2. Vektory a vektorové prostory

Vlastnosti sčítání vektorů a násobení vektoru skalárem. A: Každé dvojici vektorů x, y odpovídá vektor x + y, který nazýváme součtem vektorů x, y a platí: (A1) sčítání vektorů je komutativní, tj. platí x + y = y + x pro každé dva vektory x, y, (A2) sčítání vektorů je asociativní, tj. platí (x + y) + z = x + (y + z) pro každé tři

vektory x, y, z, (A3) existuje vektor 0 (nulový vektor) pro který platí x + 0 = 0 + x = x pro každý

vektor x, (A4) ke každému vektoru x existuje opačný vektor −x pro který platí x + (−x) =

(−x) + x = 0. B: Každé dvojici a, x, kde a je skalár a x je vektor odpovídá vektor a·x nazývaný součinem a, x a platí

(B1) násobení vektoru skalárem je asociativní, tj. platí a(bx) = (ab)x pro každé dva

skaláry a, b a každý vektor x, (B2) platí 1x = x pro každý vektor x.

C: Dále platí následující dva distributivní zákony: (C1) násobení vektoru skalárem je distributivní vzhledem ke sčítání skalárů, tj. platí

(a + b)x = ax + bx pro každé dva skaláry a, b a každý vektor x, (C2) násobení vektoru skalárem je distributivní vzhledem ke sčítání vektorů, tj. platí

a(x + y) = ax + ay pro každý skalár a a každé dva vektory x, y.

Definice 2.4. Buď T nějaké těleso (skalárů). Vektorový prostor nad tělesem T je množina V (jejím prvkům říkáme vektory), na které je definována operace sčítání vektorů (+) a operace násobení vektoru skalárem (·) splňující podmínky (A1)-(A4), (B1), (B2), (C1), (C2).

Je-li T těleso racionálních, reálných nebo komplexních čísel, pak vektorový prostor nad T nazýváme také racionální (reálný, komplexní) vektorový prostor.

Příklad 2.4. Příklady vektorových prostorů. a) Aritmetický reálný 2-dimenzionální prostor R^{2}.

b) Prostor R^{3}.

c) Prostor C^{1}(= C).

d) Vektorový prostor P všech polynomů jedné proměnné t s komplexními koeficienty.

e) Aritmetický komplexní n-dimenzionální prostor C^{n}.

f) Vektorový prostor P_{n} všech polynomů jedné proměnné t s komplexními koeficienty stupně menšího než n.

Typeset by AMS-TEX

g) Aritmetický reálný n-dimenzionální prostor R^{n}.

h) Aritmetický 4-dimenzionální vektorový prostor Z_{2}^{4} nad tělesem Z_{2}.

i) Aritmetický n-dimenzionální vektorový prostor T^{n} nad tělesem T.

j) Jednoprvkový vektorový prostor O nad tělesem T.

k) Reálná čísla R jako vektorový prostor nad racionálními čísly.

l) Komplexní čísla C jako reálný vektorový prostor.

Věta 2.4. Základní vlastnosti sčítání a násobení ve vektorových prostorech. Buď V vektorový prostor nad tělesem T. Potom platí:

a) a · 0 = 0 pro každý skalár a ∈ T,

b) 0 · x = 0 pro každý vektor x ∈ V,

c) Vektor −x je určen jednoznačně vektorem x pro každý prvek x ∈ V,

d) je-li ax = 0, pak buď a = 0 nebo x = 0,

e) −x = (−1)x pro každý vektor x ∈ V.

f) Součet vektorů

x_{1} + x_{2} + ⋯ + x_{n}

nezávisí na uzávorkování.

Důkaz. a) a0 = a(0 + 0) = a0 + a0. Nyní přičteme k oběma krajním stranám vektor −(a0).

b) Důkaz je téměř stejný jako v případě a). Platí 0x = (0 + 0)x = 0x + 0x. Tentokrát přičteme k oběma stranám vektor −(0x).

c) Důkaz je zcela stejný jako v případě Věty 1b).

d) Je-li ax = 0 a současně a ≠ 0, vynásobíme obě strany první rovnosti číslem a^{−1}. dostaneme tak

0 = a^{−1}0 = a^{−1}(ax) = (a^{−1}a)x = 1x = x.

e) Platí x + (−1)x = 1x + (−1)x = (1 + (−1))x = 0x = 0. □

f) Důkaz je zcela stejný jako u Věty 1.3. □

Povídání o kódech. Kontrola parity a její vliv na správnost přenosu informace. Nejjednodušší Hammingův kód.