5. Podprostory

Definice 5.12. Neprázdná podmnožina M vektorového prostoru V se nazývá podprostor, jestliže množina M obsahuje spolu s každými dvěma vektory x, y také jejich libovolnou lineární kombinaci ax + by.

Všimněte si, že každý podprostor obsahuje prvek 0 = x + (−1)x.

Příklad 5.11. a) Každý vektorový prostor V má dva triviální podprostory {0} a V.

b) Jsou-li m ≤ n ≠ 0 dvě přirozená čísla, pak množina M všech vektorů (x_{1}, …, x_{n}) ∈ R^{n} takových, že x_{1} = x_{2} = ⋯ = x_{m} je podprostor prostoru R^{n}.

c) Jsou-li m ≤ n ≠ 0 dvě přirozená čísla a t_{1}, …, t_{m} libovolná komplexní čísla, pak množina všech polynomů x ∈ P_{n} takových, že x(t_{1}) = ⋯ = x(t_{m}) = 0 je podprostor prostoru P_{n}.

Všimněte si, že na množině všech prvků nějakého podprostoru M je definováno sčítání vektorů a násobení vektorů skalárem a tyto operace mají všechny vlastnosti, které musí mít operace sčítání a násobení v libovolném vektorovém prostoru. Každý podprostor je tedy současně vektorovým prostorem.

Průnik systému {M_{k}} podprostorů V budeme označovat ⋂_{k} M_{k}. V případě konečného systému {M_{1}, …, M_{n}} označujeme průnik také M_{1} ∩ ⋯ ∩ M_{n}. Platí-li M ∩ N = {0}(= O), říkáme, že podprostory M a N jsou disjunktní.

Věta 5.15. Průnik libovolného systému podprostorů vektorového prostoru V je opět podprostor V.

Důkaz. Buď M = ⋂_{k} M_{k}. Množina M je neprázdná, neboť 0 ∈ M_{k} pro každé k, a tedy také 0 ∈ M. Jsou-li x, y dva prvky M a a, b ∈ T, pak je x, y ∈ M_{k} pro každé k. Proto ax + by ∈ M_{k} pro všechna k, a tedy také ax + by ∈ M. □

Důsledek 5.16. Pro každou podmnožinu S prostoru V existuje nejmenší (vzhledem k inkluzi) podprostor V obsahující S.

Důkaz. Buď M průnik všech podprostorů V obsahujících S. Potom je M podprostor V podle Věty 5.15 a S ⊆ M. Je-li N libovolný podprostor V obsahující S, pak musí být M ⊆ N. □

Definice 5.13. Nejmenší podprostor V obsahující množinu S ⊆ V nazýváme lineární obal množiny S nebo také podprostor generovaný S. Označovat jej budeme l(S).

Věta 5.17. Lineární obal množiny S ⊆ V je tvořený všemi možnými lineárními kombinacemi prvků z S.

Typeset by AMS-TEX

Důkaz. Označme M množinu všech lineárních kombinací prvků z S. Množina M je neprázdná, neboť obsahuje vektor 0 coby lineární kombinaci prázdné množiny prvků S. Jsou-li x = ∑_{1}^{n} c_{i}z_{i} a y = ∑_{1}^{n} d_{i}z_{i} dva prvky M a a, b ∈ T, pak

ax + by = a ∑_{1}^{n}c_{i}z_{i} + b ∑_{1}^{n}d_{i}z_{i} = ∑_{1}^{n}(ac_{i} + bd_{i})z_{i}

pro nějaké prvky z_{1}, …, z_{n} ∈ S. Tedy také ax + by ∈ M. Všimněte si, že ve vyjádřeních x a y můžeme použít stejnou množinu vektorů z_{i} ∈ S, v případě potřeby přidáme vektory s koeficientem 0.

Množina M všech lineárních kombinací prvků S je tedy podprostor V obsahující S. Naopak každý podprostor V obsahující S musí obsahovat libovolnou lineární kombinaci prvků S, tedy také množinu M. □

Báze prostoru V je tedy lineárně nezávislá množina, která generuje celý prostor V.

Věta 5.18. Jsou-li M, N dva podprostory prostoru V, pak podprostor generovaný sjednocením M ∪ N je tvořený všemi vektory x + y, kde x ∈ M a y ∈ N.

Důkaz. Důkaz je obdobný důkazu Věty 5.17. □

Poslední věta napovídá následující označení. Jsou-li M, N dva podprostory V, pak M + N označuje podprostor V generovaný sjednocením M ∪ N. Platí-li M + N = V a M ∩ N = O, říkáme, že M je doplněk N v prostoru V.

Věta 5.19. Podprostor M n-dimenzionálního vektorového prostoru V je vektorový prostor dimenze nejvýše n.

Důkaz. Jednoduchý zdánlivý důkaz by mohl vypadat takto. Každá množina tvořená n+1 vektory prostoru V je lineárně závislá podle Věty 4.12. Kdyby v podprostoru M existovala lineárně nezávislá množina s n + 1 vektory, mohli bychom tuto množinu podle Věty 4.9 rozšířit do báze podprostoru M. Tato báze by byla lineárně nezávislou množinou také ve V a měla by více než n prvků, což je ve sporu s Větou 4.10. Tedy každá lineárně nezávislá množina v M má nejvýše n prvků. Až potud je vše v pořádku, nyní ale nemůžeme učinit závěr, že dimenze M je nejvýše n, neboť jsme nedokázali, že v M existuje nějaká konečná báze.

