19. Kvaternionová reprezentace rotací v R^{3}

Pokračujeme vyjádřením inverzí v rovině pomocí funkcí komplexní proměnné. Pro ilustraci to uděláme napřed v případě kruhové inverze určené jednotkovou kružnicí. Bod w = u + iv = ρe^{iθ} se zobrazí do bodu ρ^{−1}e^{iθ} = 1/\overline{w}. Kruhová inverze určená jednotkovou kružnicí C je tedy popsána funkcí

I(w) = \frac{1}{\overline{w}} .

Podobně snadné je najít funkci komplexní proměnné, která vyjadřuje osovou symetrii vzhledem k reálné ose. Tato osová symetrie je popsána funkcí

r(w) = \overline{w}.

Označíme-li

λ = α − α′, μ = β − β′, ν = γ − γ′,

můžeme v případě ν ≠ 0 přeformulovat Větu 18.109 následovně. Jednoduché reflexi sféry S_{2} určené rovinou

λx + μy + νz = 0

odpovídá po stereografické projekci kruhová inverze určená kružnicí C_{d,ρ} se středem

d = −λ/ν − iμ/ν

a poloměrem

ρ = \sqrt{1 + (λ/ν)^{2} + (μ/ν)^{2}} = (1/ν)\sqrt{λ^{2} + μ^{2} + ν^{2}} .

Můžeme předpokládat, že λ^{2} + μ^{2} + ν^{2} = 1 a tedy

ρ = 1/ν.

Věta 19.110. Jednoduché reflexi sféry S_{2} určené rovinou λx + μy + νz = 0, kde λ^{2} + μ^{2} + ν^{2} = 1, odpovídá po stereografické projekci zobrazení komplexní roviny určené funkcí

\overline{g}(w) = \frac{(λ + iμ)\overline{w} − ν}{−ν\overline{w} − (λ − iμ)}.

Důkaz. Všimněte se, že ve znění věty schází předpoklad ν ≠ 0. V důkazu věty ale musíme případy ν ≠ 0 a ν = 0 rozlišit.

Nejdříve tedy případ ν ≠ 0. Z definice kruhové inverze ihned vyplývá, že dvojice navzájem inverzních bodů P, P′ vzhledem k jednotkové kružnici se středem v počátku se

Typeset by AMS-TEX

stejnolehlostí (dilatací) se středem v počátku souřadnic a koeficientem ρ ∈ R zobrazí na dvojici bodů, které jsou navzájem inverzní vzhledem ke kružnici se středem v počátku a poloměrem ρ. Všechny vzdálenosti se totiž vynásobí koeficientem ρ. Rovnice této dilatace je

d_{ρ}(w) = ρw

a rovnice inverzní dilatace je

d_{ρ}^{−1}(w) = ρ^{−1}w.

Podobně se translací

t_{d}(w) = d + w

zobrazí každá dvojice bodů navzájem inverzních vzhledem ke kružnici se středem v počátku a poloměrem ρ na dvojici bodů navzájem inverzních vzhledem ke kružnici se středem v bodě d a stejným poloměrem ρ. Translace totiž zachovává vzdálenosti a zobrazuje polopřímky se středem v počátku na polopřímky se středem v bodě d. Inverzní translace je popsána zobrazením

t_{d}^{−1}(w) = −d + w.

Kružnici se středem v počátku a poloměrem 1 zobrazíme na kružnici se středem v bodě d a poloměrem ρ pomocí zobrazení t_{d}d_{ρ}, tj. složením dilatace d_{ρ} a translace t_{d}. Kruhová inverze vzhledem ke kružnici se středem v bodě d a poloměrem ρ se tedy rovná zobrazení

t_{d}d_{ρ}Id_{ρ}^{−1}t_{d}^{−1},

kde I je kruhová inverze vzhledem k jednotkové kružnici. Víme už, že tato kruhová inverze je popsána zobrazením

I(w) = 1/\overline{w}.

Kruhová inverze vzhledem ke kružnici se středem d a poloměrem ρ je tedy popsána zobrazením

\overline{g}(w) = d + ρ(\frac{1}{\overline{ρ^{−1}(−d + w)}} ) = \frac{d\overline{w} + ρ^{2} − d\overline{d}}{\overline{w} − \overline{d}} .

Protože d = −λ/ν − iμ/ν a ρ = 1/ν, platí

\overline{g}(w) = \frac{(λ + iμ)\overline{w} − (1 − λ^{2} − μ^{2})/ν}{−ν\overline{w} − (λ − iμ)}

= \frac{(λ + iμ)\overline{w} − ν}{−ν\overline{w} − (λ − iμ)}

= \frac{(λ + iμ)\overline{w} − ν}{−ν\overline{w} − (λ − iμ)}.

