Kapitola 11

Vlastní čísla a vlastní vektory

Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic. Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální rovnice u′ = λu, kde u(t) je neznámá reálná funkce reálné proměnné t, je tvaru u(t) = αe^{λt}, kde α je reálné číslo. Podobně soustava lineárních diferenciálních rovnic

u′_{1} = 7u_{1} − 4u_{2}
u′_{2} = 5u_{1} − 2u_{2}

má řešení ve tvaru

u_{1} = α_{1}e^{λt}, u_{2} = α_{2}e^{λt}

pro vhodná reálná čísla α_{1}, α_{2}, λ. Pokud tato vyjádření zderivujeme podle t a dosadíme do původní soustavy diferenciálních rovnic, dostaneme

α_{1}λe^{λt} = 7α_{1}e^{λt} − 4α_{2}e^{λt}
α_{2}λe^{λt} = 5α_{1}e^{λt} − 2α_{2}e^{λt},

tj.

α_{1}λ = 7α_{1} − 4α_{2}
α_{2}λ = 5α_{1} − 2α_{2},

neboli

( \begin{matrix}7 & −4 \\ 5 & −2 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}α_{1} \\ α_{2} \end{matrix} ) = λ ( \begin{matrix}α_{1} \\ α_{2} \end{matrix} ) .

V maticovém tvaru můžeme tuto soustavu vyjádřit jako

Ax = λx, kde A = ( \begin{matrix}7 & −4 \\ 5 & −2 \end{matrix} ) a x = ( \begin{matrix}α_{1} \\ α_{2} \end{matrix} ) .

Tato soustava má triviální řešení x = 0, které pro libovolné λ vede k nulovým funkcím u_{1}, u_{2}. To není příliš zajímavé řešení. Zajímají nás spíš ty hodnoty skaláru λ, pro které existuje nenulové řešení soustavy Ax = λx, tj. soustavy (A − λI)x = 0. Nenulové řešení existuje právě když je matice A − λI singulární, tj. právě když det(A − λI) = 0. Nenulové řešení proto existuje pouze pro hodnoty λ vyhovující kvadratické rovnici

(7 − λ)(−2 − λ) + 20 = 0,

tj.

λ^{2} − 5λ + 6 = 0.

Tato kvadratická rovnice má řešení λ = 2 a λ = 3. Pro λ = 2 hledáme řešení homogenní soustavy s maticí

A − 2I = ( \begin{matrix}5 & −4 \\ 5 & −4 \end{matrix} ) ,

která má řešení tvaru x = a(4/5, 1)^{T}. Hodnota λ = 2 tak vede k následujícímu řešení původní soustavy diferfenciálních rovnic

u_{1} = ( \begin{matrix}u_{1} \\ u_{2} \end{matrix} ) = e^{2t} ( \begin{matrix}4/5 \\ 1 \end{matrix} ) .

Druhé řešení kvadratické rovnice λ = 3 vede k homogenní soustavě s maticí

A − 3I = ( \begin{matrix}4 & −4 \\ 5 & −5 \end{matrix} ) ,

která má řešení x = b(1, 1)^{T}. Hodnota λ = 3 pak vede k řešení

u_{2} = ( \begin{matrix}u_{1} \\ u_{2} \end{matrix} ) = e^{3t} ( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ) .

Lze dokázat, že každé řešení původní soustavy diferenciálních rovnic u′ = Au je lineární kombinací těchto dvou řešení u_{1} a u_{2}.

Uvedená úloha vede k následující definici.

Definice 11.1 Pro čtvercovou matici A řádu n s reálnými (komplexními) prvky definujeme vlastní číslo matice A jako komplexní číslo λ, pro které platí Ax = λx pro nějaký nenulový vektor x ∈ R^{n×1}(C^{n×1}). Je-li λ vlastní číslo matice A, pak každé řešení soustavy lineárních rovnic (A − λI_{n})x = 0 nazýváme vlastní vektor matice A příslušný vlastnímu číslu λ. Množinu všech vlastních čísel matice A nazýváme spektrum matice A a označujeme ji σ(A).

Z definice tak přímo plyne, že pro komplexní matici A řádu n a komplexní číslo λ platí λ ∈ σ(A) právě když matice A − λI_{n} je singulární, což je právě když det(A − λI_{n}) = 0. Poslední podmínka říká, jak najít vlastní čísla nějaké matice, pokud existují.

Definice 11.2 Je-li A čtvercová matice řádu n s reálnými (komplexními) prvky, pak pro každé reálné (komplexní) číslo λ definujeme hodnotu p(λ) = det(A − λI_{n}). Funkci p(λ) nazýváme charakteristický polynom matice A. Rovnici p(λ) = 0 nazýváme charakteristická rovnice matice A.

Pro důkaz Tvrzení 11.4 budeme potřebovat následující obecnou větu, které se říká základní věta algebry. Její důkaz je hodně obtížný a překračuje rámec úvodního kurzu lineární algebry. Uvedeme si ji proto bez důkazu.

Věta 11.3 Je-li f(x) = b_{n}x^{n} + b_{n−1}x^{n−1} + ⋯ + b_{1}x + b_{0} polynom stupně n ≥ 1 s komplexními koeficienty, pak jej lze vyjádřit ve tvaru

f(x) = b_{n}(x − β_{1})^{l_{1}}(x − β_{2})^{l_{2}} ⋯ (x − β_{k})^{l_{k}},

pro nějaká komplexní čísla β_{1}, …, β_{k} a kladná celá čísla l_{1}, …, l_{k}, pro která platí l_{1} + l_{2} + ⋯ + l_{k} = n.

Čísla β_{1}, …, β_{k} se nazývají kořeny polynomu f, číslo l_{i} se nazývá násobnost kořenu β_{i}.

Tvrzení 11.4 Pro komplexní čtvercovou matici A = (a_{ij}) řádu n platí

• charakteristický polynom matice A řádu n je polynom stupně n s vedoucím koeficientem rovným (−1)^{n},

• komplexní číslo λ je vlastním čísla matice A právě když je kořenem charakteristického polynomu p(λ) matice A,

• matice A má n vlastních komplexních čísel, počítáme-li každé tolikrát, kolik je jeho násobnost jako kořene charakteristického polynomu, • pokud je A reálná matice, pak λ ∈ σ(A) právě když \overline{λ} ∈ σ(A).

Důkaz. První tvrzení vyplývá z definice determinantu. Platí

A − λI_{n} = ( \begin{matrix}a_{11} − λ & a_{12} & ⋯ & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} − λ & ⋯ & a_{2n} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{n1} & a_{n2} & ⋯ & a_{nn} − λ \end{matrix} ) .

