Studijní plány studijního programu MATEMATIKA

Požadavky k souborné zkoušce

Zkouška má přehledový charakter. Jsou kladeny širší otázky a žádá se, aby posluchač prokázal pochopení základních problémů, byl schopen je ilustrovat na konkrétních situacích a osvědčil určitou míru syntézy a hlubšího pochopení. Předmětem zkoušky jsou následující partie matematiky:

1. Vektorové prostory
Vektorové prostory, báze, dimenze, Steinitzova věta, dimenze spojení a průniku podprostorů.

2. Matice a determinanty
Homomorfismy a matice. Hodnost a defekt, matice homomorfismů, transformace souřadnic, elementární transformace. Inverzní matice a jejich užití. Soustavy lineárních rovnic, podmínky řešitelnosti, lineál všech řešení. Determinanty, permutace, věta o násobení determinantů, výpočet determinantů, Cramerovo pravidlo. Polynomiální matice. Ekvivalence lambda-matic a jejich kanonické tvary. Podobnost matic. Charakteristický a minimální polynom. Spektrum matice a spektrální poloměr. Kriteria podobnosti matic. Vlastní čísla a vlastní podprostory endomorfismu. Invariantní podprostory. Diagonalizovatelnost. Kanonické tvary matic. Existence a jednoznačnost Jordanova kanonického tvaru.

3. Lineární a bilineární formy
Lineární formy, analytické vyjádření lineární formy. Dualita vektorových prostorů. Bilineární formy. Symetrické a antisymetrické formy. Polární báze. Kvadratické formy. Zákon setrvačnosti kvadratických forem. Nulové množiny.

4. Unitární prostory
Unitární prostory. Ortogonalizační proces. Ortonormální polární báze a kvadratické formy.

5. Euklidovský prostor
Kartézská soustava souřadnic a její transformace. Podprostory a jejich vzájemná poloha, kolmost. Vzdálenost podprostorů, příčky. Odchylka podprostorů. Shodnosti a podobnosti v euklidovském prostoru. Analytické vyjádření shodností a podobností. Samodružné body, směry a podprostory. Rozklad shodností na základní shodnosti a podobnosti na shodnost a stejnolehlost. Kuželosečky a kvadriky. Metrické a polární vlastnosti. Základní typy kuželoseček a kvadrik a jejich popis a převedení na kanonický tvar.

6. Grupy a reprezentace grup
Normální podgrupy, věty o homomorfismu a izomorfismu. Reprezentace grup, charaktery, konstrukce regulární reprezentace.

7. Okruhy
Charakterizace těles pomocí ideálů.

8. Moduly a multilineární algebra
Direktní součiny a součty modulů. Symetrické a antisymetrické tenzory.

9. Okruhy polynomů
Ireducibilní rozklady. Euklidův algoritmus.

10. Komutativní tělesa
Algebraické a transcendentní prvky. Rozšíření konečného stupně, struktura konečných těles. Kořenové a rozkladové nadtěleso. Algebraický uzávěr.

11. Polynomy více neurčitých
Symetrické polynomy, hlavní věta o symetrických polynomech.

12. Svazy a Booleovy algebry
Úplné svazy, modulární svazy. Struktura konečných Booleových algeber.

13. Univerzální algebra
Homomorfismy a kongruence. Součiny algeber. Termy a volné algebry. Variety algeber.

14. Limita posloupností a funkcí
Heineho věta. Spojitost a derivace funkcí jedné reálné proměnné, základní vlastnosti. Geometrický význam derivace.

15. Primitivní funkce a Newtonův (určitý) integrál
Metody výpočtu primitivní funkce, integrace per partes a substitucí, rozklad na parciální zlomky, integrace racionálních funkcí a funkcí, které lze vhodnou substitucí na racionální funkce převést. Riemannův integrál, jeho základní vlastnosti a vztah k primitivní funkci. Základní kritéria existence Newtonova a Riemannova integrálu. Geometrický význam určitého integrálu.

16. Hlubší vlastnosti reálných čísel
Hromadné hodnoty posloupností. Bolzano-Cauchyova podmínka, Bolzano-Weierstrassova věta, limity monotonní posloupnosti a funkce. Existence extrémů spojitých funkcí, Darbouxova vlastnost spojitých funkcí.

17. Věty o střední hodnotě a jejich důsledky
Vztah monotonie a derivace. L'Hospitalovo pravidlo. Taylorův polynom. Konvexní funkce. Vyšetřování průběhu funkce (včetně asymptot).

18. Číselné řady
Vlastnosti konvergentních řad, kritéria absolutní a neabsolutní konvergence.

19. Posloupnosti a řady funkcí
Stejnoměrná konvergence. Kritéria stejnoměrné konvergence posloupností a řad funkcí. Spojitost a derivace limitní funkce. Mocninné řady. Taylorovy řady. Elementární funkce a jejich Taylorovy rozvoje.

20. Weierstrassova věta o aproximaci spojité funkce polynomy

21. Funkce více proměnných
Otevřené množiny a spojitá zobrazení v eukleidovských prostorech. Parciální derivace, derivace ve směru, totální diferenciál, souvislosti mezi nimi. Geometrický význam totálního diferenciálu. Funkce zadané implicitně a jejich derivace. Extrémy spojitých funkcí více proměnných. Existence extrémů a zjišťování lokálních extrémů. Nutné a postačující podmínky pro lokální extrémy. Nutné podmínky pro vázané extrémy.

22. Diferenciální rovnice
Jednoduché diferenciální rovnice 1. řádu. Metody řešení rovnic se separovanými proměnnými a typů, které lze na rovnice se separovanými proměnnými převést. Lineární rovnice 1. řádu. Věta o existenci a jednoznačnosti řešení. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu. Fundamentální systém řešení, metoda variace konstant.

23. Fourierovy řady
Skalární součin, Hilbertův prostor. Ortogonální systémy, ortogonální báze. Pojem Fourierovy řady, Besselova nerovnost. Trigonometrické polynomy, úplnost trigonometrického systému. Fourierovy řady po částech hladkých funkcí. Kritéria bodové konvergence Fourierových řad.

24. Vícerozměrný integrál v eukleidovských prostorech
Fubiniova věta, věta o substituci.

25. Křivky
Definice křivky, parametrizace křivky obloukem, tečna, normála a binormála křivky. Křivost a torse křivky, Frenetovy formule, příklady.

