Kapitola 13

Kvadratické formy

Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru

f(x_{1}, …, x_{n}) = ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=i}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j},

kde koeficienty a_{ij} ∈ T.

Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s koeficienty z tělesa T, jehož všechny monočleny jsou stupně 2. Například polynom

f(x_{1}, x_{2}) = 13x_{1}^{2} + 10x_{1}x_{2} + 13x_{2}^{2}

je kvadratická forma ve dvou proměnných.

Je-li charakteristika tělesa T různá od 2, můžeme kvadratickou formu vyjádřit pomocí násobení matic. Označíme x = (x_{1}, x_{2}, …, x_{n})^{T} vektor proměnných a B = (b_{ij}) čtvercovou matici řádu n, kde b_{ii} = a_{ii} pro i = 1, …, n a b_{ij} = a_{ij}/2 pro dvojice i < j ∈ {1, 2, …, n} a b_{ji} = a_{ij}/2 pro dvojice i < j ∈ {1, 2, …, n}. Potom součin x^{T} Bx je kvadratická forma v n proměnných. Koeficient u x_{i}^{2} se rovná b_{ii} = a_{ii} pro i = 1, 2, … n. Koeficient u x_{i}x_{j} pro i < j se rovná b_{ij} + b_{ji} = a_{ij}. Platí proto

x^{T} Bx = ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=i}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j} = f(x_{1}, …, x_{n}).

Matici B nazýváme matice kvadratické formy f(x_{1}, …, x_{n}). Tato matice je symetrická. Kvadratická forma f(x_{1}, x_{2}) = 13x_{1}^{2} + 10x_{1}x_{2} + 13x_{2}^{2} má tedy matici

B = ( \begin{matrix}13 & 5 \\ 5 & 13 \end{matrix} ) .

Pokud je kvadratická forma navíc reálná, je její matice B podle Cvičení 11.3 normální a podle Věty 11.21 je unitárně diagonalizovatelná. Existují tedy ortogonální matice P a diagonální matice D = (d_{ij}), pro které platí B = PDP^{T}. Jsou-li všechna vlastní čísla λ_{i} ∈ σ(B) (tj. všechny prvky na hlavní diagonále matice D) nezáporná, můžeme je odmocnit a definovat matici \sqrt{D} jako matici, která má na místě (i, i) prvek \sqrt{d_{ii}}. Potom platí

B = PDP^{T} = P \sqrt{D}\sqrt{D}P^{T} = C^{T} C, kde C = \sqrt{D}P^{T} .

Jsou-li navíc všechna vlastní čísla matice B kladná, pak je matice C regulární.

Jestliže naopak můžeme reálnou symetrickou matici B vyjádřit ve tvaru B = C^{T} C, pak pro každé vlastní číslo λ matice B a jemu odpovídající vlastní vektor x ≠ 0 platí

λ = \frac{x^{T} Bx}{x^{T} x} = \frac{x^{T} C^{T} Cx}{x^{T} x} = \frac{∥Cx∥^{2}}{∥x^{2}∥} ≥ 0.

Je-li navíc matice C (a tedy i B) regulární, pak N (B) = {0}, tj. B(x) ≠ 0 a λ > 0. Dokázali jsme tak následující tvrzení.

Tvrzení 13.2 Reálná symetrická matice B má všechna vlastní čísla nezáporná právě když ji lze vyjádřit ve tvaru součinu B = C^{T} C, kde C je také čtvercová matice řádu n. Reálná symetrická matice B má všechna vlastní čísla kladná, právě když ve vyjádření B = C^{T} C je matice C regulární.

Definice 13.3 Reálná kvadratická forma f(x_{1}, …, x_{n}) = x^{T} Bx se nazývá pozitivně semidefinitní, jestliže

f(x_{1}, …, x_{n}) ≥ 0

pro libovolná reálná čísla x_{1}, …, x_{n} ∈ R. Pozitivně semidefinitní forma se nazývá pozitivně definitní pokud platí f(x_{1}, …, x_{n}) = x^{T} Bx = 0 právě když x = 0.