Vyjdeme-li z definice determinantu, je především je zřejmé, že determinant matice A − λI_{n} je polynom v proměnné λ. V součinu diagonálních prvků (odpovídajícímu identické permutaci)

(a_{11} − λ)(a_{22} − λ) ⋯ (a_{nn} − λ)

dostaneme po roznásobení, že koeficient u λ^{n} je (−1)^{n} a koeficient u λ^{n−1} je (−1)^{n−1} ∑_{i=1}^{n} a_{ii}. V jakémkoliv jiném součinu odpovídajícím neidentické permutaci p ∈ S_{n} se musí objevit dva prvky mimo hlavní diagonálu, po případném roznásobení se tak může objevit neznámá λ s koeficientem nejvýše n−2. Proto je koeficient u λ^{n} v charakteristickém polynomu matice A roven (−1)^{n} a koeficient u λ^{n−1} se rovná (−1)^{n−1} ∑_{i=1}^{n} a_{ii}. Podobně můžete najít koeficienty u každé mocniny λ^{n−k} pro k = 2, 3, …, n.

Druhé tvrzení plyne přímo z definice vlastního čísla a charakteristického polynomu.

Třetí tvrzení plyne zase ze základní věty algebry.

Čtvrté tvrzení plyne z toho, že je-li p(λ) = b_{n}λ_{n} +b_{n−1}λ^{n−1}+⋯+b_{1}λ^{1}+ b_{0} = 0 a koeficienty b_{0}, b_{1}, …, b_{n} polynomu p jsou reálná čísla, pak rovněž

p(\overline{λ}) = b_{n}\overline{λ}^{n} + b_{n−1}\overline{λ}^{n−1} + ⋯ + b_{1}\overline{λ} + b_{0} = 0.

Je-li tedy λ vlastní číslo reálné matice, pak také \overline{λ} je vlastní číslo této matice. □

Každé vlastní číslo λ matice A je kořenem charakteristického polynomu p(λ) matice A a má tedy nějakou násobnost coby kořen polynomu p(λ). Tuto násobnost budeme rovněž nazývat algebraická násobnost charakteristického čísla λ, případně algebraická dimenze charakteristického čísla λ.

Reálná matice nemusí mít žádné reálné vlastní číslo. Pokud je ale navíc symetrická, pak je každé vlastní číslo této matice reálné. Podobné tvrzení platí i pro hermitovské matice, tj. pro matice s komplexními prvky, pro které platí B = B^{∗}.

Tvrzení 11.5 Je-li A reálná symetrická matice, pak každé vlastní číslo matice A je reálné. Podobně, je-li B hermitovská matice, pak každé vlastní číslo matice B je reálné.

Důkaz. Důkaz stačí provést pro hermitovské matice, neboť každá symetrická matice je hermitovská. Je-li λ ∈ σ(B) a x ≠ 0 vlastní vektor příslušný vlastnímu číslu λ, pak platí x^{∗}x ≠ 0 a λx = Bx. Z poslední rovnosti vyplývá pomocí přechodu ke komplexně konjugovaným maticím také rovnost \overline{λ}x^{∗} = x^{∗}B^{∗}, a tedy také

x^{∗}x(λ − \overline{λ}) = x^{∗}(λ − \overline{λ})x = x^{∗}Bx − x^{∗}B^{∗}x = 0,

neboť B = B^{∗}. Proto λ = \overline{λ}. □

Cvičení 11.1 Dokažte, že každé vlastní číslo kososymetrické matice nebo kosohermitovské matice je ryze imaginární.

Tvrzení 11.6 Je-li A čtvercová reálná (komplexní) matice řádu n, P reálná (komplexní) regulární matice stejného řádu a B = P^{−1}AP, pak obě matice A a B mají stejný charakteristický polynom, a proto rovněž σ(A) = σ(B), tj. obě mají také stejné spektrum.

Důkaz. Podle Věty 10.15 o součinu determinantů platí pro každý reálné (komplexní) číslo λ

det(A − λI_{n}) = detI_{n} det(A − λI_{n}) = det(P^{−1}P) det(A − λI_{n}) =
= detP^{−1} det(A − λI_{n}) detP = det(P^{−1}(A − λI_{n})P) =
= det(P^{−1}AP − P^{−1}λI_{n}P) =
= det(B − λI_{n}).

□

Důsledek 11.7 Předpokládáme, že V je vektorový prostor nad reálnými (komplexními) čísly a F : V → V je lineární zobrazení. Dále předpokládáme, že A a B jsou dvě báze prostoru V. Označíme A matici [F]_{A} lineárního zobrazení F vzhledem k bázi A a B matici [F]_{B} zobrazení F vzhledem k bázi B. Potom jsou charakteristické polynomy obou matic A a B stejné a platí rovnost σ(A) = σ(B).

Důkaz. Podle Tvrzení 7.13 platí [F]_{B} = P^{−1}[F]_{A}P, kde P = [I]_{BA} je matice přechodu od báze A k bázi B. Protože matice přechodu [I]_{BA} je regulární, plynou všechna tvrzení bezprostředně z předchozího Tvrzení 11.6 □

Tento důsledek ukazuje, že vlastní čísla a spektrum jsou spíše vlastnosti lineárních zobrazení než pouze vlastnosti matic. Každá reálná (komplexní) matice A řádu n určuje lineární zobrazení F : R^{n} → R^{n} (F : C^{n} → C^{n}) předpisem F (x) = Ax. Matice A má vlastní číslo λ právě když existuje nenulový vektor x ∈ R^{n}(C^{n}), pro který platí Ax = λx. Pro lineární zobrazení F určené maticí A pak platí

F (x) = Ax = λx.

Tyto úvahy vedou k následující definici.

Definice 11.8 Je-li F : V → V lineární operátor na reálném (komplexním) vektorovém prostoru V, pak skalár λ nazýváme vlastní číslo lineárního operátoru A pokud existuje nenulový vektor x ∈ U, pro který platí F (x) = λx. Je-li λ vlastní číslo operátoru F, pak každý vektor x ∈ V, pro který platí F (x) = λx, nazýváme vlastní vektor lineárního operátoru F příslušný vlastnímu číslu λ. Množinu všech vlastních čísel operátoru F označujeme σ(F) a nazýváme spektrum operátoru F.

Bezprostřením důsledkem Tvrzení 11.4 je následující tvrzení.

Tvrzení 11.9 Je-li F : U → U lineární operátor na komplexním vektorovém prostoru U, pak existuje vlastní číslo λ operátoru F.

Pokusíme se vyjasnit, do jaké míry lze matici lineárního operátoru F : V → V zjednodušit vhodnou volbou báze B prostoru V.

Definice 11.10 Lineární operátor F : V → V na reálném (komplexním) vektorovém prostoru V se nazývá diagonalizovatelný, pokud existuje báze B prostoru V, pro kterou platí, že matice [F]_{B} operátoru F vzhledem k bázi B je diagonální.

Reálná (komplexní) matice A řádu n se nazývá diagonalizovatelná, pokud existuje regulární reálná (komplexní) matice P řádu n, pro kterou platí, že součin P^{−1}AP je diagonální matice.

Platí tedy, že lineární operátor F : V → V je diagonalizovatelný právě když je diagonalizovatelná matice [F]_{A} tohoto operátoru vzhledem k libovolné bázi A prostoru V. Ne každá matice je ale diagonalizovatelná.

Úloha 11.1 Dokažte, že matice

A = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} )

není diagonalizovatelná.

