3. Lineární závislost, báze a souřadnice vzhledem k bázi

Rozdíl mezi množinou a systémem vektorů.

Definice 3.5. Vektory x_{1}, x_{2}, …, x_{n} z vektorového prostoru V nad tělesem T se nazývají lineárně závislé, jestliže existují skaláry a_{1}, a_{2}, …, a_{n} takové, že platí

∑_{i=1}^{n}a_{i}x_{i} = 0

a aspoň jeden ze skalárů a_{1}, …, a_{n} je různý od 0. Pokud z rovnosti ∑_{1}^{n} a_{i}x_{i} = 0 plyne, že a_{i} = 0 pro všechna i = 1, …, n, pak říkáme, že jsou vektory x_{1}, …, x_{n} lineárně nezávislé.

Co to znamená pro prázdný systém vektorů? Prázdný systém je lineárně nezávislý.

Lemma 3.5. a) Je-li x_{i} = 0 pro nějaké i = 1, …, n, pak jsou vektory x_{1}, x_{2}, …, x_{n} lineárně závislé.

b) Je-li x_{i} = x_{j} pro nějaké i ≠ j, i, j ∈ {1, 2, …, n}, pak jsou vektory x_{1}, …, x_{n} lineárně závislé.

c) Prázdný systém je lineárně nezávislý.

d) Každý podsystém lineárně nezávislého systému je lineárně nezávislý.

Důkaz. a) 0x_{1} + ⋯ + 0x_{i−1} + 1x_{i} + 0x_{i+1} + ⋯ + 0x_{n} = 0.

b) 0x_{1} + ⋯ + 0x_{i−1} + 1x_{i} + 0x_{i+1} + ⋯ + 0x_{j−1} + (−1)x_{j} + 0x_{j+1} + ⋯ + 0x_{n} = 0.

c) Žádný nenulový skalár nemůže u prázdného systému existovat.

d) Pokud by x_{i_{1}}, x_{i_{2}}, …, x_{i_{k}} byl nějaký lineárně závislý podsystém systému x_{1}, …, x_{n}, existovaly by skaláry a_{i_{j}}, j = 1, …, k, které nejsou všechny rovné 0, a pro které by platilo

0 = ∑_{j=1}^{k}a_{i_{j}}x_{i_{j}}.

Potom by stačilo zvolit a_{i} = 0 pro všechny ostatní indexy i ∈ {1, 2, …, n} \ J a dostali bychom

0 = ∑_{i=1}^{n}a_{i}x_{i}.

Původní systém x_{1}, …, x_{n} by tedy byl také lineárně závislý. □

Lineárně nezávislá tedy může být jenom množina vektorů, každé dva vektory v lineárně nezávislém systému vektorů musí být různé (a žádný z nich nesmí být 0). Část d) posledního tvrzení můžeme tedy formulovat také následovně: každá podmnožina konečné

Typeset by AMS-TEX

lineárně nezávislé množiny je lineárně nezávislá. Podle části c) se to vztahuje i na prázdnou podmnožinu.

Příklad 3.5. Lineární závislost v prostoru R^{3}. a) Dva vektory u = (u_{1}, u_{2}, u_{3}), v = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) jsou lineárně závislé v prostoru R^{3} právě tehdy, leží-li body (0, 0, 0), (u_{1}, u_{2}, u_{3}), (v_{1}, v_{2}, v_{3}) na téže přímce.

b) Tři vektory u = (u_{1}, u_{2}, u_{3}), v = (v_{1}, v_{2}, v_{3}), w = (w_{1}, w_{2}, w_{3}) jsou lineárně závislé právě když body (0, 0, 0), (u_{1}, u_{2}, u_{3}), (v_{1}, v_{2}, v_{3}), (w_{1}, w_{2}, w_{3}) leží v jedné rovině.

Důkaz. a) Vektory u, v jsou lineárně závislé právě když existují reálná čísla a, b ∈ R, která nejsou obě rovná 0, a taková, že au + bv = 0. Nechť například b ≠ 0. Potom v = −(a/b)u. Označíme-li −(a/b) = k, platí v_{1} = ku_{1}, v_{2} = ku_{2} a v_{3} = ku_{3}. Bod (v_{1}, v_{2}, v_{3}) tedy leží na přímce procházející počátkem a bodem (u_{1}, u_{2}, u_{3}).