26. Plochy
Definice plochy, křivky na ploše, tečný vektor, tečná rovina, metrické vlastnosti plochy, první základní forma plochy, úhel křivek na ploše, obsah části plochy, geodetické křivky, geodetická křivost křivky na ploše, druhá základní forma plochy, význačné směry a křivky na ploše, Gaussova a střední křivost plochy, příklady.

Posluchači studijních plánů Matematická statistika a Teorie pravděpodobnosti a náhodné procesy, kteří nastoupili na fakultu ve školním roce 1999/2000, 2000/2001 a 2001/2002, nemusí absolvovat předměty Algebra II (ALG027) a Diferenciální geometrie křivek a ploch (GEM012).

Obhajoba diplomové práce je jednou z částí státní závěrečné zkoušky. Koná se zpravidla nejpozději v den konání ústních částí státní závěrečné zkoušky. Výjimky povoluje na základě doporučení garantujícího pracoviště děkan.

Specifické podmínky pro přihlášení a stručné požadavky ke státní závěrečné zkoušce určují jednotlivé studijní obory (kap. 4). Podrobnější informace poskytnou garantující pracoviště nebo studijní oddělení. Termíny pro podání přihlášky ke státní závěrečné zkoušce určuje harmonogram školního roku.

4. Studijní plány jednotlivých oborů

Posluchači, kteří začali na MFF studovat ve školním roce 1999/2000, 2000/2001, 2001/2002, získají alespoň 10 bodů za předměty vedlejšího oboru.

Státní závěrečná zkouška

Ústní část státní závěrečné zkoušky studijního oboru Matematické struktury se skládá ze společných požadavků z okruhů Algebra a logika a Geometrie a topologie a z požadavků užšího zaměření. Toto zaměření si posluchač určí volbou jednoho z témat uvedených níže.

Požadavky ke státní závěrečné zkoušce

I. Společné požadavky

I.1. Algebra a logika

1. Grupy
Normální a subnormální řady. Zassenhausovo lemma a jeho důsledky. Horní a dolní centrální řada, stupeň nilpotence nilpotentní grupy a charakterizace konečných nilpotentních grup. Sylowovy věty. Komutant, řešitelné grupy. Struktura konečně generovaných Abelových grup. Působení grupy na množině a základní vlastnosti permutačních grup (jádro a stabilizátor působení, působení translací a konjugací.)

2. Okruhy a moduly
Struktura polojednoduchých (= totálně rozložitelných) modulů. Wedderburn-Artinova věta. Noetherovské a artinovské moduly, moduly konečné délky. Noetherovské a artinovské okruhy. Hopkinsova věta. Hilbertova věta o bázi. Moduly nad algebrami cest orientovaných grafů jako lineární representace těchto grafů. Volné moduly. Projektivní a injektivní moduly a jejich vztah k funktorům Hom. Kaplanského charakterizace projektivních modulů. Struktura injektivních modulů nad noetherovskými okruhy. Struktura divizibilních abelovských grup.

3. Komutativní algebry
Základy teorie komutativních noetherovských okruhů, Věta Artin-Reesova. Lomené ideály a Dedekindovy obory. Rozšíření homomorfizmů a valuační obory. Celistvá a slabě celistvá rozšíření oborů a okruhů.

4. Matematická logika
Výroková logika: dedukce, pravdivost, algebra výroků, filtry na algebrách výroků, normální tvary výroků. Dokazatelné, nerozhodnutelné a konsistentní výroky. Predikátová logika: jazyk 1. řádu, teorie, dokazatelnost, spornost, věty o dokazování, semantický model teorie 1. řádu, pravdivost, věta o existenci modelu, o kompaktnosti, o úplnosti. Úplnost teorie. Diagram, základní vztahy mezi modely, podmodel, rozšíření, elementární rozšíření, homomorfní, isomorfní a elementární vnoření. Příklady teorii a jejich základních vlastností, zejména s ohledem na úplnost (teorie uspořádání, Booleových algeber, aritmetiky, grafu). Teorie množin jako teorie 1. řádu.

I.2. Geometrie a topologie

1. Diferenciální geometrie
Křivky v E³, Frenetovy formule, křivost a torze a jejich význam. Rovinné křivky. Křivky s konstantní křivostí a torzí. Plochy v E³, první a druhá fundamentální forma, hlavní, Gaussova a střední křivost a jejich význam. Význačné křivky na ploše (hlavní, asymptotické křivky). Plochy s konstantní Gaussovou křivostí, přímkové plochy, minimální plochy (stručná charakterizace). Pojem kovariantní derivace na ploše, geodetické křivky na ploše. Příklady geodetických křivek.

2. Komplexní analýza
Holomorfní funkce, Cauchy-Riemannovy podmínky. Cauchyova věta, Cauchyova integrální formule a její aplikace na výpočet integrálu. Taylorova a Laurentova řada, příklady funkcí komplexní proměnné vzniklých rozšířením reálných funkcí (např. log, exp, goniometrické funkce). Residuum a residuová věta, základní příklady na výpočet integrálů.

3. Funkcionální analýza
Banachovy prostory, Hilbertovy prostory, jejich základní vlastnosti, příklady. Spojitá linearní zobrazení a jejich vlastnosti, Hahn-Banachova věta, věta o uzavřeném zobrazení, věta o uzavřeném grafu. Základy spektrální teorie kompaktních operátorů v Hilbertově prostoru. Adjungované operátory, samoadjungované operátory a jejich vlastnosti.

4. Obecná topologie
Topologický prostor, jeho základní popisy (otevřené a uzavřené množiny, uzávěrová operace, okolí atd.) Spojitá zobrazení a homeomorfismy. Podprostory, faktorprostory. Oddělovací axiomy a jejich význam pro vlastnosti prostoru. Separabilní topologické prostory, existence spočetné baze otevřených množin. Metrický prostor jako topologický prostor. Kompaktní prostory a jejich vlastnosti. Parakompaktní prostory, rozklad jednotky (existence). Příklady topologických prostorů s vymezenými vlastnostmi.