Řešení. Pro matici A platí A^{2} = 0. Pokud by byla diagonalizovatelná, existovaly by regulární matice P a diagonální matice D takové, že P^{−1}AP = D. Potom by platilo

D^{2} = P^{−1}APP^{−1}AP = P^{−1}A^{2}P = 0,

proto rovněž D = 0, a tedy A = PDP^{−1} = 0, což je spor. Matice A proto není diagonalizovatelná. □

Následující tvrzení udává nutnou a postačující podmínku pro diagonalizovatelnost.

Tvrzení 11.11 Lineární operátor F : V → V na reálném (komplexním) vektorovém prostoru V je diagonalizovatelný právě když existuje báze prostoru V složená z vlastních vektorů operátoru F.

Čtvercová (komplexní) matice A řádu n je diagonalizovatelná právě když existuje báze prostoru R^{n}(C^{n}), která je složená z vlastních vektorů matice A.

Důkaz. Nejdříve dokážeme druhou část týkající se matic. Pokud je matice A diagonalizovatelná, existuje regulární matice P a diagonální matice D, pro které platí P^{−1}AP = D, neboli AP = PD. Označme

D = ( \begin{matrix}λ_{1} & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & λ_{2} & ⋯ & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & ⋯ & λ_{n} \end{matrix} ) .

Potom platí

A[P_{∗1}|P_{∗2}| ⋯ |P_{∗n}] = [P_{∗1}|P_{∗2}| ⋯ |P_{∗n}] ( \begin{matrix}λ_{1} & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & λ_{2} & ⋯ & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & ⋯ & λ_{n} \end{matrix} ) .

Pro každé k = 1, 2, …, n tak platí AP_{∗k} = λ_{k}P_{∗k}. Každý sloupcový vektor P_{∗k} je tak vlastním vektorem matice A příslušným vlastnímu číslu λ_{k}. Matice P je regulární, její sloupcové vektory jsou proto lineárně nezávislé a tvoří tak bázi prostoru R^{n}(C^{n}).

Pokud naopak existuje báze u_{1}, …, u_{n} prostoru R^{n}(C^{n}) složená ze samých vlastních vektorů matice A, platí pro každé k = 1, 2, …, n, že Au_{k} = λ_{k}u_{k} pro nějaké skaláry λ_{k}. Označíme P = [u_{1}|u_{2}| ⋯ |u_{n}], tato matice je regulární, protože sloupce jsou lineárně nezávislé. Dále označíme

D = ( \begin{matrix}λ_{1} & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & λ_{2} & ⋯ & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & ⋯ & λ_{n} \end{matrix} ) .

Stejně jako v předchozí části důkazu ukážeme, že potom AP = PD, neboli P^{−1}AP = D, matice A je proto diagonalizovatelná.

Nyní dokážeme první část tvrzení. Zvolíme bázi A : v_{1}, v_{2}, …, v_{n} prostoru V libovolně. Označíme A = [F]_{A} matici lineárního operátoru F vzhledem k bázi A. Podle předchozí části důkazu existuje reálná (komplexní) regulární matice P = (c_{ij}) řádu n taková, že P^{−1}AP = D pro nějakou diagonální matici D. Označíme

u_{j} = ∑_{i=1}^{n}c_{ij}v_{i}

pro i = 1, 2, …, n. Protože je matice P regulární, je posloupnost vektorů B : u_{1}, …, u_{n} lineárně nezávislá a tedy báze prostoru V. Matice P se potom rovná matici [I]_{BA} identického zobrazení vzhledem k bázím B a A a je tedy maticí přechodu od báze A k bázi B. Matice [F]_{B} lineárního zobrazení F : V → V vzhledem k bázi B se potom rovná podle Tvrzení 7.13 rovná matici [I]_{AB}[F]_{A}[I]_{BA} = P^{−1}AP = D. □

V první části posledního důkazu jsme dokázali rovněž následující jednoduchý důsledek.

Důsledek 11.12 Je-li A čtvercová matice řádu n a P regulární matice taková, že P^{−1}AP = D, kde D je digonální matice, pak na hlavní diagonále matice D jsou všechna vlastní čísla matice A.

Následující tvrzení ukazuje postačující podmínku, kdy jsou nějaká matice nebo lineární operátor diagonalizovatelné.

Tvrzení 11.13 Jsou-li λ_{1}, …, λ_{m} navzájem různá vlastní čísla matice A řádu n a u_{i} ≠ 0 je vlastní vektor matice A příslušný vlastnímu číslu λ_{i} pro libovolné i = 1, …, m, pak je posloupnost vektorů u_{1}, …, u_{m} lineárně nezávislá.

Má-li matice A řádu n celkem n navzájem různých vlastních čísel, pak je diagonalizovatelná.

Má-li lineární operátor F : V → V celkem n navzájem různých vlastních čísel, pak je diagonalizovatelný.

Důkaz. K důkazu první části stačí dokázat, že pro každé k = 1, …, m, jsou vektory u_{1}, …, u_{k} lineárně nezávislé. Toto tvrzení zřejmě platí pro k = 1, protože vektor u_{1} ≠ 0. Pokud je k = 2, …, m, tak budeme předpokládat, že posloupnost u_{1}, …, u_{k−1} je lineárně nezávislá a dokážeme, že také posloupnost u_{1}, …, u_{k} je lineárně nezávislá.

Nechť tedy platí

a_{1}u_{1} + a_{2}u_{2} + ⋯ + a_{k}u_{k} = 0

pro nějaké skaláry a_{1}, …, a_{k}. Potom také

A(a_{1}u_{1} + a_{2}u_{2} + ⋯ + a_{k}u_{k}) = a_{1}λ_{1}u_{1} + a_{2}λ_{2}u_{2} + ⋯ + a_{k}λ_{k}u_{k} = 0.

Rovněž platí

λ_{k}a_{1}u_{1} + λ_{k}a_{2}u_{2} + ⋯ + λ_{k}a_{k}u_{k} = 0.

Odečtením posledních dvou rovností dostaneme

(λ_{1} − λ_{k})a_{1}u_{1} + (λ_{2} − λ_{k})a_{2}u_{2} + ⋯ + (λ_{k} − λ_{k})a_{k}u_{k} = 0,

tj.

(λ_{1} − λ_{k})a_{1}u_{1} + (λ_{2} − λ_{k})a_{2}u_{2} + ⋯ + (λ_{k−1} − λ_{k})a_{k−1}u_{k−1} = 0.

Z lineární nezávislosti vektorů u_{1}, …, u_{k−1} a vzájemné různosti skalárů λ_{1}, …, λ_{k} plyne a_{1} = a_{2} = ⋯ = a_{k−1} = 0, a proto musí platit a_{k}u_{k} = 0. Protože u_{k} ≠ 0, dostáváme také a_{k} = 0.

Pokud má matice A celkem n navzájem různých vlastních čísel a jsou-li u_{i} ≠ 0 vlastní vektory příslušné vlastním číslům λ_{i} pro i = 1, 2, …, n, pak je posloupnost vektorů u_{1}, …, u_{n} lineárně nezávislá podle první části důkazu a tedy bází prostoru R^{n}(C^{n}). Matice A je proto diagonalizovatelná podle Tvrzení 11.11. □

Tvrzení 11.14 Čtvercová reálná (komplexní) matice A řádu n je diagonalizovatelná právě když pro každé vlastní číslo λ matice A platí, že algebraická násobnost λ se rovná dimenzi nulového prostoru matice A − λI_{n}, tj. číslu dimN (A − λI_{n}).