Leží-li naopak body (0, 0, 0), (u_{1}, u_{2}, u_{3}), (v_{1}, v_{2}, v_{3}) na jedné přímce a (u_{1}, u_{2}, u_{3}) ≠ (0, 0, 0), existuje konstanta m ∈ R taková, že v_{1} = mu_{1}, v_{2} = mu_{2}, v_{3} = mu_{3}. Tedy v = mu, neboli mu + (−1)v = 0. Je-li (u_{1}, u_{2}, u_{3}) = (0, 0, 0), platí u = 0v, neboli 1u + 0v = 0.

b) Za domácí úkol. □

Příklad 3.6. a) Libovolné dva vektory x, y ∈ C^{1} jsou lineárně závislé.

b) Následující tři vektory (polynomy) jsou závislé v prostoru P: x = 1 − t, y = t − t^{2}, z = 1 − t^{2}, neboť platí x + y − z = 0.

Naproti tomu každá konečná podmnožina vektorů x_{i} = t^{i}, i = 0, 1, …, je lineárně nezávislá.

Definice 3.6. Nějaká nekonečná množina X vektorů z vektorového prostoru V nad tělesem T se nazývá lineárně nezávislá, jestliže je každá její konečná podmnožina lineárně nezávislá. V opačném případě říkáme, že je množina X lineárně závislá.

Lemma 3.6. Každá podmnožina lineárně nezávislé množiny X je lineárně nezávislá.

Důkaz. a) V případě konečné množiny to je dokázáno v Lemma 3.6.d). Je-li X nekonečná množina, plyne to ihned z Definice 6. □

Definice 3.7. Je-li x_{1}, …, x_{n} systém vektorů z vektorového prostoru V nad tělesem T a

x = ∑_{i} a_{i}x_{i},

pak říkáme, že x je lineární kombinace vektorů x_{1}, …, x_{n}, a také, že x lineárně závisí na vektorech x_{1}, …, x_{n}.

Co je lineární kombinací prázdného systému vektorů? Co je součtem prázdného systému vektorů? Co je součtem prázdného systému čísel?

Věta 3.7. Systém vektorů x_{1}, …, x_{n} je lineárně závislý právě tehdy, když nějaký z vektorů x_{k}, k ≥ 1, je lineární kombinací ostatních vektorů tohoto systému.

Důkaz. Je-li systém x_{1}, …, x_{n} lineárně závislý, existují skaláry a_{1}, …, a_{n} ∈ T, které nejsou všechny rovné 0, a pro které platí

∑_{i=1}^{n}a_{i}x_{i} = 0.

Je-li a_{k} ≠ 0, platí

a_{k}x_{k} = ∑_{i≠k}−a_{i}x_{i}

a tedy také

x_{k} = ∑_{i≠k}(−\frac{a_{i}}{a_{k}})x_{i}.

Vektor x_{k} je tedy lineárně závislý na vektorech x_{1}, …, x_{k−1}, x_{k+1} , …, x_{n}.

Je-li naopak vektor x_{k} lineárně závislý na ostatních vektorech systému x_{1}, …, x_{n}, existují skaláry a_{1}, …, a_{k−1}, a_{k+1} , …, a_{n} takové, že

x_{k} = ∑_{i≠k}a_{i}x_{i}.

Potom ale platí

a_{1}x_{1} + ⋯ + a_{k−1}x_{k−1} + (−1)x_{k} + a_{k+1} x_{k+1} + ⋯ + a_{n}x_{n} = 0.

Systém x_{1}, …, x_{n} je tedy lineárně závislý. □

Lze dokázat dokonce ještě silnější tvrzení, než vyjadřuje předchozí věta.

Věta 3.7’. Systém vektorů x_{1}, …, x_{n} je lineárně závislý právě tehdy, když nějaký z vektorů x_{k}, k ≥ 1, je lineární kombinací vektorů x_{1}, …, x_{k−1}.

