12. Bilineární a kvadratické formy

Jakkoliv skalární součin odpovídá našim běžným představám o délce a úhlech, existují důležité oblasti matematiky a fyziky, ve kterých se “vzdálenosti” a “úhly” měří jinak. Typickým příkladem je Minkowského geometrie, která tvoří matematický základ speciální teorie relativity. Body Minkowského geometrie tvoří čtveřice (nazývané události) x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}, t) reálných čísel. “Úhel” mezi vektory x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}, t) a y = (y_{1}, y_{2}, y_{3}, u) se v této geometrii měří pomocí “skalárního součinu”

(x, y) = x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2} + x_{3}y_{3} − tu

a “délka” vektoru x je potom ||x||^{2} = x_{1}^{2} +x_{2}^{2} +x_{3}^{2} −t^{2}. “Skalární součin” jsem dal v tomto případě do úvozovek, neboť Minkowského geometrie nesplňuje požadavky Definice 11.28. Společné rysy euklidovské geometrie, Minkowského geometrie a řady dalších jsou zachyceny pomocí pojmu bilineární forma.

Definice 12.32. Je-li V vektorový prostor nad tělesem T, pak funkce w : V × V → T se nazývá bilineární forma (bilineární funkcionál), jestliže platí

w(a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2}, y) = a_{1}w(x_{1}, y) + a_{2}w(x_{2}, y)

a

w(y, a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2}) = a_{1}(y, x_{1}) + a_{2}(y, x_{2})

pro každé vektory x_{1}, x_{2}, y ∈ V a každé dva skaláry a_{1}, a_{2} ∈ T. Platí-li navíc w(x, y) = w(y, x) pro každé dva vektory x, y ∈ V, nazývá se w symetrická bilineární forma.

Věta 12.60. Buď V vektorový prostor dimenze n nad tělesem T a z_{1}, …, z_{n} nějaká báze prostoru V. Potom pro každou čtvercovou matici M = (d_{ij}) řádu n s prvky v tělese T existuje právě jedna bilineární forma w na prostoru V taková, že platí

w(z_{i}, z_{j}) = d_{ij}

pro libovolné dva indexy i, j ∈ {1, 2, …, n}.

Důkaz. Jsou-li x = ∑_{i=1}^{n} b_{i}z_{i} a y = ∑_{j=1}^{n} c_{j}z_{j} libovolné dva vektory x, y ∈ V vyjádřené vzhledem k bázi z_{1}, …, z_{n}, pak z definice bilineární formy plyne

w(x, y) = w(∑_{i=1}^{n}b_{i}z_{i}, ∑_{j=1}^{n}c_{j}z_{j}) = ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{n}b_{i}c_{j}w(z_{i}, z_{j}) = ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{n}b_{i}c_{j}d_{ij}.

Odtud plyne jednoznačnost bilineární formy w, pokud existuje. Existenci dokážeme tak, že vezmeme začátek a konec předchozího výpočtu za definici funkce w : V × V → T a

Typeset by AMS-TEX

ověříme, že takto definovaná funkce splňuje požadavky Definice 12.32. Formální ověření si můžete udělat sami. □

Každou čtvercovou matici řádu n s prvky z tělesa T si tedy můžeme představit jako matici nějaké bilineární formy na vektorovém prostoru V dimenze n nad tělesem T. Stačí k tomu pouze zvolit nějakou bázi z_{1}, …, z_{n} prostoru V. Jedna a ta samá matice bude při různých volbách báze z_{1}, …, z_{n} popisovat jinou bilineární formu na V. Stejně tak různé matice mohou popisovat stejnou bilineární formu vzhledem k různým bázím prostoru V. V následující větě si ukážeme, jak se změní matice bilineární formy w vzhledem k bázi z_{1}, …, z_{n}, přejdeme-li od báze z_{1}, …, z_{n} k bázi y_{1}, …, y_{n}. Nejdříve ale jednoduchá definice.

Definice 12.33. Je-li M = (a_{ij}) čtvercová matice rádu n, pak matice M′ = (a_{ji}) se nazývá matice transponovaná k matici M.

