18. Stereografická projekce a kruhová inverze

V této a následující části přednášky se budeme věnovat ortogonálním zobrazením v třídimenzionálním euklidovském prostoru R^{3}. Najdeme jiný popis těchto zobrazení pomocí kterého bude snazší najít složení dvou rotací.

Ortogonální zobrazení zachovávají velikost vektorů. Zobrazí proto každý bod na jednotkové sféře (povrchu koule o poloměru 1 se středem v bodě 0 - počátku souřadnic) do nějakého jiného bodu na této sféře. Každé ortogonální zobrazení tedy určuje vzájemně jednoznačné zobrazení jednotkové sféry do sebe. Vzhledem k linearitě ortogonálních zobrazení je hodnota ortogonálního zobrazení v jakémkoliv bodu prostoru R^{3} určena jeho hodnotami v bodech jednotkové sféry. Ve skutečnosti stačí znát hodnoty zobrazení pouze ve třech lineárně nezávislých bodech této sféry.

Každý bod na jednotkové sféře má euklidovské souřadnice (x, y, z) vzhledem k nějaké pevně zvolené ortonormální bázi prostoru R^{3}. Pro tyto souřadnice platí x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 a každý bod prostoru R^{3}, jehož souřadnice splňují tuto rovnost, na jednotkové sféře leží. Ukážeme si teď. jak na jednotkové sféře zavést komplexní souřadnice. Použijeme k tomu tzv. stereografickou projekci.

Stereografická projekce spočívá v promítnutí bodů jednotkové sféry do roviny z = 0 z bodu (0, 0, 1), kterému budeme říkat severní pól a označovat jej N. Nyní vezmeme libovolný bod P ≠ N jednotkové sféry, spojíme jej s bodem N přímkou a podíváme se, jak závisejí souřadnice (u, v, 0) průsečíku P′ této přímky s rovinou z = 0 na souřadnicích (x, y, z) bodu P.

Spojnice bodů N a P′ má směr (u, v, −1), jejich spojnice má tedy parametrické vyjádření

x = 0 + tu, y = 0 + tv, z = 1 − t.

Hodnoty parametru t pro průsečíky této přímky se sférou

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1

dostaneme z rovnice

t^{2}u^{2} + t^{2}v^{2} + (1 − t)^{2} = 1,

neboli

t^{2}(u^{2} + v^{2} + 1) = 2t.

Tato rovnice má dva reálné kořeny

t = 0, t = \frac{2}{u^{2} + v^{2} + 1} .

První z nich odpovídá severnímu pólu N a druhý bodu P o souřadnicích

(x, y, z) = (\frac{2u}{u^{2} + v^{2} + 1} , \frac{2v}{u^{2} + v^{2} + 1} , \frac{u^{2} + v^{2} − 1}{u^{2} + v^{2} + 1} ).

Typeset by AMS-TEX

Jsou-li naopak známy souřadnice (x, y, z) bodu P ≠ N, platí pro souřadnice bodu P′

u = \frac{x}{t} = \frac{x}{1 − z}, v = \frac{y}{t} = \frac{y}{1 − z}.

Dokázali jsme tak následující větu.

Věta 18.107. Při stereografické projekci bodu P = (x, y, z) různému od severního pólu N odpovídá bod

P′ = (\frac{x}{1 − z}, \frac{y}{1 − z}, 0)

roviny z = 0. Inverzní zobrazení naopak zobrazuje bod (u, v, 0) této roviny do bodu

(x, y, z) = (\frac{2u}{u^{2} + v^{2} + 1} , \frac{2v}{u^{2} + v^{2} + 1} , \frac{u^{2} + v^{2} − 1}{u^{2} + v^{2} + 1} )

jednotkové sféry. □

V dalším textu budeme souřadnice bodů roviny z = 0 zapisovat pouze jako (u, v). Místo dvou reálných souřadnic budeme později také psát jediné komplexní číslo u + iv. V tom spočívá pravý smysl stereografické projekce – zavést komplexní souřadnice pro body na jednotkové sféře v prostoru R^{3}. Každý bod této sféry s výjimkou severního pólu N tak má jednoznačně určené komplexní souřadnice. Z mnoha důvodů, z nichž některé vyplynou na povrch později, je výhodné rozšířit rovinu komplexních čísel o jedno “nekonečné komplexní číslo”, které budeme označovat ∞, a které budeme považovat za souřadnice severního pólu N. Stereografická projekce je potom vzájemně jednoznačné zobrazení mezi body na jednotkové sféře a prvky rozšířené komplexní roviny. Toto zobrazení pochopitelně nezachovává vzdálenosti, ale v jistém smyslu zachovává úhly. Jednotkovou sféru v R^{3} budeme dále označovat S_{2}. Index vyjadřuje, že sféra sama je dvoudimenzionální.