Důkaz. Je-li matice A diagonalizovatelná, existuje regulární matice P, pro kterou platí P^{−1}AP = D, kde D je diagonální matice. Na hlavní diagonále matice D jsou vlastní čísla λ_{1}, λ_{2}, …, λ_{n} matice A podle Důsledku 11.12. Budeme předpokládat, že přesně k z těchto vlastních čísel se rovná nějakému reálnému (komplexnímu) číslu λ, tj. že algebraická násobnost vlastního čísla λ se rovná k. Diagonální matice D − λI_{n} má potom právě k nul na hlavní diagonále, její hodnost je proto n − k. Protože

A − λI_{n} = P(D − λI_{n})P^{−1},

má matice A−λI_{n} také hodnost n−k. Její nulový prostor má proto dimenzi k.

K důkazu obrácené implikace budeme předpokládat, že λ_{1}, …, λ_{t} jsou všechna navzájem různá vlastní čísla matice A. Algebraickou násobnost vlastního čísla λ_{i} označíme m_{i} pro i = 1, …, t. Podle Základní věty algebry 11.3 platí

m_{1} + m_{2} + ⋯ + m_{t} = n

a podle předpokladu o matici A dostáváme m_{i} = dimN (A − λ_{i}I_{n}) pro i = 1, 2, …, t.

V každém z podprsotorů N (A − λ_{i}I_{n}) zvolíme bázi

x_{i1}, x_{i2}, …, x_{im_{i}}.

Dokážeme, že posloupnost vektorů

x_{11}, x_{12}, …, x_{1m_{1}}, x_{21}, x_{22}, …, x_{2m_{2}}, …, x_{t1}, x_{t2}, …, x_{tm_{t}}

je lineárně nezávislá.

Pokud

∑_{i=1}^{t} ∑_{j=1}^{m_{i}}a_{ij}x_{ij} = 0

pro nějaké skaláry a_{ij}, označíme

y_{i} = ∑_{j=1}^{m_{i}}a_{ij}x_{ij}

pro i = 1, …, t.

Potom y_{i} ∈ N (A − λ_{i}I_{n}), tj. y_{i} je vlastní vektor matice A odpovídající vlastnímu číslu λ_{i}, pro každé i = 1, …, t. Kromě toho

y_{1} + y_{2} + ⋯ + y_{t} = 0.

Pokud by byl některý z vektorů y_{i} ≠ 0, označili bychom symbolem J množinu {i = 1, 2, …, t : y_{i} ≠ 0} ≠ ∅. Z poslední rovnosti bychom pak dostali

∑_{i∈J} y_{i} = 0,

tj. vektory y_{i} pro i ∈ J by byly lineárně závislé. Protože jsou to vlastní vektory odpovídající různým vlastním číslům matice A, dostali bychom spor s Tvrzením 11.13. Proto y_{i} = 0 pro každé i = 1, 2, …, t.

Protože

0 = y_{i} = ∑_{j=1}^{m_{i}}a_{ij}x_{ij}

a vektory x_{i1}, …, x_{im_{i}} tvoří bázi podprostoru N (A−λ_{i}I_{n}), platí a_{i1} = a_{i2} = ⋯ = a_{im_{i}} = 0 pro každé i = 1, …, t. Posloupnost vektorů

x_{11}, x_{12}, …, x_{1m_{1}}, x_{21}, x_{22}, …, x_{2m_{2}}, …, x_{t1}, x_{t2}, …, x_{tm_{t}}

je proto skutečně lineárně nezávislá, a protože obsahuje n prvků, tvoří bázi prostoru R^{n×1}(C^{n×1}). Prostor R^{n×1}(C^{n×1}) tak má bázi složenou z vlastních vektorů matice A, matice A je proto diagonalizovatelná podle Tvrzení 11.11. □

Následující věta je často nazývána spektrální věta pro diagonalizovatelné matice.

Věta 11.15 Čtvercová matice A řádu n se spektrem σ(A) = {λ_{1}, …, λ_{t}} je diagonalizovatelná právě když existují matice E_{1}, …, E_{t} řádu n, pro které platí

1. A = λ_{1}E_{1} + λ_{2}E_{2} + ⋯ + λ_{t}E_{t},

2. E_{i}^{2} = E_{i} pro každé i = 1, 2, …, t,

3. E_{i}E_{j} = 0 pro libovolné dva různé indexy i, j = 1, 2, …, t,

4. E_{1} + E_{2} + ⋯ + E_{t} = I_{n}.

Dále pro diagonalizovatelnou matici A platí, že 5. matice E_{i} jsou jednoznačně určené maticí A a vlastnostmi 1, 2, 3, 4,

6. hodnost každé z matic E_{i} se rovná algebraické násobnosti charkteristického čísla λ_{i},

7. je-li f(x) = c_{0} + c_{1}x + ⋯ c_{k}x^{k} libovolný polynom s komplexními koeficienty, pak platí

f(A) = c_{0}I_{n} + c_{1}A + ⋯ + c_{k}A^{k} = f(λ_{1})E_{1}+ f(λ_{2})E_{2}+ ⋯ + f(λ_{k})E_{k},

8. nějaká matice B komutuje s maticí A právě tehdy, když komutuje s každou z matic E_{i} pro i = 1, 2, …, t.

Důkaz. Označíme m_{i} algebraickou násobnost vlastního čísla λ_{i} pro i = 1, 2, …, t. Z diagonalizovatelnosti matice A pak vyplývá existence regulární matice P řádu n, pro kterou platí

P^{−1}AP = ( \begin{matrix}λ_{1}I_{m_{1}} & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & λ_{2}I_{m_{2}} & ⋯ & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & ⋯ & λ_{t}I_{m_{t}} \end{matrix} ) .

Označíme pro i = 1, 2, …, t symbolem D_{i} matici, kterou dostaneme z blokové matice na pravé straně poslední rovnosti tak, že nahradíme všechny výskyty vlastního čísla λ_{i} číslem 1 a výskyty ostatních vlastních čísel λ_{j} pro j ≠ i číslem 0. Například

D_{2} = ( \begin{matrix}0 & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & I_{m_{2}} & ⋯ & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & ⋯ & 0 \end{matrix} ) .

Potom platí

I_{n} = D_{1} + D_{2} + ⋯ + D_{t},
P^{−1}AP = λ_{1}D_{1} + λ_{2}D_{2} + ⋯ + λ_{t}D_{t},
A = λ_{1}PD_{1}P^{−1} + λ_{2}PD_{2}P^{−1} + ⋯ + λ_{t}PD_{t}P^{−1}.