II. Užší zaměření

B1. Harmonická analýza a teorie reprezentací (HA)

1. Algebraická topologie
Fundamentální grupa prostoru - základní vlastnosti. Singulární homologická a kohomologická teorie, jejich základní vlastnosti. CW-komplexy - jejich elementární vlastnosti a určení jejich homologických grup. Některé aplikace algebraické topologie v analýze, topologii a geometrii. De Rhamova věta.

2. Teorie reprezentací
Klasifikace jednoduchých Lieových algeber. Souvislost mezi reprezentacemi Lieových grup a algeber. Klasifikace konečně-dimensionálních representací klasických Lieových algeber pomocí nejvyšších vah. Charaktery representací, některé formule pro charaktery.

3. Analýza na varietách
Vnější algebra vektorového prostoru, Diferenciální formy na varietě a jejich integrace. Forma objemu na riemannovské varietě a integrace funkcí. Variety s krajem, Stokesova věta.

4. Harmonická analýza
Homogenní prostory. Základní problémy harmonické analýzy na homogenních prostorech, invariantní operátory. Příklady (euklidovská rovina, sféra, hyperbolická rovina).

B2. Riemannova geometrie (RG)

1. Analýza na varietách
Vnější algebra vektorového prostoru, diferenciální formy na varietě a jejich integrace. Variety s krajem, Stokesova věta. Forma objemu na riemannovské varietě a integrace funkcí.

2. Riemannova geometrie
Definice afinní konexe a kovariantního derivování. Paralelní přenos vektoru podél křivky na varietě s konexí, geodetické křivky a jejich základní vlastnosti, exponenciální zobrazení v bodě variety. Pojem Riemannovy metriky a Riemannovy variety, izometrie Riemannových variet. Existence a jednoznačnost Riemannovy konexe, extremální vlastnosti geodetické křivky na Riemannově varietě. Prostory s konstantní křivostí. Divergence, gradient a Laplaceův operátor na Riemannově varietě.

3. Algebraická topologie
Fundamentální grupa prostoru - základní vlastnosti. Singulární homologická a kohomologická teorie, jejich základní vlastnosti. CW-komplexy - jejich elementární vlastnosti a určení jejich homologických grup. Některé aplikace algebraické topologie v analýze, topologii a geometrii. De Rhamova věta.

4. Homogenní prostory
Lieovy grupy a homogenní prostory. Invariantní formy a konexe na homogenním prostoru. Příklady klasických prostorů.

B3. Algebra v přírodních vědách (AP)

1. Teorie reprezentací grup a algeber
Reprezentace konečných grup, Maschkeho věta, charaktery reprezentace, ireducibilní charaktery, věta o ortogonalitě, Burnsidova věta, věta o stupni ireducibilní reprezentace. Algebry cest grafů, lineární reprezentace grafů, Gabrielova věta, AR-graf konečně dimenzionální algebry.

2. Rozšíření grup
Rozšíření s Abelovou grupou A, kohomologické grupy ⁿ(\Pi,A). Jejich interpretace pro n = 1, 2, 3.

3. Homologická algebra
Funktory Hom, \otimes, ploché moduly, injektivní a projektivní rezolventy, Funktory Torⁿ a Extⁿ, Vztah Ext¹ a rozšíření modulů.

4. Komutativní algebra
Celistvá rozšíření, valuační obory, Dedekindovy a Prüferovy obory, lomené ideály a divizory. Galoisova rozšíření těles. Galoisova korespondence. Radikálová rozšíření a řešitelnost polynomiálních rovnic v radikálech.

B4. Algebra v informatice (AI)

1. Univerzální algebra
Limity a kolimity diagramů, termy, volné algebry, variety a Birkhoffova věta, svazy variet, Malcevovy podmínky, Schreierova vlastnost, podmínky amalgamačního typu.

2. Automaty a pologrupy, přepisovací systémy
Regulární jazyky, gramatiky, syntaktické monoidy, bezkontextové jazyky, Eilenbergova věta, konvergence v grafech, kritické dvojice a unifikace termů, Knuth-Bendixův algoritmus, simplifikační dobré kvaziuspořádání.

3. Kombinatorická teorie grup
Volné součiny grup a jejich prezentace, Nielsenova a Reidemeister-Schreierova metoda použitá pro podgrupy volných grup. HNN rozšíření včetně normální formy a Brittonova lemmatu, fundamentální grupa 2-komplexu.

4. Kódy
Cyklotomické polynomy, exponent polynomu, algoritmy pro rozklad polynomu, lineární kódy, Hammingovy kódy, cyklické kódy, BCH kódy.

B5. Matematická logika a teorie množin (ML)

1. Nerozhodnutelnost a neúplnost
Rekursivní funkce a rekursivně spočetné množiny. Formalisace syntaxe. Rozhodnutelné a nerozhodnutelné teorie. Gödelova a Rosserova věta o neúplnosti. Formalisace dokazatelnosti, nedokazatelnost bezespornosti, Lobova věta. Nestandardní modely přirozených čísel.

2. Teorie modelů
Existence modelů, kompaktnost, Lowenheim-Skolemovy věty. Diagramy, homomorfismus, vnoření. Řetěz modelů. Lindenbaumovy algebry. Typy, věta o pomíjení typů a její důsledky. Saturované modely, jednoznačnost, existence, aplikace. Omega-kategoričnost. Universální, homogenní a minimální modely. Ultraprodukt, fundamentální věta, regulární ultramocnina.

3. Transfinitní čísla, transitivní modely
Ordinální funkce, ordinální a kardinální aritmetika. Velké kardinály, nedosažitelný a měřitelný kardinál. Ramseyovy věty. Fundované relace, fundovaná indukce a rekurse. Věta o kolapsu a kompresi, fundované jádro. Transitivní modely. Konstruovatelné množiny.

4. Generické rozšíření. Nestandardní teorie
Booleovské universum. Generické rozšíření. Algebra C(kappa). Negace hypotézy kontinua. Nestandardní teorie množin: standardní, internální a externální množiny. Princip standardisace, saturovanosti a finitarisace. Nestandardní čísla, spojitost, derivace.

B6. Universální algebra a matematická logika (UL)

1. Universální algebra
Limity a kolimity diagramů, termy, volné algebry, variety a Birkhoffova věta, svazy variet, Malcevovy podmínky, Schreierova vlastnost, podmínky amalgamačního typu.