V minulé kapitole jsme si ukázali, že každé ortogonální zobrazení v libovolném euklidovském prostoru lze složit z jednoduchých reflexí. Nyní si ukážeme, jaké zobrazení komplexní roviny odpovídá jednoduché reflexi sféry S_{2}. K tomu napřed popíšeme rovinu bodů, které jsou stejně vzdálené od dvou bodů P, P′ ∈ S_{2}.

Lemma 18.108. Množina bodů prostoru R^{3}, které mají stejnou vzdálenost od dvou daných bodů P = (α, β, γ) a P′ = (α′, β′, γ′) sféry S_{2}, se rovná rovině

(α − α′)x + (β − β′)y + (γ − γ′)z = 0.

Důkaz. Má-li bod (x, y, z) stejnou vzdálenost od bodů P, P′, platí

(x − α)^{2} + (y − β)^{2} + (z − γ)^{2} = (x − α′)^{2} + (y − β′)^{2} + (z − γ′)^{2}.

Vzhledem k tomu, že α^{2} + β^{2} + γ^{2} = α′^{2} + β′^{2} + γ′^{2} = 1, můžeme poslední rovnost zjednodušit na

−2αx − 2βy − 2γz = −2α′x − 2β′y − 2γ′z,

neboli

(α − α′)x + (β − β′)y + (γ − γ′)z = 0.

□

Dále si připomeneme kruhovou inverzi. Je-li dána v rovině kružnice C se středem O a poloměrem ρ, pak kruhová inverze určená kružnicí C zobrazuje libovolný bod P ≠ O do bodu P′, který leží na polopřímce OP a pro vzdálenosti bodů P, P′ od středu O platí

|OP | · |OP′| = ρ^{2}.

Bod P′ se tedy touto kruhovou inverzí zobrazí do bodu P. Každý bod na kružnici C se zobrazí sám do sebe. Kruhová inverze určená C je definovaná pro každý bod roviny různý od středu O. Kruhová inverze tak není vzájemně jednoznačným zobrazením roviny do sebe. Přidáme-li ale k rovině bod v nekonečnu ∞, pak můžeme rozšířit definici kruhové inverze určené C tak, že střed O zobrazíme do ∞ a naopak ∞ do bodu O. Kruhová inverze je potom vzájemně jednoznačným zobrazením rozšířené roviny do sebe.

Osová souměrnost vzhledem k přímce je limitním případem kruhové inverze, zvětšujemeli poloměr ρ kružnice C tak, že posunujeme střed O a současně zachováváme průsečík polopřímky OP s kružnicí C. Bude se nám hodit považovat osovou symetrii rovněž za kruhovou inverzi určenou “kružnicí s nekonečným poloměrem”. Osová inverze zobrazuje bod ∞ do sebe.

Definujeme tedy inverzi jako osovou symetrii r_{L} určenou přímkou L nebo jako kruhovou inverzi I_{C} určenou kružnicí C. Dříve než si ukážeme, jak popsat inverze pomocí zobrazení rozšířené komplexní roviny do sebe, ukážeme si souvislost inverzí a jednoduchých reflexí v třídimenzionální euklidovském prostoru R^{3}.

Věta 18.109. Vzájemně jednoznačné zobrazení sféry S_{2} určené jednoduchou reflexí odpovídá po stereografické projekci nějaké inverzi.

Důkaz. Zobrazí-li jednoduchá reflexe bod P = (α, β, γ) ∈ C_{2} do bodu P′ = (α′, β′, γ′) různého do P, je podle Lemma 18.108 určená rovinou

(α − α′)x + (β − β′)y + (γ − γ′)z = 0.

Body (x, y, z) této roviny, které leží současně na sféře S_{2}, mají souřadnice

(\frac{2u}{u^{2} + v^{2} + 1} , \frac{2v}{u^{2} + v^{2} + 1} , \frac{u^{2} + v^{2} − 1}{u^{2} + v^{2} + 1} ),

kde (u, v) jsou souřadnice jejich stereografických projekcí. Souřadnice (u, v) těchto bodů tak splňují rovnici

(α − α′)\frac{2u}{u^{2} + v^{2} + 1} + (β − β′)\frac{2v}{u^{2} + v^{2} + 1} + (γ − γ′)\frac{u^{2} + v^{2} − 1}{u^{2} + v^{2} + 1} ) = 0.

Tuto rovnici zjednodušíme do tvaru

(u + \frac{α − α′}{γ − γ′} )^{2} + (v + \frac{β − β′}{γ − γ′} )^{2} = 1 + (\frac{α − α′}{γ − γ′} )^{2} + (\frac{β − β′}{γ − γ′} )^{2},

což je rovnice kružnice se středem

O = ( − \frac{α − α′}{γ − γ′} , −\frac{β − β′}{γ − γ′} )

a poloměrem

ρ = \sqrt{1 + (\frac{α − α′}{γ − γ′} )^{2} + (\frac{β − β′}{γ − γ′} )^{2}} = \frac{\sqrt{2(1 − αα′ − ββ′ − γγ′)}}{γ − γ′}.