Věta 12.61. Buď V vektorový prostor dimenze n nad tělesem T, z_{1}, …, z_{n} nějaká jeho báze a w bilineární forma na V. Označme M = (w(z_{i}, z_{j})) matici bilineární formy w vyjádřenou vzhledem k bázi z_{1}, …, z_{n}. Buď y_{1}, …, y_{n} nějaká jiná báze prostoru V. Buď

y_{1} = c_{11}z_{1} + c_{21}z_{2} + ⋯ + c_{n1}z_{n}
y_{2} = c_{12}z_{1} + c_{22}z_{2} + ⋯ + c_{n2n}z_{n}
⋮
y_{n} = c_{1n}z_{1} + c_{2n}z_{2} + ⋯ + c_{nn}z_{n}

vyjádření vektorů nové báze y_{1}, …, y_{n} pomocí původní báze z_{1}, …, z_{n}. Označme C = (c_{kl}) matici přechodu od báze z_{1}, …, z_{n} k bázi y_{1}, …, y_{n}. Potom je matice N = (w(y_{i}, y_{j})) bilineární formy w vzhledem k bázi y_{1}, …, y_{n} rovna

N = C′ M C,

kde C′ označuje matici transponovanou k C.

Důkaz. Přes složitost formulace věty je důkaz jednoduchý. Spočítáme, čemu se rovná w(y_{i}, y_{j}):

w(y_{i}, y_{j}) = w(∑_{k=1}^{n}c_{ki}z_{k}, ∑_{l=1}^{n}c_{lj}z_{l}) = ∑_{k=1}^{n} ∑_{l=1}^{n}c_{ki}w(z_{k}, z_{l})c_{lj}

= ∑_{k=1}^{n}c_{ki} (∑_{l=1}^{n}w(z_{k}, z_{l})c_{lj}) .

Výraz ve velké závorce označuje prvek na místě (k, j) v součinu matic M C. Označme si jej d_{kj}. Dále

w(y_{i}, y_{j}) = ∑_{k=1}^{n}c_{ki}d_{kj}.

Prvek c_{ki} je roven prvku na místě (i, k) v transponované matici C′. Proto se w(y_{i}, y_{j}) rovná prvku na místě (i, j) v součinu C′ (M C) = C′ M C. □

V další části tohoto tématu se budeme zabývat pouze symetrickými bilineárními formami, tj. bilineárními formami, pro které platí w(x, y) = w(y, x) pro každé dva vektory x, y ∈ V. Ukážeme si, že pro každou symetrickou bilineární formu w na V existuje báze, ve které je tato forma vyjádřená pomocí diagonální matice. K tomu musíme předpokládat, že V je vektorový prostor nad tělesem T, které má charakteristiku různou od 2.

Definice 12.34. Buď w bilineární forma na vektorovém prostoru V. Kvadratická forma na prostoru V určená bilineární formou w je funkce w(x, x). Kvadratická forma w(x, x) na prostoru V nad reálnými čísly se nazývá pozitivně definitní, platí-li w(x, x) ≥ 0 pro každé x ∈ V, přičemž rovnost nastává právě když x = 0, a nazývá se pozitivně semidefinitní, platí-li w(x, x) ≥ 0 pro každý vektor x ∈ V.

Srovnáním s definicí skalárního součinu na reálném vektorovém prostoru V vidíme, že skalární součin není nic jiného než symetrická bilineární forma na V, která určuje pozitivně definitní kvadratickou formu na V. V předchozí části jsme ukázali, že v každém reálném vektorovém (tj. euklidově) prostoru, na kterém je definován skalární součin, můžeme najít ortonormální bázi a vzhledem k této bázi má skalární součin velmi jednoduché vyjádření. V této části přednášky si tento výsledek zobecníme na libovolné symetrické bilineární formy. Napřed ale pár poznámek o významu charakteristiky tělesa T.

Je-li V vektorový prostor nad tělesem T, které má charakteristiku různou od 2, pak každou symetrickou bilineární formu w(x, y) na prostoru V lze zrekonstruovat z příslušné kvadratické formy w(x, x). Je-li charakteristika tělesa T různá od 2, jsou symetrické bilineární formy a kvadratické formy dva různé pohledy na jeden a ten samý matematický pojem. Má-li těleso T charakteristiku 2, je teorie bilineárních a kvadratických forem složitější. V této části přednášky budeme proto dále předpokládat, že V je vektorový prostor nad tělesem T, které má charakteristiku různou od 2.

Poznámka 12.62. Buď V vektorový prostor nad tělesem T charakteristiky různé od 2 a w(x, y) symetrická bilineární forma na prostoru V. Bilineární forma w(x, y) je jednoznačně určená svojí kvadratickou formou w(x, x).

