15. Determinant

V této části budeme symbolem S_{n} označovat množinu všech permutací na množině {1, 2, …, n}.

Definice 15.43. Buď M = (a_{ij}) čtvercová matice řádu n s prvky v tělese T. Determinant matice M je prvek

|M| = ∑_{p∈S_{n}} sgn(p) · a_{1p(1)} a_{2p(2)} ⋯ a_{np(n)}.

V případě matice

M = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} )

řádu 2 existují pouze dvě permutace v množině S_{2}, identická permutace a transpozice (1, 2). Identické permutaci odpovídá při výpočtu determinantu matice M podle Definice 15.43 součin a_{11}a_{22} s koeficientem 1, což je znaménko identické permutace. Transpozici (1, 2) odpovídá součin a_{12}a_{21} s koeficientem −1, protože znaménko libovolné transpozice je −1. Platí proto

|M| = a_{11}a_{22} − a_{12}a_{21}.

Je-li n = 3, má množina S_{3} šest prvků. Obsahuje tři sudé permutace, identitu a trojcykly (1, 2, 3), (1, 3, 2) a tři liché permutace – transpozice (1, 2), (1, 3) a (2, 3). Sudým permutacím odpovídají při výpočtu determinantu matice

M = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} )

podle Definice 15.43 součiny a_{11}a_{22}a_{33} (pro identickou permutaci), a_{12}a_{23}a_{31} (pro trojcyklus (1, 2, 3)) a a_{13}a_{21}a_{32} (pro trojcyklus (1, 3, 2)), všechny s koeficientem 1. Třem lichým permutacím odpovídají postupně součiny a_{12}a_{21}a_{33} (pro transpozici (1, 2)), a_{13}a_{22}a_{31} (pro transpozici (1, 3)) a a_{11}a_{23}a_{32} (pro transpozici (2, 3)). Všechny tři součiny odpovídající transpozicím mají koeficient −1. Determinant matice M = (a_{ij}) řádu 3 se tedy rovná

|M| = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} − a_{12}a_{21}a_{33} − a_{13}a_{22}a_{31} − a_{11}a_{23}a_{32}.

Ukážeme si ještě, jak vypočítat determinant trojúhelníkové matice. Čtvercová matice M = (a_{ij}) řádu n se nazývá trojúhelníková, jestliže a_{ij} = 0 pro všechny prvky takové, že i > j. Trojúhelníková matice M má tedy tvar

M = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & ⋯ & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & ⋯ & a_{2n} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & ⋯ & 0 \end{matrix} )

Typeset by AMS-TEX

Nechť je nyní p ∈ S_{n} nějaká neidentická permutace. Existuje tedy prvek i ∈ {1, 2, …, n} takový, p(i) ≠ i. Je-li p(i) < i, platí a_{ip(i)} = 0. Jestliže p(i) > i, pak v cyklu permutace p obsahujícím prvek i musí existovat jiný prvek j, pro který musí platit p(j) < j, neboť čísla v tomto cyklu nemohou stále růst. Součin odpovídající permutaci p tak i v tomto případě obsahuje prvek a_{jp(j)} = 0. Pro každou neidentickou permutaci p ∈ S_{n} proto platí

a_{1p(1)} a_{2p(2)} ⋯ a_{np(n)} = 0,

protože se v něm vyskytne prvek ležící pod hlavní diagonálou M. Pro determinant matice M proto platí

|M| = a_{11}a_{22} ⋯ a_{nn},

rovná se tedy součinu prvků na hlavní diagonále M.

V následujících třech větách si ukážeme, jak se změní hodnota determinantu matice M, uděláme-li na M nějakou elementární řádkovou transformaci.

Věta 15.79. Dostaneme-li matici N = (b_{ij}) z matice M = (a_{ij}) vynásobením k-tého řádku čtvercové matice M prvkem c, pak platí |N| = c · |M|.

