Teorie reprezentací konečně dimenzionálních algeber (NMAG442) - informace o přednášce v letním semestru 2025/2026.

Základní informace

Rozvrh a základní informace o kurzu jsou v SISu.

První asi dvě třetiny přednášky se budeme držet učebnice [ASS], poslední třetina bude používat článek [Kra]. Zdroje doplňuje krátký text [Šťo] sepsaný pro účely kurzu, který má usnadnit přechod z jedné části do druhé.

Cílem přednášky je podat úvod do teorie reprezentací konečně dimenzionálních algeber nad tělesem. To na jedné straně umožní získat vhled do náročnějších problémů z lineární algebry, ale naopak také umožní použít základní lineární algebru k pochopení abstraktních pojmů z teorie modulů. Hlavními výsledky v přednášce budou dvě věty od Petera Gabriela:

  1. Pro libovolnou konečně dimenzionální algebru A nad algebraicky uzavřeným tělesem K (např. komplexními čísly) je problém pochopení A-modulů v podstatě lineárně algebraický problém o malých diagramech vektorových prostorů. Konkrétněji vždy existuje konečný orientovaný graf Q a konečná množina relací R tak, že moduly nad A jdou ztotožnit s diagramy K-vektorových prostorů tvaru Q, kde lineární zobrazení v diagramech splňují relace z R (přesné znění používá pojem ekvivalence kategorií). Těmto diagramům se říká reprezentace Q.
  2. Charakterizace, které konečné orientované grafy Q bez orientovaných cyklů mají pouze konečný počet nerozložitelných reprezentací až na izomorfismus a popis nerozložitelných reprezentací. To se dá vyložit jako úplné řešení výše zmíněného problému z lineární algebry v těchto případech.

Zkouška

Zkouška bude ústní a domlouvá se individuálně s přednášejícím. Bude se zkoušet látka pokrytá

  1. kapitolami I-III a části kapitoly IV.2 (konstrukce Auslanderovy-Reiteniny translace) v učebnici [ASS],
  2. poznámkami [Šťo] a
  3. sekcemi 3-5 v článku [Kra].

Zápočet

Zápočet bude udělován za odevzdané vyřešené úkoly. Půjde o tři sady problémů, které budou spolu s termíny vypisovány zde a jejichž řešení se budou odevzdávat na přednášce nebo cvičení nebo zasílat e-mailem přednášejícímu. K zápočtu bude požadováno alespoň 65 % bodů z vyřešených problémů.

1. sada domácích úkolů (termín: 14. 4.)

Vyřešte následující cvičení z [ASS], kap. II.4 (str. 65-68):

  • cvičení 11 (předpokládejte, že těleso je algebraicky uzavřené),
  • cvičení 13,
  • cvičení 15,
  • cvičení 17, část (b).

2. sada domácích úkolů (termín: 5. 5.)

Vyřešte následujících cvičení z [ASS], kap. III.4 (str. 93-96):

  • cvičení 4, části (b), (d), (g),
  • pro každou z algeber v předchozím bodě navíc určete globální dimenzi.

Dále vyřešte následujících cvičení z [ASS], kap. VII.6 (str. 298-299):

  • cvičení 10,
  • cvičení 11.

3. sada domácích úkolů (termín: ke zkoušce)

Uvažujte acyklický toulec Q eukleidovského typu Ã2 (tj. trojúhelník s necyklickou orientací). Popište všechny preprojektivní reprezentace a jejich dimenzní vektory.

Program kurzu

Zde bude průběžně doplňován stručný záznam o tom, co bylo probráno.

