Kapitola 5

Vektorové prostory

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení čísel, o kterých pouze předpokládáme, že splňují podmínky Definice 4.1. Samotná čísla tak důležitá nejsou.

Podobně nyní rozšíříme pojem vektoru tak, aby jeho souřadnice mohly pocházet z libovolného tělesa T. Následující definice bezprostředně zobecňuje Definici 1.1.

Definice 5.1 Předpokládáme, že T je nějaké těleso. Vektor dimenze n nad tělesem T je uspořádaná n-tice (x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) prvků tělesa T. Číslo x_{i} nazýváme i-tá souřadnice tohoto vektoru. Jsou-li vektory (x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) a (y_{1}, y_{2}, …, y_{n}) stejné dimenze n a nad tělesem T, pak jejich součtem rozumíme vektor

(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) + (y_{1}, y_{2}, …, y_{n}) = (x_{1} + y_{1}, x_{2} + y_{2}, …, x_{n} + y_{n}).

Součet dvou vektorů dimenze n nad tělesem T je tedy opět vektor dimenze n nad tělesem T.

Je-li a ∈ T, pak součinem prvku a a vektoru (x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) rozumíme vektor

a(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) = (ax_{1}, ax_{2}, …, ax_{n}).

Součin prvku a ∈ T a vektoru dimenze n nad tělesem T je proto opět vektor dimenze n nad tělesem T.

Množinu všech vektorů dimenze n nad tělesem T spolu s právě definovanými operacemi sčítání vektorů a násobení vektoru prvkem tělesa T nazýváme aritmetický vektorový prostor dimenze n nad tělesem T. Označovat jej budeme T^{n}.

Sčítání vektorů stejné dimenze nad tělesem T a jejich násobení prvky z tělesa T má řadu vlastností společných se sčítáním a násobením prvků tělesa T. Můžete si to snadno ověřit v následujícím cvičení.

Cvičení 5.1 Dokažte, že v aritmetickém vektorovém prostoru T^{n} nad tělesem T pro libovolné tři vektory x, y, z ∈ T^{n} a prvky a, b ∈ T platí

1. x + (y + z) = (x + y) + z,

2. x + y = y + x,

3. pro nulový vektor 0 = \underbrace{(0, 0, …, 0)}_{n} platí 0 + x = x,

4. je-li x = (x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) a označíme-li −x = (−x_{1}, −x_{2}, …, −x_{n}) opačný vektor k vektoru x, pak platí (−x) + x = 0,

5. 1x = x,

6. a(bx) = (ab)x,

7. (a + b)x = ax + bx,

8. a(x + y) = ax + ay.

Pokud se vrátíte ke Cvičení 3.1, tak zjistíte, že sčítání reálných matic tvaru m×n a násobení těchto matic reálnými čísly má zcela stejné vlastnosti. Stejné vlastnosti má také sčítání matic tvaru m × n s prvky z tělesa T a jejich násobení prvky tělesa T.

Existuje řada dalších příkladů množin, jejichž prvky lze sčítat a násobit prvky nějakého tělesa a tyto operace mají vlastnosti vyčíslené v předchozím cvičení. Podobně jako v případě těles není důležitá konkrétní podoba prvků těchto množin, ale algebraické vlastnosti operací sčítání a násobení prvky tělesa T. Následující důležitá definice shrnuje vlastnosti počítání s vektory a maticemi, které považujeme za důležité.

Definice 5.2 Předpokládáme, že T je těleso. Dále předpokládáme, že V je nějaká množina, na které je definovaná operace sčítání a násobení prvků tělesa T s prvky množiny V. Pokud tyto operace splňují následující podmínky, pak říkáme, že množina V spolu s těmito operacemi tvoří vektorový prostor nad tělesem T. Podmínky pro sčítání jsou

(A0) součet x + y ∈ V pro libovolné prvky x, y ∈ V, (A1) platí (x + y) + z = x + (y + z) pro libovolné x, y, z ∈ V,

(A2) platí x + y = y + x pro libovolné dva prvky x, y ∈ V,

(A3) existuje prvek 0 ∈ V takový, že 0 + x = x pro každý prvek x ∈ V,

(A4) ke každému prvku x ∈ V existuje prvek −x ∈ V, pro který platí, že (−x) + x = 0.