Důkaz. Toto tvrzení je jednoduché. Je-li i ≠ k, platí b_{ij} = a_{ij}, a pro každé j ∈ {1, 2, …, n} platí b_{kj} = c · a_{kj}. Pro každou permutaci p ∈ S_{n} platí proto

b_{1p(1)} b_{2p(2)} ⋯ b_{np(n)} = c · a_{1p(1)} a_{2p(2)} ⋯ a_{np(n)},

neboť v součinu b_{1p(1)} b_{2p(2)} ⋯ b_{np(n)} se vyskytuje právě jeden prvek z k-tého řádku matice N. Dostáváme tak

|N| = ∑_{p∈S_{n}} b_{1p(1)} b_{2p(2)} ⋯ b_{np(n)} = ∑_{p∈S_{n}} c · a_{1p(1)} a_{2p(2)} ⋯ a_{np(n)} = c · |M|.

□

Věta 15.80. Dostaneme-li matici N = (b_{ij}) ze čtvercové matice M = (a_{ij}) prohozením k-tého a l-tého řádku, platí |N| = −|M|.

Důkaz. Pro prvky matice N platí, že b_{ij} = a_{ij} pro každé i ≠ k, l, a dále b_{kj} = a_{lj} a b_{lj} = a_{kj} pro každé j = 1, 2, …, n. Pro libovolnou permutaci p ∈ S_{n} tak platí

b_{1p(1)} b_{2p(2)} ⋯ b_{np(n)} = b_{kp(k)}b_{lp(l)} ∏_{i≠k,l} b_{ip(i)} = a_{lp(k)}a_{kp(l)} ∏_{i≠k,l} a_{ip(i)}.

Označme si t transpozici (k, l), která prohazuje čísla k a l. Pro složení q = p ∘ t potom platí q(i) = p(t(i)) = p(i), je-li i ≠ k, l, a dále q(k) = p(t(k)) = p(l) a q(l) = p(t(l)) = p(k). Poslední součin v předchozí formuli tedy můžeme vyjádřit ve tvaru

a_{lp(k)}a_{kp(l)} ∏_{i≠k,l} a_{ip(i)} = a_{lq(l)}a_{kq(k)} ∏_{i≠k,l} a_{iq(i)} = ∏_{i=1}^{n}a_{iq(i)}.

Podle Věty 14.77a) platí sgn(q) = sgn(p ∘ t) = −sgn(p) a tedy

sgn(p)b_{1p(1)} b_{2p(2)} ⋯ b_{np(n)} = sgn(p)a_{1q(1)} a_{2q(2)} ⋯ a_{nq(n)} = −sgn(q)a_{1q(1)} a_{2q(2)} ⋯ a_{nq(n)}.

Sečteme-li poslední rovnosti pro všechny permutace p ∈ S_{n}, dostaneme

|N| = ∑_{p∈S_{n}} sgn(p)b_{1p(1)} b_{2p(2)} ⋯ b_{np(n)} = ∑_{p∈S_{n}} −sgn(q)a_{1q(1)} a_{2q(2)} ⋯ a_{nq(n)}.

Zbývá si vyjasnit, že poslední součet je roven −|M|. Jak se liší suma

∑_{p∈S_{n}} sgn(q)a_{1q(1)} a_{2q(2)} ⋯ a_{nq(n)},

kde pro každé p ∈ S_{n} sčítáme součin sgn(q)a_{1q(1)} a_{2q(2)} ⋯ a_{nq(n)} kde q = p ∘ t, od sumy

∑_{q∈S_{n}} sgn(q)a_{1q(1)} a_{2q(2)} ⋯ a_{nq(n)} = |M|?

V první z obou sum sčítáme součiny sgn(q)a_{1q(1)} a_{2q(2)} ⋯ a_{nq(n)} pro ty permutace q ∈ S_{n}, které lze vyjádřit ve tvaru q = p ∘ t, kde p ∈ S_{n}, každý součin tolikrát, kolik různých takových vyjádření dané permutace q existuje. Protože pro každou permutaci q ∈ S_{n} platí q = q ∘ (t ∘ t) = (q ∘ t) ∘ t, každý součin sgn(q)a_{1q(1)} a_{2q(2)} ⋯ a_{nq(n)} se v první ze sum vyskytne aspoň jednou (stačí zvolit p = q ∘ t). Jsou-li permutace p_{1}, p_{2} ∈ S_{n} různé, pak se snadno přesvědčíme, že také p_{1} ∘ t ≠ p_{2} ∘ t. Každý součin sgn(q)a_{1q(1)} a_{2q(2)} ⋯ a_{nq(n)} se tak v první z obou sum vyskytne právě jednou, stejně jako ve druhé z nich. Oba součty se liší pouze pořadím sčítanců, platí tedy skutečně

