13. Lineární formy a dualita

Podíváme se ještě jednou jiným způsobem na homogenní soustavu m lineárních rovnic o n neznámých

a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + ⋯ + a_{1n}x_{n} = 0
a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + ⋯ + a_{2n}x_{n} = 0
⋮
a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + ⋯ + a_{mn}x_{n} = 0

s koeficienty z tělesa T. Víme už, že všechna řešení x = (x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) této soustavy tvoří podprostor aritmetického prostoru T^{n}, který má dimenzi n − h, kde h je hodnost matice soustavy (Věta 7.32).

Každá lineární rovnice

a_{1}x_{1} + ⋯ + a_{n}x_{n} = 0

o n neznámých s koeficienty z T určuje zobrazení f z prostoru T^{n} do prostoru T^{1} = T, které vektoru x = (x_{1}, …, x_{n}) přiřazuje skalár

f(x) = a_{1}x_{1} + ⋯ + a_{n}x_{n}.

Snadno si ověříte, že zobrazení f je lineární. Dimenzi jádra Ker(f) zjistíme pomocí dimenze obrazu Im(f). Dimenze obrazu Im(f) je buď 0, je-li f konstantní, nebo 1, pokud f konstantní není. Tedy Ker(f) má dimenzi buď n, nebo n − 1.

Původní soustava z prvního odstavce tak určuje m lineárních zobrazení f_{i} : T^{n} → T, kde

f_{i}((x_{1}, …, x_{n})) = ∑_{j=1}^{n}a_{ij}x_{j} i = 1, …, m.

Prostor všech řešení této soustavy se rovná průniku

⋂_{i=1}^{m} Ker(f_{i})

jader zobrazení f_{i}. Pokud pro některé z těchto zobrazení f_{i} platí

Ker(f_{i}) ⊇ ⋂_{k≠i} Ker(f_{k}),

můžeme příslušnou rovnici z naší soustavy vypustit a prostor všech řešení redukované soustavy bude stejný, jako prostor všech řešení původní soustavy.

Typeset by AMS-TEX

V této části se budeme zabývat lineárními zobrazeními f : V → T, kde V je libovolný vektorový prostor nad T.

Definice 13.36. Je-li V vektorový prostor nad tělesem T a T^{1} = T aritmetický vektorový prostor dimenze 1 nad tělesem T, pak lineárním formou (funkcionálem) na prostoru V nazýváme lineární zobrazení f : V → T^{1}.

Věta 13.67. Buď V vektorový prostor nad tělesem T. Na množině V′ všech lineárních forem na V definujeme operace sčítání a násobení prvky tělesa T následovně:

(f + g)(x) = f(x) + g(x),

a

(af)(x) = af(x).

Potom je množina V′ spolu s takto definovanými operacemi vektorový prostor.

Důkaz. Důkaz spočívá v mechanickém ověření axiomů vektorového prostoru. □

Definice 13.37. Vektorový prostor V′ popsaný v předchozí větě nazýváme duální prostor k prostoru V.

Stojí za pozornost, že každý nenulový prvek x n-dimenzionálního prostoru V generuje podprostor dimenze 1 prostoru V, přičemž dva nenulové vektory x, y určují stejný podprostor, jsou-li lineárně závislé. Podobně každý nenulový prvek f duálního prostoru V′ určuje podprostor dimenze n − 1 prostoru V, přičemž dva nenulové prvky f, g ∈ V′ určují stejný podprostor právě když jsou lineárně závislé. Lineární formy na prostoru V jsou tedy k podprostorům dimenze n − 1 ve stejném vztahu, v jakém jsou prvky prostoru V k podprostorům dimenze 1.

Z Věty 6.25 plyne, že lineární forma f na n-dimenzionálním prostoru V je jednoznačně určena hodnotami f(x_{i}) = a_{i}, kde x_{1}, …, x_{n} je nějaká báze prostoru V. Odtud si snadno odvodíte, že každý n − 1-dimenzionální podprostor V je jádrem nějaké lineární formy na V. Ve skutečnosti má duální prostor V′ stejnou dimenzi jako prostor V.

Věta 13.68. Buď V vektorový prostor dimenze n nad tělesem T a x_{1}, …, x_{n} nějaká báze prostoru V. Potom lineární formy e_{1}, …, e_{n} na prostoru V definované předpisem

e_{i}(x_{j}) = δ_{ij} = \{ \begin{matrix}1, je-li i = j, \\ 0, je-li i ≠ j \end{matrix}

pro i = 1, …, n tvoří bázi prostoru V′. Prostor V′ má tedy rovněž dimenzi n. Lineární formy e_{1}, …, e_{n} jsou bází x_{1}, …, x_{n} určené jednoznačně.

