10. Inverzní matice

Definice 10.26. Jednotková matice řádu n je čtvercová matice I_{n} = (a_{ij}), kde a_{ii} = 1 pro i = 1, …, n, a a_{ij} = 0, je-li i ≠ j.

Jednotková matice I_{n} má tedy jednotky na místech, kterým říkáme hlavní diagonála matice, a nuly na všech ostatních místech. Snadno si ověříte, že je-li M matice tvaru m×n, pak MI_{n} = M a je-li N matice tvaru n × m, pak I_{n}N = N. Speciálně, je-li M čtvercová matice řádu n, pak MI_{n} = I_{n}M = M.

Následující věta je jednou z vět, k jejichž formulaci a důkazu jste byli vyzváni závěrem předchozí kapitoly.

Věta 10.42. Je-li M matice tvaru m × n a E elementární matice řádu n, pak matici ME dostaneme z M nějakou elementární transformací posloupnosti sloupcových vektorů.

Důkaz. Je-li E = E_{ij}, dostaneme ME z M přehozením i-tého a j-tého sloupce. Je-li E = E_{i}(a), dostaneme ME z E vynásobením i-tého sloupce skalárem a. A je-li E = E_{ij}(a), pak ME dostaneme z M přičtením a-násobku i-tého sloupce k j-tému sloupci (ověřte si to přímým výpočtem). □

Věta 10.43. Buď M čtvercová matice řádu n. Následující tři tvrzení jsou ekvivalentní: (a) existuje matice N taková, že NM = I_{n},

(b) hodnost matice M je rovna n,

(c) existuje matice P taková, že MP = I_{n}.

Jestliže tato tři tvrzení platí, pak je N = P.

Důkaz. (a) ⇔ (b). Každý řádek matice I_{n} = NM je lineární kombinací řádků matice M. Proto je řádkový prostor matice I_{n} obsažen v řádkovém prostoru matice M. Řádky jednotkové matice I_{n} tvoří standardní bázi prostoru T^{n}, řádkový prostor matice M má tedy dimenzi aspoň n. Větší mít nemůže, neboť je generován n vektory, platí tedy, že hodnost matice M je rovna n.

Naopak hodnost matice M je rovna hodnosti matice P, která splňuje podmínky Věty 10.40 (je v odstupňovaném tvaru) a kterou dostaneme z M pomocí elementárních řádkových operací. Každá elementární řádková operace je vlastně vynásobení matice M zleva nějakou elementární maticí. Existují tedy elementární matice E_{1}, …, E_{k}, pro které platí E_{k} ⋯ E_{1}M = P. Matice P má stejnou hodnost jako matice M podle Věty 9.38f, tj. n. Z podmínek (a)-(d) Věty 9.40 tedy plyne, že P je jednotková matice I_{n}. Proto můžeme položit N = E_{k} ⋯ E_{1}.

Ekvivalence (b) ⇔ (c) se dokazuje úplně stejně, jediný rozdíl je v tom, že tentokrát násobíme elementárními maticemi zprava, za použití Věty 10.42.

Typeset by AMS-TEX

Jestliže tato tři tvrzení platí, pak N = NI_{n} = N(MP) = (NM)P = I_{n}P = P, použili jsme asociativitu násobení matic. □

Definice 10.27. Čtvercová matice M řádu n se nazývá regulární, jestliže je její hodnost rovna n. V opačném případě se nazývá singulární. Je-li N taková matice, že NM = MN = I_{n}, pak se nazývá inverzní matice k M a označuje se M^{−1}.

Inverzní matice k M tedy existuje právě když je M regulární matice. V důsledku Věty 10.43 je určena jednoznačně. Protože je naopak matice M inverzní k matice M^{−1}, platí (M^{−1})^{−1} = M.

Než si ukážeme jednu metodu výpočtu inverzní matice, uvedeme si ještě jednu jednoduchou větu.

Věta 10.44. Součin regulárních matic je regulární matice.

Důkaz. V tomto případě je důkaz zcela jednoduchý. Jsou-li M, N dvě regulární matice téhož řádu n, existují matice k nim inverzní, M^{−1} a N^{−1}. Potom s využitím asociativity násobení matic dostáváme, že (MN)(N^{−1}M^{−1}) = M(NN^{−1})M^{−1} = MI_{n}M^{−1} = MM^{−1} = I_{n}. □

Následující věta udává v části c) metodu výpočtu inverzní matice k matici M. Tato metoda je založena na skutečnosti, že umíme najít inverzní matice k elementárním maticím a že každou regulární matici lze vyjádřit jako součin elementárních matic.