Důkaz. Z definice bilineární formy ihned plyne, že

w(x + y, x + y) = w(x, x) + w(x, y) + w(y, x) + w(y, y).

Protože je w symetrická bilineární forma, platí w(x, y) = w(y, x) a tedy w(x, y)+w(y, x) = 2w(x, y). Protože předpokládáme, že charakteristika tělesa T je různá od 2, platí 2 = 1 + 1 ≠ 0 a můžeme tedy číslem 2 dělit. Potom dostáváme

w(x, y) = \frac{1}{2}[w(x + y, x + y) − w(x, x) − w(y, y)].

□

Nyní si uvedeme dva důkazy, že pro každou symetrickou bilineární funkci w na vektorovém prostoru V existuje báze v V, vzhledem ke které je bilineární funkce w vyjádřená diagonální maticí. První důkaz bude založený na Větě 12.61. Napřed si ukážeme jednoduché lemma.

Lemma 12.63. Jsou-li M, N dvě čtvercové matice řádu n, pak platí

(MN)′ = N′M′.

Důkaz. Důkaz je jednoduchý. Označme si M = (a_{ij}) a N = (b_{jk}), MN = (c_{ik}) a N′M′ = (d_{ik}). Potom

c_{ik} = ∑_{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk},

a

d_{ik} = ∑_{j=1}^{n}b_{ji}a_{kj} = c_{ki}.

□

Nyní se vraťme k Větě 12.61. Matice C, která vyjadřuje prvky nové báze y_{1}, …, y_{n} pomocí původní báze z_{1}, …, z_{n}, je regulární. Podle Věty 10.45a) ji lze vyjádřit jako součin elementárních matic: C = E_{1}E_{2} ⋯ E_{k}. Potom se matice bilineární formy w vyjádřená vzhledem k nové bázi y_{1}, …, y_{n} rovná

N = E′_{k} ⋯ E′_{2}E′_{1}ME_{1}E_{2} ⋯ E_{k}.

Abychom pochopili, jak přejít od matice M k matici N, stačí prozkoumat, jak se liší matice M a E′ M E, kde E je libovolná elementární matice.

Snadné to je v případě elementárních matic prvního a druhého typu, které jsou symetrické. Je-li E = E_{ij}, pak matici ME_{ij} dostaneme z M tak, že přehodíme i-tý a j-tý sloupec. Z této matice pak matici E_{ij}(ME_{ij}) dostaneme přehozením i-tého a j-tého řádku. Matici E′_{ij}ME_{ij} tedy dostaneme z matice M tak, že uděláme tutéž elementární transformaci prvního typu na sloupce a řádky matice M. Na pořadí nezáleží, neboť násobení matic je asociativní.

Podobné to je s násobením elementární maticí E = E_{i}(c) druhého typu. Součin ME_{i}(c) dostaneme z M vynásobením i-tého sloupce nenulovým skalárem c a matici E′_{i}(c)(ME_{i}(c)) dostaneme dále vynásobením i-tého řádku matice ME_{i}(c) tím samým skalárem c. Tedy matici E′_{i}(c)ME_{i}(c) dostaneme z M vynásobením i-tého sloupce a i-tého řádku skalárem c. Na pořadí opět nezáleží.

Elementární matice třetího typu E_{ij}(c) má na hlavní diagonále samé jednotky a kromě toho prvek c na místě (i, j). Zbývající prvky matice E_{ij}(c) jsou nulové. Součin ME_{ij}(c) dostaneme z matice M tak, že přičteme k j-tému sloupci matice M c-násobek i-tého sloupce. Transponovaná matice E_{ij}(c)′ má kromě jednotek na hlavní diagonále jediný nenulový prvek c na místě (j, i) a rovná se tedy elementární matici E_{ji}(c). Matici E′_{ij}(c)(ME_{ij}(c)) = E_{ji}(c)(ME_{ij}(c)) tedy dostaneme z ME_{ij}(c) tak, že k j-tému řádku matice ME_{ij}(c) přičteme c-násobek i-tého řádku. Také v tomto případě dostaneme matici E′_{ij}(c)(ME_{ij}(c)) z matice M tak, že uděláme tutéž elementární transformace třetího typu současně na sloupce i řádky matice M. Na pořadí opět nezáleží.