∑_{p∈S_{n}} sgn(q)a_{1q(1)} a_{2q(2)} ⋯ a_{nq(n)} = ∑_{q∈S_{n}} sgn(q)a_{1q(1)} a_{2q(2)} ⋯ a_{nq(n)} = |M|

a tedy |N| = −|M|. □

Věta 15.81. Jsou-li ve čtvercové matici P = (c_{ij}) dva řádky stejné, pak |P | = 0.

Důkaz. Nechť se tedy v matici P rovná k-tý a l-tý řádek, tj. platí c_{kj} = c_{lj} pro každé j ∈ {1, 2, …, n}. Označme si t transpozici (k, l). Pro každou permutaci p ∈ S_{n} uvažujme také permutaci q = p ∘ t. Platí tedy q(i) = p(t(i)) = p(i) pro i ≠ k, l, q(k) = p(t(k)) = p(l) a q(l) = p(t(l)) = p(k). Vzhledem k tomu, že c_{kp(k)} = c_{lp(k)} a c_{lp(l)} = c_{kp(l)}, a rovněž sgn(q) = sgn(p ∘ t) = −sgn(p), dostáváme

sgn(p)c_{1p(1} ⋯ c_{np(n)} = sgn(p)c_{kp(k)}c_{lp(l)} ∏_{i≠k,l} c_{ip(i)} = sgn(p)c_{lp(k)}c_{kp(l)} ∏_{i≠k,l} c_{ip(i)} =
= − sgn(q)c_{lq(l)}c_{kq(k)} ∏_{i≠k,l} c_{iq(i)} =
= − sgn(q)c_{1q(1)} ⋯ c_{nq(n)}.

Platí tedy pro každé p ∈ S_{n}, že sgn(p)c_{1p(1)} ⋯ c_{np(n)} + sgn(q)c_{1q(1)} ⋯ c_{nq(n)} = 0. Množinu S_{n} můžeme rozložit do tříd rozkladu podle ekvivalence R_{t} (Věta 14.78). Právě jsme ukázali, že součet dvou členů z definice determinantu matice P odpovídajících jedné třídě rozkladu podle ekvivalence R_{t} se rovná 0. Protože jsou různé třídy rozkladu podle R_{t} dizjunktní, platí také

|P | = ∑_{p∈S_{n}} sgn(p)c_{1p(1)} c_{2p(2)} ⋯ c_{np(n)} = 0.

□

Všimněte si ještě, že v důkazu Věty 15.81 bychom mohli postupovat rychleji, pokud bychom předpokládali, že charakteristika tělesa T, ze kterého jsou prvky matice P, je různá od 2. Matice P, ve které se k-tý řádek rovná l-tému řádku, se nezmění, prohodíme-li k-tý a l-tý řádek. Pro takto získanou matici Q platí podle Věty 15.80 |Q| = −|P |. Protože ale Q = P, platí |Q| = |P |, tedy |P | = −|P |, neboli 2|P | = 0. Je-li charakteristika T různá od 2, plyne z toho, že |P | = 0.

Věta 15.82. Dostaneme-li matici N = (b_{ij}) ze čtvercové matice M = (a_{ij}) přičtením c-násobku l-tého řádku ke k-tému řádku matice M, pak platí |N| = |M|.

Důkaz. Tentokrát platí b_{ij} = a_{ij} pro všechny prvky i ≠ k, a b_{kj} = a_{kj} + c · a_{lj}. Pro libovolnou permutaci p ∈ S_{n} tak dostáváme, že

b_{1p(1)} b_{2p(2)} ⋯ b_{np(n)} = b_{kp(k)} ∏_{i≠k}b_{ip(i)} = (a_{kp(k)} + c · a_{lp(k)}) ∏_{i≠k}a_{ip(i)} =

= ∏_{i=1}^{n}a_{ip(i)} + c · a_{lp(k)} ∏_{i≠k}a_{ip(i)}.