Dále následují axiomy pro násobení prvků tělesa T s prvky množiny V:

(N0) součin ax ∈ V pro libovolné prvky a ∈ T a x ∈ V,

(N1) platí 1x = x pro jednotkový prvek 1 ∈ T a libovolný prvek x ∈ V,

(N2) platí a(bx) = (ab)x pro libovolné dva prvky a, b ∈ T a každý prvek x ∈ V,

(N3) platí (a+b)x = ax+bx pro libovolné dva prvky a, b ∈ T a každý prvek x ∈ V,

(N4) platí a(x + y) = ax + ay pro libovolný prvek a ∈ T a každé dva prvky x, y ∈ V.

Prvky vektorového prostoru V nazýváme také vektory a prvkům tělesa T v takovém případě říkáme skaláry.

Axiomy pro sčítání prvků vektorového prostoru jsou zcela stejné jako axiomy pro sčítání v nějakém tělese. Další komentář nepotřebují. Naproti tomu axiomy pro násobení skalárů s vektory jsou zcela jiné než axiomy pro násobení prvků nějakého tělesa. Především je třeba si uvědomit, že není definován součin dvou vektorů, ale součin skaláru a vektoru (v tomto pořadí!). Součin vektoru se skalárem xa jsme nedefinovali. Proto také nemá smysl mluvit o komutativitě násobení ve vektorovém prostoru – jeden z obou součinů prostě nemá smysl. Ze stejného důvodu jsme museli uvést dva různé axiomy distributivity (N3) a (N4). Axiom asociativity násobení ve vektorovém prostoru (N2) je také třeba upravit kvůli jinému charakteru násobení ve vektorovém prostoru. A nakonec axiom (N1) říká, že jednotkový prvek tělesa T je neutrální vzhledem k násobení ve vektorovém prostoru.

Stejně jako v případě těles nejdříve uvedeme několik bezprostředních důsledků axiomů vektorového prostoru.

Tvrzení 5.3 V každém vektorovém prostoru V nad tělesem T platí 1. nulový vektor 0 je určený jednoznačně

2. opačný vektor −x je určený vektorem x jednoznačně,

3. −(−x) = x pro každý vektor x ∈ V,

4. 0x = 0 pro každý vektor x ∈ V,

5. a0 = 0 pro každý skalár a ∈ T,

6. −x = (−1)x pro každý vektor x ∈ V,

7. jestliže ax = 0, pak buď a = 0 nebo x = 0.

Důkaz. Důkazy jsou ve stejném duchu jako důkazy jednotlivých vlastností těles v Tvrzení 4.2. Nebudeme proto uvádět pro každou rovnost ze kterého axiomu, případně dříve dokázané vlastnosti vektorových prostorů, plyne. Můžete si to v případě pochybností ověřit sami.

Vlastnosti 1, 2, 3 a 4 se dokazují úplně stejně jako vlastnosti 1, 2, 3 a 4 v Tvrzení 4.2.

Podobně jako vlastnost 4 se dokazuje také vlastnost 5: z axiomů (N4) a (A3) plyne

a0 = a(0 + 0) = a0 + a0.

Přičtením vektoru −(a0) k oběma stranám rovnosti a0 = a0+a0 dostaneme 0 = a0.

6. Přímým výpočtem dostaneme (všimněte si použití axiomu (N2))

0 = 0x = (−1 + 1)x = (−1)x + 1x = (−1)x + x.

Z jednoznačnosti opačného vektoru k vektoru x plyne rovnost −x = (−1)x.