Věta 40. a) Každá elementární matice je regulární matice a matice k ní inverzní je také elementární matice.

b) Matice M je regulární právě když ji lze vyjádřit jako součin elementárních matic.

c) Jsou-li E_{1}, …, E_{k} elementární matice takové, že

E_{k}E_{k−1} ⋯ E_{1}M = I_{n},

pak M^{−1} = E_{k} ⋯ E_{1}I_{n}.

Důkaz. a) Přímým výpočtem se přesvědčíme, že E_{ij}E_{ij} = I_{n}, dále že E_{i}(a)E_{i}(a^{−1}) = E_{i}(a^{−1})E_{i}(a) = I_{n}, a nakonec E_{ij}(a)E_{ij}(−a) = E_{ij}(−a)E_{ij}(a) = I_{n}.

b) Je-li hodnost matice M rovna n, existují podle Věty 9.40 elementární matice E_{1}, …, E_{k} takové, že součin E_{k} ⋯ E_{1}M splňuje podmínky (a)-(d) této věty. Protože má součin také hodnost n, musí být E_{k} ⋯ E_{1}M = I_{n}, tj. M = E_{1}^{−1} ⋯ E_{k}^{−1}.

Opačné tvrzení plyne ihned z Věty 10.40.

c) Z rovnosti E_{k} ⋯ E_{1}M = I_{n} a z jednoznačnosti inverzní matice, pokud existuje, že M^{−1} = E_{k} ⋯ E_{1} = E_{k} ⋯ E_{1}I_{n}. □

Důsledek 10.46. Jsou-li x_{1}, …, x_{n} a y_{1}, …, y_{n} dvě báze prostoru U, pak existuje posloupnost elementárních transformací, kterými z báze x_{1}, …, x_{n} dostaneme bázi y_{1}, …, y_{n}.

Důkaz. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že U je aritmetický n-dimenzionální prostor T^{n} a x_{1}, …, x_{n} je standardní báze prostoru T^{n}. Najdeme souřadnice vektoru y_{i} vzhledem ke standardní bázi a zapíšeme je do i-tého řáadku matice M. Matice M je regulární neboť její (řádková) hodnost je n. Lze ji tedy vyjádřit jako součin elementárních matic

M = E_{k}E_{k−1} ⋯ E_{1}.

Řádky jednotkové matice I_{n} obsahují souřadnice vektorů standardní báze vzhledem ke standardní bázi. Postupným násobením jednotkové matice elementárními maticemi E_{1}, E_{2}, …, E_{k} provádíme elementární řádkové transformace. Na konci dostaneme matici

M = E_{k}E_{k−1} ⋯ E_{1}I_{n},

jejíž řádky obsahují vektory y_{1}, …, y_{n} a dostali jsme je z vektorů x_{1}, …, x_{n} pomocí elementárních transformací. □

Dále se budeme zabývat souvislostmi inverzní matice a matice přechodu. Především si připomeňme, že je-li U vektorový prostor dimenze n a x_{1}, …, x_{n} jeho báze, pak matice identického zobrazení na prostoru U vzhledem k bázím x_{1}, …, x_{n} a x_{1}, …, x_{n} je rovna jednotkové matici I_{n}. Toto pozorování využijeme v následující větě.

Věta 10.47. Jsou-li x_{1}, …, x_{n} a y_{1}, …, y_{n} dvě báze prostoru U, M matice přechodu od báze x_{1}, …, x_{n} k bázi y_{1}, …, y_{n} a N matice přechodu od báze y_{1}, …, y_{n} k bázi x_{1}, …, x_{n}, pak N = M^{−1}.

Důkaz. Je-li I : U → U identické zobrazení, je M matice I vzhledem k bázím y_{1}, …, y_{n} a x_{1}, …, x_{n}, matice N je maticí I vzhledem k bázím x_{1}, …, x_{n} a y_{1}, …, y_{n}. Podle Věty 7.34 je NM maticí identického zobrazení vzhledem k bázím y_{1}, …, y_{n} a y_{1}, …, y_{n}, tedy je NM = I_{n}. □

Příklad 10.17. Spočtěte inverzní matici k matici

( \begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) .

Má-li vektor x souřadnice (1, 0, 1, 0) vzhledem ke standardní bázi prostoru R^{4}, najděte jeho souřadnice vzhledem k bázi y_{1} = (1, 1, 1, 1), y_{2} = (1, 1, 1, 0), y_{3} = (1, 1, 0, 0), y_{4} = (1, 0, 0, 0).