Sečteme-li tyto rovnosti pro všechny permutace p ∈ S_{n} (po vynásobení sgn(p)), dostaneme

|N| = sgn(p) ∑_{p∈S_{n}} b_{1p(1)} b_{2p(2)} ⋯ b_{np(n)} =
= ∑_{p∈S_{n}} sgn(p)a_{1p(1)} a_{2p(2)} ⋯ a_{np(n)} + c · ∑_{p∈S_{n}}(sgn(p)a_{lp(k)} ∏_{i≠k}a_{ip(i)}) =
= |M| + c · ∑_{p∈S_{n}}(sgn(p)a_{lp(k)} ∏_{i≠k}a_{ip(i)}).

K dokončení důkazu Věty 15.82 stačí ukázat, že

∑_{p∈S_{n}}(sgn(p)a_{lp(k)} ∏_{i≠k}a_{ip(i)}) = 0.

V součinu

a_{lp(k)} ∏_{i≠k}a_{ip(i)}

sice násobíme n prvků z matice M, z každého sloupce jeden, ale žádný z nich neleží v k-tém řádku, zato z l-tého řádku násobíme dva prvky: a_{lp(k)} a a_{lp(l)}. Stejné součiny se vyskytují při výpočtu determinantu matice P = (c_{ij}), kterou dostaneme z M tak, že nahradíme k-tý řádek matice M l-tým řádkem téže matice. Tedy c_{ij} = a_{ij} pro i ≠ k a c_{kj} = a_{lj} pro všechna čísla j ∈ {1, 2, …, n}. Pro každé i ≠ k tedy platí c_{ip(i)} = a_{ip(i)} a rovněž c_{kp(k)} = a_{lp(k)}. Pro libovolnou permutaci p ∈ S_{n} tak platí

c_{1p(1)} c_{2p(2)} ⋯ c_{np(n)} = a_{lp(k)} ∏_{i≠k}a_{ip(i)}

a tedy také

|P | = ∑_{p∈S_{n}} sgn(p)c_{1p(1)} c_{2p(2)} ⋯ c_{np(n)} = ∑_{p∈S_{n}}(sgn(p)a_{lp(k)} ∏_{i≠k}a_{ip(i)} = 0).

K dokončení důkazu tak stačí ukázat, že |P | = 0. Všimněte si, že v matici P se k-tý řádek rovná l-tému řádku. Podle Věty 15.81 tedy skutečně platí |P | = 0.

Věta 15.83. Je-li M čtvercová matice řádu n, pak platí |M| = |M′|.

Důkaz. Jsou-li p, q ∈ S_{n} libovolné dvě permutace, pak součiny a_{1p(1)} a_{2p(2)} ⋯ a_{np(n)} a a_{q(1)p∘q(1)} a_{q(2)p∘q(2)} ⋯ a_{q(n)p∘q(n)} jsou stejné, liší se pouze pořadím činitelů, neboť v obou případech jsou ze stejných řádků matice M vybrány stejné prvky.

Zvolme q = p^{−1}. Potom podle předchozího odstavce platí

a_{1p(1)} a_{2p(2)} ⋯ a_{np(n)} = a_{p^{−1} (1)1} a_{p^{−1} (2)2} ⋯ a_{p^{−1} (n)n}.

Rovněž platí sgn(p) = sgn(p^{−1}), protože obě permutace p a p^{−1} mají cykly stejných délek. Proto

|M| = ∑_{p∈S_{n}} sgn(p)a_{1p(1)} a_{2p(2)} ⋯ a_{np(n)} = ∑_{p∈S_{n}} sgn(p)a_{p^{−1} (1)1} a_{p^{−1} (2)2} ⋯ a_{p^{−1} (n)n} =
= ∑_{p∈S_{n}} sgn(p^{−1})b_{1p^{−1} (1)} b_{2p^{−1} (2)} ⋯ b_{np^{−1} (n)}.