2. Automaty a pologrupy, přepisovací systémy
Regulární jazyky, gramatiky, syntaktické monoidy, bezkontextové jazyky, Eilenbergova věta, konvergence v grafech, kritické dvojice a unifikace termů, Knuth-Bendixův algoritmus, simplifikační dobré kvaziuspořádání.

3. Teorie modelů
Existence modelů, kompaktnost, Lowenheim-Skolemovy věty. Diagramy, homomorfismus, vnoření. Řetěz modelů. Lindenbaumovy algebry. Typy, věta o pomíjení typů a její důsledky. Saturované modely, jednoznačnost, existence, aplikace. Omega-kategoričnost. Universální, homogenní a minimální modely. Ultraprodukt, fundamentální věta, regulární ultramocnina.

4. Transfinitní čísla, transitivní modely
Ordinální funkce, ordinální a kardinální aritmetika. Velké kardinály, nedosažitelný a měřitelný kardinál. Ramseyovy věty. Fundované relace, fundovaná indukce a rekurse. Věta o kolapsu a kompresi, fundované jádro. Transitivní modely. Kontruovatelné množiny.

B7. Obecná topologie a teorie kategorií (TTK)

1. Obecná topologie
Základní topologické pojmy. Kompaktní a lokálně kompaktní prostory - Tichonovova věta, kompaktifikace, Čech-Stoneova kompaktifikace, kontinua. Pokrývací vlastnosti - kolektivní normalita, Lindelofovy prostory, parakompaktnost, metrizační věty. Metrizovatelné prostory - úplnost, totální omezenost, čechovsky úplné prostory, Baireova věta. Uniformní prostory - stejnoměrně spojitá zobrazení, vztah k topologii, jemná uniformita, uniformizovatelnost, úplnost. Teorie dimenze: dim, ind, Ind, věty o monotonii, věty o shodě dimenzí, příklady.

2. Topologické grupy a Lieovy grupy
Topologické grupy - levá a pravá uniformita, věta o otevřené poddgrupě, volné topologické grupy. Základy teorie Lieových grup, příklady Lieových grup.

3. Teorie kategorií
Základní pojmy teorie kategorií, Speciální funktory, Yonedovo lemma, Yonedovo vnoření. Koma-kategorie, hustota. Adjungované funktory, věty o adjungovaných funktorech (AFT a SAFT) a jejich použití. Aplikace v obecné topologii a algebře.

4. Algebraická topologie
Fundamentální grupa prostoru - základní vlastnosti. Singulární homologická a kohomologická teorie, jejich základní vlastnosti. CW-komplexy - jejich elementární vlastnosti a určení jejich homologických grup. Některé aplikace algebraické topologie v analýze, topologii a geometrii. Věta o universálních koeficientech a Kunnethova formule.

B8. Dynamika (DYN)

1. Systémy diferenciálních rovnic
Systémy diferenciálních rovnic prvního řádu, stacionární body a jejich stabilita, linearizace, stabilní a nestabilní varieta, Ljapunovovy funkce, strukturální stabilita, bifurkace.

2. Dynamické systémy
Topologické dynamické systémy, trajektorie, pseudotrajektorie, periodické body a jejich stabilita, minimální, transitivní a chaotické systémy, distální a proximální systémy, atraktory, oblasti atrakce, rekurentní body, symbolická dynamika, topologická entropie.

3. Stochastické procesy
Stochastické procesy a jejich rozdělení, korelační funkce, stacionární procesy, Markovské procesy a řetězce.

4. Ergodická teorie
Metrické dynamické systémy, ergodické věty (von Neumannova a Birkhofova), dekompozice invariantní míry na ergodické složky, isomorfismus a spektrální ekvivalence, Lebesgueovo a bodové spektrum, entropie.

B9. Teorie grafů a kombinatorické algoritmy (TG)

1. Grafy
Orientované a neorientované grafy, isomorfismus grafů. Prostor cyklů v grafu. Stromy, ekvivalentní definice, počet stromů, isomorfismus stromů. Kostry grafu, počet koster grafu. Hamiltonovské kružnice. Souvislost grafu. Barevnost grafu a hranová barevnost. Rovinné grafy, Eulerův vztah, Kuratowského věta, barevnost rovinných grafů. Bipartitní grafy. Faktory grafu a Tuttova věta. Náhodné grafy a pravděpodobnostní metoda.

2. Kombinatorika
Kombinatorické počítání, princip inkluze a exkluze, vytvořující funkce. Hallova věta o systému různých reprezentantů, Birkhoffova věta o bistochastických maticích. Ramseyova teorie, Schurovo lemma, van der Wardenova věta. Matroidy.

3. Algoritmy
Dijkstrův algoritmus pro nejkratší cestu. Toky v sítích. Toky v sítích (moderní algoritmy). Minimální kostra grafu. Heuristické algoritmy pro těžké problémy (isomorfimus, barvení, minimal cut) a jejich analýza.

4. Výpočetní složitost
NP-úplnost a některé NP-úplné problémy. Aproximační algoritmy. Pravděpodobnostní algoritmy. Hierarchie problémů v rámci třídy PSPACE. Problémy úplné ve třídě P pro silně omezené redukce (log-space, paralelní polylog-time).

B10. Kombinatorická geometrie a geometrické algoritmy (KG)

1. Konvexita
Věty o konvexních množinách, vlastnosti konvexních mnohostěnů (např. kombinatorická složitost), perfektní grafy, konvexita a kombinatorické optimalizace (elipsoidová metoda, lineární programovaní).

2. Výpočetní složitost
Složitost algoritmu, modely výpočtu, teorie NP-úplnosti s důrazem na geometrické problémy (např. Steinerův problém).

3. Výpočetní geometrie
Voroneho diagram a Delaunayova triangulace, arrangementy nadrovin, stratégie návrhu geometrických algoritmů (pravděpodobnostní, inkrementální), příklady efektivních algoritmů pro konkrétní problémy (problém lokalizace bodu, výpočet konvexního obalu, konstrukce arrangementu, lineární programování v malé dimenzi, triangulace mnohoúhelníka v rovině).

4. Kombinatorická geometrie
Složitost arrangementu nadrovin (věta o zóně), kombinatorika bodů a přímek v rovině, geometrické reprezentace grafů a uspořádaných množin (průnikové a inkluzní).

