4. Steinitzova věta a dimenze

Lemma 4.8. Předpokládejme, že vektor x je lineárně závislý na vektorech x_{1}, …, x_{n} prostoru V. Je-li vektor x_{i} lineárně závislý na vektorech x_{1}, …, x_{i−1}, x_{i+1} , …, x_{n}, pak je také vektor x lineárně závislý na vektorech x_{1}, …, x_{i−1}, x_{i+1} , …, x_{n}.

Důkaz. Vektor x je lineárně závislý na vektorech x_{1}, …, x_{n}. Existují tedy skaláry a_{1}, …, a_{n} takové, že platí

x = a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + ⋯ + a_{n}x_{n}.

Kromě toho je také vektor x_{i} lineárně závislý na vektorech x_{1}, …, x_{i−1}, x_{i+1} , …, x_{n}. Existují proto skaláry b_{1}, …, b_{i−1}, b_{i+1} , …, b_{n}, pro které platí

x_{i} = b_{1}x_{1} + ⋯ + b_{i−1}x_{i−1} + b_{i+1} x_{i+1} + ⋯ + b_{n}x_{n}.

Dosadíme-li poslední vyjádření za x_{i} do předcházející rovnosti, dostaneme

x = a_{1}x_{1} + ⋯ + a_{i−1}x_{1} + a_{i}(b_{1}x_{1} + ⋯ + b_{i−1}x_{i−1} + b_{i+1} x_{i+1} + ⋯ + b_{n}x_{n})
+ a_{i+1} x_{i+1} + ⋯ + a_{n}x_{n}
= (a_{1} + a_{i}b_{1})x_{1} + (a_{2} + a_{i}b_{2})x_{2} + ⋯ + (a_{i−1} + a_{i}b_{i−1})x_{i−1}
+ (a_{i+1} + a_{i}b_{i+1} )x_{i+1} + ⋯ + (a_{n} + a_{i}b_{n})x_{n}.

Vektor x je tedy opravdu lineárně závislý na vektorech x_{1}, …, x_{i−1}, x_{i+1} , …, x_{n}. □

Věta 4.9. Buď V konečně-dimenzionální vektorový prostor a y_{1}, …, y_{m} nějaký systém lineárně nezávislých vektorů. Pokud netvoří bázi, tak potom existují vektory y_{m+1} , ⋯, y_{n} takové, že systém y_{1}, …, y_{m}, y_{m+1} …, y_{n} je báze prostoru V.

Důkaz. Použijeme Větu 3.7’. Prostor V je konečně-dimenzionální, existuje tedy nějaká báze x_{1}, …, x_{n} v prostoru V. Budeme uvažovat systém vektorů

y_{1}, …, y_{m}, x_{1}, …, x_{n}

a na ten použijeme Větu 3.7’.

Tento systém je lineárně závislý, protože každý z vektorů y_{i} je lineárně závislý na vektorech x_{1}, …, x_{n}. Některý z vektorů tohoto systému je tedy lineárně závislý na předchozích vektorech (podle Věty 3.7’). Nemůže to být žádný z vektorů y_{1}, …, y_{m}, neboť ty jsou lineárně nezávislé. Je to tedy některý vektor x_{i}.

Vektor x_{i} z našeho systému vypustíme a budeme uvažovat systém

y_{1}, …, y_{m}, x_{1}, …, x_{i−1}, x_{i+1} , …, x_{n}.

Typeset by AMS-TEX

Každý vektor prostoru V je lineárně závislý na vektorech x_{1}, …, x_{n} a vektor x_{i} je lineárně závislý na vektorech y_{1}, …, y_{m}, x_{1}, …, x_{i−1}. Podle předchozího lemmatu je každý vektor prostoru V lineárně závislý na vektorech

y_{1}, …, y_{m}, x_{1}, …, x_{i−1}, x_{i+1} , …, x_{n}.

Tento systém je buď lineárně nezávislý a potom je to báze a důkaz končí, a nebo je lineárně závislý. Pak zopakujeme celý postup, použijeme opět Větu 3.7.’ k nalezení vektoru z z posledního systému, který je lineárně závislý na předchozích vektorech. Vektor z je různý od všech y_{j}, platí tedy, že z = x_{k} pro nějaké k, atd.

Po konečně mnoha krocích najdeme lineárně nezávislou množinu obsahující vektory y_{1}, …, y_{m}, která je bází V. □

Věta 4.10. Všechny báze konečně-dimenzionálního vektorového prostoru V mají stejný počet prvků.