DatumProbraná látkaZdroje
17. 2.Motivační problémy z lineární algebry. Terminologie z teorie kategorií (aditivní, K-lineární a abelovské kategorie). Toulce a algebry cest. Ekvivalence mezi kategoriemi modulů nad algebrami cest a kategoriemi reprezentací. Relace (zatím zběžně).[ASS], kap. I.1, II.1, III.1 a A.1, A.2
24. 2.Ekvivalence kategorií KQ/I-modulů a RepK(Q,I), reprezentací vázaných ideálem I. Přípustné ideály. Jacobsonův radikál, Nakayamovo lemma a nilpotence rad(A) pro konečně dimenzionální algebry. Idempotenty – primitivní, ortogonální, centrální, vztah k direktním rozkladům A na pravé ideály. Význam pojmů pro algebry cest modulo přípustný ideál.[ASS], kap. I.1, I.2, I.4 II.2 a III.1
3. 3.Role centrálních idempotentů a vztah k souvislosti toulců pro algebry cest modulo přípustný ideál. Zvedání idempotentů modulo radikál. Lokální algebry a jejich charakterizace. Algebry endomorfismů nerozložitelných konečně dimenzionálních modulů jsou lokální.[ASS], kap. I.4, II.1
3. 3.Cvičení: Toulce, podtoulce, báze a radikály algeber cest. Isomorfismy s maticovými algebrami. Přípustné ideály.
10. 3.Krullova-Schmidtova věta o jednoznačnosti nerozložitelného rozkladu. Projektivní a injektivní moduly a jejich struktura. Definice projektivního pokrytí.[ASS], kap. I.4, I.5
17. 3.Radikál modulu a jeho vlastnosti. Existence a jednoznačnost projektivních pokrytí.[ASS], kap. I.3, I.5
17. 3.Cvičení: Isomorfismus a rozložitelnost reprezentací, okruhy endomorfismů a jejich lokálnost.
24. 3.Základní algebry, charakterizace a příklady. Asociovaná základní algebra k obecné konečně dimenzionální algebře, Moritova ekvivalence (stručně). Toulec konečně dimenzionální algebry (základní nad alg. uzavřeným tělesem), příklady. Gabrielova strukturní věta: základní konečně dim. algebra A nad alg. uzavřeným tělesem K je isomorfní KQA/I pro nějaký přípustný ideál I. Rychlý úvod ke grupám Ext.[ASS], kap. I.6, II.3
[Šťo], kap. 1
31. 3.Stručně vlastnosti grup Ext, projektivní a injektivní dimenze modulů, globální dimenze okruhů. Specifika konečně dimenzionálních algeber a vztah k dualitě mezi levými a pravými moduly. Příklady.[Šťo], kap. 1 a 2
31. 3.Cvičení: Toulce maticových algeber. Radikál reprezentace, projektivní a jednoduché reprezentace.
7. 4.Dědičné algebry, jejich obecná charakterizace, a pro konečně dimenzionální nad algebraicky uzavřeným tělesem a základní důkaz, že A ≅ KQA. Aditivní invarianty a Grothendieckova grupa K0(A), její výpočet pro algebry cest podle přípustného ideálu, dimenzní vektory. Eulerova charakteristika a Eulerova kvadratická forma, homologická interpretace, výpočet přes Cartanovu matici, pro algebry tvaru A=KQ přímý vzoreček.[ASS], kap. III.2, III.3
[Šťo], kap. 3
14. 4.Coxeterova transformace. Eulerova bilineární forma konečného toulce, kvadratická a symetrická forma (zobecněného) grafu. Dynkinovy a eukleidovské diagramy a charakterizace, kdy je kvadratická forma souvislého grafu pozitivně (semi)definitní.[ASS], kap. III.3
[Kra], kap. 3.2, 4.1, 4.2
14. 4.Cvičení: Radikál reprezentace, projektivní a jednoduché reprezentace. Globální dimenze, Cartanovy matice, Eulerova charakteristika.
21. 4.Kořeny a jejich vlastnosti pro Dynkinovy a eukleidovské diagramy. Reflexe vzhledem k vrcholům a jejich vlastnosti. Přípustné uspořádání vrcholů toulce.[Kra], kap. 3.1, 3.2, 4.3
21. 4.Cvičení: Přípustné uspořádání vrcholů toulce a reflexe. Hledání kořenů.
28. 4.Coxeterova transformace jako složení reflexí. Vlastnosti Coxeterovy transformace pro toulce Dynkinova a eukleidovského typu. Reflexní funktory.[Kra], kap. 3.3, 4.4
28. 4.Cvičení: Reflexní a Coxeterovy funktory. Hledání nerozložitelných reprezentací.
5. 5.Vlastnosti reflexních funktorů. Coxeterovy funktory a jejich vlastnosti. Preprojektivní a preinjektivní reprezentace. Klasifikace nerozložitelných reprezentací pro toulce Dynkinova typu.[Kra], kap. 3.3, 3.4, 3.5, 5.1
12. 5.Reprezentace toulců eukleidovského typu: defekt reprezentace, klasifikace preprojektivních a preinjektivních reprezentací. Charakterizace konečného reprezentačního typu. Začátek klasifikace regulárních reprezentací Kroneckerova toulce.[Kra], kap. 5.2, 5.3, 9.3
12. 5.Cvičení: Reprezentace toulců eukleidovského typu (Kroneckerův toulce, Ã2).

Literatura

Přednášená látka je převážně pokryta v následujících zdrojích:

[ASS] I. Assem, D. Simson, A. Skowroński, Elements of the representation theory of associative algebras, Vol. 1, Cambridge University Press, 2006.
[Kra] H. Krause, Representations of quivers via reflection functors, arXiv:0804.1428. [PDF]

Některé výsledky zvláště při přechodu z jednoho ze zdrojů výše do druhého je těžší rozumně citovat, proto jsem materiály doplnil následujícím krátkým textem.

[Šťo] J. Šťovíček, Crash course on homological algebra and hereditary algebras. [PDF]

V poslední době se objevila řada dalších monografií, které se zabývají teorií reprezentací konečně dimenzionálních algeber z různých pohledů. Zde jsou některé klasičtější zdroje, která jsou sice z pohledu přednášky pouze doplňkové, ale stojí zato je zmínit:

[ARS] M. Auslander, I. Reiten, S. Smalø, Representation theory of Artin algebras, Cambridge University Press, 1997.
[Ben] D. J. Benson, Representations and cohomology I, Basic representation theory of finite groups and associative algebras, Second edition, Cambridge University Press, Cambridge, 1998.

Základní fakta o modulech nad obecnými okruhy jsou též k nalezení v monografii

[AF] F. W. Anderson, K. R. Fuller, Rings and categories of modules, 2nd edition, Springer-Verlag, New York, 1992.