Důkaz. Nejprve ověříme, že jsou lineární formy e_{1}, …, e_{n} lineárně nezávislé. Jsou-li a_{1}, …, a_{n} ∈ T libovolné skaláry takové, že

a_{1}e_{1} + ⋯ + a_{n}e_{n} = 0,

pak platí pro každé j = 1, …, n

0 = (a_{1}e_{1} + ⋯ + a_{n}e_{n})(x_{j}) = a_{1}e_{1}(x_{j}) + ⋯ + a_{n}e_{n}(x_{j}) = a_{1}δ_{1j} + ⋯ + a_{n}δ_{nj} = a_{j}.

Zbývá dokázat, že každou lineární formu f ∈ V′ lze vyjádřit jako lineární kombinaci forem e_{1}, …, e_{n}. Je-li

x = ∑_{j=1}^{n}c_{j}x_{j}

libovolný prvek prostoru V a f(x_{j}) = a_{j} pro j = 1, …, n, pak

f(x) = f(∑_{j=1}^{n}c_{j}x_{j}) = ∑_{j=1}^{n}c_{j}a_{j}.

Naproti tomu

e_{i}(x) = e_{i}(∑_{j=1}^{n}c_{j}x_{j}) = ∑_{j=1}^{n}c_{j}δ_{ij} = c_{i},

a proto

f(x) = f(∑_{j=1}^{n}c_{j}x_{j}) = ∑_{j=1}^{n}c_{j}f(x_{j}) = ∑_{j=1}^{n}e_{j}(x)a_{j} = (∑_{j=1}^{n}a_{j}e_{j})(x).

Lineární formy e_{1}, …, e_{n} tedy tvoří bázi duálního prostoru V′, který má proto dimenzi n. □

Definice 13.38. Báze e_{1}, …, e_{n} prostoru V′ se nazývá duální báze k bázi x_{1}, …, x_{n} prostoru V.

V závěrečné části důkazu poslední věty jsme nejenom ukázali, že formy e_{1}, …, e_{n} tvoří bázi duálního prostoru V′, ale našli jsme také souřadnice libovolné lineární formy f ∈ V′ vzhledem k této bázi. Ukázali jsme, že f = ∑_{i} a_{i}e_{i}, kde a_{i} = f(x_{i}), tj. souřadnice formy f vzhledem k bázi e_{1}, …, e_{n} jsou (f(x_{1}), …, f(x_{n})).

Ke každé bázi x_{1}, …, x_{n} tedy existuje duální báze e_{1}, …, e_{n} v duálním prostoru V′. Můžeme naopak ke každé bázi f_{1}, …, f_{n} prostoru V′ najít vhodnou bázi y_{1}, …, y_{n} prostoru V takovou, že báze f_{1}, …, f_{n} je duální bází k bázi y_{1}, …, y_{n}? Zdá se to být pravděpodobné, překvapivé ale je, že to vyplývá bezprostředně z již dokázané Věty 13.68, pokud použijeme vlastnost konečně-dimenzionálních vektorových prostorů, které se říká reflexivita. Pro její snazší pochopení si hodnotu lineárních formy f v bodě x budeme místo f(x) zapisovat ve tvaru

[f, x],

ve kterém jsou symboly pro f a x v rovnocenném postavení.

Každý vektor x ∈ V určuje zobrazení duálního prostoru V′ do tělesa skalárů T, které každému prvku prostoru V′, tj. každé lineární formě f na prostoru V, přiřadí její hodnotu v bodě x, tj. skalár [f, x]. Vzhledem k definici sčítání a násobení skalárem v duálním prostoru V′ platí

[af + bg, x] = a[f, x] + b[g, x]

pro libovolné dva skaláry a, b ∈ T a libovolné dvě formy f, g ∈ V′. Naše zobrazení je tedy lineární, neboli je to lineární forma na prostoru V′. Označme si tuto lineární formu E(x).

Věta 13.69. Zobrazení E : V → V′′, které každému prvku x ∈ V přiřazuje lineární formu E(x) ∈ V′′, je izomorfizmus vektorových prostorů V a V′′.

Důkaz. Ukážeme, že zobrazení E je lineární. Jsou-li x, y libovolné dva vektory z V a a, b dva skaláry, potom pro každý prvek f duálního prostoru V′ platí

E(ax+by)(f) = [f, ax+by] = a[f, x]+b[f, y] = aE(x)(f)+bE(y)(f) = (aE(x)+bE(y))(f),

neboli

E(ax + by) = aE(x) + bE(y).

Dále ukážeme, že zobrazení E : V → V′ je prosté. Je-li x ∈ Ker(E), platí E(x)(f) = [f, x] = 0 pro každou lineární formu f ∈ V′. Je-li x ≠ 0, existuje lineární forma f ∈ V′ taková, že f(x) ≠ 0. Jediný prvek Ker(E) je tedy nulový vektor 0 ∈ V.