Tvrzení 13.4 Je-li f(x_{1}, …, x_{n}) reálná kvadratická forma v n proměnných a B = (b_{ij}) její matice, která má hodnost r, pak je ekvivalentní

1. f(x_{1}, …, x_{n}) je pozitivně semidefinitní,

2. všechny vlastní hodnoty matice B jsou nezáporné,

3. B = C^{T} C pro nějakou matici C hodnosti r.

Pro komplexní kvadratické formy platí stejné tvrzení, pouze transponovanou matici C^{T} je nutné nahradit komplexně transponovanou maticí C^{∗}.

Důkaz. 1 ⇒ 2. Z vlastnosti 1. plyne x^{T} Bx ≥ 0 pro každý vektor x ∈ R^{n×1}. Speciálně to platí pro vlastní vektor x matice B odpovídající vlastnímu číslu λ ∈ σ(B). Pro tento vlastní vektor platí

λ = \frac{x^{T} Bx}{x^{T} x} = \frac{∥Cx∥^{2}}{∥x∥^{2}} ≥ 0.

2 ⇒ 3. Protože matice B je symetrická, tedy normální, proto unitárně ortogonalizovatelná, existují ortogonální matice P a diagonální matice D, pro které platí B = PDP^{T}. Na hlavní diagonále matice D jsou vlastní čísla λ_{i}, i = 1, 2, …, n, matice B, která jsou podle podmínky 2. nezáporná. Podobně jako v úvodu této kapitoly označíme F = \sqrt{D} matici, která má na hlavní diagonále čísla \sqrt{λ_{i}}. Potom B = PDP^{T} = PFFP^{T} = (FP^{T})(FP^{T}) = C^{T} C, kde C = FP^{T}. Protože r(B) = r, je také r(D) = r. Proto má D na hlavní diagonále právě r nenulových prvků. Proto také F = \sqrt{D} má na hlavní diagonále právě r nenulových prvků, tj. r(F) = r. Odtud vyplývá rovněž r(C) = r, neboť součin nějaké matice s regulární maticí nemění hodnost této matice.

3 ⇒ 1. Jestliže B = C^{T} C pro nějakou matici C, pak pro každý vektor x ∈ R^{n×1} platí

x^{T} Bx = x^{T} C^{T} Cx = (Cx)^{T} (Cx) = ∥Cx∥^{2} ≥ 0.

□

Diagonalizace kvadratické formy

O kvadratické formě f(x_{1}, …, x_{n}) = x^{T} Dx říkáme, že je v diagonálním tvaru, pokud je D = (d_{ij}) diagonální matice. V tom případě

f(x_{1}, …, x_{n}) = x^{T} Dx = ∑_{i=1}^{n}d_{ii}x_{i}^{2}.

Je-li nyní f(x_{1}, …, x_{n}) = x^{T} Bx libovolná reálná kvadratická forma v n proměnných, pak je matice B reálná symetrická matice. Najdeme ortogonální matici P a diagonální matici D, pro které platí B = PDP^{T}. Označíme y = P^{T} x, tj. x = Py. Potom platí

f(x_{1}, …, x_{n}) = x^{T} Bx = x^{T} PDP^{T} x = y^{T} Dy = ∑_{i=1}^{n}d_{ii}y_{i}^{2}.

Poslední výpočet ukazuje, že pokud nahradíme souřadnice (x_{1}, …, x_{n}) každého vektoru (x_{1}, …, x_{n})^{T} ∈ R^{n×1}, které jsou souřadnicemi vzhledem ke standardní bázi, jeho souřadnicemi (y_{1}, …, y_{n}) vzhledem k bázi P_{∗1}, …, P_{∗n}, pak je kvadratická forma f(y_{1}, …, y_{n}) v diagonálním tvaru. Tato diagonalizace rovněž ukazuje, že vlastnosti kvadratické formy f(x_{1}, …, x_{n}) = x^{T} Bx závisí pouze na vlastních číslech matice B – reálné symetrické matice této formy.