7. Je-li a ≠ 0, pak můžeme rovnost ax = 0 vynásobit skalárem a^{−1}. Dostaneme tak

x = 1x = (a^{−1}a)x = a^{−1}(ax) = a^{−1}0 = 0.

□

Aritmetický vektorový prostor T^{n} dimenze n nad tělesem T je základním příkladem vektorového prostoru. Ze Cvičení 3.1 plyne, že také množina R^{m×n} reálných matic tvaru m × n spolu s operacemi sčítání matic a násobení matic reálnými čísly je vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Podobně množina T^{m×n} všech matic tvaru m × n s prvky z tělesa T spolu s operacemi sčítání matic a násobení matic prvky tělesa T je vektorový prostor nad tělesem T.

Následují příklady vektorových prostorů, jejichž prvky nejsou ani vektory v obvyklém smyslu slova ani matice.

Příklad 5.4 Množina R[x] všech reálných polynomů spolu s operacemi sčítání a násobení polynomů reálným číslem tvoří vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. (Ověřte všechny axiomy!)

Podobně tvoří vektorový prostor nad tělesem R množina R_{≤n}[x] všech reálných polynomů stupně nejvýše n (včetně nulového polynomu) spolu s operacemi sčítání polynomů a násobení polynomů reálným číslem.

Reálná čísla v předchozích dvou odstavcích nejsou důležitá. Stejně tak můžeme uvažovat množinu T[x] polynomů jedné proměnné s koeficienty v libovolném tělese T. Spolu s operacemi sčítání polynomů a násobení polynomů prvky tělesa T tvoří množina T[x] vektorový prostor nad tělesem T.

Také množina T_{≤n}[x] všech polynomů stupně nejvýše n (včetně nulového polynomu) s koeficienty v tělese T tvoří s operacemi sčítání polynomů a násobení polynomů prvky tělesa T vektorový prostor nad T.

Další příklady vektorových prostorů jsou tvořené funkcemi.

Příklad 5.5 Množina všech reálných funkcí f : [0, 1] → R definovaných na uzavřeném intervalu [0, 1] tvoří vektorový prostor nad R spolu s operacemi

(f + g)(x) = f(x) + g(x), (kf)(x) = kf(x).

Se stejně definovanými operacemi tvoří vektorový prostor nad R také množina všech spojitých reálných funkcí definovaných na intervalu [0, 1].

Další vektorový prostor nad R tvoří množina všech diferencovatelných funkcí f : [0, 1] → R spolu se stejnými operacemi jako v předchozích dvou odstavcích. (Ověřte si ve všech třech případech platnost všech axiomů vektorového prostoru.)

Každá diferencovatelná funkce f : [0, 1] → R je spojitá na celém intervalu [0, 1]. Množina všech diferencovatelných funkcí definovaných na intervalu [0, 1] je tak podmnožinou množiny spojitých funkcí na intervalu [0, 1]. Součetf +g dvou diferencovatelných funkcí f, g : [0, 1] → R nezávisí na tom, sčítáme-li je jako diferencovatelné funkce nebo jako spojité funkce. Důležité ale je, že jsou-li f, g diferencovatelné, pak také jejich součet f + g je diferencovatelná funkce. Podobně ani součin kf reálného čísla k s diferencovatelnou funkcí f nezávisí na tom, považujeme-li f za diferencovatelnou funkci nebo za spojitou. Podstatné je, že součin kf je diferencovatelná funkce, pokud je f diferencovatelná funkce.

Prostor diferencovatelných reálných funkcí definovaných na intervalu [0, 1] je obsažený v prostoru spojitých funkcí na [0, 1] nejen ve smyslu inkluze, ale také tím, že se v něm počítá s diferencovatelnými funkcemi stejně, jako bychom s nimi počítali ve větším prostoru spojitých funkcí. Tento vztah mezi dvěma vektorovými prostory nad stejným tělesem je důležitý a je obsahem následující definice.