Vzhledem k tomu, že všechny tři prostory V, V′, V′′ mají stejnou dimenzi n, je zobrazení E na celý prostor V′′ a tedy je to izomorfizmus. □

Všimněte si, že pro důkaz, že jsou prostory V a V′′ izomorfní, jsme nepotřebovali volit báze v obou prostorech, jako jsme to museli udělat v důkazu toho, že libovolné dva prostory dimenze n jsou izomorfní. Říkáme, že izomorfizmus E je kanonický izomorfizmus. Skutečnost, že prostory V a V′′ jsou kanonicky izomorfní, pokud je dimenze V konečná, se také vyjadřuje slovy, že konečně-dimenzionální vektorové prostory jsou reflexivní.

Důsledek 13.70. Pro každou bázi f_{1}, …, f_{n} prostoru V′ duálního k prostoru V existuje právě jedna báze y_{1}, …, y_{n} prostoru V taková, že platí

f_{i}(y_{j}) = δ_{ij} = \{ \begin{matrix}1, je-li i = j, \\ 0, je-li i ≠ j \end{matrix}

pro každé dva indexy i, j = 1, …, n.

Důkaz. K bázi f_{1}, …, f_{n} prostoru V′ existuje podle Věty 13.68 právě jedna duální báze z_{1}, …, z_{n} prostoru V′′. Podle Věty 13.69 existují jednoznačně určené vektory y_{1}, …, y_{n} v prostoru V takové, že E(y_{j}) = z_{j} pro každé j = 1, …, n. Tyto vektory tvoří bázi V, protože zobrazení E je izomorfizmus. Potom platí

f_{i}(y_{j}) = E(y_{j})(f_{i}) = z_{j}(f_{i}) = δ_{ij} = \{ \begin{matrix}1, je-li i = j, \\ 0, je-li i ≠ j. \end{matrix}

□

Dále si ukážeme souvislost mezi lineární závislostí forem na prostoru V a jejich jádry.

Věta 13.71. Jsou-li f, f_{1}, …, f_{k} lineární formy na vektorovém prostoru V, pak f je lineárně závislá na formách f_{1}, …, f_{k} právě když

Ker(f) ⊇ ⋂_{i=1}^{k} Ker(f_{i}).

Důkaz. Předpokládejme, že f lineárně závisí na formách f_{1}, …, f_{k}. Existují tedy skaláry a_{1}, …, a_{k} takové, že f = a_{1}f_{1} + ⋯ a_{k}f_{k}. Je-li x ∈ ⋂_{i=1}^{k} Ker(f_{i}), platí f_{i}(x) = 0 pro i = 1, …, k. Tedy také f(x) = 0, neboli x ∈ Ker(f).

Nechť naopak

Ker(f) ⊇ ⋂_{i=1}^{k} Ker(f_{i}).

Pokud pro nějakou lineární formu f_{l}, l = 1, …, k platí

Ker(f_{l}) ⊇ ⋂_{i≠l}^{k}Ker(f_{i}),

platí také

Ker(f) ⊇ ⋂_{i=1}^{k} Ker(f_{i}) = ⋂_{i≠l}Ker(f_{i}).

Stačí potom dokázat, že f lineárně závisí na formách f_{i}, i ≠ l. Tímto způsobem můžeme ze seznamu f_{1}, …, f_{k} postupně vyškrtat všechny lineární formy, které nijak nepřispívají k velikosti průniku jader.

Můžeme tedy od samého počátku předpokládat, že lineární formy f_{1}, …, f_{k} splňují podmínku

⋂_{i≠l}Ker(f_{i}) ≠ ⋂_{i=1}^{k} Ker(f_{i}),

neboli, že pro každé l = 1, 2, …, k jádro Ker(f_{l}) neobsahuje průnik

⋂_{i≠l}Ker(f_{i})

jader zbývajících forem.

Z prvního odstavce důkazu pak plyne, že formy f_{1}, …, f_{k} jsou lineárně nezávislé. Doplníme je tedy do báze f_{1}, …, f_{k}, f_{k+1} , …, f_{n} prostoru V′. Podle Důsledku 13.71 existuje báze x_{1}, …, x_{n} prostoru V taková, že

f_{i}(x_{j}) = δ_{ij}.

Vektory x_{k+1} , …, x_{n} leží v jádru každé z forem f_{1}, …, f_{k}, platí tedy

x_{j} ∈ ⋂_{i=1}^{k} Ker(f_{i}) ⊆ Ker(f)

pro každé j = k + 1, …, n.

Označme f(x_{i}) = a_{i} pro i = 1, …, k. Pro každé takové i potom platí, že

(∑_{j=1}^{k}a_{j}f_{j})(x_{i}) = ∑_{j=1}^{k}a_{j}f_{j}(x_{i}) = ∑_{j=1}^{k}a_{j}δ_{ij} = a_{i} = f(x_{i}).

Protože všechny ostatní vektory x_{k+1} , …, x_{n} leží v jádrech všech forem f_{1}, …, f_{k} a f, platí

(∑_{j=1}^{k}a_{j}f_{j})(x_{i}) = f(x_{i})

pro libovolné i = 1, …, n. Protože každé lineární zobrazení je jednoznačně určené svými hodnotami na prvcích nějaké báze, platí

f = ∑_{j=1}^{k}a_{j}f_{j}.

□