Příklad 13.5 Najděte bázi prostoru R^{2}, vzhledem ke které je kvadratická forma

f(x_{1}, x_{2}) = 13x_{1}^{2} + 10x_{1}x_{2} + 13x_{2}^{2}

v diagonálním tvaru.

Řešení. Matice kvadratické formy f(x_{1}, x_{2}) = 13x_{1}^{2} + 10x_{1}x_{2} + 13x_{2}^{2} se rovná

B = ( \begin{matrix}13 & 5 \\ 5 & 13 \end{matrix} ) .

Charakteristická rovnice této matice

(13 − λ)(13 − λ) − 25 = (13 − λ − 5)(13 − λ + 5) = (8 − λ)(18 − λ) = 0

má tedy kořeny λ_{1} = 8 a λ_{2} = 18.

Vlastní vektory příslušné vlastnímu číslu λ_{1} = 8 jsou řešením homogenní soustavy rovnic s maticí

( \begin{matrix}13 − λ_{1} & 5 \\ 5 & 13 − λ_{1} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}5 & 5 \\ 5 & 5 \end{matrix} ) .

Její řešení jsou tvaru (a, −a) pro a ∈ R, zvolíme vlastní vektor, který má délku 1, například (\sqrt{2}/2, −\sqrt{2}/2).

Vlastní vektory příslušné vlastnímu číslu λ_{2} = 18 najdeme jako řešení homogenní soustavy rovnic s maticí

( \begin{matrix}13 − λ_{2} & 5 \\ 5 & 13 − λ_{2} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}−5 & 5 \\ 5 & −5 \end{matrix} ) .

Řešením této soustavy jsou všechny vektory tvaru (a, a) pro a ∈ R. Zvolíme vlastní vektor, který má délku 1, např. (\sqrt{2}/2, \sqrt{2}/2).

Pro matici

P = ( \begin{matrix}\sqrt{2}/2 & \sqrt{2}/2 \\ −\sqrt{2}/2 & \sqrt{2}/2 \end{matrix} )

potom platí

P^{T} BP = ( \begin{matrix}8 & 0 \\ 0 & 18 \end{matrix} ) .

Hledanou bází prostoru R^{2} je proto báze (\sqrt{2}/2, −\sqrt{2}/2)^{T} , (\sqrt{2}/2, \sqrt{2}/2)^{T}. Má-li vektor x = (x_{1}, x_{2})^{T} ∈ R^{2} vzhledem k této bázi souřadnice (y_{1}, y_{2}), pak

f(y_{1}, y_{2}) = 8y_{1}^{2} + 18y_{2}^{2}.

□

Cvičení 13.1 Převeďte několik kvadratických forem ve dvou nebo ve třech proměnných do diagonálního tvaru. Najděte příslušné báze prostorů R^{2} a R^{3}.

Rovnice elipsy a hyperboly v rovině mají tvar

f(x_{1}, x_{2}) = c,

kde a ∈ R. Například

\frac{x_{1}^{2}}{a^{2}} + \frac{x_{2}^{2}}{b^{2}} = 1

je rovnice elipsy, zatímco

\frac{x_{1}^{2}}{a^{2}} − \frac{x_{2}^{2}}{b^{2}} = 1

je rovnice hyperboly. Tyto rovnice odpovídají situaci, kdy souřadné osy v rovině jsou ve směru hlavní a vedlejší poloosy příslušné elipsy nebo hyperboly.

Tak například kvadratická forma f(x_{1}, x_{2}) = 13x_{1}^{2} + 10x_{1}x_{2} + 13x_{2}^{2}, kterou jsme se několikrát zabývali v této kapitole, určuje elipsu nebo hyperbolu, pokud ji položíme rovnou nějakému reálnému číslu, například

13x_{1}^{2} + 10x_{1}x_{2} + 13x_{2}^{2} = 72.

Vzhledem k bázi (\sqrt{2}/2, −\sqrt{2}/2)^{T} , (\sqrt{2}/2, \sqrt{2}/2)^{T} má stejná kvadratická forma vyjádření

8y_{1}^{2} + 18y_{2}^{2} = 72,

tj.