Definice 5.6 Předpokládáme, že V je vektorový prostor nad tělesem T. Je-li neprázdná množina U ⊆ V vektorový prostor nad tělesem T spolu s operacemi definovanými v prostoru V, tj. splňuje-li axiomy (A0)-(A4) a (N0)- (N4), pak říkáme, že prostor U je podprostorem prostoru V.

Ve skutečnosti není nutné ověřovat platnost všech 10 axiomů vektorového prostoru pro operace definované na podmnožině U.

Úloha 5.1 Neprázdná podmnožina U vektorového prostoru V nad tělesem T spolu s operacemi definovanými v prostoru V je podprostor prostoru V právě když splňuje oba axiomy uzavřenosti (A0) a (N0). Dokažte.

Řešení. Pokud je U podprostor prostoru V, musí splňovat všechny axiomy vektorového prostoru, nejen (A0) a (N0).

Naopak, pokud U splňuje oba axiomy uzavřenosti, vezmeme libovolný prvek x ∈ U (množina U je neprázdná!). Podle axiomu (N0) také (−1)x = −x ∈ U. Proto podle axiomu (A0) platí také 0 = −x + x ∈ U. Operace sčítání na množině U tak splňuje axiomy (A3) a (A4). Asociativita (A1) a komutativita (A2) platí proto, že operace sčítání prvků množiny U se shoduje s operací sčítání těchto prvků v prostoru V, která komutativní a asociativní je.

Ze stejného důvodu platí pro operaci násobení prvků tělesa T s prvky množiny U všechny axiomy (N1)-(N4). □

Každý vektorový prostor V nad tělesem T má určitě dva podprostory. Jenodprvkový podprostor N = {0} a celý prostor V. Těmto podprostorům říkáme triviální podprostory.

Úloha 5.2 Najděte všechny podprostory aritmetického reálného prostoru R^{2}.

Řešení. Pro každý nenulový vektor a = (a_{1}, a_{2})^{T} označíme symbolem L(a) množinu {(ka_{1}, ka_{2})^{T} : k ∈ R}. Snadno ověříme, že množina L(a) splňuje oba axiomy uzavřenosti a určuje tak podprostor prostoru R^{2}.

Nyní budeme uvažovat podprostor L(a) a vektor b = (b_{1}, b_{2})^{T} ∉ L(a). To znamená, že (b_{1}, b_{2})^{T} ≠ (ka_{1}, ka_{2})^{T} pro libovolné reálné číslo k. Pro jakýkoliv vektor c = (c_{1}, c_{2})^{T} ∈ R^{2} uvažujeme soustavu lineárních rovnic

a_{1}x + b_{1}y = c_{1}
a_{2}x + b_{2}y = c_{2}.

Z předpokladu (b_{1}, b_{2})^{T} ≠ (ka_{1}, ka_{2})^{T} vyplývá, že (sloupcová) hodnost matice

( \begin{matrix}a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix} )

této soustavy se rovná 2, protože hodnost této matice a matice k ní transponované se rovnají podle Tvrzení 3.15. Soustava má proto jednoznačné řešení. Existují tedy reálná čísla x, y, pro která platí

xa + yb = c.

Každý podprostor prostoru R^{2} obsahující vektory a a b musí obsahovat vektory xa a yb vzhledem k axiomu uzavřenosti (N0) a kvůli axiomu uzavřenosti na sčítání (A0) také vektor xa + yb = c. Každý podprostor prostoru R^{2} obsahující vektory a a b ∉ L(a) se proto rovná celému prostoru R^{2}. Kromě triviálních podprostorů {0} a R^{2} jsou tak podprostory L(a) = {(ka_{1}, ka_{2})^{T} : k ∈ R} jedinými netriviálními podprostory R^{2} . □

Každý podprostor L(a) = {ka : k ∈ R} je přímka procházející počátkem. Podobně jako v předchozí úloze můžete vyřešit následující cvičení.