Zbývá případ ν = 0, tj. případ, kdy rovina reflexe obsahuje severní pól. Po stereografické projekci jí odpovídá osová symetrie s osou

λu + μv = 0.

Tato přímka je tvořená vektory (u, v) kolmými k vektoru (λ, μ). Protože předpokládáme λ^{2} + μ^{2} = 1, existuje úhel φ takový, že

λ = cosφ, μ = sinφ.

Přímka λu + μv = 0 potom svírá s reálnou osou úhel θ = φ − (π/2).

Dva body komplexní roviny symetrické vzhledem k reálné ose se otočením r_{θ} zobrazí na dva body symetrické vzhledem k přímce procházející počátkem a svírající s reálnou osou úhel θ, tj. na body symetrické vzhledem k přímce λu+μv = 0. Rotace r_{θ} je popsána funkcí

r_{θ}(w) = e^{iθ}w

a inverzní rotace má vyjádření

r_{θ}^{−1}(w) = e^{−iθ}(w).

Osová symetrie určená přímkou λu + μv = 0 má potom vyjádření r_{θ}rr_{θ}^{−1} a tomu odpovídá funkce komplexní proměnné

\overline{g}(w) = r_{θ}rr_{θ}^{−1}(w) = r_{θ}r(e^{−iθ}w) = r_{θ}(e^{iθ}\overline{w}) = e^{2iθ} \overline{w} = \frac{e^{iθ}\overline{w}}{e^{−iθ}} .

Vzhledem k tomu, že θ = φ − (π/2), platí

e^{iθ} = e^{iφ} · e^{−iπ/2} = −ie^{iφ}

a

e^{−iθ} = e^{−iφ} · e^{iπ/2} = ie^{−iφ}.

Proto platí

\overline{g}(w) = \frac{e^{iθ}\overline{w}}{e^{−iθ}} = \frac{e^{iφ}\overline{w}}{−e^{−iφ}} = \frac{(λ + iμ)\overline{w}}{−(λ − iμ)}.

Protože ν = 0, má i v tomto případě zobrazení \overline{g} tvar ze znění věty. □

Reálná čísla λ, μ, ν splňovala podmínku λ^{2} + μ^{2} + ν^{2} = 1. Označíme-li

l = λ + iμ,

splňují komplexní parametr l a reálný parametr ν podmínku |l|^{2} + ν^{2} = 1 a funkce \overline{g} má potom vyjádření

\overline{g}(w) = \frac{lw − ν}{−ν\overline{w} − \overline{l}} .

Tato drobná úprava nám poněkud zjednoduší důkaz následující klasické věty, kterou jako první dokázal K.F. Gauss kolem roku 1819.

Věta 19.111. Zobrazení komplexní roviny odpovídající rotacím sféry S_{2} jsou právě zobrazení tvaru

f(w) = \frac{aw + b}{−\overline{b}w + \overline{a}} ,

kde komplexní čísla a, b splňují podmínku |a|^{2} + |b|^{2} = 1.

Důkaz. Podle Důsledku 17.105, lze každý vlastní ortogonální operátor v prostoru R^{3} složit ze sudého počtu jednoduchých reflexí (ve skutečnosti stačí pouze dvě). Podíváme se tedy napřed, jak vypadá funkce komplexní proměnné odpovídající složení dvou jednoduchých reflexí v prostoru R^{3}.

Těmto reflexím odpovídají podle Věty 19.110 funkce

\overline{g}_{1} = \frac{l_{1} \overline{w} − ν_{1}}{−ν_{1} \overline{w} − \overline{l_{1}}} , \overline{g}_{2} = \frac{l_{2} \overline{w} − ν_{2}}{−ν_{2} \overline{w} − \overline{l_{2}}} ,

kde |l_{1}|^{2} + ν_{1}^{2} = |l_{2}|^{2} + ν_{2}^{2} = 1. Několik řádek výpočtů potom vede k vyjádření složené funkce f = \overline{g}_{1} \overline{g}_{2} ve tvaru

f(w) = \overline{g}_{1} \overline{g}_{2}(w) = \frac{(l_{1} \overline{l}_{2} + ν_{1}ν_{2})w + (−l_{1}ν_{2} + ν_{1}l_{2})}{(\overline{l}_{1}ν_{2} − ν_{1} \overline{l}_{2})w + (\overline{l}_{1}l_{2} + ν_{1}ν_{2})} .