Blok B studijního oboru Matematické struktury (STR)

¹Předmět je ekvivalentní s předmětem Topologie (MAT018).

²Student volí jeden z takto označených předmětů podle vlastního výběru.

Doporučené předměty (blok C)

Zkratky v závorce označují téma státní závěrečné zkoušky, k němuž je předmět doporučen.

^*Takto označené předměty nejsou vyučovány každý rok.

Posluchači, kteří začali na MFF studovat ve školním roce 1999/2000, 2000/2001, 2001/2002, získají alespoň 10 bodů za předměty vedlejšího oboru.

Státní závěrečná zkouška

Ústní část státní závěrečné zkoušky studijního oboru Matematická analýza se skládá ze společných požadavků z okruhů Reálná a komplexní analýza, Funkcionální analýza, Diferenciální rovnice a z dalších požadavků jednotlivých studijních plánů.

Požadavky ke státní závěrečné zkoušce pro studijní plán Teorie funkcí, funkcionální analýza a teorie potenciálu

Reálná a komplexní analýza

1. Teorie míry
Míra, vnější míra, konstrukce, znaménkové míry, měřitelné funkce, Luzinova věta, Jegorovova věta, součin měr a Fubiniova věta, Radonovy míry v \Rⁿ, Rieszova věta o reprezentaci, Radon-Nikodymova věta, derivování měr, Hausdorffova míra.

2. Lebesgueův integrál
Zavedení, limitní přechody, Fubiniova věta, věta substituci. Absolutně spojité funkce a souvislost s neurčitým Lebesgueovým integrálem, derivace monotonní funkce, funkce s konečnou variací.

3. Fourierovy řady
L₁-teorie: Riemann-Lebesgueova věta, věta o lokalizaci, Jordan-Dirichletovo kriterium, (C,1)-sčítatelnost, Fejérova věta, L₂-teorie.

4. Holomorfní funkce
Cauchy-Riemannovy podmínky, primitivní funkce a křivkový integrál, Cauchyova věta a Cauchyův vzorec a jejich důsledky: vztah holomorfních funkcí a mocninových řad, princip maxima modulu, Morerova věta, Stieltjes-Osgoodova věta, Osgoodova věta, Jensenova formule, Jordanova věta.

5. Izolované singularity holomorfních funkcí
Laurentovy řady, Casoratti-Weierstrassova věta, Picardova věta, reziduová věta, vlastnosti indexu bodu, aplikace reziduové věty.

6. Meromorfní funkce
Princip argumentu, Rouchéova věta, Mittag-Lefflerova věta, Cauchyova metoda rozkladu meromorfních funkcí, Rungeho věta, celé funkce a nekonečné součiny, funkce \Gamma a \beta.

7. Prostory holomorfních funkcí
Kompaktnost, úplnost, charakterizace duálu, aplikace.

8. Konformní zobrazení
Inverze holomorfních funkcí, Schwarzovo lemma, Riemannova věta, hraniční chování konformních zobrazení, příklady.

9. Holomorfní funkce více komplexních proměnných
Souvislost s mocninnými řadami, oddělená holomorfnost, Cauchyův vzorec, věty o jednoznačnosti, Hartogsova věta, oblasti holomorfnosti.

10. Elementární analytické funkce
Logaritmus, obecná mocnina. Analytické funkce: zavedení, operace s analytickými funkcemi, Riemannova plocha, funkce neomezeně pokračovatelné - věta o monodromii, izolované singularity, příklady.

11. Integrální transformace
Laplaceova transformace: vlastnosti obrazu jako funkce komplexní proměnné, inverzní transformace, Fourierova transformace funkcí z L₁, L₂ i v L₁(R_n), vlastnosti obrazu, obraz konvoluce a derivace, Plancherelova věta, inverzní transformace.

Funkcionální analýza

1. Banachovy prostory
Prostor spojitých lineárních zobrazení, kompaktnost jednotkové koule, topologický doplněk. Věta Hahn-Banachova a její důsledky. Věta o otevřeném zobrazení a o uzavřeném grafu. Banach-Steinhausova věta.

2. Hilbertovy prostory
Ortogonální projekce, věta o nejlepší aproximaci, reprezentace spojité lineární formy, ortonormální báze.

3. Lokálně konvexní prostory
Podmínky metrizovatelnosti a normovatelnosti, slabé topologie, uzávěr konvexní množiny, slabá kompaktnost koule, reflexivita a Eberlain-Šmuljanova věta. Extremální body, Krejn-Milmanova věta, integrální reprezentace. Distribuce, konvergence na testovacích funkcích, derivace distribucí, derivování posloupnosti distribucí, násobení distribucí funkcí.

4. Spektrální teorie
Spektrum, rezolventa, spektrální poloměr prvku Banachovy algebry, rezolventní funkce, kompaktnost a neprázdnost spektra, vlastní čísla. Spektrum lineárního (i nespojitého) operátoru, kompaktní operátory, Fredholmovy věty, adjungované zobrazení, Hilbert-Schmidtova věta o kompaktních samoadjungovaných operátorech, spektrální rozklad spojitého samoadjungovaného operátoru. Funkční kalkulus - Dunfordův - pro spojité operátory a holomorfní funkce a Rieszův pro samoadjungované operátory. Invariantní prostory a jejich existence.

5. Diferenciální počet v Banachových prostorech
Gateauxova a Fréchetova derivace, věta o implicitních funkcích a lokálním difeomorfismu. Věty o pevných bodech (Banachova, Brouwerova, Schauderova), topologický stupeň a jeho zavedení. Základy variačního počtu, formulace klasických úloh, nutná podmínka pro minimum, rovnice Euler-Lagrangeova, integrál z vektorové funkce (Riemannův, Pettisův).

Diferenciální rovnice

1. Diferenciální rovnice n-tého řádu a soustavy n rovnic prvního řádu
Řešení se spojitou derivací, lokálně absolutně spojité řešení. Existence a jednoznačnost (Carathéodoryho podmínky, podmínky pro jednoznačnost, maximální řešení). Spojitá závislost řešení na počátečních podmínkách a na parametrech. Vztah řešení a kompaktních podmnožin definičního oboru pravé strany.