\frac{y_{1}^{2}}{9} + \frac{y_{2}^{2}}{4} = 1.

Jde tedy o rovnici elipsy, hlavní poloosa má délku 3 je ve směru vektoru (\sqrt{2}/2, −\sqrt{2}/2)^{T}, zatímco vedlejší poloosa má délku 2 a je ve směru vektoru (\sqrt{2}/2, \sqrt{2}/2)^{T}.

Cvičení 13.2 Položte několik reálných kvadratických forem o dvou proměnných rovných nějaké konstantě a zjistěte, zdali příslušná rovnice vyjadřuje elipsu, hyperbolu nebo je množina řešení prázdná. Pokud jde o elipsu nebo hyperbolu, určete směr hlavních poloos a jejich délky.

Ke zjištění, zdali z dané kvadratické formy dostaneme rovnici elipsy nebo hyperboly, nemusíme hledat vlastní vektory matice B této formy. Nejdříve si vyjasníme, jak se změní matice kvadratické formy v n proměnných, pokud změníme bázi v prostoru R^{n×1}.

Tvrzení 13.6 Předpokládáme, že f(x_{1}, …, x_{n}) je reálná kvadratická forma v n proměnných a B její matice. Je-li P regulární matice řádu n a x = Py pro libovolný vektor y = (y_{1}, …, y_{n})^{T} ∈ R^{n×1}, pak matice téže kvadratické formy f vzhledem k bázi P_{∗1}, …, P_{∗n} se rovná P^{T} BP.

Důkaz. Platí

f(x_{1}, …, x_{n}) = x^{T} Bx = y^{T} P^{T} BPy,

matice formy f(x_{1}, …, x_{n}) vzhledem k bázi P_{∗1}, …, P_{∗n} se proto rovná P^{T} BP. □

Všimněte si, že matice P = (a_{ij}) je matice přechodu od standardní báze e_{1}, …, e_{n} k bázi P_{∗1}, …, P_{∗n}. Skutečně,

P_{∗j} = (a_{1j}, a_{2j}, …, a_{nj})^{T} = ∑_{i=1}^{n}a_{ij}e_{i},

matice P je tak maticí identického zobrazení na prostoru R^{n×1} vzhledem k bázím P_{∗1}, …, P_{∗n} a standardní bázi e_{1}, …, e_{n}. Tuto matici podle Definice 7.12 nazýváme matice přechodu od báze e_{1}, …, e_{n} k bázi P_{∗1}, …, P_{∗n}.

Poslední tvrzení tak říká, jak dostat postupně matici kvadratické formy vzhledem k jiným bázím, pokud nepožadujeme, aby nová báze byla ortonormální. Regulární matici P vyjádříme jako součin elementárních matic P = E_{1}E_{2} ⋯ E_{k}. Potom

P^{T} BP = E_{k}^{T} ⋯ E_{2}^{T}E_{1}^{T}BE_{1}E_{2} ⋯ E_{k}.

Součin E^{T} BE, kde E je nějaká elementární matice, dostaneme z matice B tak, že provedeme stejnou elementární řádkovou a sloupcovou úpravu matice B. Hledáme-li vyjádření kvadratické formy v diagonálním tvaru, můžeme proto postupovat tak, že postupně děláme stejné elementární řádkové a sloupcové úpravy matice příslušné kvadratické formy.

Protože pro každou kvadratickou formu f(x_{1}, …, x_{n}) s maticí B existuje ortogonální (a tedy nutně regulární) matice P, pro kterou platí P^{−1}BP = P^{T} BP, platí následující tvrzení.

Tvrzení 13.7 Pro každou reálnou kvadratickou formnu f(x_{1}, …, x_{n}) v n proměnných s maticí B existuje báze u_{1}, …, u_{n} prostoru R^{n×1}, vzhledem ke které má kvadratická forma f(x_{1}, …, x_{n}) diagonální matici D = (d_{ij}), tj. platí

f(x_{1}, …, x_{n}) = ∑_{i=1}^{n}d_{ii}y_{i}^{2},

kde (y_{1}, …, y_{n}) jsou souřadnice vektoru (x_{1}, …, x_{n})^{T} vzhledem k nové bázi u_{1}, …, u_{n}.