Položíme E_{i} = PD_{i}P^{−1} pro i = 1, 2, …, t a dostaneme tak ze třetí rovnosti vlastnost 1. Protože D_{i}^{2} = D_{i} a D_{i}D_{j} = 0 pro libovolné různé indexy i, j = 1, 2, …, t, dostáváme

E_{i}^{2} = PD_{i}P^{−1}PD_{i}P^{−1} = PD_{i}P^{−1} = E_{i},
E_{i}E_{j} = PD_{i}P^{−1}PD_{j}P^{−1} = PD_{i}D_{j}P^{−1} = 0,
E_{1} + ⋯ + E_{t} = P(D_{1} + ⋯ + D_{t})P^{−1} = PI_{n}P^{−1} = I_{n},

což dokazuje vlastnosti 2, 3, 4.

Abychom dokázali opačnou implikaci, budeme předpokládat, že pro matici A existují matice E_{1}, …, E_{t} splňující podmínky 1, 2, 3, 4. Jako první krok dokážeme, že platí

S(E_{1} + ⋯ + E_{j}) = S(E_{1}) + ⋯ + S(E_{j})

pro každé j = 1, …, t. Je-li x ∈ S(E_{1} + ⋯ + E_{j}), existuje vektor y ∈ C^{n×1} takový, že

x = (E_{1} + E_{2} + ⋯ + E_{j})y = E_{1}y + ⋯ + E_{j}y.

Jelikož E_{i}y ∈ S(E_{i}) pro každé i = 1, …, j, platí

x = E_{1}y + ⋯ + E_{j}y ∈ S(E_{1}) + ⋯ + S(E_{j}),

proto S(E_{1} + ⋯ + E_{j}) ⊆ S(E_{1}) + ⋯ + S(E_{j}).

K důkazu opačné inkluze předpokládejme, že

x ∈ S(E_{1}) + ⋯ + S(E_{j}).

Existují tedy vektory x_{i} ∈ S(E_{i}) pro i = 1, …, j takové, že x = x_{1}+⋯+x_{j}. Z x_{i} ∈ S(E_{i}) plyne existence vektoru y_{i} ∈ C^{n×1}, pro který platí x_{i} = E_{i}y_{i}. Potom platí

(∑_{i=1}^{j}E_{i})x = (∑_{i=1}^{j}E_{i})(∑_{k=1}^{j} x_{i}) = ∑_{i=1}^{j} ∑_{k=1}^{j} E_{i}x_{k} = ∑_{i=1}^{j} ∑_{k=1}^{j} E_{i}E_{k}y_{k} =

= ∑_{i=1}^{j}E_{i}y_{i} = ∑_{i=1}^{j}x_{i} = x.

Tím je dokázána opačná inkluze S(E_{1} + ⋯ + E_{j}) ⊇ S(E_{1}) + ⋯ + S(E_{j}). Dále dokážeme, že pro každé j = 1, … t − 1 platí

S(E_{1} + ⋯ + E_{j}) ∩ S(E_{j+1} ) = {0}.

Pokud x ∈ S(E_{1} + ⋯ + E_{j}) ∩ S(E_{j+1} ), existují vektory y, y_{j+1} ∈ C^{n×1} takové, že

x = (E_{1} + ⋯ + E_{j})y = E_{j+1} y_{j+1} .

Z této rovnosti a z podmínek 2, 3 dostáváme

x = E_{j+1} y_{j+1} = E_{j+1} E_{j+1} y_{j+1} = E_{j+1} (E_{1}+⋯+E_{j})y = ∑_{i=1}^{j}E_{j+1} E_{i}y = 0,

čímž je rovnost S(E_{1} + ⋯ + E_{j}) ∩ S(E_{j+1} ) = {0} dokázána.

Z této rovnosti, z dříve dokázané rovnosti S(E_{1} + ⋯ + E_{t}) = S(E_{1}) + ⋯ + S(E_{t}), a opakovaným použitím Tvrzení 6.22 pak dostaneme

n = dimI_{n} = dimS(E_{1} + ⋯ + E_{t−1} + E_{t}) =
= dim(S(E_{1}) + ⋯ + S(E_{t−1}) + S(E_{t})) =
= dim(S(E_{1} + ⋯ + E_{t−1}) + S(E_{t})) =
= dimS(E_{1} + ⋯ + E_{t−1}) + dimS(E_{t}) −
− dim(S(E_{1} + ⋯ + E_{j}) ∩ S(E_{j+1} )) =
= dimS(E_{1} + ⋯ + E_{t−2} + E_{t−1}) + dimS(E_{t}) =
⋮
= dimS(E_{1}) + ⋯ + dimS(E_{t−1}) + dimS(E_{t}).

Označíme n_{i} = dimS(E_{i}) pro i = 1, …, t. V každém z podprostorů S(E_{i}) zvolíme bázi x_{i1}, …, x_{in_{i}}. Posloupnost vektorů

x_{11}, …, x_{1n_{1}}, x_{21}, …, x_{2n_{2}}, …, x_{t1}, …, x_{tn_{t}}

generuje podprostor C^{n×1}, který obsahuje každý z podprostorů S(E_{i}) pro i = 1, 2, …, t, a tedy také jejich součet S(E_{1})+⋯+S(E_{t}) = S(E_{1}+⋯+E_{t}) = S(I_{n}) = C^{n×1}. V posloupnosti je celkem n_{1} + ⋯ + n_{t} = dimS(E_{1}) + ⋯ + dimS(E_{t}) = n prvků, a protože generuje prostor C^{n×1}, který má dimenzi n, musí být rovněž lineárně nezávislá podle Tvrzení 6.9, a tedy báze prostoru C^{n×1}.

Sloupcový prostor matice

Q = [x_{11}| ⋯ |x_{1n_{1}}|x_{21}| ⋯ |x_{2n_{2}}| ⋯ |x_{t1}| ⋯ |x_{tn_{t}}]

má proto dimenzi n a matice Q je tak regulární. Protože I_{n} = Q^{−1}Q, platí podle druhé části Tvrzení 3.7

e_{k} = I_{∗k} = Q^{−1}Q_{∗k}

pro každé k = 1, …, n. Připomeňme, že e_{k} označuje k-tý vektor standardní báze prostoru C^{n×1}.

Protože x_{il} ∈ S(E_{i}), existuje vektor y_{il} ∈ C^{n×1}, pro který platí x_{il} = E_{i}y_{il}. Potom platí

E_{i}x_{il} = E_{i}E_{i}y_{il} = E_{i}y_{il} = x_{il},

zatímco pro každé j ≠ i, j ∈ {1, 2, …, t}, platí podle podmínky 3

E_{j}x_{il} = E_{j}E_{i}x_{il} = 0x_{il} = 0.

Dokážeme nyní, že součin Q^{−1}AQ je diagonální matice. Rovná-li se k-tý sloupcový vektor matice Q vektoru x_{il}, dostáváme s využitím podmínky 1, že

(Q^{−1}AQ)_{∗k} = Q^{−1}AQ_{∗k} = Q^{−1}(∑_{j=1}^{t}λ_{j}E_{j})x_{il} = Q^{−1} ∑_{j=1}^{t}λ_{j}E_{j}x_{il} =
= Q^{−1}λ_{i}E_{i}x_{il} = Q^{−1}λ_{i}x_{il} = λ_{i}Q^{−1}Q_{∗k} = λ_{i}e_{k}.