2. Soustavy lineárních diferenciálních rovnic a rovnic n-tého řádu
Fundamentální systém, Liouvilleova formule, variace konstant. Autonomní soustavy, soustavy s periodickou maticí a její transformace na soustavu autonomní.

3. Diferencovatelnost řešení vzhledem k počátečním podmínkám
Rovnice ve variacích.

4. Autonomní soustavy
Posunutí řešení v časové ose, trajektorie a fázový prostor řešení. Tři typy řešení (stacionární, periodické, řešení nabývající každé své hodnoty pouze jednou). Stabilita stacionárního řešení. Stabilní a nestabilní varieta stacionárního řešení.

5. Bifurkace

6. Lokální řešitelnost Cauchyovy úlohy pro parciální diferenciální rovnice
Počáteční podmínky na obecné ploše a převedení na nadrovinu, charakteristický směr, charakteristika. Charakteristiky základních rovnic matematické fyziky. Věta Cauchy-Kowalevské.

7. Cauchyho úloha pro rovnici vedení tepla a vlnovou rovnici
Intuitivní odvození fundamentálních řešení, jednoznačnost řešení. Princip maxima pro rovnici vedení tepla. Rychlost šíření a zhlazování počátečních podmínek. Charakter řešení vlnové rovnice, šíření vln v prostorech dimenze 1, 2, 3.

8. Fourierova metoda
Řešení okrajové úlohy pro rovnici vedení tepla a vlnovou rovnici v prostoru dimenze 1, pro Poissonovu rovnici na speciálních oblastech.

9. Harmonické funkce
Intuitivní odvození fundamentálního řešení okrajové úlohy pro Laplaceovu a Poissonovu rovnici, řešení Dirichletovy úlohy na kouli. Harmonické funkce a jejich vlastnosti: princip maxima, věta o průměru, Liouvilleova věta, Harnackovy věty. Metoda důkazu existence řešení Dirichletovy úlohy.

10. Existence zobecněného řešení eliptických úloh
Variační formulace okrajové úlohy pro eliptickou lineární rovnici druhého řádu. Sobolevovy prostory, stopy, kompaktnost vnoření.

Požadavky ke státní závěrečné zkoušce pro studijní plán Diferenciální rovnice

Reálná a komplexní analýza

1. Teorie míry
Míra, vnější míra, konstrukce, měřitelné funkce, Luzinova věta, součin měr a Fubiniova věta, Rieszova věta o reprezentaci, Radon-Nikodymova věta.

2. Lebesgueův integrál
Zavedení, limitní přechody, Fubiniova věta, věta substituci. Absolutně spojité funkce a souvislost s neurčitým Lebesgueovým integrálem, derivace monotonní funkce, funkce s konečnou variací.

3. Fourierovy řady
L₁-teorie: Riemann-Lebesgueova věta, věta o lokalizaci, Jordan-Dirichletovo kriterium, (C,1)-sčítatelnost, Fejérova věta, L₂-teorie.

4. Holomorfní funkce
Cauchy-Riemannovy podmínky, primitivní funkce a křivkový integrál, Cauchyova věta a Cauchyův vzorec a jejich důsledky: vztah holomorfních funkcí a mocninných řad, princip maxima modulu, Stieltjes-Osgoodova věta. Jordanova věta.

5. Izolované singularity holomorfních funkcí
Laurentovy řady, Casoratti-Weierstrassova věta, reziduová věta, vlastnosti indexu bodu, aplikace reziduové věty.

6. Meromorfní funkce
Princip argumentu, Rouchéova věta, Mittag-Lefflerova věta, funkce \Gamma a \beta.

7. Konformní zobrazení
Inverze holomorfních funkcí, Schwarzovo lemma, Riemannova věta, příklady.

8. Holomorfní funkce více komplexních proměnných
Souvislost s mocninnými řadami, oddělená holomorfnost, Cauchyův vzorec, věty o jednoznačnosti.

9. Elementární analytické funkce
Logaritmus, obecná mocnina.

10. Diferenciální rovnice v komplexním oboru
Existenční věty pro lineární diferenciální rovnice a jejich systémy, rovnice Fuchsova typu, příklady.

11. Integrální transformace
Laplaceova transformace: vlastnosti obrazu jako funkce komplexní proměnné, inverzní transformace, užití v teorii obyčejných diferenciálních rovnic, Fourierova transformace funkcí z L₁, L₂ (i L₁(\Rⁿ)), vlastnosti obrazu, obraz konvoluce a derivace, Plancherelova věta, inverzní transformace. Fourierova transformace funkcí z S, Fourierova transformace distribucí, užití v teorii diferenciálních rovnic.

Funkcionální analýza

1. Banachovy prostory
Prostor spojitých lineárních zobrazení, kompaktnost jednotkové koule, topologický doplněk. Věta Hahn-Banachova a její důsledky. Věta o otevřeném zobrazení a o uzavřeném grafu. Banach-Steinhausova věta.

2. Hilbertovy prostory
Ortogonální projekce, věta o nejlepší aproximaci, reprezentace spojité lineární formy, ortonormální báze.

3. Lokálně konvexní prostory
Slabé topologie, uzávěr konvexní množiny, slabá kompaktnost koule, reflexivita a Eberlain-Šmuljanova věta. Extremální body, Krejn-Milmanova věta. Distribuce, konvergence na testovacích funkcích, derivace distribucí, derivování posloupnosti distribucí, násobení distribucí funkcí.

4. Spektrální teorie
Spektrum, rezolventa, spektrální poloměr prvku Banachovy algebry, rezolventní funkce, kompaktnost a neprázdnost spektra, vlastní čísla. Spektrum lineárního (i nespojitého) operátoru, kompaktní operátory, Fredholmovy věty, adjungované zobrazení, Hilbert-Schmidtova věta o kompaktních samoadjungovaných operátorech, spektrální rozklad spojitého a nespojitého samoadjungovaného operátoru. Funkční kalkulus - Dunfordův - pro spojité operátory a holomorfní funkce.

