1. Čísla a tělesa

Definice 1.1. Buď X neprázdná množina. Binární operací na množině X rozumíme libovolnou funkci f : X × X → X.

Vlastnosti sčítání a násobení reálných (komplexních, racionálních) čísel: A: Každé dvojici čísel a, b odpovídá číslo a + b, nazývané součet čísel a, b a platí (A1) sčítání je komutativní, tj. platí a + b = b + a pro každá dvě čísla a, b, (A2) sčítání je asociativní, tj. platí (a + b) + c = a + (b + c) pro každá tři čísla a, b, c, (A3) existuje neutrální (nulový) prvek vzhledem ke sčítání, tj. číslo 0 takové, že platí

a + 0 = 0 + a = a pro každé číslo a, (A4) ke každému číslo a existuje opačné číslo −a, pro které platí a+(−a) = (−a)+a = 0. B: Každé dvojici čísel a, b odpovídá číslo ab nazývané součin čísel a, b a platí

(B1) násobení je komutativní, tj. platí ab = ba pro každá dvě čísla a, b,

(B2) násobení je asociativní, tj. platí a(bc) = (ab)c pro každá třo čísla a, b, c, (B3) existuje neutrální (jednotkový) prvek vzhledem k operaci násobení, tj. číslo 1 ta-

kové, že platí 1a = a1 = a pro každé číslo a, (B4) pro každé číslo a ≠ 0 existuje inverzní prvek a^{−1} takový, že aa^{−1} = a^{−1}a = 1.

C: Násobení je distributivní vzhledem ke sčítání, tj. platí a(b + c) = (ab) + (ac), (b + c)a = (ba) + (ca) pro každá tři čísla a, b, c. D: 0 ≠ 1.

Definice 1.2. Buď T libovolná množina (její prvky budeme nazývat čísla nebo skaláry) a sčítání (+) a násobení (·) dvě binární operace definované na T. Splňují-li tyto dvě operace podmínky (A1)-(A4), (B1)-(B4), C, D, pak nazýváme množinu T spolu s příslušnými operacemi sčítání a násobení těleso.

Příklad 1.1. Známá tělesa. a) Obvyklé operace sčítání a násobení racionálních čísel mají uvedených 10 vlastností. Množina všech racionálních čísel s obvyklým sčítáním a násobením je tedy těleso. Budeme mu říkat těleso racionálních čísel a označovat ho Q.

b) Těleso reálných čísel R.

c) Těleso komplexních čísel C.

Příklad 1.2. Některá konečná tělesa. a) Na množině {0, 1} definujeme operace sčítání a násobení takto:

0 + 0 = 1 + 1 = 0, 0 + 1 = 1 + 0 = 1,
0 · 0 = 0 · 1 = 1 · 0 = 0, 1 · 1 = 1.

Jsou to vlastně sčítání a násobení modulo 2. Ověřte si, že množina {0, 1} s takto definovaným sčítáním a násobením splňuje všech 10 podmínek a je tedy tělesem. Označujeme ho Z_{2}.

Typeset by AMS-TEX

b) Podobně na množině {0, 1, 2} definujeme operace sčítání a násobení takto:

0 + 0 = 1 + 2 = 2 + 1 = 0, 0 + 1 = 1 + 0 = 2 + 2 = 1, 0 + 2 = 2 + 0 = 1 + 1 = 2,

0 · 0 = 0 · 1 = 1 · 0 = 0 · 2 = 2 · 0 = 0, 1 · 1 = 2 · 2 = 1, 1 · 2 = 2 · 1 = 2.

V tomto případě jde o sčítání a násobení modulo 3. Ověřte, že jde o těleso. (V případě asociativity nebo distributivity je nutné ověřit 27 rovností.) Toto těleso označujeme Z_{3}.

c) Množina {0, 1, 2, 3} spolu se sčítáním a násobením modulo 4 není těleso, protože prvek 2 nemá žádný inverzní prvek. Přesto čtyřprvkové těleso existuje, operace sčítání a násobení je ale třeba definovat jinak.

d) Množina {0, 1, 2, 3, 4} spolu s operacemi sčítání a násobení modulo 5 je těleso.