Tato funkce je v hledaném tvaru, stačí položit a = l_{1} \overline{l}_{2} + ν_{1}ν_{2} a b = −l_{1}ν_{2} + ν_{1}l_{2}. Zbývá dokázat, že |a|^{2} + |b^{2}| = 1. Platí

|a|^{2} + |b|^{2} = a\overline{a} + b\overline{b} = det( \begin{matrix}a & b \\ −\overline{b} & \overline{a} \end{matrix} ) = det( \begin{matrix}l_{1} \overline{l}_{2} + ν_{1}ν_{2} & −l_{1}ν_{2} + ν_{1}l_{2} \\ \overline{l}_{1}ν_{2} − ν_{1} \overline{l}_{2} & \overline{l}_{1}l_{2} + ν_{1}ν_{2} \end{matrix} )

= det( \begin{matrix}l_{1} & −ν_{1} \\ −ν_{1} & −\overline{l}_{1} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}\overline{l}_{2} & −ν_{2} \\ −ν_{2} & −l_{2} \end{matrix} )

= det( \begin{matrix}l_{1} & −ν_{1} \\ −ν_{1} & −\overline{l}_{1} \end{matrix} ) det( \begin{matrix}\overline{l}_{2} & −ν_{2} \\ −ν_{2} & −l_{2} \end{matrix} )

= (−|l_{1}|^{2} − ν_{1}^{2})(−|l_{2}|^{2} − ν_{2}^{2}) = (−1)(−1) = 1.

Dále si ukážeme, že libovolná dvě komplexní čísla a, b taková, že |a|^{2} + |b|^{2} = 1, můžeme vyjádřit ve tvaru

a = l_{1} \overline{l}_{2} + ν_{1}ν_{2}, b = −l_{1}ν_{2} + ν_{1}l_{2}

vhodnou volbou komplexních čísel l_{1}, l_{2} a reálných čísel ν_{1}, ν_{2}, pro která musí platit |l_{1}|^{2} + ν_{1}^{2} = |l_{2}|^{2} + ν_{2}^{2} = 1.

Můžeme například zvolit ν_{2} = 0. Potom musí být |l_{2}| = 1, neboli l_{2} = e^{iφ} pro nějaké reálné číslo φ. To najdeme z druhé z následujících rovností, neboť ν_{1} musí být reálné číslo. Má platit

a = l_{1}e^{iφ}, b = ν_{1}e^{iφ}

a tyto rovnosti jednoznačně určují komplexní číslo l_{1} a reálné číslo ν_{1}. Potom také platí

1 = |a|^{2} + |b|^{2} = |l_{1}|^{2} + ν_{1}^{2}.

Složení libovolných dvou reflexí tak odpovídá funkce

f(w) = \frac{aw + b}{−\overline{b}w + \overline{a}} ,

kde |a|^{2}+|b|^{2} = 1. Naopak každá taková funkce odpovídá složení dvou reflexí a tedy nějaké rotaci prostoru R^{3}.

Zbývá dokázat, že složení f_{1}f_{2} libovolných dvou funkcí

f_{1}(w) = \frac{a_{1}w + b_{1}}{−\overline{b}_{1}w + \overline{a}_{1}} , f_{2}(w) = \frac{a_{2}w + b_{2}}{−\overline{b}_{2}w + \overline{a}_{2}} ,

kde |a_{1}|^{2} + |b_{1}|^{2} = |a_{2}|^{2} + |b_{2}|^{2} = 1, lze opět vyjádřit ve tvaru

\frac{aw + b}{−\overline{b}w + \overline{a}}

a |a|^{2} + |b|^{2} = 1. Toto poslední tvrzení je speciálním případem obecnějšího tvrzení, které si dokážeme samostatně. □

Definice 19.51. Zobrazení komplexní roviny do sebe definované předpisem

f(w) = \frac{aw + b}{cw + d} ,

kde a, b, c, d jsou komplexní čísla taková, že c, d nejsou současně rovná 0, se nazývá lineární funkce lomená.

Sami si snadno dokážete přímým výpočtem následující větu.

Věta 19.112. Složením dvou lineárních funkcí lomených

f_{1}(w) = \frac{a_{1}w + b_{1}}{c_{1}w + d_{1}} , f_{2}(w) = \frac{a_{2}w + b_{2}}{c_{2}w + d_{2}}

je racionální funkce lomená

f_{1}f_{2}(w) = \frac{aw + b}{cw + d} ,

kde

( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}a_{1} & b_{1} \\ c_{1} & d_{1} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}a_{2} & b_{2} \\ c_{2} & d_{2} \end{matrix} ) .

□ Použijeme-li předchozí větu na složení dvou funkcí

f_{1}(w) = \frac{a_{1}w + b_{1}}{−\overline{b}_{1}w + \overline{a}_{1}} , f_{2}(w) = \frac{a_{2}w + b_{2}}{−\overline{b}_{2}w + \overline{a}_{2}} ,

kde |a_{1}|^{2} + |b_{1}|^{2} = |a_{2}|^{2} + |b_{2}|^{2} = 1, dostaneme vyjádření

f_{1}f_{2}(w) = \frac{aw + b}{cw + d} ,

kde

( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}a_{1} & b_{1} \\ −\overline{b}_{1} & \overline{a}_{1} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}a_{2} & b_{2} \\ −\overline{b}_{2} & \overline{a}_{2} \end{matrix} ) ,

neboli c = −\overline{b}_{1}a_{2} − \overline{a}_{1} \overline{b}_{2} = −\overline{b} a d = −\overline{b}_{1}b_{2} + \overline{a}_{1} \overline{a_{2}} = \overline{a}. Rovnost |a|^{2} + |b|^{2} = 1 plyne z věty o násobení determinantů. Všimněte si, že jsme také právě dokončili důkaz, že každou rotaci v prostoru R^{3} lze složit ze dvou jednoduchých reflexí (to lze ale dokázat přímo a mnohem jednodušeji).

Zbývá vyjasnit, jak souvisí komplexní koeficienty a, b funkce

f(w) = \frac{aw + b}{−\overline{b}w + \overline{a}}

vyjadřující nějakou rotaci s osou a úhlem této rotace. Věta 19.110 říká, že reflexi určené rovinou

λx + μy + νv = 0, λ^{2} + μ^{2} + ν^{2} = 1,

odpovídá funkce

\overline{g}(w) = \frac{(λ + iμ)\overline{w} − ν}{−ν\overline{w} − (λ − iμ)}.

V důkazu Věty 19.111 jsme si ukázali, že složení dvou takových zobrazení \overline{g}_{1}, \overline{g}_{2} odpovídajících reflexím určeným dvěma různými rovinami

λ_{1}x + μ_{1}y + ν_{1}v = 0, λ_{2}x + μ_{2}y + ν_{2}v = 0,

se rovná funkci určené maticí

( \begin{matrix}(λ_{1} + iμ_{1})(λ_{2} − iμ_{2}) + ν_{1}ν_{2} & (−λ_{1} − iμ_{1})ν_{2} + ν_{1}(λ_{2} + iμ_{2}) \\ (λ_{1} − iμ_{1})ν_{2} − ν_{1}(λ_{2} − iμ_{2}) & (λ_{1} − iμ_{1})(λ_{2} + iμ_{2}) + ν_{1}ν_{2} \end{matrix} ) .

Roznásobením dostaneme matici

( \begin{matrix}λ_{1}λ_{2} + μ_{1}μ_{2} + ν_{1}ν_{2} + i(λ_{2}μ_{1} − λ_{1}μ_{2}) & −λ_{1}ν_{2} + ν_{1}λ_{2} + i(−μ_{1}ν_{2} + ν_{1}μ_{2}) \\ λ_{1}ν_{2} − ν_{1}λ_{2} + i(−μ_{1}ν_{2} + ν_{1}μ_{2}) & λ_{1}λ_{2} + μ_{1}μ_{2} + ν_{1}ν_{2} + i(−μ_{1}λ_{2} + λ_{1}μ_{2}) \end{matrix} )

= (λ_{1}λ_{2} + μ_{1}μ_{2} + ν_{1}ν_{2}) ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) + (ν_{1}μ_{2} − μ_{1}ν_{2}) ( \begin{matrix}0 & i \\ i & 0 \end{matrix})

+ (−ν_{1}λ_{2} + λ_{1}ν_{2}) ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) + (λ_{2}μ_{1} − λ_{1}μ_{2}) ( \begin{matrix}i & 0 \\ 0 & −i \end{matrix} )

Význam rozepsání složité matice do lineární kombinace čtyř jednoduchých matic vyplyne při podrobnějším pohledu na koeficienty této lineární kombinace. Koeficient u jednotkové matice je skalární součin vektorů (λ_{1}, μ_{1}, ν_{1}) a (λ_{2}, μ_{2}, ν_{2}). Protože předpokládáme, že mají oba délku 1, rovná se jejich skalární součin cosφ, kde φ je úhel mezi oběma vektory. Protože jsou to vektory kolmé k rovinám reflexe, plyne odtud, že φ je úhel mezi rovinami reflexe. Složení těchto dvou reflexí je tedy rotace o úhel 2φ.