To ukážeme takto. Je-li M = O, je prázdná množina bází v M. Jestliže M obsahuje nějaký nenulový vektor x_{1}, buď M_{1} podprostor generovaný x_{1}. Je-li M_{1} = M, je {x_{1}} bází M. Je-li M ≠ M_{1}, buď x_{2} prvek rozdílu M \ M_{1} a označme M_{2} podprostor generovaný vektory x_{1}, x_{2}. Je-li M = M_{2}, je množina {x_{1}, x_{2}} bází v M. Je-li M ≠ M_{2}, buď x_{3} prvek množiny M \ M_{2}, atd. Po nejvýše n krocích dostaneme nějakou lineárně nezávislou množinu {x_{1}, …, x_{k}} prvků M, která generuje celý prostor M, neboť ve V neexistuje n + 1 lineárně nezávislých vektorů. Tedy M má bázi tvořenou k vektory. Zbytek vyplývá z prvního odstavce důkazu. □

Věta 5.20. Pro každý m-dimenzionální podprostor M libovolného n-dimenzionálního vektorového prostoru V lze najít bázi {x_{1}, …, x_{m}, x_{m+1} , …, x_{n}} prostoru V takovou, že {x_{1}, …, x_{m}} je báze M.

Důkaz. Podle Věty 5.19 existuje v M nějaká báze {x_{1}, …, x_{m}}. Ta je buď také bází V nebo ji lze podle Věty 4.9 rozšířit do báze V. □

Zkuste si sami dokázat následující tvrzení: Vektory x_{1}, …, x_{n} z vektorového prostoru V jsou lineárně nezávislé, jestliže v posloupnosti podprostorů M_{k} = l(x_{1}, …, x_{k}), k = 1, …, n, jsou všechny podprostory navzájem různé.

My si závěrem tohoto tématu dokážeme ještě jednu větu o dimenzích podprostorů.

Věta 5.21. Jsou-li M, N dva podprostory konečně-dimenzionálního vektorového prostoru V nad tělesem T, pak platí

dim M + dim N = dim (M ∩ N) + dim (M + N).

Důkaz. Podle Věty 5.19 jsou všechny podprostory M, N , M ∩ N a M + N konečnědimenzionální. Zvolíme tedy nějakou bázi x_{1}, …, x_{k} podprostoru M ∩ N. Podle Věty 5.20 ji rozšíříme do báze x_{1}, …, x_{k}, x_{k+1} , …, x_{m} podprostoru M a podle téže věty také rozšíříme x_{1}, …, x_{k} do báze x_{1}, …, x_{k}, y_{k+1} , …, y_{n} podprostoru N. Znamená to tedy, že dim (M ∩ N) = k, dim M = m a dim N = n.

Dokážeme, že x_{1}, …, x_{m}, y_{k+1} , …, y_{n} je báze součtu M + N podprostorů M a N. Každý prvek x ∈ M je lineární kombinací vektorů x_{1}, …, x_{m} a každý prvek y ∈ N je lineární kombinací vektorů x_{1}, …, x_{k}, y_{k+1} , …, y_{n}. Každý vektor tvaru x + y, kde x ∈ M a y ∈ N je tedy lineární kombinací vektorů x_{1}, …, x_{m}, y_{k+1} , …, y_{n}. Protože každý prvek prostoru M + N lze vyjádřit ve tvaru x + y, kde x ∈ M a y ∈ N. Vektory x_{1}, …, x_{m}, y_{k+1} , …, y_{n} tedy generují podprostor M + N. Zbývá dokázat, že jsou také lineárně nezávislé.

Vezměme tedy libovolnou lineární kombinaci

a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + ⋯ + a_{m}x_{m} + b_{k+1} y_{k+1} + ⋯ + b_{n}y_{n} = 0.

Platí tedy

a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + ⋯ + a_{m}x_{m} = −b_{k+1} y_{k+1} − ⋯ − b_{n}y_{n}.

Vektor na levé straně leží v podprostoru M a vektor na pravé straně leží v podprostoru N. Tyto dva vektory se rovnají (označme si tento vektor z) a leží proto v průniku těchto dvou podprostorů M ∩ N. Protože x_{1}, …, x_{k} je báze podprostoru M ∩ N, existují skaláry b_{1}, …, b_{k} takové, že

z = b_{1}x_{1} + ⋯ + b_{k}x_{k}.

Potom ale

z = b_{1}x_{1} + ⋯ + b_{k}x_{k} = −b_{k+1} y_{k+1} − ⋯ − b_{n}y_{n},

neboli

b_{1}x_{1} + ⋯ + b_{k}x_{k} + b_{k+1} y_{k+1} + ⋯ + b_{n}y_{n} = 0.

Vektory x_{1}, …, x_{m}, y_{k+1} , …, y_{n} jsou ale lineárně nezávislé (tvoří bázi prostoru N), platí proto b_{1} = b_{2} = ⋯ = b_{n} = 0. Proto

z = b_{k+1} y_{k+1} + ⋯ + b_{n}y_{n} = 0.

Proto také

a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + ⋯ + a_{m}x_{m} = 0,

neboli a_{1} = a_{2} = ⋯ = a_{m} = 0, neboť i vektory x_{1}, …, x_{m} jsou lineárně nezávislé coby báze podprostoru M.

Dokázali jsme tak a_{1} = a_{2} = ⋯ = a_{m} = b_{k+1} = ⋯ = b_{n} = 0. Protože to jsou koeficienty libovolné lineární kombinace

a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + ⋯ + a_{m}x_{m} + b_{k+1} y_{k+1} + ⋯ + b_{n}y_{n} = 0,

jsou vektory x_{1}, …, x_{n}, y_{k+1} , …, y_{n} lineárně nezávislé a tvoří tak bázi podprostoru M + N. Ukázali jsme tak, že dim (M + N) = m + n − k. Proto dim M + dim N = m + n a také dim (M ∩ N) + dim (M + N) = k + (m + n − k) = m + n. □