5. Diferenciální počet v Banachových prostorech
Gateauxova a Fréchetova derivace, věta o implicitních funkcích a lokálním difeomorfismu. Věty o pevných bodech (Banachova, Brouwerova, Schauderova), použití na diferenciální a integrální rovnice, topologický stupeň a jeho zavedení. Základy variačního počtu, formulace klasických úloh, nutná podmínka pro minimum, rovnice Euler-Lagrangeova, existenční věta pro konvexní polospojité funkcionály. Integrál z vektorové funkce (Riemannův, Bochnerův).

Diferenciální rovnice

1. Diferenciální rovnice n-tého řádu a soustavy n rovnic prvního řádu
Řešení se spojitou derivací, lokálně absolutně spojité řešení. Existence a jednoznačnost (Carathéodoryho podmínky, podmínky pro jednoznačnost, maximální řešení). Spojitá závislost řešení na počátečních podmínkách a na parametrech. Vztah řešení a kompaktních podmnožin definičního oboru pravé strany.

2. Soustavy lineárních diferenciálních rovnic a rovnic n-tého řádu
Fundamentální systém, Liouvilleova formule, variace konstant. Autonomní soustavy, soustavy s periodickou maticí a její transformace na soustavu autonomní. Okrajová úloha pro rovnice druhého řádu na kompaktním intervalu, adjungovaná úloha, Greenova funkce, samoadjungovaná úloha a úplný systém vlastních funkcí.

3. Diferencovatelnost řešení vzhledem k počátečním podmínkám
Rovnice ve variacích.

4. Autonomní soustavy
Posunutí řešení v časové ose, trajektorie a fázový prostor řešení. Tři typy řešení (stacionární, periodické, řešení nabývající každé své hodnoty pouze jednou). Stabilita stacionárního řešení. Stabilní a nestabilní varieta stacionárního řešení.

5. První integrál
Funkcionálně nezávislé první integrály.

6. Asymptotické vlastnosti autonomních rovnic
Limitní množiny, Poincaré-Bendixsonova teorie rovinných soustav. Pojem chaotické řešení.

7. Bifurkace
Jednoduché bifurkace stacionárního řešení autonomní rovnice. Hopfova bifurkace.

8. Stabilita a asymptotická stabilita
Metoda ljapunovských funkcí.

9. Lokální řešitelnost Cauchyovy úlohy pro parciální diferenciální rovnice
Počáteční podmínky na obecné ploše a převedení na nadrovinu, charakteristický směr, charakteristika. Charakteristiky základních rovnic matematické fyziky. Věta Cauchy-Kowalevské.

10. Cauchyho úloha pro rovnici vedení tepla a vlnovou rovnici
Intuitivní odvození fundamentálních řešení, jednoznačnost řešení. Princip maxima pro rovnici vedení tepla. Rychlost šíření a zhlazování počátečních podmínek. Charakter řešení vlnové rovnice, šíření vln v prostorech dimenze 1, 2, 3.

11. Fourierova metoda
Řešení okrajové úlohy pro rovnici vedení tepla a vlnovou rovnici v prostoru dimenze 1, pro Poissonovu rovnici na speciálních oblastech.

12. Harmonické funkce
Intuitivní odvození fundamentálního řešení okrajové úlohy pro Laplaceovu a Poissonovu rovnici, řešení Dirichletovy úlohy na kouli. Harmonické funkce a jejich vlastnosti: princip maxima, věta o průměru, Liouvilleova věta, Harnackovy věty, odstranitelné singularity. Metoda důkazu existence řešení Dirichletovy úlohy.

13. Existence zobecněného řešení eliptických úloh
Variační formulace okrajové úlohy pro eliptickou lineární rovnici druhého řádu. Sobolevovy prostory (pro obecné p), stopy, kompaktnost vnoření.

14. Nelineární eliptické rovnice
Slabá řešení, souvislost s variačním počtem, metoda monotonních operátorů.

15. Lineární a nelineární evoluční rovnice
Slabá řešení, semigrupy, apriorní odhady a jejich použití.

Blok B studijního oboru Matematická analýza (MA)

Předměty (DIR005) a (DIR004) jsou ekvivalentní se zrušenou přednáškou M 138.

Předměty (MAA016) a (MAA067) jsou ekvivalentní se zrušenou přednáškou M 147.

Doporučené předměty (blok C)

¹Předmět je ekvivalentní s předmětem Obecná topologie I (MAT039)

Posluchači, kteří začali na MFF studovat ve školním roce 1999/2000, 2000/2001, 2001/2002, získají alespoň 10 bodů za předměty vedlejšího oboru.

Státní závěrečná zkouška

Ústní část státní závěrečné zkoušky studijního oboru Výpočtová matematika se skládá ze společných požadavků z okruhů Matematická a funkcionální analýza, Numerické metody a z dalších požadavků jednotlivých studijních plánů.

Požadavky ke státní závěrečné zkoušce

I. Společné požadavky

Matematická a funkcionální analýza

1. Základy diferenciálního a integrálního počtu
Základy diferenciálního a integrálního počtu. Základní pojmy a věty teorie Riemannova a Lebesgueova integrálu. Věta o implicitních funkcích, Fourierovy řady.

2. Obyčejné diferenciální rovnice
Věty o existenci a jednoznačnosti řešení počátečních úloh. Lineární rovnice s konstantními koeficienty. Závislost řešení na počátečních podmínkách a parametrech. Okrajové úlohy.

3. Parciální diferenciální rovnice matematické fyziky
Klasifikace parciálních diferenciálních rovnic 2. řádu, Cauchyova a smíšená úloha pro rovnici struny a vedení tepla. Úlohy pro Poissonovu rovnici a vlnovou rovnici. Harmonické funkce. Slabá řešení.

4. Základy komplexní analýzy
Základní pojmy. Cauchyova a reziduová věta, Laurentova řada, meromorfní funkce.

5. Základní pojmy funkcionální analýzy
Metrické, Banachovy a Hilbertovy prostory. Příklady.

6. Lineární operátory a funkcionály
Spojité lineární operátory a funkcionály, uzavřené lineární operátory. Věty o rozšíření, princip stejnoměrné omezenosti a Banachova-Steinhausova věta a jejich aplikace. Duální operátory.

7. Spektrální teorie lineárních operátorů
Spektrum, rezolventní množina, rezolventa, základní vlastnosti. Funkce operátoru.

8. Speciální typy operátorů
Samoadjungované a kompaktní operátory a jejich spektrální vlastnosti. Aplikace na řešení integrálních rovnic. Monotónní operátory.

