17. Lineární operátory v euklidovských prostorech

V této části použijeme obecné výsledky o lineárních operátorech ve vektorových prostorech nad komplexními čísly z předchozí kapitoly k podrobnějšímu zkoumání lineárních operátorů v reálných prostorech se skalárním součinem.

Na počátku budeme předpokládat, že A je lineární operátor na reálném vektorovém prostoru V dimenze n. Věta 16.91 o existenci vlastního vektoru u libovolného lineárního operátoru na komplexním vektorovém prostoru má v reálném případě následující podobu. Také zde se musíme odvolat na základní větu algebry.

Věta 17.100. Pro každý lineární operátor na reálném vektorovém prostoru V existuje invariantní podprostor dimenze 1 nebo dimenze 2.

Důkaz. Zvolíme nějakou bázi e_{1}, …, e_{n} prostoru V. Budeme opět zkoumat soustavu lineárních rovnic

a_{11}c_{1} + a_{12}c_{2} + ⋯ + a_{1n}c_{n} = λc_{1},
a_{21}c_{1} + a_{22}c_{2} + ⋯ + a_{2n}c_{n} = λc_{2},
⋮
a_{n1}c_{1} + a_{n2}c_{2} + ⋯ + a_{nn}c_{n} = λc_{n}.

a hledat nějaké nenulové řešení c_{1}^{0}, …, c_{n}^{0} této soustavy. Takové řešení existuje právě když je hodnota parametru λ zvolena tak, aby platilo

det ( \begin{matrix}a_{11} − λ & a_{12} & … & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} − λ & … & a_{2n} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{n1} & a_{n2} & … & a_{nn} − λ \end{matrix} ) = 0.

Tato podmínka vede stejně jako v důkazu Věty 16.91 k algebraické rovnici n-tého stupně, tentokrát ale s reálnými koeficienty. Protože každé reálné číslo je současně komplexním číslem, plyne ze základní věty algebry, že charakteristická rovnice operátoru A má aspoň jeden komplexní kořen λ_{0}. Potom jsou možné dva případy.

a) Číslo λ_{0} je reálné. Naše soustava lineárních rovnic má potom nenulové reálné řešení c_{1}^{0}, …, c_{n}^{0}. Tato reálná čísla jsou souřadnice vektoru x ≠ 0 vzhledem k bázi e_{1}, …, e_{n}. Vektor x je potom vlastním vektorem operátoru A a λ_{0} je příslušné vlastní číslo.

b) Kořen λ_{0} charakteristické rovnice operátoru A je komplexní číslo λ_{0} = α + iβ, β ≠ 0. Naše soustava lineárních rovnic má potom opět nenulové řešení c_{1}^{0}, …, c_{n}^{0}, tentokrát ale nemůžeme předpokládat, že jsou čísla c_{1}^{0}, …, c_{n}^{0} reálná. Jsou to obecná komplexní čísla, tedy

c_{k}^{0} = ξ_{k} + iη_{k}, k = 1, …, n.

Typeset by AMS-TEX

Dosadíme za λ_{0} a c_{k}^{0} do naší soustavy lineárních rovnic a oddělíme reálné a komplexní části. Dostaneme tak dvě soustavy lineárních rovností:

a_{11}ξ_{1} + a_{12}ξ_{2} + ⋯ + a_{1n}ξ_{n} = αξ_{1} − βη_{1},
a_{21}ξ_{1} + a_{22}ξ_{2} + ⋯ + a_{2n}ξ_{n} = αξ_{2} − βη_{2},
⋮
a_{n1}ξ_{1} + a_{n2}ξ_{2} + ⋯ + a_{nn}ξ_{n} = αξ_{n} − βη_{n}.

a

a_{11}η_{1} + a_{12}η_{2} + ⋯ + a_{1n}η_{n} = αη_{1} + βξ_{1},
a_{21}η_{1} + a_{22}η_{2} + ⋯ + a_{2n}η_{n} = αη_{2} + βξ_{2},
⋮
a_{n1}η_{1} + a_{n2}η_{2} + ⋯ + a_{nn}η_{n} = αη_{n} + βξ_{n}.

Reálná čísla ξ_{1}, ξ_{2}, …, ξ_{n} budeme považovat za souřadnice nějakého vektoru x ∈ V vzhledem k bázi e_{1}, …, e_{n} a podobně můžeme čísla η_{1}, η_{2}, …, η_{n} považovat za souřadnice vektoru y ∈ V vzhledem k téže bázi e_{1}, …, e_{n}. Oba vektory x, y nejsou současně nulové. Potom můžeme poslední dvě soustavy rovností zapsat ve tvaru

A(x) = αx − βy, A(y) = βx + αy.

Kdyby byly vektory x a y lineárně závislé, plynulo by z libovolné z předchozích dvou soustav rovností, že aspoň jeden z vektorů x, y (ten nenulový) je vlastním vektorem operátoru A a příslušné vlastní číslo by bylo reálné.

Jsou-li vektory x a y lineárně nezávislé, pak generují dvoudimenzionální podprostor P ⊆ V. Z rovností A(x) = αx − βy, A(y) = βx + αy plyne, že P je invariantní podprostor operátoru A. □

V posledním důkazu jsme ukázali o něco více, než jenom existenci dvoudimenzionálního invariantního podprostoru P operátoru A v případě, že operátor A má vlastní číslo λ = α + iβ, které není reálné. Ukázali jsme navíc, že v invariantní rovině P existuje báze x, y, kterou operátor A zobrazuje následovně

A(x) = αx − βy, A(y) = βx + αy.

Připomeňme ještě Větu 16.93, že každý lineární operátor na reálném vektorovém prostoru liché dimenze má aspoň jeden vlastní vektor, neboli aspoň jeden invariantní podprostor dimenze 1.

Ortogonální operátory. Nyní k našim úvahám přibereme skalární součin, který je v euklidovském prostoru V definovaný.

Definice 17.49. Lineární operátor A na n-dimenzionálním euklidovském vektorovém prostoru V se nazývá ortogonální operátor, jestliže zachovává skalární součin, tj. platí-li pro každé dva vektory x, y ∈ V rovnost

(A(x), A(y)) = (x, y).

Zvolíme-li x = y, dostaneme rovnost

||A(x)||^{2} = (A(x), A(x)) = (x, x) = ||x||^{2},

neboli každý ortogonální operátor zobrazuje libovolný vektor x ∈ V do vektoru stejné délky. Vzpomeneme-li si ještě na vyjádření úhlu φ mezi dvěma vektory x, y pomocí skalárního součinu,

cosφ = \frac{(x, y)}{||x||||y||} ,

uvidíme že ortogonální operátory zachovávají rovněž úhel mezi dvěma vektory. Speciálně zobrazují dva kolmé vektory na jiné dva kolmé vektory. Odtud název ortogonální operátory. Všimněte si ještě, že ortogonální operátor A musí zobrazovat libovolný nenulový vektor x opět na nenulový vektor A(x). Plyne to z toho, že nulový vektor 0 je jediný vektor délky 0. Každý ortogonální operátor má tedy nulové jádro a je proto vzájemně jednoznačný.

Je-li e_{1}, …, e_{n} nějaká ortonormální báze v prostoru V, pak vektory A(e_{1}), A(e_{2}), …, A(e_{n}) také tvoří ortonormální bázi. Buď (a_{ik}) matice operátoru A vzhledem k ortonormální bázi e_{1}, …, e_{n}. Potom k-tý sloupec matice (a_{ik}) tvoří souřadnice vektoru A(e_{k}) v ortonormální bázi e_{1}, …, e_{n}. Pro libovolná dvě různá čísla k, l = 1, …, n proto platí

0 = (e_{k}, e_{l}) = (A(e_{k}), A(e_{l})) = ∑_{i=1}^{n}a_{ik}a_{il},

a stejně tak

1 = (e_{k}, e_{k}) = (A(e_{k}), A(e_{k})) = ∑_{i=1}^{n}a_{ik}a_{ik}.

Definice 17.50. Čtvercová matice M = (a_{ik}) řádu n složená z reálných čísel se nazývá ortogonální matice, platí-li

∑_{i=1}^{n}a_{ik}a_{il} = δ_{kl}

pro libovolné k, l = 1, …, n.

Čtvercová matice M je tedy ortogonální právě když platí M′M = I, kde M′ je matice transponovaná k matici M. Z věty o násobení determinantů (Věta 15.87) a z věty o determinantu transponované matice (Věty 15.83) plyne, že

detM′ detM = detM detM = detI = 1, neboli detM = ±1 pro každou ortogonální matici M.

Determinant matice ortogonálního operátoru A vzhledem k libovolné ortonormální bázi e_{1}, …, e_{n} se tedy rovná ±1. Ortogonální operátor A, jehož determinant se rovná +1, se nazývá vlastní ortogonální operátor. Je-li determinant matice operátoru A roven −1, nazývá se A nevlastní ortogonální operátor.