Poslední suma se ale rovná |M′|, protože inverzní permutace k permutaci p je určena jednoznačně. V součtu definujícím determinant |M′| a v posledním součtu předchozího výpočtu tedy sčítáme stejné součiny, pouze v jiném pořadí. □

Definice 15.44. Buď M = (a_{ij}) čtvercová matice řádu n. Pro libovolná dvě čísla i, j ∈ {1, 2, …, n} označme M_{ij} matici, kterou dostaneme z matice M vypuštěním i-tého řádku a j-tého sloupce. Číslo

c_{ij} = (−1)^{i+j} |M_{ij}|

se nazývá kofaktor prvku a_{ij} v matici M. Matice (c_{ij}) se nazývá kofaktorová matice matice M. Matice transponovaná ke kofaktorové matici (c_{ij}) se nazývá adjungovaná matice k matici M a označuje se adjM.

Věta 15.84. Pro každou čtvercovou matici M = (a_{ij}) a libovolná dvě čísla k, l ∈ {1, 2, … n} platí

|M| = ∑_{j=1}^{n}a_{kj}c_{kj}

a

|M| = ∑_{i=1}^{n}a_{il}c_{il}.

Důkaz. Každý člen v součtu definujícím determinant |M| podle Definice 15.43 obsahuje právě jeden činitel z k-tého řádku. Sečteme-li všechny součiny obsahující prvek a_{kj}a tento prvek vytkneme, a uděláme-li to pro každé j ∈ {1, 2, …, n}, dostaneme

|A| = a_{k1}d_{k1} + a_{k2}d_{k2} + ⋯ + a_{kn}d_{kn}.

K dokončení důkazu první formule Věty 15.84 nám stačí dokázat, že platí

d_{kj} = c_{kj} = (−1)^{k+j} |M_{kj}|,

kde M_{kj} je matice, kterou dostaneme z M vynecháním k-tého řádku a j-tého sloupce. Odmyslíme-li si koeficienty ±1, vyskytují se v d_{kj} všechny možné součiny n − 1 prvků matice M, které leží v různých řádcích matice M s výjimkou k-tého řádku, a v různých sloupcích matice M s výjimkou j-tého sloupce. Jsou to ty samé součiny, jaké se vyskytují v součtu definujícím determinant matice M_{kj}. Zbývá pouze ukázat, že se ty samé součiny n činitelů vyskytují v obou součtech se stejným znaménkem.

Jako první se budeme zabývat případem k = j = 1. Máme dokázat, že platí d_{11} = |M_{11}|. Permutace p ∈ S_{n}, pro které platí, že výraz

sgn(p)a_{1p(1)} a_{2p(2)} ⋯ a_{np(n)}

obsahuje prvek a_{11}, musí splňovat podmínku p(1) = 1. Prvek d_{11} se tedy rovná součtu

∑_{p} sgn(p)a_{2p(2)} ⋯ a_{np(n)},

kde sčítáme přes všechny permutace p ∈ S_{n}, pro které platí p(1) = 1.

Počítáme-li determinant matice M_{11} podle Definice 15.43, dostáváme

|M_{11}| = ∑_{q} sgn(q)a_{2q(2)} ⋯ a_{nq(n)},

kde tentokrát sčítáme přes všechny permutace q na množině {2, 3, …, n}.

Každý sčítanec v poslední sumě definovaný permutací p na množině {2, 3, …, n} odpovídá v součtu určujícím prvek d_{11} sčítanci definovaným permutací p ∈ S_{n}, kterou dostaneme z q rozšířením na celou množinu {1, 2, …, n} tak, že položíme p(1) = 1. Permutace p a q tak mají stejné cykly až na cyklus permutace p obsahující jediný prvek 1. Obě permutace mají proto stejné znaménko (permutace q má sice o jeden cyklus méně než p, působí ale na množině, která má také o jeden prvek méně). Stejné součiny se proto vyskytují jak v součtu definujícím d_{11} tak v součtu definujícím |M_{11}| se stejným znaménkem. Proto platí d_{11} = M_{11}.