Numerické metody

1. Interpolace a aproximace funkcí
Lagrangeova a Hermiteova interpolace, konvergence. Interpolace pomocí spline-funkcí. Aproximace funkcí metodou nejmenších čtverců.

2. Numerická kvadratura
Newtonovy-Cotesovy a Gaussovy vzorce. Konvergence. Základní kvadraturní vzorce a odhady chyb.

3. Numerické metody lineární algebry
LU faktorizace a Gaussova eliminace, pivotace. Základní iterační metody, gradientní metody. Předpodmínění iteračních metod. Soustavy s obdélníkovou maticí, nejlepší řešení ve smyslu nejmenších čtverců. Metody výpočtu vlastních čísel matice. Mocninná metoda, přehled metod.

4. Řešení nelineárních algebraických úloh
Newtonova metoda pro řešení nelineární rovnice a jejich soustav. Separace kořenů polynomu a metody pro výpočet kořenů polynomu.

5. Minimalizace funkcionálu
Metody spádových směrů, metody sdružených gradientů, metody s lokálně omezeným krokem, metody s proměnnou metrikou.

6. Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic
Jednokrokové a vícekrokové metody řešení počátečních úloh. Základní metody řešení okrajových úloh, metoda sítí, variační metody.

7. Numerické metody řešení parciálních diferenciálních rovnic
Základní metody řešení eliptických, parabolických a hyperbolických úloh - metoda sítí, variační metody, metoda konečných prvků.

II. Užší zaměření

Studijní plán Výpočtová matematika - algoritmy (1)

1. Teorie monotónních a potenciálních operátorů
Věty o existenci a jednoznačnosti.

2. Nelineární operátorové rovnice
Věty o pevném bodě. Němyckého operátory a jejich aplikace na řešení nelineárních diferenciálních rovnic. Ritzova a Galerkinova metoda. Základy teorie bifurkace a numerické metody.

3. Projektivní metody
Metoda bikonjugovaných gradientů. Metoda GMRES.

Studijní plán Výpočtová matematika - software (2)

1. Počítače a operační systémy
Architektura počítače, von Neumannovo schéma, mikroprogramování. Typický instrukční repertoár, typy adresování. Mechanismy volání podprogramů. Struktura operačního systému. Multitasking, komunikace a synchronizace procesorů, problém uváznutí, bankéřův algoritmus, virtualizace. Správa paměti, strategie a principy přidělování paměti. Virtuální paměť. Procesy a správa procesoru, virtuální multiprocesor. Překladače. Struktura kompilátoru. Konečné automaty a lexikální analýza. Syntaktická analýza. Zotavení z chyb. Generování kódu, překlad řízený syntaxí. Optimalizace kódu.

2. Výroková a predikátová logika
Jazyk, formule, sémantika, tautologie. Rozhodnutelnost, plnitelnost, pravdivost, dokazatelnost. Věty o kompaktnosti a úplnosti výrokové a predikátové logiky. Normální tvary výrokových formulí, prenexní tvary formulí predikátové logiky.

3. Automaty a jazyky
Chomského hierarchie, charakterizace jednotlivých tříd jazyků prostředky gramatik a automatů, (ne-)determinismus. Uzávěrové vlastnosti. Nerozhodnutelné problémy teorie jazyků.

4. Vyčíslitelnost
Algoritmicky vyčíslitelné funkce, jejich vlastnosti, ekvivalence jejich různých matematických definic. Rekursivní a rekursivně spočetné množiny a jejich vlastnosti.

Studijní plán Výpočtová matematika pro průmyslovou praxi (3)

1. Matematické metody pružných a pružně plastických těles
Odvození základních rovnic, klasické formulace úloh lineární pružnosti, variační principy v teorii malých deformací, slabé řešení úloh lineární pružnosti, pružně plastická tělesa, numerické metody řešení.

2. Matematické metody v mechanice tekutin
Odvození základních rovnic, nevířivé proudění (Bernoulliova rovnice, potenciál rychlosti, proudová funkce, okrajové úlohy popisující nevířivé proudění), zavířené proudění (Eulerovy rovnice, nelineární hyperbolické systémy, slabá řešení, entropická podmínka), vazké nestlačitelné proudění (Navierovy-Stokesovy rovnice, slabá řešení), základní numerické metody.

3. Matematické modely v elektrotechnice
Formulace a analýza rovnic pro nelineární magnetické a teplotní pole v elektrických strojích, matematický popis polovodičových součástek, hlavní třídy numerických metod (metoda konečných prvků, metoda sítí, bilanční metoda), apriorní a aposteriorní odhady chyby.

Blok B studijního oboru Výpočtová matematika (VM)

Doporučené předměty (blok C)

Čísla v závorce označují studijní plán, k němuž je předmět zejména doporučen.

Státní závěrečná zkouška

Ústní část státní závěrečné zkoušky studijního plánu Ekonometrie se skládá z požadavků z okruhů Základy statistiky, Náhodné procesy, Ekonometrie.

Posluchači, kteří nastoupili na fakultu před rokem 1995, mohou absolvovat SZ podle starých požadavků (viz Studijní programy 1996/1997) nebo podle následujících požadavků.

Požadavky ke státní závěrečné zkoušce

1. Základy statistiky

Prostý a uspořádaný náhodný výběr, korelační a regresní analýza. Výběry z konečných populací. Transformace náhodných vektorů, jednorozměrné a mnohorozměrné normální rozdělení, \ch², t a F rozdělení a jejich použití.

Základní poznatky z teorie odhadu a testování hypotéz. Vlastnosti odhadů, konstrukce testů.

Wishartovo a Hotellingovo rozdělení, odhady a testy v mnohorozměrném normálním rozdělení. Hlavní komponenty, kanonické korelace, faktorová a diskriminační analýza.

Regresní modely, vlastnosti reziduí a jejich použití v regresní diagnostice.

2. Náhodné procesy

Markovovy řetězce s diskrétním časem, řízené řetězce. Markovovy řetězce se spojitým časem, Kolmogorovovy diferenciální rovnice, procesy množení a zániku, modely hromadné obsluhy.

Modely časových řad. Klasické postupy (dekompozice, vyrovnávání, odhady, předpovědi). