16. Vlastní čísla, vlastní vektory

V této části budeme podrobněji zkoumat strukturu lineárních zobrazení A : V → V, kde V je vektorový prostor konečné dimenze n nad nějakým tělesem T. Stručněji budeme říkat, že A je lineární operátor na prostoru V.

Je-li z_{1}, …, z_{n} nějaká báze prostoru V, pak můžeme vyjádřit hodnotu zobrazení A v libovolném prvku z_{j} této báze pomocí téže báze:

A(z_{j}) = ∑_{i=1}^{n}a_{ij}z_{i}.

Čtvercovou matici

M = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & … & a_{2n} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{n1} & a_{n2} & … & a_{nn} \end{matrix} )

nazýváme matice operátoru A vzhledem k bázi z_{1}, …, z_{n}. Tato definice je v souladu s definicí matice lineárního zobrazení A vzhledem k bázím z_{1}, …, z_{n} a z_{1}, …, z_{n}, kterou jsme uvedli v části o maticích.

Nejprve si vyjasníme, jak se změní matice operátoru, přejdeme-li od jedné báze k druhé. Buď tedy y_{1}, …, y_{n} nějaká jiná báze prostoru V. Vyjádříme vektory y_{i} pomocí báze z_{1}, …, z_{n}:

y_{j} = ∑_{i=1}^{n}c_{ij}z_{i}, i = 1, …, n.

Matice C = (c_{ij}) je tedy matice přechodu od báze z_{1}, …, z_{n} k bázi y_{1}, …, y_{n}. Označme P lineární operátor na prostoru V definovaný předpisem

P (z_{i}) = y_{i}, i = 1, …, n.

Lineární zobrazení P zobrazuje bázi z_{1}, …, z_{n} na bázi y_{1}, …, y_{n} a podle Věty 5.24 je proto izomorfizmus. Jeho matice vzhledem k bázi z_{1}, …, z_{n} se rovná C = (c_{ij}). Protože je lineární zobrazení P vzájemně jednoznačné, existuje také inverzní zobrazení P^{−1} : V → V. Pro inverzní zobrazení platí P^{−1}(y_{i}) = z_{i} pro každé i = 1, …, n. Matice operátoru P vzhledem k bázi z_{1}, …, z_{n} se rovná C^{−1}. Vyplývá to například z Věty 6.34. Označíme-li totiž D matici operátoru P^{−1} vzhledem k bázi z_{1}, …, z_{n}, pak podle Věty 6.34 je matice složeného operátoru P^{−1}P vzhledem k bázi z_{1}, …, z_{n} rovna součinu matic DC. Operátor P^{−1}P je ale identický operátor na prostoru V, a proto jeho matice vzhledem k bázi z_{1}, …, z_{n} je rovna jednotkové matici I_{n}. Proto DC = I_{n} a D se tedy rovná matici C^{−1} inverzní k matici C.

Typeset by AMS-TEX

Chceme-li najít matici operátoru A vzhledem k bázi y_{1}, …, y_{n}, musíme najít skaláry b_{ij}, i, j = 1, …, n, pro které platí

A(y_{j}) = ∑_{i=1}^{n}b_{ij}y_{i}, j = 1, …, n.

Protože platí y_{j} = P (z_{j}) pro každé j = 1, …, n, dosazením do předchozích rovností dostaneme

AP (z_{j}) = ∑_{i=1}^{n}b_{ij}P (z_{i}), j = 1, …, n,

neboli

AP (z_{j}) = P (∑_{i=1}^{n}b_{ij}z_{i}), j = 1, …, n

a proto

P^{−1}AP (z_{j}) = ∑_{i=1}^{n}b_{ij}z_{i}, j = 1, …, n.

Matice N = (b_{ij}) operátoru A vzhledem k bázi y_{1}, …, y_{n} se tedy rovná matici operátoru P^{−1}AP vzhledem k bázi z_{1}, …, z_{n}. Tuto matici už umíme spočítat. Matice inverzního operátoru P^{−1} vzhledem k bázi z_{1}, …, z_{n} se rovná inverzní matici C^{−1} a podle Věty 6.34 je matice zobrazení P^{−1}AP vzhledem k bázi z_{1}, …, z_{n} rovna součinu matic C^{−1}MC. Dokázali jsme tak následující větu.