Poslední rovnost vyplývá z toho, že α^{2} + β^{2} + γ^{2} = α′^{2} + β′^{2} + γ′^{2} = 1. Tyto formule pochopitelně platí pouze za předpokladu γ ≠ γ′. Je-li γ = γ′, je obrazem průniku sféry S_{2} s rovinou reflexe

(α − α′)x + (β − β′)y = 0

přímka

(α − α′)u + (β − β′)v = 0.

Budeme opět předpokládat γ ≠ γ′. Ukážeme si, že stereografický obraz bodu P = (α, β, γ) se zobrazí do stereografické projekce bodu P′ = (α′, β′, γ′) kruhovou inverzí určenou kružnicí

(u + \frac{α − α′}{γ − γ′} )^{2} + (v + \frac{β − β′}{γ − γ′} )^{2} = 1 + (\frac{α − α′}{γ − γ′} )^{2} + (\frac{β − β′}{γ − γ′} )^{2},

kterou jsme nalezli v předchozím odstavci.

Stereografické obrazy bodů P, P′ jsou podle Věty 18.107 rovné

Q = (\frac{α}{1 − γ}, \frac{β}{1 − γ}), Q′ = (\frac{α′}{1 − γ′}, \frac{β′}{1 − γ′})

Vektory spojující střed O s Q, Q′ jsou po řadě

(\frac{α − α′}{γ − γ′} + \frac{α}{1 − γ}, \frac{β − β′}{γ − γ′} + \frac{β}{1 − γ}) = \frac{1}{(γ − γ′)(1 − γ)}(α − α′ + α′γ − αγ′, β − β′ + β′γ − βγ′)

a

(\frac{α − α′}{γ − γ′} + \frac{α′}{1 − γ′}, \frac{β − β′}{γ − γ′} + \frac{β′}{1 − γ′}) = \frac{1}{(γ − γ′)(1 − γ′)}(α−α′+α′γ−αγ′, β−β′+β′γ−βγ′).

Druhý z těchto vektorů dostaneme z prvního vynásobením reálným číslem

\frac{1 − γ}{1 − γ′} > 0.

Body Q a Q′ tak leží na téže polopřímce vycházející z bodu O.

Součin vzdáleností |OQ| · |OQ′| se potom rovná

\frac{1}{(γ − γ′)^{2}(1 − γ)(1 − γ′)}[(α − α′ + α′γ − αγ′)^{2} + (β − β′ + β′γ − βγ′)^{2}]

= \frac{1}{(γ − γ′)^{2}(1 − γ)(1 − γ′)}\{[α(1 − γ′) − α′(1 − γ)]^{2} + [β(1 − γ′) − β′(1 − γ)]^{2}\}

= \frac{1}{(γ − γ′)^{2}} ((α^{2} + β^{2})\frac{1 − γ′}{1 − γ} + (α′^{2} + β′^{2})\frac{1 − γ}{1 − γ′} − 2αα′ − 2ββ′)

= \frac{1}{(γ − γ′)^{2}} ((1 − γ^{2})\frac{1 − γ′}{1 − γ} + (1 − γ′^{2})\frac{1 − γ}{1 − γ′} − 2αα′ − 2ββ′)

= \frac{2 − 2αα′ − 2ββ′ − 2γγ′}{(γ − γ′)^{2}} = ρ^{2}.

Bod Q se tedy opravdu zobrazí do bodu Q′ kruhovou inverzí určenou kružnicí, kterou jsme našli v prvním odstavci důkazu.

Zbývá případ γ = γ′. Stereografické obrazy bodů P, P′ jsou v tomto případě

Q = (\frac{α}{1 − γ}, \frac{β}{1 − γ}), Q′ = (\frac{α′}{1 − γ}, \frac{β′}{1 − γ}).

Snadno si spočítáte, že přímka tvořená body (u, v), které mají stejnou vzdálenost od bodů Q, Q′, má rovnici

(α − α′)u + (β − β′)v = 0.

□

V důkazu jsme ignorovali případ, kdy P nebo P′ je severní pól N, tj. kdy γ = 1 nebo γ′ = 1. Snazší je případ, kdy P = P′ = N. V tom případě jsou jejich stereografické obrazy Q = Q′ = ∞ a bod ∞ se zobrazí sám do sebe libovolnou osovou souměrností rozšířené roviny. Je-li P = N a P′ ≠ N, plyne z γ = 1, že α = β = 0 a v tom případě se stereografická projekce bodu P′ rovná

(\frac{α′}{1 − γ′}, \frac{β′}{1 − γ′}) = O.

Stereografická projekce bodu P, tj. bod Q = ∞, se tedy zobrazí do středu kružnice určující kruhovou inverzi. Také v tomto případě tak jednoduché reflexi sféry S_{2} odpovídá po stereografické projekci inverze rozšířené roviny.