e) Množina {0, 1, 2, 3, 4, 5} spolu s operacemi sčítání a násobení modulo 6 není těleso, čísla 2, 3, 4 nemají žádný inverzní prvek. Žádné šestiprvkové těleso neexistuje, na množině {0, 1, 2, 3, 4, 5} nelze definovat sčítání a násobení tak, aby měly všech 10 vlastností, které musí těleso mít.

f) Platí, že počet prvků jakéhokoliv konečného tělesa musí být roven p^{k}, kde p je nějaké prvočíslo, a k ≥ 1 je přirozené číslo. A naopak, je-li p prvočíslo a k ≥ 1 přirozené číslo, existuje “právě jedno” konečné těleso, které má p^{k} prvků.

Věta 1.1. Základní vlastnosti sčítání a násobení v tělesech. Buď T libovolné těleso. Potom platí:

a) nulový prvek (neutrální prvek vzhledem ke sčítání) je určený jednoznačně,

b) prvek −a je určený jednoznačně prvkem a,

c) jednotkový prvek (neutrální prvek vzhledem k násobení) je určený jednoznačně,

d) prvek a^{−1} je určený jednoznačně prvkem a ≠ 0,

e) 0 · a = 0 pro každé a ∈ T,

f) je-li a · b = 0, pak buď a = 0 nebo b = 0,

g) (−1)a = −a pro každé a ∈ T,

h) rovnice ax = b, a ≠ 0, má právě jedno řešení,

i) rovnice c + x = d má právě jedno řešení,

j) z rovnosti ab = ac, a ≠ 0, plyne b = c,

k) (−a) · (−b) = ab,

l) z rovnosti a + b = a + c plyne b = c.

Důkaz. a) Předpokládejme, že dva prvky 0_{1} a 0_{2} jsou neutrální vzhledem k operaci sčítání. Potom platí

0_{1} = 0_{1} + 0_{2} = 0_{2}.

b) Buď x libovolný prvek tělesa T, který je opačný k prvku a, tj. pro který platí a+x = x + a = 0. Pak platí

x = 0 + x = ((−a) + a) + x = (−a) + (a + x) = (−a) + 0 = −a.

c),d) za domácí úkol.

e) Platí 0 · a = (0 + 0) · a = 0 · a + 0 · a. K oběma stranám rovnosti 0 · a = 0 · a + 0 · a připočteme prvek −(0 · a) opačný k 0 · a. Dostaneme tak

−(0 · a) + 0 · a = −(0 · a) + 0 · a + 0 · a,

a tedy také 0 = 0 · a.

f) Je-li a·b = 0 a a ≠ 0, pak vynásobíme obě strany rovnosti prvkem a^{−1}, který existuje díky předpokladu a ≠ 0. Potom platí

b = (a^{−1} · a) · b = a^{−1} · (a · b) = a^{−1} · 0 = 0.

g) Platí 0 = 0a = (−1 + 1)a = (−1)a + 1a = (−1)a + a a rovněž 0 = (1 + (−1))a = 1a+(−1)a = a+(−1)a. Prvek (−1)a je tedy opačným prvkem k prvku a a z jednoznačnosti opačného prvku (tvrzení b) plyne (−1)a = −a.

h) Vynásobením rovnice a·x = b zleva prvkem a^{−1} dostaneme postupně a^{−1}(ax) = a^{−1}b, tj. (a^{−1}a)x = a^{−1}b, 1x = a^{−1}b, x = a^{−1}b.

i), j), k), l) za domácí úkol. □

V nějakém tělese T je definováno sčítání pouze dvou prvků T. Chceme-li sečíst více prvků, musíme pomocí závorek určit, jaké dvojice prvků postupně sčítáme. V případě součtu a + b + c jsou pouze dvě možnosti a axiom (A3) říká, že obě možnosti vedou k témuž výsledku, neboť

a + (b + c) = (a + b) + c.

V případě součtu a + b + c + d existuje celkem pět různých uzávorkování (jakých?) a opět s použitím axiomu asociativity sčítání v T lze dokázat, že všech pět možností vede k jednomu a témuž výsledku.

Věta 1.2. Obecná asociativita pro sčítání. V každém tělese T platí, že součet

a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{n}

libovolného nenulového počtu prvků nezávisí na uzávorkování, které k jeho výpočtu použijeme.