Věta 16.89. Buď A lineární operátor na vektorovém prostoru V, z_{1}, …, z_{n} báze prostoru V a M matice operátoru A vzhledem k bázi z_{1}, …, z_{n}. Je-li y_{1}, …, y_{n} jiná báze V a

y_{j} = ∑_{i=1}^{n}c_{ij}z_{i}, i = 1, …, n

vyjádření prvků nové báze y_{1}, …, y_{n} pomocí původní báze z_{1}, …, z_{n}, označíme C = (c_{ij}) matici přechodu. Potom se matice operátoru A vzhledem k bázi y_{1}, …, y_{n} rovná součinu matic C^{−1}MC. □

Nyní bychom mohli využít Větu 16.89 podobně, jako jsme použili Větu 12.61 k nalezení báze, ve které je možné danou bilineární formu vyjádřit pomocí diagonální matice. Protože libovolnou regulární matici C řádu n můžeme vyjádřit jako součin elementárních matic a protože inverzní matice k libovolné elementární matici je opět elementární matice, můžeme postupovat stejně jako při důkazu Věty 12.64. Můžete si to zkusit sami. Nepodaří se vám ale převést tímto způsobem libovolnou matici na matici diagonální. To lze pouze v případě matic velmi speciálních lineárních operátorů. Nalezení báze, vzhledem ke které má nějaký lineární operátor poměrně jednoduchou matici, je záležitost složitější než analogická úloha pro bilineární formy. Začneme následující definicí.

Definice 16.45. Buď A lineární operátor na vektorovém prostoru V. Podprostor P prostoru V se nazývá invariantní podprostor operátoru A, platí-li A(x) ∈ P pro každý vektor x ∈ P.

Každý lineární operátor A na prostoru V má dva triviální invariantní podprostory - nulový podprostor {0} a celý podprostor V. Méně triviální příklad invariantních podprostorů nám poskytne libovolná rotace A kolem nějaké osy v třídimenzionálním euklidovském prostoru. Takový operátor A má dva invariantní podprostory - osu rotace, což je podprostor dimenze 1, a rovinu kolmou k ose rotace a procházející počátkem, což je invariantní podprostor dimenze 2. Existují také lineární operátory, které nemají žádný netriviální invariantní podprostor. Příkladem můžeme být rotace kolem počátku v euklidovském prostoru dimenze 2. Jinými důležitými příklady invariantních podprostorů operátoru A jsou jádro Ker(A) a obraz Im(A) tohoto operátoru. Ty jsou ale oba triviální, pokud je operátor A vzájemně jednoznačný.

Existence nějakého invariantního podprostoru operátoru A na vektorovém prostoru V nám umožňuje najít bázi, ve které má operátor A o něco jednodušší matici. Je-li P netriviální invariantní podprostor operátoru A, zvolíme nějakou bázi z_{1}, …, z_{k} podprostoru P a doplníme ji do báze z_{1}, …, z_{n} celého prostoru V. Protože je P netriviální podprostor V, platí 0 < k < n. Potom platí A(z_{j}) ∈ P pro každé j = 1, …, k, neboli

A(z_{j}) = ∑_{i=1}^{k}a_{ij}z_{i}, j = 1, …, k.

Matice (a_{ij}) operátoru A vzhledem k bázi z_{1}, …, z_{n} má potom tvar

( \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1k} & a_{1k+1} & … & a_{1n} \\ … & … & … & … & … & … \\ a_{k1} & … & a_{kk} & a_{kk+1} & … & a_{kn} \\ 0 & … & 0 & a_{k+1k+1} & … & a_{k+1n} \\ … & … & … & … & … & … \\ 0 & … & 0 & a_{nk+1} & … & a_{nn} \end{matrix} )

Jinak řečeno, a_{ij} = 0 pro každé i > k a j = 1, …, k. Pokud by se nám navíc bázi z_{1}, …, z_{n} podařilo zvolit tak, aby také podprostor Q generovaný vektory z_{k+1} , …, z_{n} byl invariantní vzhledem k operátoru A, platilo by pro každé j = k + 1, …, n, že

A(z_{j}) = ∑_{i=k+1}^{n} a_{ij}z_{i}.

Matice operátoru A = (a_{ij}) vzhledem k bázi z_{1}, …, z_{n} by potom měla blokově diagonální tvar:

( \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1k} & 0 & … & 0 \\ … & … & … & … & … & … \\ a_{k1} & … & a_{kk} & 0 & … & 0 \\ 0 & … & 0 & a_{k+1k+1} & … & a_{k+1n} \\ … & … & … & … & … & … \\ 0 & … & 0 & a_{nk+1} & … & a_{nn} \end{matrix} )

Významnou roli hrají invariantní podprostory dimenze 1. Je-li P invariantní podprostor dimenze 1 a x ≠ 0 libovolný prvek P, pak také A(x) ∈ P, neboli A(x) = λx pro nějaký skalár λ ∈ T. Je-li naopak A(y) = λy pro nějaký nenulový vektor y ∈ V, pak je jednodimenzionální podprostor P generovaný vektorem y invariantní podprostor operátoru A. Tyto úvahy vedou k následující definici.

Definice 16.46. Nenulový vektor x ∈ V se nazývá vlastní vektor lineárního operátoru A na prostoru V, jestliže existuje skalár λ ∈ T takový, že A(x) = λx. Skalár λ se pak nazývá vlastní číslo operátoru A příslušné vlastnímu vektoru x.

K důkazu existence aspoň jednoho vlastního čísla a vektoru pro libovolný lineárního operátor na komplexním vektorovém prostoru budemem potřebovat následující důležitou větu, kterou si uvedeme bez důkazu.

Věta 16.90. Základní věta algebry. Každý nekonstantní polynom s komplexními koeficienty má aspoň jeden komplexní kořen.

Věta 16.91. Každý lineární operátor A na nenulovém vektorovém prostoru V nad komplexními čísly má aspoň jeden vlastní vektor.

Důkaz. V prostoru V zvolíme nějakou bázi z_{1}, …, z_{n}. Hledaný vlastní vektor x operátoru A lze potom v bázi z_{1}, …, z_{n} vyjádřit ve tvaru

x = c_{1}z_{1} + ⋯ + c_{n}z_{n},

kde c_{1}, …, c_{n} jsou vhodná komplexní čísla. Je-li (a_{ij}) matice operátoru A vzhledem k bázi z_{1}, …, z_{n}, pak má vektor A(x) vzhledem k bázi z_{1}, …, z_{n} souřadnice

b_{1} = a_{11}c_{1} + a_{12}c_{2} + ⋯ + a_{1n}c_{n},
b_{2} = a_{21}c_{1} + a_{22}c_{2} + ⋯ + a_{2n}c_{n},
⋮
b_{n} = a_{n1}c_{1} + a_{n2}c_{2} + ⋯ + a_{nn}c_{n}.

Souřadnice (b_{1}, …, b_{n}) jsou ale souřadnice vektoru λx v bázi z_{1}, …, z_{n}, tedy b_{i} = λc_{i} pro každé i = 1, …, n, neboli

a_{11}c_{1} + a_{12}c_{2} + ⋯ + a_{1n}c_{n} = λc_{1},
a_{21}c_{1} + a_{22}c_{2} + ⋯ + a_{2n}c_{n} = λc_{2},
⋮
a_{n1}c_{1} + a_{n2}c_{2} + ⋯ + a_{nn}c_{n} = λc_{n}.

Tuto soustavu n lineárních rovnic o n neznámých s komplexními koeficienty si přepíšeme do tvaru

(a_{11} − λ)c_{1} + a_{12}c_{2} + ⋯ + a_{1n}c_{n} = 0,
a_{21}c_{1} + (a_{22} − λ)c_{2} + ⋯ + a_{2n}c_{n} = 0,
⋮
a_{n1}c_{1} + a_{n2}c_{2} + ⋯ + (a_{nn} − λ)c_{n} = 0.

K důkazu věty potřebujeme ukázat, že existuje komplexní číslo λ, pro které má předchozí soustava netriviální řešení. Podmínkou pro existenci netriviálního řešení je rovnost

det ( \begin{matrix}a_{11} − λ & a_{12} & … & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} − λ & … & a_{2n} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{n1} & a_{n2} & … & a_{nn} − λ \end{matrix} ) = 0.

