Kapitola 1. Úvod

1.1. Logika

1.2. Množiny

1.3 Číselné obory Množinou všech reálných čísel (značíme ji R) budeme rozumět množinu, na níž

je definováno sčítání (značíme x+y), násobení (značíme x.y) a uspořádání (značíme x ≤ y), které splňují tyto axiomy:

I. (Algebraické operace) I.1 ∀x, y, z ∈ R : x + (y + z) = (x + y) + z (asociativní zákon pro sčítání), I.2 ∀x, y ∈ R : x + y = y + x (komutativní zákon pro sčítání), I.3 v R existuje nulový prvek (značíme ho 0) tak, že ∀x ∈ R : x + 0 = x, I.4 pro každý x ∈ R existuje opačný prvek (značíme ho −x) tak, že x+(−x) = 0, I.5 ∀x, y, z ∈ R : x.(y.z) = (x.y).z (asociativní zákon pro násobení), I.6 ∀x, y ∈ R : x.y = y.x (komutativní zákon pro násobení), I.7 v R existuje jednotkový prvek (značíme ho 1) tak, že ∀x ∈ R : x.1 = x, I.8 pro každý x ∈ R, x ≠ 0 existuje inverzní prvek (značíme ho x^{−1}) tak, že

x.x^{−1} = 1, I.9 ∀x, y, z ∈ R : (x + y).z = x.z + y.z (distributivní zákon).

II.(Uspořádání) II.1 ∀x, y, z ∈ R : ((x ≤ y) ∧ (y ≤ z)) ⇒ (x ≤ z) (tranzitivita), II.2 ∀x, y ∈ R : (((x ≤ y) ∧ (y ≤ x)) ⇒ (x = y)) (slabá antisymetrie), II.3 ∀x, y ∈ R : (x ≤ y) ∨ (y ≤ x), II.4 ∀x, y, z ∈ R : (x ≤ y) ⇒ (x + z ≤ y + z), II.5 ∀x, y, z ∈ R : ((x ≤ y) ∧ (0 ≤ z) ⇒ (x.z ≤ y.z).

III. (Úplnost) III.1 Věta o suprému: Pro každou neprázdnou a shora omezenou množinu M ⊂ R

existuje reálné číslo s, které je suprémem množiny M.

Potřebné definice:

Definice 1.1: Řekneme, že množima M ∈ R je shora omezená, jestliže existuje a ∈ R tak, že

pro všechna x ∈ M platí x ≤ a. Číslo a nazveme horním odhadem (horní závorou, horní mezí) množiny M.

Řekneme, že množima M ∈ R je zdola omezená, jestliže existuje b ∈ R tak, že pro všechna x ∈ M platí b ≤ x. Číslo b nazveme dolním odhadem (dolní závorou, dolní mezí) množiny M.

Řekneme. že množina M je omezená, je-li současně omezená shora a omezená zdola.

Definice 1.2: Řekneme, že s ∈ R je suprémem množiny M (značíme s = supM), jestliže

(i) ∀x ∈ M : x ≤ s, (ii) ∀s′ ∈ R, s′ < s ∃x ∈ M : s′ < x. Řekneme, že g ∈ R je infimem množiny M (značíme g = inf M), jestliže

(i) ∀x ∈ M : g ≤ x, (ii) ∀g′ ∈ R, g′ > g ∃x ∈ M : x < g′.

Věta 1.1: (Archimedova vlastnost) (L) ∀x ∈ R ∃n ∈ N : x < n.

Věta 1.2: (Existence infima) (L) Pro každou neprázdnou zdola omezenou množinu M ∈ R existuje g ∈ R, které

je infimem množiny M.

Věta 1.3: (O celé části) (L) Pro každé x ∈ R existuje z ∈ Z tak, že z ≤ x < z + 1 . Toto z nazveme celou

částí čísla x a značíme [x].

Věta 1.4: (Hustota Q v R) (L) ∀a, b ∈ R, a < b ∃q ∈ Q : a < q < b.

Věta 1.5: (Existence n-té odmocniny) (T) ∀x ∈ R, 0 ≤ x, ∀n ∈ N ∃y ∈ R, 0 ≤ y,: y^{n} = x.

Definice 1.3 (Intervaly, okolí bodu) Pro každé a, b ∈ R, a ≤ b jsou intervaly s krajními body a, b definovány takto:

otevřený interval (a, b) = {x ∈ R; a < x < b}, uzavřený interval [a, b] = {x ∈ R; a ≤ x ≤ b}. Obdobně [a, b) = {x ∈ R; a ≤ x < b}, (a, b] = {x ∈ R; a < x ≤ b}. Okolím bodu x ∈ R o poloměru ϵ ∈ (0, ∞) nazveme množinu

U(x, ϵ) = {y ∈ R; |x − y| < ϵ} = (x − ϵ, x + ϵ),

prstencovým okolím bodu x ∈ R o poloměru ϵ ∈ (0, ∞) nazveme množinu

P (x, ϵ) = {y ∈ R; 0 < |x − y| < ϵ} = (x − ϵ, x) ∪ (x, x + ϵ).