, x_{n})).

c) Jestliže je x ∈ l(S), potom existují podle Věty 5.17 prvky x_{1}, …, x_{n} ∈ S takové, že x ∈ l(x_{1}, …, x_{n}). Pak podle části b) platí A(x) ∈ A(l(x_{1}, …, x_{n})) = l(A(x_{1}, …, x_{n})) ⊆ l(A(S)).

Naopak, je-li y ∈ l(A(S)), pak opět podle Věty 5.17 existují vektory x_{1}, …, x_{n} ∈ S takové, že y ∈ l(A(x_{1}), …, A(x_{n})). Podle části b) je potom y ∈ l(A(x_{1}), …, A(x_{n})) = A(l(x_{1}, …, x_{n})) ⊆ A(l(S)).

d) Použijeme jednoduché tvrzení, že množina S ⊆ U je podprostor U právě když l(S) = S, které si snadno dokážete přímo z definic 5.12 a 6.14. Potom l(A(S)) = A(l(S)) = A(S), tedy A(S) je podprostor V.

e) Jsou-li x, y libovolné dva prvky A^{−1}(S) a a, b ∈ T, pak A(x), A(y) ∈ S, a vzhledem k tomu, že S je podprostor V, také aA(x)+bA(y) = A(ax+by) ∈ S. Tedy ax+by ∈ A^{−1}(S).

f) Platí A(0) = A(0x) = 0A(x) = 0, kde x je libovolný prvek U. □

Věta 6.23. Následující tvrzení o lineárním zobrazení A : U → V jsou ekvivalentní: a) Lineární zobrazení A je prosté.

b) Ker(A) = {0}.

c) Obraz každé lineárně nezávislé množiny v U je lineárně nezávislá množina ve V. V případě, že U je konečně-dimenzionální vektorový prostor, jsou tato tvrzení ekviva-

lentní ještě s následujícím tvrzením.

d) Obraz nějaké báze v U je lineárně nezávislá množina ve V.

Důkaz. a)⇒b) Buď x ∈ Ker(A). Potom A(x) = 0 = A(0). Zobrazení A je prosté, tedy x = 0.

b)⇒c). Buď S lineárně nezávislá množina, x_{1}, …, x_{n} ∈ S. Je-li ∑_{1}^{n} a_{i}A(x_{i}) = 0 pro nějaké skaláry a_{1}, …, a_{n}, je také A(∑_{1}^{n} a_{i}x_{i}) = 0. Protože je Ker(A) = {0}, platí ∑_{i}^{n} a_{i}x_{i} = 0. Množina S je ale lineárně nezávislá, tedy a_{i} = 0 pro všechna i = 1, …, n. Tedy i množina {A(x) : x ∈ S} je lineárně nezávislá.

c)⇒a). Je-li A(x) = A(y) pro nějaké vektory x, y ∈ U, platí A(x − y) = 0. Obraz množiny {x − y} zobrazením A tedy není lineárně nezávislý, to tedy znamená podle c), že ani množina {x − y} není lineárně nezávislá. Proto x = y = 0, neboli x = y.

c)⇒d). Protože každá báze v U je lineárně nezávislá, je obraz každé báze v U zobrazením A lineárně nezávislý ve V.

d)⇒b) za předpokladu, že U je konečně dimenzionální. Buď x_{1}, …, x_{n} ta báze v U, jejíž obraz je lineárně nezávislý ve V. Buď x ∈ Ker(A). Potom x = ∑_{1}^{n} a_{i}x_{i} pro nějaké skaláry a_{i} ∈ T. Potom A(x) = ∑_{1}^{n} a_{i}A(x_{i}) podle Věty 6.22a. Protože x ∈ Ker(A), platí ∑_{1}^{n} a_{i}A(x_{i}) = 0. Protože je systém A(x_{1}), …, A(x_{n}) lineárně nezávislý ve V, platí a_{i} = 0 pro všechna i = 1, …, n, tedy x = 0. □

Věta 6.24. Buď A : U → V lineární zobrazení a x_{1}, …, x_{n} báze v U. Potom je A izomorfizmus právě když A(x_{1}), …, A(x_{n}) je báze v prostoru V.

Důkaz. Buď A izomorfizmus. Potom je množina {A(x_{1}), …, A(x_{n})} lineárně nezávislá ve V podle Věty 6.23, neboť A je prosté. Vezměme libovolné y ∈ V. Vzhledem k tomu, že A je také zobrazení na celé V, existuje x ∈ U takový, že A(x) = y. Prvky x_{1}, …, x_{n} tvoří bázi v U, tedy x = ∑_{1}^{n} a_{i}x_{i} pro nějaké skaláry a_{1}, …, a_{n}. Potom y = A(x) = ∑_{1}^{n} a_{i}A(x_{i}). Každý prvek y ∈ V lze tedy vyjádřit jako lineární kombinaci prvků množiny {A(x_{1}), …, A(x_{n})}, tato množina je tedy bází V.

Nechť je naopak množina {A(x_{1}), …, A(x_{n})} báze ve V. Potom je zobrazení A prosté, neboť splňuje podmínku d) Věty 6.23. Libovolný prvek y ∈ V lze vyjádřit jako lineární kombinaci y = ∑_{1}^{n} a_{i}A(x_{i}), neboť {A(x_{1}), …, A(x_{n})} je báze ve V. Potom y = A(∑_{1}^{n} a_{i}x_{i}) a tedy je A rovněž zobrazení na celé V. □

Dále se budeme zabývat existencí lineárních zobrazení.