Důkaz. Nechť X = {x_{1}, …, x_{n}} a Y = {y_{1}, …, y_{m}} jsou dvě množiny vektorů prostoru V. Předpokládejme, že každý prvek V je lineárně závislý na vektorech z množiny X, a dále že vektory y_{1}, …, y_{m} jsou lineárně nezávislé.

Nyní uvažujme systém vektorů

y_{m}, x_{1}, …, x_{n}.

Tento systém je lineárně závislý, neboť y_{m} je lineárně závislý na vektorech x_{1}, …, x_{n}. Podle Věty 3.7’ existuje vektor x_{i} lineárně závislý na předchozích vektorech. Stejně jako v důkazu Věty 4.9 z toho plyne, že množina vektorů

y_{m}, x_{1}, …, x_{i−1}, x_{i+1} , …, x_{n}

má tu vlastnost, že každý vektor prostoru V je na ní lineárně závislý. Tedy i vektor y_{m−1}. Proto systém

y_{m−1}, y_{m}, x_{1}, …, x_{i−1}, x_{i+1} , …, x_{n}

je lineárně závislý. Opět podle Věty 3.7’ existuje v tomto systému vektor z, který je závislý na předchozích vektorech. Nemůže to být žádný z vektorů y_{m−1}, y_{m}, neboť množina {y_{1}, …, y_{m}} je lineárně nezávislá. Proto se vektor z rovná některému z vektorů x_{1}, …, x_{i−1}, x_{i+1} , …, x_{n}.

Vektor z ze seznamu vynecháme a celou úvahu znovu opakujeme. Vektory x_{1}, …, x_{n} nemůžeme vyčerpat dříve než vyčerpáme vektory y_{1}, …, y_{m}. V opačném případě by totiž zbylé vektory z množiny Y byly lineárně závislé na těch vektorech z Y, které jsme už do našeho systému zařadili. A to se nemůže stát, neboť Y je lineárně nezávislá množina.

Opakujeme-li tedy celý postup m-krát, dostaneme systém n vektorů, který obsahuje všechny vektory y_{1}, …, y_{m}, tedy musí platit m ≤ n.

Jsou-li obě množiny X, Y báze, je každý prvek V lineárně závislý na vektorech x_{1}, …, x_{n}, a vektory y_{1}, …, y_{m} jsou lineárně nezávislé. Podle první části důkazu je tedy m ≤ n. Stejn2 tak je ale ka6d7 vektor prostoru V lineárně závislý na vektorech y_{1}, …, y_{m} a vektory x_{1}, …, x_{n} jsou lineárně nezávislé. Proto platí také m ≥ n a tedy m = n. □

Věta 4.11. Steinitzova věta. Buď {y_{1}, …, y_{m}} lineárně nezávislá množina vektorů konečně-dimenzionálního vektorového prostoru V a {x_{1}, …, x_{n}} báze prostoru V. Je-li m < n, pak existuje vektor x_{i} takový, že {y_{1}, …, y_{m}, x_{i}} je lineárně nezávislá množina.

Důkaz. Důkaz je skoro stejný jako důkaz Věty 4.9, použijeme při něm i Větu 4.10. Vektory y_{1}, …, y_{m} a x_{1}, …, x_{n} seřadíme opět do souboru

y_{1}, …, y_{m}, x_{1}, …, x_{n}

a postupně z něho vynecháváme vektory, které jsou lineárně závislé na předchozích vektorech. Vzhledem k tomu, že vektory y_{1}, …, y_{m} jsou lineárně nezávislé, žádný z vektorů y_{1}, …, y_{m} nevypustíme. Nakonec nám zůstane báze prostoru V, která má podle předchozí věty n prvků, protože i báze x_{1}, …, x_{n} má n prvků. Protože m < n, zůstane v poslední bázi spolu s vektory y_{1}, …, y_{m} aspoň jeden z vektorů x_{1}, …, x_{n}. □

Definice 4.10. Dimenze konečně-dimenzionálního prostoru V je počet prvků nějaké (a tedy každé) báze V.

Příklad 4.9. a) Prostor R^{3} má dimenzi 3.

b) Prostor C^{1} má dimenzi 1.

c) Prostor O má dimenzi 0.

d) Prostor T^{n} má dimenzi n.

e) Prostor R^{2} má dimenzi 2.