Důkaz. Indukcí podle n. Začátek indukce je snadný, pro n = 1, 2 není co dokazovat. Pro n = 3 to platí podle axiomu (A2). Předpokládejme, že tvrzení platí pro všechna přirozená čísla menší než n ≥ 4. Uvažujme nyní dvě možná uzávorkování součtu a_{1} + ⋯ + a_{n}. Při výpočtu podle jednoho uzávorkování je poslední krok součet

(a_{1} + ⋯ + a_{k}) + (a_{k+1} + ⋯ + a_{n})

pro nějaké 0 < k < n. V každé závorce je součet méně než n prvků tělesa T a jsme tedy oprávněni použít indukční předpoklad a pro součty v závorkách už nemusíme konkrétní uzávorkování vypisovat, neboť všechny vedou k témuž součtu.

Při druhém výpočtu je poslední krok součet

(a_{1} + ⋯ + a_{l}) + (a_{l+1} + ⋯ + a_{n}),

kde 0 < l < n.

Oba součty se rovnají, je-li k = l. Je-li k ≠ l, můžeme předpokládat, že k < l. Opět použijeme indukční předpoklad a napíšeme si první součet jako

(a_{1} + ⋯ + a + k) + ((a_{k+1} + ⋯ + a_{l}) + (a_{l+1} + ⋯ + a_{n})).

Podobně druhý součet můžeme vyjádřit ve tvaru

((a_{1} + ⋯ + a + k) + (a_{k+1} + ⋯ + a_{l})) + (a_{l+1} + ⋯ + a_{n}).

Oba součty se potom rovnají podle axiomu (A2). □

V celém důkazu jsme nepoužili žádný jiný axiom než (A2). Pokud bychom všude nahradili sčítání násobením a axiom (A2) axiomem (B2), dostali bychom důkaz obecné asociativity i pro násobení v tělese T.

Definice 1.3. Charakteristika tělesa. Existuje-li v tělese T nějaké kladné přirozené číslo n takové, že platí

\underbrace{1 + 1 + ⋯ + 1}_{n} = 0.

pak nejmenší takové kladné čísla nazýváme charakteristika tělesa T. Pokud žádné takové kladné n neexistuje, říkáme, že těleso T má charakteristiku 0.

Věta 1.3. Charakteristika každého tělesa T je buď 0 nebo prvočíslo.

Důkaz. Jestliže charakteristika T není rovna 0, je rovna nějakému kladnému přirozenému číslu n. Pokud n není prvočíslo, existují kladná přirozená čísla p, q, obě menší než n, pro která platí pq = n. Potom platí

(\underbrace{1 + 1 + ⋯ + 1}_{p})(\underbrace{1 + 1 + ⋯ + 1}_{q}) = \underbrace{1 + 1 + ⋯ + 1}_{n=pq} = 0.

V tělese ale může být součin dvou prvků roven 0 pouze je-li jeden z těchto prvků roven 0 (Věta 2f). Proto platí buď

\underbrace{1 + 1 + ⋯ + 1}_{p} = 0

nebo

\underbrace{1 + 1 + ⋯ + 1}_{q} = 0.

V obou případech to je ve sporu s předpokladem, že n bylo nejmenší kladné přirozené číslo takové, že

\underbrace{1 + 1 + ⋯ + 1}_{n} = 0.

□

V tělese s nenulovou charakteristikou nejsou obsažena přirozená čísla, protože součet p jednotek se rovná 0. Naproti tomu každé těleso charakteristiky 0 “obsahuje” nejenom přirozená čísla, ale i čísla racionální. Obsahuje-li totiž přirozená čísla, musí na základě axiomu (A4) obsahovat i celá čísla, a v důsledku axiomu (B4) také podíly celých čísel neboli čísla racionální.

Příklad 1.3. Charakteristiky těles Z_{2}, Z_{3}, Z_{5}, Q, R, C.

Problémy k přemýšlení. a) Sestrojte čtyřprvkové těleso.

b) Dokažte, že množina Z_{p} = {0, 1, …, p − 1} spolu s operacemi sčítání a násobení modulo p je těleso právě když je p prvočíslo.