Koeficienty u dalších tří matic jsou souřadnice vektoru

(μ_{2}ν_{1} − μ_{1}ν_{2}, −ν_{1}λ_{2} + λ_{1}ν_{2}, λ_{2}μ_{1} − λ_{1}μ_{2}).

Tomuto vektoru se říká vektorový součin vektorů n_{2} = (λ_{2}, μ_{2}, ν_{2}) a n_{1} = (λ_{1}, μ_{1}, ν_{1}) a označuje se n_{2} × n_{1}. Snadno si ověříte, že vektorový součin dvou lineárně nezávislých vektorů n_{2} a n_{1} je kolmý k oběma těmto vektorům a udává tedy osu rotace určené danými reflexemi. Jen o málo obtížnější je dokázat, že délka součinu n_{2} × n_{1} se rovná ||n_{2}|| · ||n_{1}|| sinφ. A nakonec, že determinant, jehož sloupce jsou po řadě souřadnice vektorů n_{2}, n_{1}, n_{2} × n_{1}, je kladný. Báze n_{2}, n_{1}, n_{2} × n_{1} má tedy stejnou orientaci jako původní souřadný systém v prostoru R^{3} (v našem případě kladnou). Při pohledu z kladného směru osy vektoru n_{2} × n_{1} na rovinu určenou vektory n_{2}, n_{1} tedy přejdeme od kladného směru vektoru n_{2} ke kladnému směru vektoru n_{1} proti směru hodinových ručiček (tomu říkáme v kladném směru). Protože napřed děláme reflexi vzhledem k rovině určené vektorem n_{2} a potom vzhledem k rovině určené vektorem n_{1}, je rotace kolem osy určené vektorovým součinem n_{2} × n_{1} v kladném směru.

Můžeme tedy shrnout. Rozložíme-li matici rotace

( \begin{matrix}a & b \\ −\overline{b} & \overline{a} \end{matrix} ) , |a|^{2} + |b|^{2} = 1,

na lineární kombinaci čtyř jednoduchých matic výše uvedeným způsobem, koeficienty posledních tří matic udávají souřadnice kladného směru osy rotace a koeficient u jednotkové matice se rovná cosφ, kde 2φ je úhel rotace, směr rotace je kladný.

Dodejme ještě pro úplnost, že jsou-li vektory n_{2} a n_{1} lineárně závislé, je jejich vektorový součin rovný 0.

Označíme-li

1 = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) , i = ( \begin{matrix}0 & i \\ i & 0 \end{matrix}) , j = ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) , k = ( \begin{matrix}i & 0 \\ 0 & −i \end{matrix} ) ,

můžeme každou rotaci v R^{3} zapsat ve tvaru

a_{1} + a_{2}i + a_{3}j + a_{4}k, a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + a_{4}^{2} = 1.

Jak najdeme složení dvou rotací a_{1} + a_{2}i + a_{3}j + a_{4}k a b_{1} + b_{2}i + b_{3}j + b_{4}k? Vzhledem k tomu, že násobení matic je distributivní vzhledem ke sčítání, potřebujeme znát součiny matic 1, i, j, k. Jasné to je u součinů jednotkové matice 1 s ostatními. Dále platí

i^{2} = j^{2} = k^{2} = −1, ij = k, jk = i, ki = j, ji = −k, kj = −i, ik = −j.

Matice 1, i, j, k se tedy násobí úplně stejně jako kvaternionové jednotky.

Složení rotací (a_{1} + a_{2}i + a_{3}j + a_{k})(b_{1} + b_{2}i + b_{3}j + b_{4}k) už teď snadno spočítáme a z výsledku ihned vyčteme osu, úhel a směr výsledné rotace.

Poznámka. Mnohem obvyklejší je zvolit za kvaternionové jednotky matice

1 = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) , i = ( \begin{matrix}i & 0 \\ 0 & −i \end{matrix} ) , j = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix}) , k = ( \begin{matrix}0 & i \\ i & 0 \end{matrix}) .

Můžete si sami ověřit, že takto zvolené matice splňují stejné rovnosti při násobení jako námi zvolené matice. Tato volba by ale vedla k přeházení pořadí a znamének souřadnic osy rotace.