Věta 12.64. Buď w symetrická bilineární forma na vektorovém prostoru V, z_{1}, …, z_{n} nějaká báze prostoru V a M = (b_{ij}) = (w(z_{i}, z_{j})) matice formy w vzhledem k bázi z_{1}, …, z_{n}. Potom existuje báze y_{1}, …, y_{n} prostoru V, vzhledem ke které je bilineární forma w vyjádřená maticí P = (d_{ij}), která má nenulové prvky pouze na hlavní diagonále. Počet nenulových prvků na hlavní diagonále matice N se rovná hodnosti matice M.

Důkaz. Budeme postupovat tak, že budeme postupně provádět stejné elementární operace současně na řádky a sloupce matice M a převedeme ji tak na diagonální matici. Obsahuje-li matice M pouze nulové prvky, je už v hledaném tvaru. Předpokládejme tedy, že M ≠ 0. Dále ukážeme, že existuje elementární matice E taková, že matice E′ME obsahuje nějaký nenulový prvek na hlavní diagonále. Není co dokazovat, pokud platí b_{ii} ≠ 0 pro nějaké i = 1, …, n. Je-li b_{ii} = 0 pro každé i = 1, …, n, pak existuje v matici M prvek b_{ij} ≠ 0 pro nějaké indexy i ≠ j. V matici M přičteme j-tý sloupec k i-tému sloupci a potom přičteme j-tý řádek k i-tému řádku. Vzhledem k tomu, že matice M je symetrická, dostáváme že prvek na místě (i, i) v nové matici se rovná a_{ii} = b_{ij} + b_{ji} = 2b_{ij}. To je nenulový prvek tělesa T, protože předpokládáme, že těleso T má charakteristiku různou od 2. Dostali jsme tak matici, která má na hlavní diagonále nenulový prvek na místě (i, i). Dále zaměníme první a i-tý řádek a první a i-tý sloupec. Tím dostaneme matici, která má nenulový prvek na místě (1, 1).

Dále odečteme vhodný násobek prvního řádku matice od i-tého řádku a stejný násobek prvního sloupce od i-tého sloupce. Tím dostaneme matici, ve které budou všechny prvky v prvním řádku a prvním sloupci nulové s výjimkou prvku na místě (1, 1). Tuto matici si označíme N. Platí tedy

N = ( \begin{matrix}a_{11} & 0 \\ 0 & M_{1} \end{matrix} ) .

Matice M_{1} je matice řádu n − 1 a je symetrická. (Abychom se přesvědčili, že je matice M_{1} opravdu symetrická, stačí ověřit, že je symetrická matice E′QE, kde Q je libovolná symetrická matice a E je elementární matice.)

Nyní opakujeme celý postup s maticí M_{1}. Dostaneme nakonec matici

N_{1} = ( \begin{matrix}a_{22} & 0 \\ 0 & M_{2} \end{matrix} ) ,

kde M_{2} je symetrická matice řádu n − 2. Po nejvýše n opakováních dostaneme hledanou diagonální matici P. Protože jsme matici P dostali z M pomocí elementárních řádkových a sloupcových úprav, má matice P stejnou hodnost jako matice M. □

Maticový důkaz je poměrně jednoduchý, můžeme z něj dostat ale ještě více. Každá elementární matice, kterou při transformaci matice M do diagonálního tvaru postupem z důkazu Věty 12.64 použijeme, odpovídá nějaké elementární transformaci báze prostoru V. O jakou elementární transformaci jde, poznáme z rovnic ze znění Věty 12.61. Matice E_{ij} odpovídá prohození i-tého a j-tého vektoru báze, matice E_{i}(c) odpovídá vynásobení i-tého vektoru báze skalárem c a konečně matice E_{ij}(c) odpovídá přičtení c-násobku i-tého vektoru k j-tému vektoru. Z důkazu Věty 12.64 tak dostáváme také metodu, jak najít bázi y_{1}, …, y_{n}, vzhledem ke které má daná symetrická bilineární forma diagonální matici.

Ukážeme si ještě druhý důkaz Věty 12.84, který nám dá jinou představu, co vlastně změna báze znamená pro matici, která bilineární (kvadratickou) formu vyjadřuje.