Podle definice determinantu je výraz na levé straně poslední rovnosti mnohočlen stupně n v proměnné λ. Pro neznámé vlastní číslo operátoru A tak dostáváme algebraickou rovnici stupně n s komplexními koeficienty. Podle základní věty algebry má tato rovnice aspoň jeden komplexní kořen λ_{0}. Pro toto komplexní číslo λ_{0} má potom naše soustava lineárních rovnic nějaké řešení c_{1}^{0}, c_{2}^{0}, …, c_{n}^{0}, kde aspoň jedno z čísel c_{i}^{0} je různé od 0. Vektor

x = c_{1}^{0}z_{1} + c_{2}^{0}z_{2} + ⋯ + c_{n}^{0}z_{n}

je potom nenulový a platí A(x) = λ_{0}x. □

Všimněte si, že předchozí důkaz by fungoval beze změny, pokud bychom uvažovali operátor A pouze na nějakém nenulovém invariantním podprostoru P prostoru V. Platí proto

Důsledek 16.92. Je-li A lineární operátor na prostoru V nad komplexními čísly, pak v každém nenulovém invariantním podprostoru operátoru A existuje vlastní vektor. □

Definice 16.47. Je-li M = (a_{ij}) čtvercová matice řádu n, pak rovnici

det ( \begin{matrix}a_{11} − λ & a_{12} & … & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} − λ & … & a_{2n} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{n1} & a_{n2} & … & a_{nn} − λ \end{matrix} ) = 0

nazýváme charakteristická rovnice matice M a mnohočlen na levé straně charakteristické rovnice nazýváme charakteristický mnohočlen (polynom) matice M.

Zajímavým cvičením je vyjádřit koeficienty charakteristického polynomu matice M pomocí prvků matice M. Jak vypadá koeficient u λ^{n}? Jak vypadá koeficient u λ^{n−1}? Jak vypadá absolutní člen charakteristického polynomu? Pokud najdete koeficient u λ^{n−2}, získáte představu, jak asi mohou vypadat ostatní koeficienty.

Při důkazu Věty 16.91 jsme dokázali, že vlastní čísla operátoru A jsou kořeny charakteristického polynomu matice M operátoru A vzhledem k nějaké bázi z_{1}, …, z_{n} a také naopak, že každý kořen charakteristického polynomu matice M je vlastním číslem operátoru A. Má-li operátor A dostatek vlastních vektorů, můžeme jej ve vhodně zvolené bázi vyjádřit pomocí diagonální matice.

Problém spočívá v tom, že charakteristický polynom matice M operátoru A nemusí mít v případě obecného tělesa T žádný kořen. Základní věta algebry nám umožňuje dokázat, že v prostorech nad komplexními čísly má každý lineární operátor aspoň jedno vlastní číslo a aspoň jeden vlastní vektor. Víme-li, že každý polynom lichého stupně s reálnými koeficienty má aspoň jeden reálný kořen, můžeme důkaz Věty 16.91 použít k důkazu následující věty.

Věta 16.93. Každý lineární operátor na reálném prostoru V liché dimenze má aspoň jeden vlastní vektor.

Věta 16.94. Má-li lineární operátor A na n-dimenzionálním vektorovém prostoru V n lineárně nezávislých vlastních vektorů x_{1}, …, x_{n}, pak je matice operátoru A vzhledem k bázi x_{1}, …, x_{n} diagonální.

Důkaz. Důkaz je zřejmý. Pro každé j = 1, …, n existuje skalár λ_{j} takový, že platí A(x_{j}) = λ_{j}x_{j}. V j-tém sloupci matice M operátoru A vzhledem k bázi x_{1}, …, x_{n} se tedy může objevit nejvýše jeden nenulový prvek, a to λ_{j} na místě (j, j). Matice M je tedy diagonální, na j-tém místě diagonály se vyskytuje vlastní číslo λ_{j} příslušné vlastnímu vektoru x_{j}. Poznamenejme ještě, že λ_{j} se může rovnat 0. □