Pro každé k = 1, …, n tak platí, že v k-tém sloupci součinu Q^{−1}AQ je jediný případně nenulový prvek na hlavní diagonále (a rovná se jednomu z vlastních čísel λ_{i}, i = 1, …, t). Matice Q^{−1}AQ je proto diagonální a matice A je diagonalizovatelná.

Zbývá dokázat, že pro každou diagonalizovatelnou matici A platí vlastnosti 5, 6, 7, 8. Protože matice D_{i} má hodnost m_{i}, má tutéž hodnost i matice E_{i} = PD_{i}P^{−1}, což dokazuje 6.

S použitím vlastností 2, 3, 4 můžeme spočítat

A^{2} = (λ_{1}E_{1} + λ_{2}E_{2} + ⋯ + λ_{t}E_{t})(λ_{1}E_{1} + λ_{2}E_{2} + ⋯ + λ_{t}E_{t}) =
= ∑_{i,j=1}^{t} λ_{i}E_{i}λ_{j}E_{j} = ∑_{i=1}^{t}λ_{i}^{2}E_{i}^{2} = ∑_{i=1}^{t}λ_{i}^{2}E_{i}.

Jestliže nyní předpokládáme, že

A^{l} = ∑_{i=1}^{t}λ_{i}^{l}E_{i}

pro nějaké l ≥ 2, pak dostáváme, že

A^{l+1} = (λ_{1}E_{1} + λ_{2}E_{2} + ⋯ + λ_{t}E_{t})(λ_{1}^{l}E_{1} + λ_{2}^{l}E_{2} + ⋯ + λ_{t}^{l}E_{t}) =
= ∑_{i=1}^{t} ∑_{j=1}^{t}λ_{i}E_{i}λ_{j}^{l}E_{j} = ∑_{i=1}^{t}λ_{i}^{l+1} E_{i}^{2} = ∑_{i=1}^{t}λ_{i}^{l+1} E_{i}.

Protože rovněž

A^{0} = I_{n} = E_{1} + ⋯ + E_{t} = λ_{1}^{0}E_{1} + ⋯ + λ_{t}^{0}E_{t},

rovnost

A^{l} = ∑_{i=1}^{t}λ_{i}^{l}E_{i}

platí pro každé nezáporné celé číslo l. Pro každé číslo j = 0, …, k tak dostáváme

c_{j}A^{j} = c_{j} ∑_{i=1}^{t}λ_{i}^{j}E_{i}

a tedy

f(A) = ∑_{j=0}^{k}c_{j}A^{j} = ∑_{j=0}^{k}c_{j}(∑_{i=1}^{t}λ_{i}^{j}E_{i}) = ∑_{i=1}^{t}(∑_{j=0}^{k}c_{j}λ_{i}^{j})E_{i} = ∑_{i=1}^{t}f(λ_{i})E_{i}.

Abychom dokázali jednoznačnost matic E_{1}, …, E_{t} splňujících podmínky 1, 2, 3, 4, budeme předpokládat, že

A = λ_{1}F_{1} + λ_{2}F_{2} + ⋯ + λ_{t}F_{t},

kde F_{1} + ⋯ + F_{t} = I_{n}, F_{i}F_{i} = F_{i} a F_{i}F_{j} = 0 pro libovolné i ≠ j, i, j ∈ {1, 2, …, t}. Potom

E_{i}A = AE_{i} = λ_{i}E_{i}, F_{j}A = AF_{j} = λ_{j}F_{j}.

Proto pro i ≠ j dostáváme

λ_{j}E_{i}F_{j} = E_{i}(AF_{j}) = (E_{i}A)F_{j} = λ_{i}E_{i}F_{j},

proto (λ_{i} − λ_{j})E_{i}F_{j} = 0, neboli E_{i}F_{j} = 0. Můžeme tak spočítat, že platí

E_{i} = E_{i}I_{n} = E_{i}(∑_{j=1}^{t}F_{j}) = E_{i}F_{i} = (∑_{j=1}^{t}E_{j})F_{i} = I_{n}F_{i} = F_{i}

pro každé i = 1, …, t. Tím je dokázána jednoznačnost matic E_{i}, tj. podmínka 5.

Zbývá dokázat podmínku 8. Z podmínky 1 okamžitě vyplývá, že pokud matice B komutuje se všemi maticemi E_{i} pro i = 1, …, t, komutuje rovněž s maticí A. Abychom dokázali opačnou implikaci, vyjádříme každou matici E_{i} jako polynom v matici A. Označme

g(x) = (x − λ_{1})(x − λ_{2}) ⋯ (x − λ_{t})

a

g_{i}(x) = \frac{g(x)}{x − λ_{i}}

pro i = 1, …, t. Polynom p_{i}(x) má stupeň t − 1 a kořeny λ_{j} pro j ≠ i. Podle vlastnosti 7 platí

g_{i}(A) = g_{i}(λ_{1})E_{1} + ⋯ + g_{i}(λ_{t})E_{t} = g_{i}(λ_{i})E_{i}.

Označíme-li c_{i} = g_{i}(λ_{i}) ≠ 0, dostaneme že

E_{i} = c_{i}^{−1}g_{i}(A).

Pokud tedy matice B komutuje s maticí A, komutuje také s každou maticí c_{i}^{−1}g_{i}(A) = E_{i} pro i = 1, …, t. □

Cvičení 11.2 Zjistěte pro několik matic A, jsou-li diagonalizovatelné, pokud ano, najděte regulární matici P, pro kterou platí, že P^{−1}AP je diagonální matice, a najděte spektrální rozklad matice A.

Unitární podobnost

Dále se budeme zabývat otázkou, kdy pro diagonalizovatelnou matici A řádu n existuje ortogonální matice P, pro kterou platí, že P^{−1}AP je diagonální matice Nebo jinak řečeno, kdy existuje ortonormální báze prostoru C^{n×1} tvořená vlastními vektory matice A.

Definice 11.16 Říkáme, že komplexní čtvercová matice A řádu n je unitárně diagonalizovatelná, pokud existují unitární matice P a diagonální matice D, pro které platí P^{−1}AP = D.

Připomeňme si, že čtvercová matice P je unitární právě když P^{−1} = P^{∗}.

Tvrzení 11.17 Je-li komplexní matice A řádu n unitárně diagonalizovatelná, pak platí AA^{∗} = A^{∗}A.

Důkaz. Jestliže existují unitární matice P a diagonální matice D, pro které platí P^{∗}AP = D, pak přechodem ke komplexně konjugovaným maticím dostaneme rovněž P^{∗}A^{∗}P = D^{∗}. Protože pro diagonální matici D platí D^{∗}D = DD^{∗}, dostáváme postupně

P^{∗}AP · P^{∗}A^{∗}P = DD^{∗}  = D^{∗}D = P^{∗}A^{∗}P · P^{∗}AP
P^{∗}AA^{∗}P = P^{∗}A^{∗}AP
AA^{∗} = A^{∗}A.

□ Definice 11.18 Komplexní čtvercová matice A se nazývá normální, pokud platí A^{∗}A = AA^{∗}.