Protože při diagonalizaci popsané v předchozím tvrzení, můžeme používat libovolné regulární matice, můžeme dokázat následující důsledek.

Důsledek 13.8 Pro každou reálnou kvadratickou formnu f(x_{1}, …, x_{n}) v n proměnných s maticí B existuje báze u_{1}, …, u_{n} prostoru R^{n×1}, vzhledem ke které má kvadratická forma f(x_{1}, …, x_{n}) diagonální matici E = (e_{ij}), kde e_{ii} = ±1 nebo e_{ii} = 0 pro libovolné i = 1, …, n.

Důkaz. Pokud je C = (c_{ij}) regulární diagonální matice a D = (d_{ij}) je diagonální matice ze znění Tvrzení 13.7, pak platí, že prvek na místě (i, i) v součinu C^{T} DC se rovná c_{ii}^{2}d_{ii}. Stačí proto zvolit

c_{ii} = \frac{1}{\sqrt{|d_{ii}|}},

pokud d_{ii} ≠ 0 a

c_{ii} = 1,

pokud d_{ii} = 0. Potom matice E = C^{T} DC má požadované vlastnosti. □

V Tvrzení 13.7 a Důsledku 13.8 používáme k diagonalizaci (symetrické) matice B kvadratické formy obecné regulární matice, nikoliv pouze ortogonální matice, jako ve Větě 11.21. V případě unitární diagonalizace jsou prvky na hlavní diagonále diagonální matice D vlastní čísla matice B a jsou tedy jednoznačně určené (až na pořadí) maticí B. Tvrzení 13.7 a Důsledek 13.8 naopak ukazují, že při doagonalizaci matic kvadratických forem nejsou prvky na hlavní diagonále určené jednoznačně. Následující Věta o setrvačnosti kvadratických forem dokazuje, že pokud požadujeme, aby na hlavní diagonále diagonální matice kvadratické formy ležely pouze čísla 0, 1 a −1, jsou tyto prvky určené, až na pořadí, jednoznačně.

Věta 13.9 Předpokládáme, že kvadratická forma f(x_{1}, …, x_{n}) v n proměnných má matici B hodnosti r. Pokud má vhledem k bázi u_{1}, …, u_{n} diagonální tvar

f(x_{1}, …, x_{n}) = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + ⋯ + a_{p}^{2} − a_{p+1}^{2} − ⋯ − a_{p+q}^{2} ,

kde

∑_{i=1}^{n}x_{i}e_{i} = x = ∑_{i=1}^{n}a_{i}u_{i},

a vzhledem k bázi v_{1}, …, v_{n} diagonální tvar

f(x_{1}, …, x_{n}) = b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + ⋯ + b_{s}^{2} − b_{s+1}^{2} − ⋯ − b_{s+t}^{2} ,

kde

∑_{i=1}^{n}x_{i}e_{i} = x = ∑_{i=1}^{n}b_{i}v_{i},

pak p = s a q = t.

Důkaz. Především platí, že p + q = r(B) = s + t. Předpokládejme, že r > s. Podprostor (lineární obal)

P = L(veu_{1}, …, u_{p})

má dimenzi p a podprostor

Q = L(vev_{s+1} , …, v_{n})

má dimenzi n − s. Protože p + n − s > n, platí podle Tvrzení 6.22

dim(P ∩ Q) = dimP + dimQ − dim(P + Q) = p + (n − s) − n > 0.

Existuje tedy vektor x ∈ P ∩ Q. Pro tento vektor máme trojí vyjádření

x = ∑_{i=1}^{p}a_{i}u_{i} = ∑_{j=s+1}^{n} b_{j}v_{j} = ∑_{i=1}^{n}x_{i}e_{i}.

Potom platí, že

f(x_{1}, …, x_{n}) = ∑_{i=1}^{p}a_{i}^{2} > 0

a současně

f(x_{1}, …, x_{n}) = ∑_{j=s+1}^{n} −b_{j}^{2} ≤ 0.