Poslední věta vlastně charakterizuje diagonalizovatelné operátory, tj. operátory, které mohou být vyjádřené diagonální maticí ve vhodně zvolené bázi. Existuje-li totiž báze z_{1}, …, z_{n} vektorového prostoru V, ve které je lineární operátor A na V vyjádřený diagonální maticí (a_{ij}), platí pro každé j = 1, …, n, že A(z_{j}) = a_{jj}z_{j}. Libovolný prvek z_{j} báze z_{1}, …, z_{n} je tedy vlastní vektor operátoru A a diagonální prvek a_{jj} je vlastní číslo příslušné vektoru z_{1}, …, z_{j}. Diagonalizovatelné jsou tedy právě ty operátory na n-dimenzionálním prostoru V, které mají n lineárně nezávislých vlastních vektorů.

Věta 16.95. Buď A lineární operátor na prostoru V, z_{1}, …, z_{n} báze prostoru V a M matice operátoru A vzhledem k bázi z_{1}, …, z_{n}. Je-li y_{1}, …, y_{n} jiná báze prostoru V a N matice operátoru A vzhledem k bázi y_{1}, …, y_{n}, pak se charakteristický polynom matice M rovná charakteristickému polynomu matice N.

Důkaz. Z Věty 16.89 víme, že N = C^{−1}MC, kde C je matice přechodu od báze z_{1}, …, z_{n} k bázi y_{1}, …, y_{n}, tj.

y_{j} = ∑_{i=1}^{n}c_{ij}z_{i}

pro j = 1, …, n. Potom platí

det(N − λI) = det(C^{−1}MC − λC^{−1}IC) = det(C^{−1}MC − C^{−1}(λI)C) =
= det(C^{−1}(M − λI)C) = detC^{−1} det(M − λI) detC = det(M − λI).

V posledním výpočtu I označuje jednotkovou matici řádu n. □

Poslední věta nám umožňuje mluvit o charakteristickém polynomu lineárního operátoru A. Je to charakteristický polynom matice operátoru A vzhledem k libovolné bázi prostoru V.

Věta 16.96. Jsou-li e_{1}, …, e_{k} vlastní vektory lineárního operátoru A a jim odpovídající vlastní čísla λ_{1}, …, λ_{k} jsou různá, pak jsou vektory e_{1}, …, e_{k} lineárně nezávislé.

Má-li charakteristický polynom operátoru A n vzájemně různých kořenů, pak existuje báze z_{1}, …, z_{n} prostoru V vzhledem ke které je operátor A vyjádřený diagonální maticí.

Důkaz. Případ k = 1 je zřejmý. Dále budeme postupovat indukcí podle k. Je-li k > 1, předpokládejme, že tvrzení věty platí pro libovolných k − 1 vlastních vektorů. Protože je k > 1, je aspoň jedno z vlastních čísel nenulové. Můžeme předpokládat, že je to číslo λ_{k}.

Předpokládejme, že pro nějaké skaláry a_{1}, …, a_{k} platí

a_{1}e_{1} + a_{2}e_{2} + ⋯ + a_{k}e_{k} = 0.

Aplikujeme-li operátor A na obě strany poslední rovnosti, dostaneme

A(a_{1}e_{1} + a_{2}e_{2} + ⋯ + a_{k}e_{k}) = 0,

neboli

a_{1}λ_{1}e_{1} + a_{2}λ_{2}e_{2} + ⋯ + a_{k}λ_{l}e_{k} = 0.

Skalárem λ_{k} vynásobíme první rovnost v tomto odstavci a dostaneme

λ_{k}a_{1}e_{1} + λ_{k}a_{2}e_{2} + ⋯ + λ_{k}a_{k}e_{k} = 0.

Odečtením poslední rovnosti od předposlední dostaneme

a_{1}(λ_{1} − λ_{k})e_{1} + a_{2}(λ_{2} − λ_{k})e_{2} + ⋯ + a_{k−1}(λ_{k−1} − λ_{k})e_{k−1} = 0.

Protože jsou vektory e_{1}, …, e_{k−1} lineárně nezávislé, musí platit a_{i}(λ_{i} − λ_{k}) = 0 pro každé i = 1, …, k − 1. Vzhledem k tomu, že λ_{i} ≠ λ_{k}, plyne odtud a_{i} = 0 pro i = 1, …, k − 1. Potom ale a_{k}e_{k} = 0 a protože e_{k} ≠ 0, dostáváme také a_{k} = 0. Vektory e_{1}, …, e_{k} jsou tedy lineárně nezávislé.