Třída normálních matic je velmi široká, jak se můžete přesvědčit v následujícícm cvičení.

Cvičení 11.3 Dokažte, že všechny matice následujících typů jsou normální: hermitovské matice, kosohermitovské matice, reálné symetrické matice, reálné kososymetrické matice, unitární matice, ortogonální matice, diagonální matice, všechny matice tvaru P^{∗}AP, kde A je normální matice a P je unitární matice.

Lemma 11.19 Je-li A normální matice a x vlastní vektor matice A příslušný vlastnímu číslu λ, pak je x také vlastní vektor matice A^{∗} příslušný vlastnímu číslu \overline{λ}.

Důkaz. Především si všimněme, že je-li A normální matice, pak pro každé komplexní číslo λ platí

(A − λI_{n})^{∗}(A − λI_{n}) = (A^{∗} − \overline{λ}I_{n}^{∗})(A − λI_{n}) =
= A^{∗}A − λA^{∗} − \overline{λ}A + λ\overline{λ}I_{n} =
= AA^{∗} − \overline{λ}A − λA^{∗} + \overline{λ}λI_{n} =
= (A − λI_{n})(A − λI_{n})^{∗}.

Matice A − λI_{n} je proto také normální.

Je-li nyní x ≠ 0 vlastní vektor matice A odpovídající vlastnímu číslu λ, pak označíme B = A − λI_{n}. Platí tedy B^{∗}B = BB^{∗} a Bx = 0. Označíme dále y = B^{∗}x. Potom platí

0 = (Bx)^{∗}(Bx) = x^{∗}B^{∗}Bx = x^{∗}BB^{∗}x = y^{∗}y.

Odtud plyne, že y = 0, tj. 0 = B^{∗}x = (A^{∗} − \overline{λ}I_{n})x, tj. A^{∗}x = \overline{λ}x. Vektor x je tak vlastní číslem matice A^{∗} odpovídajícím vlastnímu číslu \overline{λ} této matice. □

Tvrzení 11.20 Je-li A normální matice, pak pak vlastní vektory odpovídající různým vlastním číslům matice A jsou ortogonální.

Důkaz. Předpokládejme nyní, že λ_{1}, λ_{2} jsou dvě různá vlastní čísla matice A a x_{1}, x_{2} jsou jim odpovídající vlastní vektory. Právě jsme dokázali, že pak rovněž A^{∗}x_{1} = \overline{λ_{1}}x_{1}. Spočítáme dále, že

λ_{1}x_{1}^{∗}x_{2} = (\overline{λ_{1}}x_{1})^{∗}x_{2} = (A^{∗}x_{1})^{∗}x_{2} = (x_{1}^{∗}A)x_{2} = x_{1}^{∗}(Ax_{2}) = λ_{2}x_{1}^{∗}x_{2}.

Protože λ_{1} ≠ λ_{2}, plyne odtud x_{1}^{∗}x_{2} = 0, tj. vektory x_{1} a x_{2} jsou ortogonální. □

Věta 11.21 Komplexní matice A řádu n je unitárně diagonalizovatelná právě když je normální.

Důkaz. Každá unitárně diagonalizovatelná matice A je normální podle Tvrzení 11.17.

Je-li naopak matice A normální, pak každý vlastní vektor x matice A je současně vlastním vektorem matice A^{∗}. Zvolíme tedy vlastní vektor x_{1} jednotkové délky matice A příslušný vlastnímu číslu λ ∈ σ(A). Podle Lemma 11.19 je x_{1} rovněž vlastní vektor matice A^{∗} příslušný vlastnímu číslu \overline{λ}. Označíme U_{1} = L(x_{1})^{⊥} = \{y ∈ C^{n×1} : y^{∗}x_{1} = 0\}, ortogonální doplněk vektoru x_{1} v prostoru C^{n×1}. Dokážeme, že pro každý vektor y ∈ U_{1} platí, že také Ay ∈ U_{1}. Skutečně,

(Ay)^{∗}x_{1} = (y^{∗}A^{∗})x_{1} = y^{∗}(A^{∗}x_{1}) = y^{∗}\overline{λ}x_{1} = 0.

Podobně dokážeme, že také A^{∗}y ∈ U_{1}.

Lineární zobrazení F (y) = Ay je tedy lineární operátor na prostoru U_{1}. Podle Tvrzení 11.9 existuje (jednotkový) vlastní vektor x_{2} lineárního operátoru F, tj.

λ_{2}x_{2} = F (x_{2}) = Ax_{2}.

Vektor x_{2} je tak vlastním vektorem matice A a tedy i matice A^{∗}. Označíme U_{2} = L(x_{1}, x_{2})^{⊥}. Stejně jako v případě prostoru U_{1} dokážeme, že pro každý vektor y ∈ U_{2} platí jak Ay ∈ U_{2} tak i A^{∗}y ∈ U_{2}.

Prostor U_{2} je tak invariantním podprostorem operátoru F, existuje tedy jednotkový vlastní vektor x_{3} ∈ U_{2} operátoru F odpovídající vlastnímu číslu λ_{3}, atd.

Takto postupně sestrojíme ortonormální posloupnost x_{1}, x_{2}, …, x_{n} tvořenou vlastními vektory matice A. Pro unitární matici

P = [x_{1}|x_{2}| ⋯ |x_{n}]

pak platí AP = PD, kde D je diagonální matice obsahující na hlavní diagonále postupně vlastní čísla λ_{1}, λ_{2}, …, λ_{n}. Matice A je proto unitárně diagonalizovatelná. □

Důsledek 11.22 Je-li A normální matice a A = λ_{1}E_{1} + λ_{2}E_{2} + ⋯ + λ_{t}E_{t} spektrální rozklad matice A podle Věty 11.15, pak všechny matice E_{i} jsou hermitovské pro i = 1, …, t. Obráceně, je-li A diagonalizovatelná komplexní matice a všechny matice E_{i} ve spektrálním rozkladu A = λ_{1}E_{1} + ⋯ + λ_{t}E_{t} jsou hermitovské, pak je matice A normální.

Důkaz. Je-li A normální, pak A = PDP^{−1} pro nějakou unitární matici P a diagonální matici D podle Věty 11.21, pak matice E_{i} = PD_{i}P^{−1} = PDP^{∗} sestrojené v důkazu Věty 11.15 jsou hermitovské.

Obráceně, jsou-li všechny matice E_{i} ve spektrálním rozkladu A = λ_{1}E_{1}+ ⋯ + λ_{t}E_{t} hermitovské, pak rovněž

A^{∗} = \overline{λ_{1}}E_{1} + ⋯ + \overline{λ_{1}}λ_{t}E_{t}

je spektrální rozklad matice A^{∗}. Pak

AA^{∗} = λ_{1}\overline{λ_{1}}E_{1} + ⋯ + λ_{t}\overline{λ_{t}}E_{t} = A^{∗}A,

což dokazuje, že A je normální. □

Závěrem části o vlastních číslech a vlastních vektorech si ještě ukážeme, jak lze zesílit Větu 9.25 o URV-faktorizaci.