V případě ortogonálních operátorů má každý invariantní podprostor invariantní doplněk. Tato důležitá vlastnost ortogonálních operátorů má snadný důkaz.

Věta 17.101. Je-li P invariantní podprostor ortogonálního operátoru A na euklidovském prostoru V, pak také ortogonální doplněk P^{⊥} podprostoru P je invariantní podprostor operátoru A.

Důkaz. Je-li y ∈ P^{⊥}, pak platí (x, y) = 0 pro každý vektor x ∈ P. Protože je operátor A vzájemně jednoznačný na celém prostoru V, je také vzájemně jednoznačný na podprostoru P. Proto existuje pro každý vektor x ∈ P vektor z ∈ P takový, že A(z) = x. Potom platí pro každé x ∈ P

(x, A(y)) = (A(z), A(y)) = (z, y) = 0,

neboli A(y) ∈ P^{⊥} pro každý vektor y ∈ P. □

Probereme teď ortogonální operátory v malých dimenzích. Nejsnazší to je v případě jednodimenzionálního prostoru. Zvolíme v něm nějaký vektor e délky 1. Potom A(e) = λe a z podmínky ortogonality A plyne

1 = (e, e) = (A(e), A(e)) = (λe, λe) = λ^{2}(e, e) = λ^{2}.

Platí tedy λ = ±1. Na jednodimenzionálním euklidovském prostoru tedy existují pouze dva ortogonální operátory. Je to buď identický operátor A(x) = x (vlastní ortogonální operátor) a nebo operátor A(x) = −x (nevlastní).

Buď nyní A ortogonální operátor na dvoudimenzionálním euklidovském prostoru V. Zvolme v něm ortonormální bázi e_{1}, e_{2} a nechť

( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} )

je matice operátoru A vzhledem k bázi e_{1}, e_{2}. Budeme dále předpokládat, že operátor A je vlastní ortogonální operátor, tj. platí ad − bc = 1.

Matice operátoru A musí být navíc ortogonální, tj. musí platit

( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} )^{−1} = ( \begin{matrix}a & c \\ b & d \end{matrix} ) .

Z rovnosti ad − bc = 1 plyne jiné vyjádření inverzní matice k matici operátoru A:

( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} )^{−1} = ( \begin{matrix}d & −b \\ −c & a \end{matrix} ) .

Protože je inverzní matice k libovolné regulární matici určena jednoznačně, dostáváme rovnosti a = d, c = −b. Matice operátoru A vzhledem k bázi e_{1}, e_{2} má tedy tvar

( \begin{matrix}a & −b \\ b & a \end{matrix} ) ,

kde a^{2} + b^{2} = 1. Položíme-li a = cosφ a b = sinφ, dostaneme že každý vlastní ortogonální operátor A na dvoudimenzionálním euklidovském prostoru V má vzhledem k libovolné ortonormální bázi e_{1}, e_{2} matici

( \begin{matrix}cosφ & − sinφ \\ sinφ & cosφ \end{matrix} ) ,

kde φ je vhodný úhel. Operátor A tedy není nic jiného než pootočení o úhel φ.

Nyní budeme uvažovat případ nevlastního ortogonálního operátoru A, tj. případ ad − bc = −1. Charakteristický polynom λ^{2} −(a+d)λ−1 operátoru A má potom reálné kořeny. Existuje tedy vlastní vektor e operátoru A, tj. platí A(e) = λe, kde λ = ±1. Vektor e doplníme do ortonormální báze vektorem f. To je podle Věty 17.101 také vlastní vektor operátoru A, tedy A(f) = ±f. V bázi e, f má tedy matice operátoru A matici

( \begin{matrix}±1 & 0 \\ 0 & ±1 \end{matrix}) .

Protože je ale A nevlastní ortogonální operátor, jsou pro výběr znamének pouze dvě možnosti

( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix}) , ( \begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) .

Nevlastní ortogonální operátor ve dvoudimenzionálním euklidovském prostoru V je tedy osová symetrie vzhledem k ose procházející počátkem.

V libovolné dimenzi platí následující věta.

Věta 17.102. Buď A ortogonální operátor v n-dimenzionálním euklidovském prostoru V. Potom v prostoru V existuje ortonormální báze e_{1}, …, e_{n}, ve které má operátor A matici

( \begin{matrix}1 \\ & . & . & . \\ & & & & 1 \\ & & & & & −1 \\ & & & & & & . & . & . \\ & & & & & & & & & −1 \\ & & & & & & & & & & cosφ_{1} & − sinφ_{1} \\ & & & & & & & & & & sinφ_{1} & cosφ_{1} \\ & & & & & & & & & & & & . & . & . \\ & & & & & & & & & & & & & & & cosφ_{k} & − sinφ_{k} \\ & & & & & & & & & & & & & & & sinφ_{k} & cosφ_{k} \end{matrix} ) .