Druhá část tvrzení plyne ihned z té první. □

Duální lineární zobrazení. Dříve než si ukážeme, že každý lineární operátor na komplexním vektorovém prostoru lze ve vhodně zvolené bázi vyjádřit pomocí trojúhelníkové matice, uvedeme si pár poznatků o duálních lineárních zobrazeních. V části o dualitě a reflexivitě jsem si ukázali, jak ke každému vektorovému prostoru V nad tělesem T sestrojit duální prostor V′. Jeho prvky tvoří lineární funkcionály y′ : V → T^{1} s přirozeně definovaným sčítáním a násobením prvky tělesa T. Ve Větě 13.68 jsme ukázali, že je-li y_{1}, …, y_{m} báze prostoru V, pak lineární funkcionály y′_{1}, y′_{2}, …, y′_{m} definované hodnotami

y′_{i}(y_{j}) = δ_{ij}, i = 1, …, m, j = 1, …, m,

na vektorech báze y_{1}, …, y_{m} tvoří bázi duálního prostoru V′. Tato báze se nazývá duální báze k bázi y_{1}, …, y_{m}.

Lemma 16.97. Buď A : U → V lineární zobrazení. Pro každý lineární funkcionál y′ ∈ V′ definujeme zobrazení A^{∗}(y′) : U → T^{1} předpisem

A^{∗}(y′)(x) = y′(A(x)).

Zobrazení A^{∗} je lineární zobrazení.

Důkaz. Zobrazení A^{∗}(y′) = y′ ∘A je lineární, neboť je složením dvou lineárních zobrazení. Jsou-li y′, z′ dva funkcionály na V a a, b ∈ T, pak pro každý vektor x ∈ U platí

A^{∗}(ay′ + bz′)(x) = (ay′ + bz′)(A(x)) = ay′(A(x)) + bz′(A(x)) =
= (aA^{∗}(y′) + bA^{∗}(z′))(x).

□

Definice 16.48. Je-li A : U → V lineární zobrazení, pak se zobrazení A^{∗} : V′ → U′ definované předpisem

A^{∗}(y′)(x) = y′(A(x))

nazývá duální zobrazení ke zobrazení A.

Příklad. Dokažte si sami následující jednoduché vlastnosti duálního zobrazení: a) (A + B)′ = A′ + B′,

b) (aA)′ = aA′,

c) (AB)′ = B′A′,

d) (A^{−1})′ = (A′)^{−1},

e) 0′ = 0, kde 0 : U → V je zobrazení, které přiřazuje každému x ∈ U nulový vektor 0 ∈ V,

f) je-li I : U → U identický operátor, pak I′ je identický operátor na duálním prostoru U′.

Věta 16.98. Buď A : U → V lineární zobrazení, x_{1}, …, x_{n} nějaká báze prostoru U, y_{1}, …, y_{m} báze prostoru V a M = (a_{ij}) matice zobrazení A vzhledem k bázím x_{1}, …, x_{n} a y_{1}, …, y_{m}. Potom matice duálního zobrazení A^{∗} : V′ → U′ vzhledem k duálním bázím y′_{1}, …, y′_{m} a x′_{1}, …, x′_{n} se rovná transponované matici M′.

Důkaz. Připomeňme, že M = (a_{ij}) je matice lineárního zobrazení A vzhledem k bázím x_{1}, …, x_{n} a y_{1}, …, y_{m}, jestliže platí

A(x_{k}) = ∑_{i=1}^{m}a_{ik}y_{i}

pro každé k = 1, …, n. Spočítáme, čemu se rovnají funkcionály A^{∗}(y′_{j}) pro j = 1, …, n. Pro každý vektor x_{k} báze x_{1}, …, x_{n} platí

A^{∗}(y′_{j})(x_{k}) = y′_{j}(A(x_{k})) = y′_{j}(∑_{i=1}^{m}a_{ik}y_{i}) = ∑_{i=1}^{m}a_{ik}y′_{j}(y_{i}) = ∑_{i=1}^{m}a_{ik}δ_{ji} = a_{jk}

Hodnota lineárního funkcionálu A^{∗}(y′_{j}) v bodě x_{k} je tedy rovná hodnotě funkcionálu

∑_{i=1}^{n}a_{ji}x′_{i}

v tomtéž bodě x_{k}, neboť pro každé k = 1, …, n platí

∑_{i=1}^{n}a_{ji}x′_{i}(x_{k}) = a_{jk}.