Tento spor ukazuje, že ve skutečnosti musí platit p ≤ s. Zaměníme-li báze u_{1}, …, u_{n} a v_{1}, …, v_{n}, dostaneme také opačnou nerovnost s ≤ p. Proto p = s a tedy také q = t. □

Geometrický význam singulárních hodnot

Ukážeme si také slíbený geometrický význam singulárních hodnot reálné čtvercové matice A řádu n. Připomeňme si, že singulární hodnoty takové matice A jsou hodnoty na hlavní diagonále regulární matice C v rozkladu

A = U ( \begin{matrix}D_{r×r} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) V^{T} ,

kde U a V jsou ortogonální matice řádu n a D_{r×r} je čvercová regulární matice řádu r = r(A). Viz Věta 11.25. Protože je bloková matice v tomto rozkladu rovněž čtvercová, můžeme rozklad psát prostě A = UDV^{T}, kde D je čtvercová diagonální matice řádu n. Budeme pro jednoduchost navíc předpokládat, že matice A má plnou hodnost, tj. že r(A) = n. V tom případě jsou všechny prvky na hlavní diagonále matice D kladná reálná čísla, označovali jsme je σ_{i}, i = 1, 2, …, n. Z rovnosti A = UDV^{T} vyplývá rovněž A^{−1} = VD^{−1}U^{T}. Můžeme také předpokládat, že

σ_{1} ≥ σ_{2} ≥ ⋯ ≥ σ_{n} > 0.

Podíváme se, jak matice A zobrazí jednotkovou sféru v prostoru R^{n×1}, tj. množinu

S = {x ∈ R^{n×1} : ∥x∥ = 1}.

V jejím obrazu leží vektory tvaru y = Ax pro x ∈ S. Označíme si w = U^{T} y. Potom platí

1 = ∥x∥^{2} = ∥A^{−1}Ax∥^{2} = ∥A^{−1}y∥^{2} = ∥VD^{−1}U^{T} y∥^{2} = ∥D^{−1}U^{T} y∥^{2} =
= ∥D^{−1}w∥^{2} = \frac{w_{1}^{2}}{σ_{1}^{2}} + \frac{w_{2}^{2}}{σ_{2}^{2}} + ⋯ + \frac{w_{n}^{2}}{σ_{n}^{2}} .

V tomto výpočtu w = (w_{1}, …, w_{n})^{T} jsou souřadnice vektoru w vzhledem ke standardní bázi.

Vektory w = (w_{1}, …, w_{n})^{T}, které vyhovují rovnici

1 = \frac{w_{1}^{2}}{σ_{1}^{2}} + \frac{w_{2}^{2}}{σ_{2}^{2}} + ⋯ + \frac{w_{n}^{2}}{σ_{n}^{2}} ,

tvoří zobecněný elipsoid. Poslední výpočet tak říká, že množina všech vektorů

U^{T} A(S) = {U^{T} Ax : ∥x∥ = 1}

tvoří zobecněný elipsoid, jehož k-tá poloosa je ve směru vektoru e_{k} standardní báze a má délku σ_{k}. Protože U je ortogonální matice, součin s U^{T} nemění délku vektorů Ax, pouze jejich orientaci. To znamená, že také množina bodů A(S) = {Ax : ∥x∥ = 1} je rovněž zobecněný elipsoid, jehož k-tá poloosa má délku σ_{k}. Protože zobrazení určené maticí U zobrazuje zobecněný elipsoid U^{T} A(S) do zobecněného elipsoidu A(S) a zachovává délky vektorů, jsou hlavní polosy elipsoidu A(S) ve směru vektorů Ue_{k} = U_{∗k}. Sloupce matice U jsou tak směry poloos elipsoidu A(S).

Kromě toho platí AV = UD, tj. AV_{∗k} = σ_{k}U_{∗k}. To znamená, že sloupce matice V určují body na jednotkové sféře S, které se zobrazují do koncových bodů poloos zobecněného elipsoidu A(S).