Případ obecných d_{kj} a |M_{kj}| převedeme na právě dokázaný případ k = j = 1. Napřed vyměníme k-tý řádek matice M s řádkem těsně nad ním ((k−1)-tým řádkem) a opakujeme to postupně (k − 1)-krát. Tím přesuneme k-tý řádek matice M na místo prvního řádku a vzájemná poloha zbývajících řádků zůstane beze změny. Potom stejným způsobem vyměníme j-tý sloupec s (j −1)-tým sloupcem a opakujeme to opět (j −1)-krát. Tím přemístíme j-tý sloupec na místo prvního sloupce a vzájemná poloha zbývajících sloupců se nezmění. Dostaneme tak matici N = (b_{ij}), pro kterou platí b_{11} = a_{kj} a podle Vět 15.80 a 15.83 také platí

|N| = (−1)^{k−1+j−1} |M| = (−1)^{k+j} |M|.

Kromě toho platí, že matice M_{kj} se rovná matici N_{11}.

Podle výše dokázaného tvrzení se součet všech výrazů v součtu definujícím |N| obsahujících prvek b_{11}(=a_{kj}) rovná b_{11}|N_{11}| a to se podle definice matice N rovná a_{kj}|M_{kj}|. Ze vztahu |N| = (−1)^{k+j} |M| plyne, že vynásobíme-li sumu definující |N| číslem (−1)^{k+j} , dostaneme sumu definující |M|. Proto sčítanci v součtu (−1)^{k+j} a_{kj}|M_{kj}| jsou také sčítanci v |M|. Proto d_{kj} = (−1)^{k+j} |M_{kj}|. Tím je dokázáno první z obou tvrzení Věty 15.84.

Druhé tvrzení dostaneme z prvního použitím Věty 15.83. □

Právě dokázaná věta udává metodu výpočtu determinantu, které se říká rozvinutí podle k-tého řádku nebo podle l-tého sloupce. Je to druhá metoda výpočtu determinantu, která plyne z dokázaných vlastností determinantu. První plyne z Vět 15.79, 15.80 a 15.82 a výpočtu determinantu trojúhelníkové matice bezprostředně po Definici 15.43. Tu použijeme také v důkazu následující věty.

Věta 15.85. Matice M je singulární právě když platí |M| = 0.

Důkaz. Z Věty 9.40 plyne, že pomocí elementárních transformací můžeme matici M převést do matice N, která splňuje podmínky této věty (odstupňovaná matice). Z Vět 15.79, 15.80 a 15.82 potom plyne, že |N| = d|M| pro nějaký nenulový prvek d ∈ T.

Je-li matice M singulární, obsahuje matice N nulový řádek, neboť počet nenulových řádků v matici N se rovná hodnosti matice M. Determinant matice s nulovým řádkem se ale rovná 0, proto rovněž |M| = 0.

Je-li M regulární matice, má matice N všechny řádky nenulové. V každém z nich je první nenulové číslo rovné 1, tyto jednotky jsou v různých sloupcích matice N a všechny ostatní prvky v těchto sloupcích jsou nulové. Protože je matice N čtvercová (neboť M je čtvercová), je matice N jednotková matice a tedy |N| = 1. Proto |M| = d ≠ 0. □

Věta 15.86. Pro každou čtvercovou matici M platí

M · adjM = adjM · M = |M| · I,

kde I je jednotková matice řádu n. Je-li |M| ≠ 0, platí

M^{−1} = \frac{1}{|M|}adjM.

Důkaz. Z Věty 15.84 plyne, že a_{k1}c_{k1} + a_{k2}c_{k2} + ⋯ + a_{kn}c_{kn} = |M|, kde c_{kj} je kofaktor prvku a_{kj}. Protože adjungovaná matice k matici M je transponovaná matice ke kofaktorové matici M, plyne odtud, že prvky na hlavní diagonále součinu M · adjM se rovnají |M|. Zbývá ukázat, že pro každé l ≠ k platí

a_{k1}c_{l1} + a_{k2}c_{l2} + ⋯ + a_{kn}c_{ln} = 0.

Označme N matici, kterou dostaneme z matice M tak, že nahradíme l-tý řádek v matici M jejím k-tým řádkem. Matice N má tedy dva stejné řádky a podle Věty 15.81 platí |N| = 0. Počítáme-li |N| pomocí rozvoje podle l-tého řádku, dostaneme výraz na levé straně poslední formule. Tím je dokázáno, že se tento součet rovná 0 = |N|. Tím je dokázáno, že platí

M · adjM = |M| · I.