Funkcionály A^{∗}(y′_{j}) a ∑_{i=1}^{n} a_{ji}x′_{i} tak nabývají stejných hodnot na všech prvcích báze x_{1}, …, x_{n} a podle Věty 20 proto platí rovnost

A^{∗}(y′_{j}) = ∑_{i=1}^{n}a_{ji}x′_{i}.

Matice duálního lineárního zobrazení A^{∗} vzhledem k bázím y′_{1}, …, y′_{m} a x′_{1}, …, x′_{n} má tedy na místě (i, j) prvek a_{ji}, je to tedy matice M′ transponovaná k matici M. □

Duálního operátoru A^{∗} k operátoru A na prostoru V využijeme k důkazu následující věty.

Věta 16.99. Pro libovolný lineární operátor A na n-dimenzionálním vektorovém prostoru V nad tělesem komplexních čísel existují invariantní podprostory P_{1} ⊂ P_{2} ⊂ ⋯ ⊂ P_{n} takové, že dimenze podprostoru P_{j} se rovná j pro každé j = 1, …, n.

Důkaz. Pro n = 0 nebo n = 1 není co dokazovat. Použijeme indukci podle dimenze n prostoru V a budeme předpokládat, že tvrzení věty platí pro každý lineární operátor na komplexním vektorovém prostoru dimenze menší než n ≥ 2. Duální operátor A^{∗} na duálním prostoru V′ má podle Věty 16.91 aspoň jeden vlastní vektor x′ ∈ V′. Protože je x′ ≠ 0, platí dim Im(x′) = 1 a tedy dim Ker(x′) = n − 1. Označme Ker(x′) = P_{n−1}. Potom pro každý vektor y ∈ P_{n−1} platí

x′(A(y)) = A^{∗}(x′)(y) = (λx′)(y) = λx′(y) = 0,

a tedy A(y) ∈ Ker(x′) = P_{n−1}. Podprostor P_{n−1} je tedy invariantní podprostor operátoru A a má dimenzi n−1. Pro zúžení operátoru A na podprostor P_{n−1} můžeme použít indukční předpoklad a podle něho tedy existují podprostory

P_{1} ⊂ ⋯ ⊂ P_{n−2} ⊂ P_{n−1},

které jsou všechny invariantní podprostory operátoru A a dimenze P_{j} se rovná j pro j = 1, …, n. □

Poslední věta má zajímavou maticovou interpretaci. Zvolíme nějaký nenulový vektor x_{1} ∈ P_{1}. Protože dim P_{2} je rovna 2, existuje nenulový vektor x_{2} ∈ P_{2}, který je lineárně nezávislý na vektoru x_{1}. Pokud už máme vybrané vektory x_{1}, …, x_{j}, pak v podprostoru P_{j+1} existuje vektor x_{j+1} , který je lineárně nezávislý na vektorech x_{1}, …, x_{j}, protože dimenze podprostoru P_{j+1} je rovna j+1. Indukcí takto vybereme bázi x_{1}, …, x_{n} v prostoru V takovou, že vektory x_{1}, …, x_{j} tvoří bázi v invariantním podprostoru P_{j} pro každé j = 1, …, n. Platí tedy pro každé j = 1, …, n

A(x_{j}) = ∑_{i=1}^{j}a_{ij}x_{i}

pro nějaká komplexní čísla a_{ij}. Matice M operátoru A má tedy vzhledem k bázi x_{1}, …, x_{n} tvar

( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & … & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & a_{23} & … & a_{2n} \\ 0 & 0 & a_{33} & … & a_{3n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & … & a_{nn} \end{matrix} )

neboli a_{ij} = 0 kdykoliv i > j. Takovým maticím říkáme trojúhelníkové matice. Všimněte si, že na hlavní diagonále leží vlastní čísla operátoru A.