Všechny ostatní prvky matice jsou nulové.

Důkaz. Podle Věty 17.100 má operátor A na prostoru V invariantní podprostor P, který má dimenzi 1 nebo 2. Má-li podprostor P dimenzi 1, zvolíme v něm vektor e_{1} délky 1. Jestliže žádný invariantní podprostor dimenze 1 neexistuje, má podprostor P dimenzi 2. Vybereme v něm ortonormální bázi e_{1}, e_{2}.

V prvním případě platí A(e_{1}) = ±e_{1}. Ve druhém případě je operátor A na podprostoru P vlastní ortogonální operátor (jinak by v P existoval jednodimenzionální invariantní podprostor operátoru A). Vzhledem k bázi e_{1}, e_{2} má matici

( \begin{matrix}cosφ & − sinφ \\ sinφ & cosφ \end{matrix} ) .

Ortogonální doplněk P^{⊥} podprostoru P je podle Věty 17.101 také invariantní podprostor operátoru A. Opětovným použitím Věty 17.100 v něm najdeme invariantní podprostor Q dimenze 1 nebo 2, v něm zvolíme ortonormální bázi, atd.

Dostaneme tak postupně n navzájem ortogonálních vektorů délky 1. Ty tvoří bázi e_{1}, …, e_{n}, vzhledem ke které má matice operátoru A blokově diagonální tvar. Vhodnou změnou pořadí vektorů v nalezené bázi získáme matici hledaného tvaru. Každé číslo ±1 na hlavní diagonále odpovídá jednodimenzionálnímu invariantnímu podprostoru, každá buňka

( \begin{matrix}cosφ_{i} & − sinφ_{i} \\ sinφ_{i} & cosφ_{i} \end{matrix} )

určuje jeden invariantní podprostor dimenze 2. □

Právě dokázaná věta má řadu důsledků. Pár si jich uvedeme. Nazvěme jednoduchou rotací vlastní ortogonální operátor A, který v nějakém dvoudimenzionálním invariantním podprostoru P působí jako otočení o úhel φ, a v ortogonálním doplňku P^{⊥} zobrazuje každý vektor do sebe. Ve vhodně zvolené bázi má potom A matici

1

...

1

cosφ − sinφ
sinφ cosφ

1

...

1

Jednoduchá reflexe je nevlastní ortogonální operátor A, který má jednodimenzionální invariantní podprostor P, na kterém zobrazuje každý vektor x do opačného vektoru −x, a který dále zobrazuje každý vektor ortogonálního doplňku P^{⊥} do sebe. Ve vhodně zvolené bázi má potom operátor A (diagonální) matici

( \begin{matrix}1 \\ & . & . & . \\ & & & & 1 \\ & & & & & −1 \\ & & & & & & 1 \\ & & & & & & & . & . & . \\ & & & & & & & & & & 1 \end{matrix} ) .

Z Věty 17.102 si pak snadno dokážete

Důsledek 17.103. Každý ortogonální operátor A na euklidovském prostoru V můžeme vyjádřit jako složení několika jednoduchých rotací a několika jednoduchých reflexí. □

Všimněme si ještě, že má-li operátor A na dvoudimenzionálním prostoru vzhledem k nějaké ortonormální bázi e_{1}, e_{2} matici

( \begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix}) ,

jde vlastně o otočení o úhel π. Považujeme-li otočení o úhel π také za prostou rotaci, dostaneme další důsledek.

Důsledek 17.104. Každý vlastní ortogonální operátor na euklidovském lineárním prostoru lze složit z několika jednoduchých rotací. Každý nevlastní ortogonální operátor lze složit z několika jednoduchých rotací a jedné jednoduché reflexe. □

Ukážeme si ještě, že každý ortogonální operátor na euklidovském prostoru je složením jednoduchých reflexí. K tomu stačí ukázat, že každou rotaci na 2-dimenzionálním euklidovském prostoru lze složit ze dvou jednoduchých reflexí.

Věta 17.105. Každou rotaci na 2-dimenzionálním euklidovském prostoru lze složit ze dvou jednoduchých reflexí.