Cvičení 5.2 Dokažte, že netriviální podprostory třídimenzionálního reálného aritmetického prostoru jsou přímky a roviny procházející počátkem.

Cvičení 5.3 Těleso reálných čísel lze v předchozí úloze a cvičení bez problémů nahradit obecným tělesem T. Najděte všechny netriviální podprostory aritmetických vektorových prostorů T^{2} a T^{3} nad tělesem T.

Nyní se vrátíme k Úloze 5.2 a budeme se zabývat tam zjištěným faktem, že každý podprostor R^{2} obsahující dva vektory a ≠ 0 a b ∉ La se už musí rovnat celému prostoru R^{2}. Tuto skutečnost vyjadřujeme slovy, že vektory a, b generují prostor R^{2}. Abychom mohli pojem “generuje” definovat obecně, dokážeme v následující úloze dva bezprostřední důsledky definice podprostoru vektorového prostoru.

Úloha 5.3 Předpokládáme, že V je vektorový prostor nad tělesem T. Dokažte, že • průnik libovolných podprostorů U_{i}, i ∈ I, prostoru V je opět podprostor

prostoru V,

• pro každou podmnožinu X ⊆ V existuje nejmenší (vzhledem k inkluzi) podprostor prostoru V obsahující množinu X.

Řešení. Označíme si

U = ⋂_{i∈I} U_{i}.

Abychom dokázali, že U je podprostor V, potřebujeme podle Úlohy 5.1 ověřit, že množina U splňuje oba axiomy uzavřenosti (A0) a (N0).Jsou-li x, y ∈ U dva vektory, pak x, y ∈ U_{i} pro každé i ∈ I. Každá množina U_{i}, i ∈ I, je podprostor V, splňuje proto axiom uzavřenosti (A0), proto také x + y ∈ U_{i} pro každé i ∈ I. Tudíž x + y ∈ U.

Zcela stejně se dokáže také uzavřenost množiny U na násobení skaláry. Je-li x ∈ U, pak x ∈ U_{i} pro každé i ∈ I. Je-li a ∈ T, pak také ax ∈ U_{i} pro každé i ∈ I, proto rovněž ax ∈ U. Množina U tak splňuje oba axiomy uzavřenosti (A0) a (N0) a je tedy podprostor prostoru V.

Je-li nyní X libovolná podmnožina prostoru V, označíme {U_{i} : i ∈ I} množinu všech podprostorů V obsahujících množinu X. Právě jsme dokázali, že

U = ⋂_{i∈I} U_{i}

je také podprostor V a zřejmě X ⊆ U. Každý podprostor V obsahující množinu X se rovná podprostoru U_{i} pro nějaké i ∈ I, proto U ⊆ U_{i}. Podprostor U je tedy nejmenší podprostor (vzhledem k inluzi) obsahující množinu X. □

Definice 5.7 Předpokládáme, že V je vektorový prostor nad tělesem T. Jeli X ⊆ V, pak nejmenší podprostor V obsahující množinu X, jehož existenci jsme dokázali v Úloze 5.3, nazýváme lineární obal množiny X a označujeme jej L(X). Říkáme také, že množina X generuje podprostor L(X) nebo že podprostor L(X) je generovaný množinou X. Je-li X = {x_{1}, …, x_{n}} konečná množina, pak místo L({x_{1}, …, x_{n}}) budeme psát L(x_{1}, …, x_{n}).

Zavedené označení lineárního obalu množiny X je v souladu s dříve používaným označením L(a) = {ka : k ∈ R}, neboť tato množina je zřejmě podprostor prostoru R^{2} a každý podprostor R^{2} obsahující vektor a musí podle axiomu (N0) obsahovat všechny vektory ka pro k ∈ R a tedy celou množinu {ka : k ∈ R}. Všimněte si také, že každý podprostor prostoru V musí obsahovat nulový vektor 0 a proto L(∅) = {0}.