Důkaz. Jsou-li x_{1}, …, x_{n} lineárně závislé, označme k nejmenší (kladné) přirozené číslo takové, že x_{1}, …, x_{k} je lineárně závislý systém. Potom je k ≥ 1, neboť prázdný systém je lineárně nezávislý. Existují tedy skaláry a_{1}, …, a_{k}, které nejsou všechny rovné 0, a pro které platí

a_{1}x_{1} + ⋯ + a_{k}x_{k} = 0.

Musí být a_{k} ≠ 0, neboť by jinak byly také vektory x_{1}, …, x_{k−1} lineárně závislé. Můžeme tedy z poslední rovnosti vypočítat x_{k}:

x_{k} = (−\frac{a_{1}}{a_{k}})x_{1} + ⋯ + (−\frac{a_{k−1}}{a_{k}})x_{k−1}

Vektor x_{k} je proto lineární kombinací předchozích vektorů.

Je-li naopak x_{k} lineární kombinací vektorů x_{1}, …, x_{k−1}, existují skaláry a_{1}, …, a_{k−1} takové, že x_{k} = ∑_{1}^{k−1} a_{i}x_{i} a tedy

a_{1}x_{1} + ⋯ + a_{k−1}x_{k−1} + (−1)x_{k} = 0.

Vektory x_{1}, …, x_{k} jsou tedy lineárně závislé. Proto jsou i vektory x_{1}, …, x_{n} lineárně závislé, podle Lemma 3.5.d). □

Definice 3.8. Bází (systémem souřadnic) ve vektorovém prostoru V nazýváme libovolnou množinu X lineárně nezávislých vektorů takovou, že každý vektor prostoru V je lineární kombinací nějakých prvků množiny X. Prostor V se nazývá konečně-dimenzionální, jestliže v něm existuje nějaká konečná báze.

Příklad 3.7. a) Prostor P není konečně-dimenzionální. Naopak prostor P^{n} je konečnědimenzionální.

b) Vektory (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) tvoří bázi v prostoru R^{3}.

c) Bázi ve vektorovém prostoru T^{n} tvoří vektory x_{i} = (0, …, 0, 1, 0, …, 0), kde 1 je na místě s indexem i.

Je-li x_{1}, …, x_{n} báze vektorového prostoru V nad T a x ∈ V libovolný vektor, pak je x lineární kombinací vektorů x_{1}, …, x_{n}, tj.

x = ∑_{i=1}^{n}a_{i}x_{i}

pro nějaké skaláry a_{1}, …, a_{n}. Tyto skaláry jsou určené vektorem x jednoznačně. Je-li totiž

x = ∑_{i=1}^{n}b_{i}x_{i}

jiné vyjádření x jako lineární kombinace vektorů x_{1}, …, x_{n}, pak odečtením druhé rovnosti od první dostaneme

0 = ∑_{i=1}^{n}(a_{i} − b_{i})x_{i}.

Protože jsou vektory x_{1}, …, x_{n} lineárně nezávislé, platí a_{i} = b_{i} pro všechna i = 1, …, n. Tento výsledek opravňuje následující definici.

Definice 3.9. Je-li x_{1}, …, x_{n} báze vektorového prostoru V, x nějaký vektor z V a

x = a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + ⋯ + a_{n}x_{n},

pak skaláry a_{1}, …, a_{n}, případně jejich uspořádanou n-tici (a_{1}, a_{2}, …, a_{n}) nazýváme souřadnice vektoru x vzhledem k bázi x_{1}, …, x_{n}.

Příklad 3.8. Vzhledem k bázi (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) prostoru R^{3} má vektor x = (3, 4, 5) souřadnice (3, 4, 5), neboť

x = 3(1, 0, 0) + 4(0, 1, 0) + 5(0, 0, 1).

Naproti tomu vzhledem k bázi (1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1) má ten samý vektor x souřadnice (3, 1, 1), protože

x = (3, 4, 5) = 3(1, 1, 1) + 1(0, 1, 1) + 1(0, 0, 1).