Důkaz. Můžete si snadno udělat geometrický důkaz tohoto tvrzení. My si uděláme ještě maticový důkaz, který je sice složitější, můžeme jej ale použít i ve složitějších situacích, kdy geometrická intuice selhává. Vezměme si rotaci o úhel φ. Ta má vzhledem k ortonormální bázi e, f matici

( \begin{matrix}cosφ & − sinφ \\ sinφ & cosφ \end{matrix} ) .

Jednoduchá reflexe vzhledem k ose určené vektorem e má vzhledem k bázi e, f matici

( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix}) .

Vezmeme-li otočení o úhel φ/2, zobrazí se vektor e do vektoru e′, který má vzhledem k původní bázi e, f souřadnice (cosφ/2, sinφ/2). Podobně vektor f se zobrazí do vektoru f′, který má vzhledem k e, f souřadnice (− sinφ/2, cosφ/2). Matice P přechodu od báze e, f k bázi e′, f′ má tedy tvar

P = ( \begin{matrix}cosφ/2 & − sinφ/2 \\ sinφ/2 & cosφ/2 \end{matrix}) .

Snadno si ověříte, že pro inverzní matici platí

P^{−1} = ( \begin{matrix}cosφ/2 & sinφ/2 \\ − sinφ/2 & cosφ/2 \end{matrix}) .

Jednoduchá reflexe vzhledem k ose určené vektorem e′ má vzhledem k nové bázi e′, f′ známou matici

( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix}) .

Označíme-li M matici této reflexe vzhledem k bázi e, f, platí podle Věty 16.89, že

P^{−1}MP = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix}) ,

neboli

M = ( \begin{matrix}cosφ/2 & − sinφ/2 \\ sinφ/2 & cosφ/2 \end{matrix}) ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix}) ( \begin{matrix}cosφ/2 & sinφ/2 \\ − sinφ/2 & cosφ/2 \end{matrix}) .

Složíme-li nyní jednoduchou reflexi vzhledem k ose určené vektorem e s jednoduchou reflexí vzhledem k ose určené vektorem e′, bude mít výsledný operátor vzhledem k bázi e, f (s použitím Věty 6.34) matici

( \begin{matrix}cosφ/2 & − sinφ/2 \\ sinφ/2 & cosφ/2 \end{matrix}) ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix}) ( \begin{matrix}cosφ/2 & sinφ/2 \\ − sinφ/2 & cosφ/2 \end{matrix}) ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix}) .

Vynásobením dostaneme, že složením dostaneme operátor, který má vzhledem k bázi e, f matici

( \begin{matrix}cos^{2} φ/2 − sin^{2} φ/2 & −2 cosφ/2 sinφ/2 \\ cosφ/2 sinφ/2 & cos^{2} φ/2 − sin^{2} φ/2 \end{matrix}) = ( \begin{matrix}cosφ & − sinφ \\ sinφ & cosφ \end{matrix} ) .

Složený operátor se tedy rovná rotaci o úhel φ. □

Důsledek 17.106. Každý ortogonální operátor na euklidovském prostoru lze složit z jednoduchých reflexí. □

V euklidovském prostoru dimenze 3 pro každý vlastní ortogonální operátor A existuje ortonormální báze e_{1}, e_{2}, e_{3}, ve které má A matici

( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & cosφ & − sinφ \\ 0 & sinφ & cosφ \end{matrix} ) .

Pro všechny vektory x invariantního podprostoru P generovaného vektorem e_{1} tak platí A(x) = x, všechny prvky P tedy zůstávají na místě. Na ortogonálním doplňku vektoru e_{1} (tj. v rovině generované vektory e_{2}, e_{3}) operátor A působí jako otočení o úhel φ. (Připouštíme i případ φ = 0, tj. že operátor A je identický operátor na celém prostoru V.) Operátor A je tedy rotace kolem osy určené vektorem e_{1}. Každý vlastní ortogonální operátor v třídimenzionálním euklidovském prostoru V je tedy rotace kolem nějaké osy.

Složení dvou vlastních ortogonálních operátorů je zase vlastní ortogonální operátor (podle věty o násobení determinantů). Je-li operátor A v euklidovském prostoru dimenze 3 otočení o úhel φ kolem osy určené vektorem e a operátor B otočení o úhel ψ kolem osy určené vektorem f, pak složení BA těchto dvou operátorů je opět otočení o nějaký úhel χ kolem osy určené nějakým vektorem g. Zajímavé cvičení spočívá v nalezení úhlu χ a vektoru g, jsou-li dány úhly φ, ψ a vektory e, f.