Následující tvrzení udává “vnitřní” popis lineárního obalu L(X) množiny X.

Tvrzení 5.8 Je-li X podmnožina vektorového prostoru V nad tělesem T, pak platí

L(X) = {∑_{i=1}^{n}a_{i}x_{i} : n ≥ 0, a_{i} ∈ T, x_{i} ∈ X pro i = 1, 2, …, n}.

Množina na pravé straně rovnosti je množina všech možných lineárních kombinací prvků množiny X. Aby rovnost platila také pro prázdnou množinu X, musíme považovat prázdný součet za rovný 0.

Důkaz. Množinu na pravé straně rovnosti si označíme U. Dokážeme napřed, že U je podprostor prostoru V. Snazší je dokázat uzavřenost na násobení skaláry. Je-li totiž

x = ∑_{i=1}^{n}a_{i}x_{i} ∈ U,

pak také

kx = k ∑_{i=1}^{n}a_{i}x_{i} = ∑_{i=1}^{n}(ka_{i})x_{i} ∈ U.

Je-li dále

y = ∑_{j=1}^{m}b_{j}y_{j}

další prvek množiny U, můžeme v případě potřeby přidat k oběma vyjádřením vektorů x a y další vektory s nulovými koeficienty tak, aby oba vektory x a y byly lineární kombinací stejných vektorů {z_{1}, z_{2}, …, z_{p}} ⊆ X:

x = ∑_{k=1}^{p} c_{k}z_{k}, y = ∑_{k=1}^{p} d_{k}z_{k}.

Potom

x + y = ∑_{k=1}^{p}(c_{k} + d_{k})z_{k}.

Množina U je tedy podprostor prostoru V.

Zbývá dokázat, že U je nejmenší podprostor prostoru V obsahující množinu X. Je-li W ⊇ X libovolný podprostor V a

x = ∑_{i=1}^{n}a_{i}x_{i} ∈ U,

pak podle definice množiny U platí x_{i} ∈ X ⊆ W pro každé i = 1, 2, …, n. Proto také a_{i}x_{i} ∈ W pro každé i = 1, 2, …, n (axiom (N0)). Vzhledem k axiomu uzavřenosti (A0) pak také

x = ∑_{i=1}^{n}a_{i}x_{i} ∈ W.

Proto U ⊆ W pro každý podprostor W prostoru V obsahující množinu X. Protože už víme, že U je podprostor V, dokázali jsme tak L(X) = U. □

V případě, že je množina X konečná, tj. X = {x_{1}, x_{2}, …, x_{n}}, pak můžeme lineární obal X vyjádřit jednodušeji.

Důsledek 5.9 Pokud je X = {x_{1}, x_{2}, …, x_{n}}, pak

L(X) = {∑_{i=1}^{n}a_{i}x_{i} : a_{i} ∈ T}.

Důkaz. Označme si

U = {∑_{i=1}^{n}a_{i}x_{i} : a_{i} ∈ T}.

Podle Tvrzení 5.8 platí U ⊆ L(X). Zbývá dokázat opačnou inkluzi a tu dokážeme tím, že se přesvědčíme, že U je podprostor prostoru V. To je ale snadné. Pokud

x = ∑_{i=1}^{n}a_{i}x_{i} ∈ U a y = ∑_{i=1}^{n}b_{i}x_{i} ∈ U,

pak také

x + y = ∑_{i=1}^{n}(a_{i} + b_{i}x_{i} ∈ U a kx = ∑_{i=1}^{n}(ka_{i})x_{i} ∈ U

pro libovolný prvek k ∈ T. □

Podprostory určené maticí

Každá matice určuje čtyři podprostory vhodných aritmetických vektorových prostorů.