Buď x libovolný vektor prostoru V a nechť (v_{1}, v_{2}, …, v_{n}) jsou souřadnice vektoru x vzhledem k bázi z_{1}, …, z_{n}. Platí tedy

x = ∑_{i=1}^{n}v_{i}z_{i}.

Potom pro kvadratickou formu w(x, x) dostáváme vyjádření

w(x, x) = w(∑_{i=1}^{n}v_{i}z_{i}, ∑_{j=1}^{n}v_{j}z_{j}) = ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{n}w(z_{i}, z_{j})v_{i}v_{j} = ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{n}b_{ij}v_{i}v_{j}.

Na souřadnice v_{1}, …, v_{n} vektoru x se můžeme dívat jako na n nezávislých proměnných, které mohou nabývat libovolnou hodnotu z tělesa T. Kvadratická forma w je při tomto pohledu funkcí n proměnných definovanou na tělese T a nabývající hodnot v tělese T.

Předpokládejme dále, že kvadratická forma w(x, x) není identicky rovná nule, tj. že aspoň jeden prvek b_{ij} = w(z_{i}, z_{j}) je nenulový. Pokud jsou všechny diagonální prvky b_{kk} rovné nule, změníme bázi z_{1}, …, z_{n} na bázi y_{1}, …, y_{n} tak, že položíme y_{k} = z_{k} pro k ≠ i, j, y_{i} = z_{i} + z_{j} a y_{j} = z_{i} − z_{j}. Potom platí

w(y_{i}, y_{i}) = w(z_{i} + z_{j}, z_{i} + z_{j}) = w(z_{i}, z_{i}) + w(z_{j}, z_{j}) + 2w(z_{i}, z_{j}) = 2w(z_{i}, z_{j}).

Je-li N = (d_{ij}) = (w(y_{i}, y_{j})) matice bilineární (kvadratické) formy w vzhledem k bázi y_{1}, …, y_{n}, pak d_{ii} ≠ 0 (neboť předpokládáme, že charakteristika tělesa T je různá od 2).

Můžeme tedy od počátku předpokládat, že aspoň jeden diagonální prvek b_{ii} matice bilineární (kvadratické) formy w vzhledem k bázi z_{1}, …, z_{n} je různý od 0. V případě potřeby ještě zaměníme v bázi z_{1}, …, z_{n} vektory z_{i} a z_{1}, abychom docílili toho, že b_{11} = w(z_{1}, z_{1}) ≠ 0. Kvadratická forma w(x, x) má tedy vzhledem k bázi z_{1}, …, z_{n} tvar

w(x, x) = b_{11}v_{1}^{2} + 2b_{12}v_{1}v_{2} + 2b_{13}v_{1}v_{3} + ⋯ + 2b_{1n}v_{1}v_{n} + ⋯ =

= \frac{1}{b_{11}} (b_{11}v_{1} + ⋯ + b_{1n}v_{n})^{2} − B,

kde výraz B neobsahuje proměnnou (souřadnici) v_{1}.

Zavedeme nyní nové proměnné

u_{1} = b_{11}v_{1} + ⋯ + b_{1n}v_{n},
u_{2} = v_{2},
⋮
u_{n} = v_{n}.

Tyto nové proměnné (u_{1}, …, u_{n}) jsou souřadnice vektoru x vzhledem k nějaké nové bázi y_{1}, …, y_{n}. Označíme C matici

C = (c_{ij}) = ( \begin{matrix}b_{11} & b_{12} & … & b_{1n} \\ 0 & 1 & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & … & 1 \end{matrix} )

Všimněte si, že matice C nezávisí na souřadnicích (v_{1}, …, v_{n}) vektoru x. Tato matice je díky předpokladu b_{11} ≠ 0 regulární. Nové souřadnice (u_{,} …, u_{n}) dostaneme tedy tak, že původní souřadnice (v_{1}, …, v_{n}) zapsané sloupcově vynásobíme zleva maticí C. Na základě Věty 9.36 tak můžeme usoudit, že matice C je maticí přechodu od neznámé báze y_{1}, …, y_{n} k bázi z_{1}, …, z_{n}. Z rovnic

z_{j} = ∑_{i=1}^{n}c_{ij}y_{i}, j = 1, …, n

pak můžeme vypočítat vektory nové báze y_{1}, …, y_{n} pomocí inverzní matice C^{−1}. Vzhledem k jednoduchému tvaru matice C to můžeme udělat i přímým výpočtem.

Vzhledem k nové bázi y_{1}, …, y_{n} má potom kvadratická forma w vyjádření

w(x, x) = \frac{1}{b_{11}} u_{1}^{2} + ∑_{i,j=2}^{n} b_{ij}^{∗}u_{i}u_{j}.

Dále pokračujeme opět indukcí, kvadratická forma ∑_{i,j=2}^{n} b_{ij}^{∗}u_{i}u_{j} má n − 1 proměnných a podle indukčního předpokladu ji můžeme převést do “diagonálního tvaru.” Dokázali jsme tak znovu Větu 12.64. Pro zajímavost si ji zformulujeme trochu jiným způsobem.

Věta 12.65. Buď w(x, x) kvadratická (bilineární) forma na prostoru V nad tělesem T a nechť je charakteristika tělesa T různá od 2. Potom existuje báze e_{1}, …, e_{n} v prostoru V, vzhledem ke které má kvadratická forma w(x, x) vyjádření

w(x, x) = λ_{1}t_{1}^{2} + λ_{2}t_{2}^{2} + ⋯ + λ_{n}t_{n}^{2},

kde λ_{1}, λ_{2} …, λ_{n} jsou nějaké prvky T, a (t_{1}, …, t_{n}) jsou souřadnice vektoru x vzhledem k bázi e_{1}, …, e_{n}. □

Další větou, kterou si dokážeme v této části, je tzv. věta o setrvačnosti kvadratických forem. Je-li w kvadratická forma na n-dimenzionálním vektorovém prostoru V, můžeme podle předchozí Věty 12.65 najít bázi y_{1}, …, y_{n} prostoru takovou, že vzhledem k této bázi platí

w(x, x) = λ_{1}t_{1}^{2} + λ_{2}t_{2}^{2} + ⋯ + λ_{n}t_{n}^{2},

kde (t_{1}, …, t_{n}) jsou souřadnice vektoru x vzhledem k bázi y_{1}, …, y_{n}. Případným vynásobením vektorů y_{1}, …, y_{n} vhodnými konstantami můžeme dosáhnout toho, že λ_{i} = ±1 nebo λ_{i} = 0 pro každé i = 1, …, n. Říkáme, že vzhledem k bázi y_{1}, …, y_{n} lze kvadratickou formu w(x, x) vyjádřit jako součet čtverců.

Věta 12.66. Zákon setrvačnosti pro kvadratické formy. Buď V reálný vektorový prostor dimenze n a w kvadratická forma na V. Nechť y_{1}, …, y_{n} a z_{1}, …, z_{n} jsou dvě báze prostoru V, vzhledem ke kterým lze formu w(x, x) vyjádřit jako součet čtverců. Potom počet kladných koeficientů v obou vyjádřeních je stejný a stejně tak počet záporných koeficientů v obou vyjádřeních je stejný.

Důkaz. Jsou-li (t_{1}, …, t_{n}) souřadnice vektoru x vzhledem k bázi y_{1}, …, y_{n}, pak

w(x, x) = λ_{1}t_{1}^{2} + ⋯ + λ_{k}t_{k}^{2} − λ_{k+1} t_{k+1}^{2} − ⋯ − λ_{k+l} t_{k+l}^{2} .

Podobně, jsou-li (u_{1}, …, u_{n}) souřadnice vektoru x vzhledem k bázi z_{1}, …, z_{n}, pak

w(x, x) = μ_{1}u_{1}^{2} + ⋯ + μ_{p}t_{p}^{2} − μ_{p+1} t_{p+1}^{2} − ⋯ − μ_{p+q} t_{p+q}^{2} .

Máme dokázat, že k = p a l = q. Předpokládejme naopak, že např. k > p.

Uvažujme pak podprostor P prostoru V generovaný vektory y_{1}, …, y_{k}. Dimenze podprostoru P se rovná k. Dále vezmeme podprostor Q generovaný vektory z_{p+1} , …, z_{n}. Dimenze podprostoru Q se rovná n − p. Protože k + n − p > n, protínají se podprostory P a Q v podprostoru dimenze aspoň 1. Buď tedy 0 ≠ x ∈ P ∩ Q. Potom

x = t_{1}y_{1} + ⋯ + t_{k}y_{k} = u_{p+1} z_{p+1} + ⋯ + u_{n}z_{n},

přičemž aspoň jeden z koeficientů v každém vyjádření je nenulový. Potom platí

w(x, x) = λ_{1}t_{1}^{2} + ⋯ + λ_{k}t_{k}^{2} > 0.

Naproti tomu, použijeme-li vyjádření vektoru x pomocí báze z_{1}, …, z_{n}, dostaneme

w(x, x) = −μ_{p+1} u_{p+1}^{2} − ⋯ − μ_{p+q} u_{p+q}^{2} ≤ 0.

Tento spor dokazuje, že k = p. Podobně dokážeme, že také l = q. □

V závěru této části se podíváme, co znamenají dokázané věty pro reálné vektorové prostory. Je-li dána báze z_{1}, …, z_{n} vektorového prostoru V nad tělesem R reálných čísel, pak bilineární formy na V jsou ve vzájemně jednoznačném vztahu se čtvercovými maticemi M = (d_{ij}) řádu n s reálnými prvky. Jaké podmínky musí matice M splňovat, aby definovala skalární součin na V? Jsou-li x = ∑_{i=1}^{n} b_{i}z_{i} a y = ∑_{j=1}^{n} c_{j}z_{j} libovolné dva vektory prostoru V, pak pro bilineární formu w definovanou maticí M vzhledem k bázi z_{1}, …, z_{n} podle Věty 12.60 platí

w(x, y) = ∑_{ij} b_{i}c_{j}d_{ij}.

Má-li bilineární forma w splňovat podmínku a) z definice skalárního součinu, musí platit w(x, y) = w(y, x), tj. w musí být symetrická bilineární forma. Speciálně musí platit

d_{ij} = w(z_{i}, z_{j}) = w(z_{j}, z_{i}) = d_{ji}

pro každé dva indexy i, j = 1, …, n. Je-li tato podmínka splněna, pak snadno ověříme, že

w(x, y) = ∑_{ij} b_{i}c_{j}d_{ij} = ∑_{ij} b_{i}c_{j}d_{ji} = w(y, x).

Proto, aby byla bilineární forma w symetrická, je tedy nutné a stačí, aby platilo d_{ij} = d_{ji} pro libovolné dva indexy i, j = 1, …, n. Takovým maticím říkáme symetrické.

Dále musí platit

0 ≤ w(x, x) = ∑_{i,j=1}^{n} b_{i}b_{j}d_{ij},

přičemž rovnost může nastávat právě když b_{i} = 0 pro i = 1, …, n.

Tyto úvahy motivují následující definici.

Definice 12.35. Čtvercová reálná matice M = (d_{ij}) řádu n se nazývá symetrická, platí-li d_{ij} = d_{ji} pro každé dva indexy i, j = 1, …, n. Symetrická reálná matice M = (d_{ij}) se nazývá pozitivně semidefinitní, platí-li

∑_{i,j=1}^{n} b_{i}b_{j}d_{ij} ≥ 0

pro libovolná reálná čísla b_{1}, …, b_{n}. Pozitivně semidefinitní matice M = (d_{ij}) se nazývá pozitivně definitní, platí-li

∑_{i,j=1}^{n} b_{i}b_{j}d_{ij} = 0

právě když b_{1} = b_{2} = ⋯ = b_{n} = 0.

Je-li tedy V reálný vektorový prostor dimenze n a w bilineární forma na V, pak můžeme tuto formu popsat čtvercovou maticí w(z_{i}, z_{j}) řádu n, zvolíme-li nějakou bázi z_{1}, …, z_{n} prostoru V. Jak z této matice poznáme, je-li w skalární součin? Skalární součin není nic jiného než pozitivně definitní kvadratická forma. Matice w(z_{i}, z_{j}) tedy musí být symetrická a pozitivně definitní. A jak poznáme, že nějaká čtvercová reálná symetrická matice M je pozitivně definitní? Například tak, že ji postupem z důkazu Věty 12.64 (tj. současným prováděním stejných elementárních sloupcových a řádkových transformací) převedeme do diagonálního tvaru, tj. vyjádříme kvadratickou formu w(x, x) jako součet čtverců. Příslušná diagonální matice je potom pozitivně semidefinitní, jsou-li všechny prvky na hlavní diagonále nezáporné, a je pozitivně definitní, jsou-li všechny kladné. Podle Věty 12.66 tyto vlastnosti nezávisí na konkrétní diagonální matici, kterou z M dostaneme.