Podobně se dokáže, že také adjM · M = |M| · I. Odtud ihned plyne uvedené vyjádření inverzní matice M^{−1} k matici M. □

Věta 15.87. Jsou-li M, N dvě čtvercové matice řádu n, pak platí

|NM| = |N||M|.

Důkaz. Nejdříve si dokážeme, že pro každou elementární matici E platí |EM| = |E||M|. Je-li E = E_{k}(c), platí |E_{k}(c) = c, například proto, že E_{k}(c) je trojúhelníková matice (viz výpočet determinantu trojúhelníkové matice následující po Definici 11.43). Podle Věty 15.79 potom platí |E_{k}(c)M| = c|M| = |E_{k}(c)||M|. Je-li E = E_{kl}, dostaneme matici E_{kl} z jednotkové matice I přehozením k-tého a l-tého řádku. Podle Věty 15.80 potom platí |E_{kl}| = −|I| = −1, neboť determinant jednotkové matice se rovná 1. Potom opět podle Věty 15.80 platí |E_{kl}M| = −|M| = |E_{kl}||M|. A je-li E = E_{kl}(c), dostaneme E_{kl}(c) z jednotkové matice I přičtením c-násobku l-tého řádku ke k-tému řádku. Podle Věty 15.82 potom platí |E_{kl}(c)| = |I| = 1. Potom podle stejné věty |E_{kl}(c)||M| = |M| = |E_{kl}(c)||M|.

Je-li nyní N regulární matice, lze ji podle Věty 10.45b) vyjádřit jako součin elementárních matic N = E_{m}E_{m−1} ⋯ E_{1}. Podle předchozího odstavce platí

|N| = ||E_{m}E_{m−1} ⋯ E_{1}| = |E_{m}||E_{m−1}| ⋯ |E_{1}|

a rovněž

|NM| = |E_{m}E_{m−1} ⋯ E_{1}M| = |E_{m}||E_{m−1}| ⋯ |E_{1}||M| = |N||M|.

Je-li N singulární matice, platí |N| = 0 podle Věty 15.85. Sloupce v součinu matic NM jsou obsažené ve sloupcovém prostoru matice N. Protože je matice N singulární, je její (sloupcová) hodnost menší než n. Proto je i (sloupcová) hodnost součinu NM menší než n, součin NM je tedy také singulární a podle Věty 15.85 proto platí |NM| = 0. Tedy i v případě singulární matice N platí

|NM| = 0 = 0 · |M| = |N||M|.

□

Věta 15.88. Cramerovo pravidlo. Je-li

a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + ⋯ + a_{1n}x_{n} = b_{1}
a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + ⋯ + a_{2n}x_{n} = b_{2}
⋮
a_{n1}x_{1} + a_{n2}x_{2} + ⋯ + a_{nn}x_{n} = b_{n}

soustava n lineárních rovnic o n neznámých, označme M = (a_{ij}) její matici. Pro každé k ∈ {1, 2, …, n} označme M(m) matici, kterou dostaneme z M tak, že v ní nahradíme m-tý sloupec sloupcem pravých stran této soustavy. Je-li matice soustavy M regulární, potom platí

x_{m} = \frac{|M(m)|}{|M|}.

Důkaz. K důkazu stačí použít vyjádření inverzní matice k matici M z Věty 15.86. Soustavu si napřed přepíšeme v maticovém tvaru

MX = K,

kde K je sloupcový vektor pravých stran soustavy a X je sloupcový vektor neznámých. Poslední rovnost vynásobíme zleva maticí

M^{−1} = \frac{1}{|M|}adjM.

Dostaneme tak

X = \frac{1}{|M|}(adjM)K.

Neznámou x_{m} dostaneme srovnáním m-tých řádků v poslední rovnosti. Platí proto

x_{m} = \frac{c_{1m}k_{1} + c_{2m}k_{2} + ⋯ + c_{nm}k_{m}}{|M|} .

Vypočítáme-li determinant |M(m)| rozvinutím podle m-tého sloupce, dostaneme výraz v čitateli posledního zlomku. Proto

x_{m} = \frac{|M(m)|}{|M|}.

□