Věta 10.48. Je-li A : U → V lineární zobrazení, x_{1}, …, x_{n} báze v U, y_{1}, …, y_{n} báze ve V a M(A) je matice zobrazení A vzhledem k bázím x_{1}, …, x_{n} a y_{1}, …, y_{n}, pak je M(A) regulární matice právě když je A izomorfizmus. V takovém případě je matice inverzního lineárního zobrazení A^{−1} : V → U vzhledem k bázím y_{1}, …, y_{n} a x_{1}, …, x_{n} rovna matici M(A)^{−1} inverzní k matici M(A).

Důkaz. Matice M(A) je regulární právě když je její hodnost rovna n. Hodnost M se rovná její sloupcové hodnosti podle Věty 9.41. Z definice matice lineárního zobrazení vzhledem k bázím plyne, že j-tý sloupec matice M(A) tvoří koeficienty při vyjádření vektoru A(x_{j}) pomocí báze y_{1}, …, y_{n}. Sloupcová hodnost matice M(A) je tedy rovna dimenzi l(A(x_{1}), …, A(x_{n})), neboli dim Im(A) = n. Podle Věty 6.27, platí dim Ker(A) = 0. Zobrazení A je tedy na celý prostor V a podle Věty 6.23 je také prosté. Je proto izomorfizmem.

K důkazu opačné implikace si stačí uvědomit, že je-li A izomorfizmus, je dim Im(A) = n, tedy (sloupcová) hodnost matice M(A) je rovna n, neboli matice je regulární.

Podle Věty 7.34 je matice

M(A^{−1})M(A)

maticí složeného zobrazení A^{−1}A vzhledem k bázím x_{1}, …, x_{n} a y_{1}, …, y_{n}. Protože je složené zobrazení identické zobrazení I na prostoru U, je

M(A^{−1})M(A) = M(I) = I_{n}.

□

Věta 10.49. Je-li A : U → V lineární zobrazení, x_{1}, …, x_{n} a y_{1}, …, y_{n} dvě báze prostoru U, z_{1}, …, z_{m} báze V a Q matice přechodu do báze x_{1}, …, x_{n} k bázi y_{1}, …, y_{n}, pak matice zobrazení A vzhledem k bázím y_{1}, …, y_{n} a z_{1}, …, z_{m} se rovná M(A)Q, kde M(A) je matice A vzhledem k bázím x_{1}, …, x_{n} a z_{1}, …, z_{m}.

Důkaz. Matice Q je maticí identického zobrazení I : U → U vzhledem k bázím y_{1}, …, y_{n} a x_{1}, …, x_{n}. Podle Věty 7.34 je tedy matice M(A)Q maticí lineárního zobrazení AI = A vzhledem k bázím y_{1}, …, y_{n} a z_{1}, …, z_{m}. □

Věta 10.50. Je-li A : U → V lineární zobrazení, pak existují báze x_{1}, …, x_{n} v U a y_{1}, …, y_{m} ve V takové, že matice N zobrazení A vzhledem k bázím x_{1}, …, x_{n} a y_{1}, …, y_{m} se rovná matici

( \begin{matrix}I_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) .

Důkaz. Matici zobrazení M(A) vzhledem k nějakým dvěma bázím v U a v V můžeme pomocí násobení elementárními maticemi zleva převést k matici M_{1} splňující podmínky (a)-(d) Věty 9.40. Násobení elementárními maticemi zleva znamená provádění elementárních transformací na zvolené bázi prostoru V. Matici M_{1} můžeme dále násobit elementárními maticemi zprava tak, abychom dostali matici ze znění věty. Násobení elementárními maticemi zprava znamená provádění elementárních transformací na bázi prostoru U.

Ukážeme si ještě jiný, “geometrický” důkaz této Věty, který se neodvolává na Větu 9.40, ale na důkaz Věty 6.27.

Předpokládejme, že dim Ker(A) = k a tedy dim Im(A) = n − k. Zvolme libovolnou bázi x_{1}, …, x_{k} jádra Ker(A) zobrazení A. Tuto bázi doplníme (pokud již není bází V) báze x_{1}, …, x_{n} prostoru V. V důkazu Věty 6.27 jsme si ukázali, že vektory A(x_{k+1} ), …, A(x_{n}) tvoří bázi prostoru Im(A). Napřed si přeházíme vektory v bázi x_{1}, …, x_{n} tak, aby byly původní vektory x_{k+1} , …, x_{n} na prvních n − k = r místech v x_{1}, …, x_{n}. Potom tedy vektory y_{1} = A(x_{1}), …, y_{r} = A(x_{r}) tvoří bázi prostoru Im(A). Tuto bázi můžeme opět (pokud to již není báze celého V) doplnit do báze y_{1}, …, y_{m}. Matice lineárního zobrazení A : U → V vzhledem k bázím x_{1}, …, x_{n} a y_{1}, …, y_{m} má potom požadovaný tvar. □