Informace k přednášce Základy algebry ALG087

Přednáška především pro studenty 2. ročníku bakalářských oborů Matematické metody informační bezpečnosti a Finanční matematika. Je to úvod do obecné algebry.

Místo a čas

Posluchárna K11, budova Sokolovská 83, čtvrtek 10,40.

Konzultace

Možno domluvit osobně po přednášce, e-mailem nebo telefonem 2 2191 3240.

Zkoušky

Přednášky

1. přednáška 7.10.2004

- opakování: definice tělesa,

- dělení celých čísel se zbytkem, Euklidův algoritmus pro hledání největšího společného dělitele $GCD(a,b)$ dvou celých čísel $a,b$,

- rozšířený Euklidův algoritmus pro nalezení celých čísel $x,y$, pro která platí, že $xa+yb=GCD(a,b)$, jeho ověření,

- definice počítání modulo $n$, cvičení: ověřte, že počítání modulo $n$ splňuje všechny axiomy tělesa s výjimkou existence inverzních prvků,

- Věta: $Z_n$ je těleso právě když $n$ je prvočíslo,

- polynomy s koeficienty v tělese $F$, jejich sčítání a násobení, stupeň polynomu, souvislost stupně a násobení, vedoucí koeficient polynomu, monický polynom,

- definice oboru integrity a komutativního okruhu s jednotkovým prvkem, obor integrity $F[x]$ polynomů jedné proměnné s koeficienty v tělese $F$,

- dělení polynomů se zbytkem

- základní pojmy dělitelnosti v komutativních okruzích s jednotkou, asociované prvky, Cvičení: Dokažte, že relace asociovanosti je ekvivalence na okruhu $R$, invertibilní prvky v okruhu, Cvičení: Dokažte, že v oboru integrity $R$ dva prvky $a,b \in R$ jsou asociované v $R$ právě když existuje invertibilní prvek $e \in R$ takový, že $a = be$,

- dosazení prvku $a \in F$ do polynomu $p \in F[x]$, kořen polynomu, Cvičení: Dokažte, že pro libovolný prvek $a \in F$ a libovolné dva polynomy $p,q \in F[x]$ platí $(fg)(a)=f(a)g(a)$ a $(f+g)(a)=f(a)+g(a)$,

- Tvrzení: Prvek $a\in F$ je kořenem polynomu $f \in F[x]$ právě když platí $(x – a) | f(x)$.

2. přednáška 14.10.2004

- definice irreducibilního polynomu v oboru integrity $F[x]$, závislost irreducibility polynomu na tělese $F$,

- definice největšího společného dělitele dvou polynomů $f,g \in F[x]$, největší společný dělitel je určený jednoznačně až na asociovanost,

- Věta o dělení polynomů se zbytkem,

- Euklidův algoritmus pro polynomy, nezávislost největšího společného dělitele dvou polynomů na tělese koeficientů,

- Rozšířený Euklidův algoritmus pro polynomy,

- Věta, že je-li $p$ polynom irreducibilní v $F[x]$, pak z předpokladu $p | ab$ v $F[x]$ plyne, že buď $p | a$ nebo $p | b$, důseldek pro kořeny polynomů,

- Konstrukce kořenového rozšíření tělesa $F$ určeného irreducibilním polynomem $p\in F[x]$, proč se tomu říká kořenové rozšíření, ilustrace na kořenovém rozšíření tělesa reálných čísel $R$ určeném polynomem $x^2+1$,

3. přednáška 21.10.2004

- Definice homomorfizmu a izomorfizmu okruhů,

- Věta o tom, že každé těleso $K$ obsahující těleso $F$ a nějaký kořen $q$ polynomu $f$ nerozložitelného v $F[x]$ obsahuje podtěleso izomorfní s kořenovým rozšířením tělesa $F$ určeným polynomem $f$, značení $f(q)$,

- invertibilní prvky v okruhu $Z_n$,

- definice relace, základní vlastnosti – reflexivita, symetrie, tranzitivita, antisymetrie, ekvivalence, uspořádání,

- vztah mezi ekvivalencí na množině a rozkladem této množiny,

4. přednáška 4.11.2004

- definice grupy, příklady včetně symetrické a alternativní grupy,

- definice pogrupy a test podgrupy,

- rozklad grupy podle podgrupy,

- Lagrangeova věta,

- řád konečné grupy a řád prvku, vztah mezi nimi,

- Malá Fermatova věta.

5. přednáška, 11.11.2004

- definice homomorfizmu a izomorfizmu grup, jádro a obraz homomorfizmu,

- definice normální podgrupy,

- konstrukce faktorové grupy podle normální podgrupy,

- 1. věta a homomorfizmu grup,

-

6. přednáška, 18.11.2004

- Definice prvků konjugovaných v grupě,

- Popis dvojic prvků konjugovaných v symetrické grupě na konečné množině,

- Definice podokruhu a test podokruhu, ideály v okruzích

- Homomorfizmy okruhů, jádro homomorfizmu,

- Konstrukce faktorového okruhu,

7. přednáška, 25.11.2004

- 1. věta o homomorfizmu okruhů,

- Příklad okruhů $Z_n$, náhled jako na faktorový okruh a jako na systém reprezentantů

- Multiplikativní grupa jednotek v okruhu,

- Eulerova funkce, řád prvku v multiplikativní grupě invertibilních prvků v $Z_n$.

- Zobecnění Malé Fermatovy věty.

8. přednáška, 2.12.2004

- Řešení diofantických rovnic v $Z$,

- Čínská věta o zbytcích,

- Výpočet hodnoty Eulerovy funkce,

- Definice cyklické grupy, podgrupy cyklických grup, jejich řád,

- Systém reprezentantů pro faktorové okruhy v okruzích polynomů,

9. přednáška, 9.12.2004

- systémy pro symbolickou manipulaci

10. přednáška, 6.1.2005

- Definice cyklické grupy,

- Podgrupy cyklických grup,

- Opakování definice rozšíření tělesa, stupeň rozšíření tělesa,

- Definice algebraických čísel nad nějakým tělesem

- Ekvivalentní podmínky s algebraičností nějakého čísla.

- Algebraické rozšíření, příklady algebraických rozšíření.