Věta 4.12. Buď V vektorový prostor dimenze n. Potom každá množina n + 1 vektorů z V je lineárně závislá. Množina n vektorů x_{1}, …, x_{n} ∈ V je báze prostoru V právě tehdy, když je lineárně nezávislá, a to je právě tehdy, když je každý vektor prostoru V lineárně závislý na množině x_{1}, …, x_{n}.

Důkaz. Důkaz plyne z vět 4.10 a 4.11. Kdyby totiž byla nějaká množina n + 1 vektorů prostoru V lineárně nezávislá, šlo by ji podle Věty 4.10 rozšířit do báze, která by měla více než n prvků, což by byl spor s tím, že všechny báze prostoru V mají n prvků (Věta 4.11).

Lineárně nezávislou množinu n vektorů, která by nebyla báze, by bylo možné podle Věty 4.10 rozšířit do báze, a ta by opět měla více než n prvků, což by byl spor s Větou 4.11. Tedy lineárně nezávislá množina n vektorů je báze. Je-li množina x_{1}, …, x_{n} báze prostoru V, pak je lineárně nezávislá podle definice báze.

Také zbývající tvrzení Věty 4.12 plynou přímo z definic. Je-li x_{1}, …, x_{n} báze, je každý vektor prostoru V lineárně závislý na vektorech x_{1}, …, x_{n} podle definice báze. Nechť je naopak každý vektor prostoru V lineárně závislý na vektorech x_{1}, …, x_{n}. Pokud by vektory x_{1}, …, x_{n} nebyly lineárně nezávislé, našli bychom vektor x_{i}, který by byl lineárně závislý na zbývajících vektorech x_{1}, …, x_{i−1}, x_{i+1} , …, x_{n}, podle Věty 3.7. Podle Lemma 4.9 by byla stále každý vektor prostoru V lineárně závislý na vektorech x_{1}, …, x_{i−1}, x_{i+1} , …, x_{n}. Takto bychom postupně vynechávali “přebytečné” vektory z množiny {x_{1}, …, x_{n}}, až bychom dostali lineárně nezávislou vlastní podmnožinu, na které by ale stále byly všechny vektory prostoru V lineárně závislé. Tato podmnožina by tedy byla báze V a měla by méně než n prvků, což je ve sporu s tím, že dimenze V se rovná n. □

Definice 4.11. Dva vektorové prostory U a V nad stejným tělesem T nazýváme izomorfní, jestliže existuje vzájemně jednoznačné zobrazení A : U → V takové, že

A(ax + by) = aA(x) + bA(y)

pro každé dva vektory x, y ∈ U a skaláry a, b ∈ T. Zobrazení A se nazývá izomorfizmus.

Izomorfní konečně-dimenzionální prostory mají stejnou dimenzi. Plyne to například z toho, že obraz báze v U izomorfizmem A je báze ve V (dokažte si to). Opačné tvrzení plyne z následující věty.

Věta 4.13. Každý n-dimenzionální vektorový prostor V nad tělesem T je izomorfní s n-dimenzionálním aritmetickým vektorovým prostorem T^{n} nad T.

Důkaz. Buď {x_{1}, …, x_{n}} báze prostoru V. Každý vektor x ∈ V lze jednoznačně vyjádřit ve tvaru

x = ∑_{i=1}^{n}a_{i}x_{i},

kde a_{i} ∈ T.

Definujeme zobrazení A : V → T^{n} předpisem A(x) = (a_{1}, …, a_{n}). Je-li y = b_{1}x_{1} +⋯+ b_{n}x_{n} další vektor prostoru V a a, b ∈ T, pak

ax + by = (aa_{1} + bb_{1})x_{1} + ⋯ + (aa_{n} + bb_{n})x_{n}.

Tedy A(ax + by) = aA(x) + bA(y). □

Příklad 4.10. Prostory P_{n} a C^{n} jsou izomorfní.

Bezprostředním důsledkem poslední věty je to, že každé dva prostory dimenze n nad tělesem T jsou izomorfní.

Věta 4.14. Jsou-li A : U → V a B : V → W izomorfizmy vektorových prostorů U a V (v prvním případě) a V a W (ve druhém případě), pak také BA : U → W je izomorfizmus.

Důkaz. Jde o snadný výpočet:

BA(ax + by) = B(A(ax + by)) = B(aA(x) + bA(y)) = aB(A(x)) + bB(A(y))
= aBA(x) + bBA(y)

pro každé dva skaláry a, b a každé dva vektory x, y ∈ U. □