Věta 6.25. Jsou-li U, V vektorové prostory nad T, x_{1}, …, x_{n} báze v U a y_{1}, …, y_{n} libovolné prvky prostoru V, pak existuje právě jedno lineární zobrazení A : U → V takové, že A(x_{i}) = y_{i} pro všechna i = 1, …, n.

Důkaz. Buď x = ∑_{1}^{n} a_{i}x_{i} libovolný prvek U. Definujme A(x) = ∑_{1}^{n} a_{i}y_{i}. Je-li y = ∑_{1}^{n} b_{i}x_{i} další prvek U a a, b ∈ T, pak ax + by = ∑_{1}^{n}(aa_{i} + bb_{i})x_{i} a tedy

A(ax + by) = ∑_{1}^{n}(aa_{i} + bb_{i})y_{i} = a ∑_{1}^{n}a_{i}y_{i} + b ∑_{1}^{n}b_{i}y_{i} = aA(x) + bA(y).

Zobrazení A je tedy lineární.

Je-li B : U → V libovolné lineární zobrazení takové, že B(x_{i}) = y_{i} pro všechna i = 1, …, n, potom pro každé x = ∑_{1}^{n} a_{i}x_{i} ∈ U platí

A(x) = ∑_{1}^{n}a_{i}A(x_{i}) = ∑_{1}^{n}a_{i}y_{i} = ∑_{1}^{n}a_{i}B(x_{i}) = B(∑_{1}^{n}a_{i}x_{i}) = B(x).

Tím je dokázáno, že A(x) = B(x) pro všechna x ∈ U, neboli A = B. □

Věta 6.26. Jsou-li U, V vektorové prostory nad T, x_{1}, …, x_{n} báze v U a y_{1}, …, y_{n} báze ve V, pak existuje právě jeden izomorfizmus A : U → V takový, že A(x_{i}) = y_{i} pro každé i = 1, …, n.

Důkaz. Plyne to ze dvou předcházejících vět. Podle Věty 6.25 existuje právě jedno lineární zobrazení A : U → V takové, že A(x_{i}) = y_{i} pro každé i = 1, …, n. Podle Věty 6.24 je toto zobrazení izomorfizmus.

Závěrem této obecné části o lineárních zobrazeních se budeme zabývat souvislostmi mezi dimenzí a lineárními zobrazeními. Dimenzi vektorového prostoru U budeme označovat dimU.

Věta 6.27. Buď U konečně dimenzionální vektorový prostor a A : U → V lineární zobrazení. Potom platí

dimU = dimKer(A) + dimIm(A).

Důkaz. Jádro Ker(A) zobrazení A je podprostor U podle Věty 6.22e. Podle Věty 5.19 má konečnou dimenzi m ≤ n. Buď x_{1}, …, x_{m} libovolná báze v Ker(A). Podle Věty 5.20 ji lze rozšířit do báze x_{1}, …, x_{m}, x_{m+1} , …, x_{n} prostoru U. Dokážeme, že A(x_{m+1} ), …, A(x_{m}) je báze obrazu Im(A).

Je-li y ∈ Im(A), existuje x ∈ U takové, že A(x) = y. Protože je x_{1}, …, x_{n} báze v U platí x = ∑_{1}^{n} a_{i}x_{i} pro vhodné skaláry a_{1}, …, a_{n}. Potom

y = A(x) = ∑_{1}^{n}a_{i}A(x_{i}) = ∑_{i=m+1}^{n} a_{i}A(x_{i}),

neboť A(x_{i}) = 0 pro všechna i = 1, …, m. Vektory A(x_{m+1} ), …, A(x_{n}) tedy generují podprostor Im(A) prostoru V. Zbývá dokázat, že jsou lineárně nezávislé.

Nechť tedy

∑_{i=m+1}^{n} b_{i}A(x_{i}) = 0

pro nějaké skaláry b_{m+1} , …, b_{n}. Potom platí také, že

A( ∑_{i=m+1}^{n} b_{i}x_{i}) = 0.

Tedy

∑_{i=m+1}^{n} b_{i}x_{i} ∈ Ker(A).

Existují tedy skaláry b_{1}, …, b_{m} takové, že

∑_{i=m+1}^{n} b_{i}x_{i} = ∑_{1}^{m}b_{i}x_{i},

neboť x_{1}, …, x_{m} tvoří bázi v Ker(A). Potom ale

∑_{i=1}^{m}(−b_{i})x_{i} + ∑_{i=m+1}^{n} b_{i}x_{i} = 0.

Vzhledem k tomu, že x_{1}, …, x_{n} je báze v U, platí b_{1} = ⋯ = b_{n} = 0. Proto jsou vektory A(x_{m+1} ), …, A(x_{n}) lineárně nezávislé.

Dokázali jsme tak, že dimIm(A) = n − m. □

Důsledek 6.28. Je-li A : U → V lineární zobrazení na celý prostor V a U konečně dimenzionální, pak V je také konečně dimenzionální a dimV ≤ dimU.

Důkaz. Podle předchozí věty dimV = dimIm(A) = dimU − dimKer(A) ≤ dimU. □

Důsledek 6.29. Jsou-li U, V dva konečně dimenzionální prostory nad T, pak U, V jsou izomorfní právě když mají stejnou dimenzi.

Důkaz. Mají-li U a V stejnou konečnou dimenzi, existuje mezi nimi izomorfizmus podle Věty 6.26.

Je-li naopak A : U → V izomorfizmus, je Im(A) = V a Ker(A) = {0}. Tedy podle Věty 6.27, dimU = dimKer(A) + dimIm(A) = dimV. □

Příklad 6.15. Co říká věta 6.27 o řešení soustav m lineárních rovnic o n neznámých?