Definice 5.10 Je-li A = (a_{ij}) matice tvaru m × n s prvky z tělesa T, pak sloupcový prostor matice A je lineární obal

S(A) = L(A_{∗1}, A_{∗2}, …, A_{∗n}) ⊆ T^{m}

sloupcových vektorů matice A.

Řádkový prostor matice A je lineární obal

R(A) = L(A_{1∗}, A_{2∗}, …, A_{m∗}) ⊆ T^{n}

řádkových vektorů matice A.

Následující jednoduché tvrzení udává ekvivalentní popis sloupcového a řádkového prostoru matice.

Tvrzení 5.11 Pro matici A = (a_{ij}) tvaru m × n s prvky z tělesa T platí

• S(A) = {Ax : x ∈ T^{n}},

• R(A) = {y^{T} A : y ∈ T^{m}}.

Důkaz. Obě tvrzení jsou jednoduchá a jsou přímým důsledkem definic. Je-li z ∈ S(A), pak existují podle Důsledku 5.9 skaláry x_{1}, x_{2}, …, x_{n} ∈

T, pro které platí

z = ∑_{i=1}^{n}x_{i}A_{∗i}.

Označíme-li x = (x_{1}, x_{2}, …, x_{n})^{T} ∈ T^{n}, pak

∑_{k=1}^{n} x_{k}A_{∗k} = Ax

podle Tvrzení 3.7.

Všechny implikace v předchozí části důkazu můžeme obrátit. Pokud z = Ax^{T} pro nějaký vektor x = (x_{1}, x_{2}, …, x_{n})^{T} ∈ T^{n}, pak podle Tvrzení 3.7 platí

z = Ax^{T} = ∑_{j=1}^{n}x_{j}A_{∗j},

tj. z ∈ S(A) podle Důsledku 5.9.

Druhou část tvrzení dokážeme zcela stejně. Platí

z ∈ R(A)

právě když existují prvky y_{1}, y_{2}, …, y_{m} ∈ T takové, že

z = ∑_{j=1}^{m}y_{m}A_{j∗}.

Označíme-li y = (y_{1}, y_{2}, …, y_{m})^{T} ∈ T^{m}, pak podle Tvrzení 3.7

∑_{j=1}^{m}y_{j}A_{j∗} = y^{T} A.

□ Další dva podprostory určené maticí A závisí na následujícím tvrzení.

Tvrzení 5.12 Je-li A matice tvaru m × n s prvky z tělesa T, pak platí

• množina N (A) = {x ∈ T^{n} : Ax = 0} je podprostor prostoru T^{n},

• množina M(A) = {y ∈ T^{m} : y^{T} A = 0} je podprostor prostoru T^{m}.

Důkaz. Obě tvrzení jsou opět snadná. Dokážeme pouze první z nich. Potřebujeme dokázat, že množina N (A) = {x ∈ T^{n} : Ax = 0} splňuje oba axiomy uzavřenosti (A0) a (N0). Jsou-li x, y ∈ N (A), pak platí Ax = 0 a Ax = 0. Protože násobení matic je distributivní vzhledem ke sčítání podle Tvrzení 3.5, platí

A(x + y) = Ax + Ay = 0.

Rovněž

A(kx) = k(Ax) = k0 = 0

podle Cvičení 3.6.

Druhá část tvrzení se dokáže zcela stejně. □

Definice 5.13 Je-li A matice tvaru m×n s prvky z tělesa T, pak podprostor N (A) prostoru T^{n} nazýváme (pravý) nulový prostor matice A. Podprostor M(A) prostoru T^{m} nazýváme levý nulový prostor matice A.

Následující cvičení je snadným důsledkem poslední části Věty 2.5.

Cvičení 5.4 Je-li A matice tvaru m × n s prvky z tělesa T, pak platí

• N (A) = {0} právě když pro hodnost matice A platí r(A) = n,

• M(A) = {0} právě když pro hodnost matice A platí r(A) = m.