Tvrzení 11.23 Je-li A ∈ C^{m×n}(R^{m×n}) komplexní (reálná) matice, pak každé vlastní číslo matice A^{∗}A (A^{T} A) je nezáporné reálné číslo.

Důkaz. Je-li A komplexní matice, pak součin A^{∗}A je hermitovská matice řádu n. Je-li to reálná matice, pak součin A^{T} A je symetrická matice řádu n. V obou případech jsou všechna vlastní čísla matice A^{∗}A (A^{T} A) reálná podle Tvrzení 11.5.

Je-li λ nějaké vlastní číslo matice A^{∗}A a x ≠ 0 vlastní vektor odpovídající λ, pak platí A^{∗}Ax = λx. Vynásobíme tuto rovnost zleva vektorem x^{∗} a dostaneme

∥Ax∥^{2} = x^{∗}A^{∗}Ax = λx^{∗}x = λ∥x∥^{2},

odkud vyplývá

λ = \frac{∥Ax∥^{2}}{∥x∥^{2}} ≥ 0.

V případě reálné matice A platí A^{∗} = A^{T}, proto rovněž λ ≥ 0 pro každé vlastní číslo λ matice A^{T} A. □

Dále si ještě ukážeme následující tvrzení.

Tvrzení 11.24 Pro každou reálnou (komplexní) matici A tvaru m × n platí

• r(A^{T} A) = r(A) = r(AA^{T}), (r(A^{∗}A) = r(A) = r(AA^{∗})), • S(A^{T} A) = S(A^{T}), (S(A^{∗}A) = S(A^{∗})),

• S(AA^{T}) = S(A), (S(AA^{∗}) = S(A)),

• N (A^{T} A) = N (A), (N (A^{∗}A) = N (A)),

• N (AA^{T}) = N (A^{T}), (N (AA^{∗}) = N (A^{∗})).

Důkaz. Dokážeme pouze “reálnou” část tvrzení, komplexní část se dokáže analogicky, pouze všude nahradíme transponovanou matici A^{T} maticí A^{∗}.

Nejdříve dokážeme, že N (A^{T}) ∩ S(A) = {0}. Je-li x ∈ N (A^{T}) ∩ S(A), pak platí A^{T} x = 0 a současně x = Ay pro nějaký vektor y ∈ R^{n×1}. Odtud plyne x^{T} x = y^{T} A^{T} x = 0 a proto x = 0. Z Tvrzení 6.19 pak plyne

r(A^{T} A) = r(A) − dimN (A^{T} ∩ S(A)) = r(A).

Zaměníme-li role A^{T} a A, dostaneme rovněž r(AA^{T}) = r(A^{T}) = r(A).

K důkazu druhé části tvrzení si napřed všimněme, že S(A^{T} A) ⊆ S(A^{T}). Protože dále

dimS(A^{T} A) = r(A^{T} A) = r(A) = r(A^{T}) = dimS(A^{T}),

vyplývá odtud rovnost S(A^{T} A) = S(A^{T}). Třetí část tvrzení ihned vyplývá z druhé, zaměníme-li role A a A^{T}.

K důkazu čtvrté části opět stačí uvědomit si, že N (A) ⊆ N (A^{T} A), a dále

dimN (A) = n − r(A) = n − r(A^{T} A) = dimN (A^{T} A).

Proto N (A) = N (A^{T} A). Poslední část tvrzení opět ihned vyplývá z předchozí, pokud zaměníme role A a A^{T}. □

Nyní můžeme dokázat slíbené zesílení Věty 9.25.

Věta 11.25 Předpokládáme, že A je reálná (komplexní) matice tvaru m×n a hodnosti r. Potom existují reálná diagonální matice D_{r×r} řádu r a ortogonální (unitární) matice U řádu n a V řádu m takové, že platí

A = U ( \begin{matrix}D_{r×r} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) V^{T} , (A = U ( \begin{matrix}D_{r×r} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) V^{∗}).

Důkaz. Dokážeme pouze část týkající se komplexních matic. Pro reálné matice se věta dokáže analogicky.

Matice A^{∗}A je normální, neboť

(A^{∗}A)^{∗}A^{∗}A = A^{∗}AA^{∗}A = A^{∗}A(A^{∗}A)^{∗}.

Podle Věty 11.21 je matice A^{∗}A unitárně diagonalizovatelná, existuje tedy podle Věty 11.21 unitární matice V řádu n taková, že

V^{∗}A^{∗}AV = D,

kde D je diagonální matice s nezápornými reálnými čísly λ_{i} (vlastní čísla matice A^{∗}A) na hlavní diagonále. Protože r(A^{∗}A) = r(A) = r, můžeme předpokládat, že λ_{i} > 0 pro i = 1, …, r a λ_{i} = 0 pro i = r + 1, …, n.

Označíme σ_{i} = \sqrt{λ_{i}} pro i = 1, …, n a

u_{i} = \frac{Av_{i}}{σ_{i}}

pro i = 1, …, k. Potom platí pro každé dva indexy i, j ∈ {1, 2, …, r}

u_{j}^{∗}u_{i} = \frac{v_{j}^{∗}A^{∗}}{σ_{i}} · \frac{Av_{i}}{σ_{i}} = \frac{v_{j}^{∗}A^{∗}Av_{i}}{λ_{i}} = \frac{λ_{i}v_{j}^{∗}v_{i}}{λ_{i}} = v_{j}^{∗}v_{i} = δ_{ij}.

Posloupnost vektorů u_{1}, …, u_{k} je tak ortonormální, protože ortonormální je posloupnost vektorů v_{1}, …, v_{n}. Můžeme ji proto doplnit do ortonormální báze u_{1}, …, u_{k}, u_{k+1} , …, u_{n} prostoru C^{n×1}.

Označíme U = [u_{1}| ⋯ |u_{n}]. Potom pro i-tý sloupec součinu U^{∗}AV platí

[U^{∗}AV]_{∗i} = U^{∗}Av_{i} = U^{∗}σ_{i}u_{i}.

Prvek na místě (j, i) v součinu U^{∗}AV se proto rovná

[U^{∗}AV]_{ji} = [U^{∗}]_{j∗}σu_{i} = u_{j}^{∗}σ_{i}u_{i} = σ_{i}δ_{ji}.

Součin U^{∗}AV je proto diagonální matice D, prvky na hlavní diagonále D se rovnají σ_{i} = \sqrt{λ_{i}}, kde λ_{i} jsou vlastní čísla součinu A^{∗}A. Odtud hned dostaneme (protože matice U a V jsou unitární), že A = UDV^{∗}. □

Číslům σ_{i} > 0 se říká singulární hodnoty matice A. Jsou určené jednoznačně maticí A, neboť z rovnosti A = UDV^{∗} plyne

V^{∗}A^{∗}AV = V^{∗}A^{∗}UU^{∗}AV = D^{∗}D = D^{2}.

Druhé mocniny singulárních hodnot σ_{i}^{2} jsou proto vlastní hodnoty součinu A^{∗}A. Geometrický význam singulárních hodnot si ukážeme v kapitole o kvadratických formách.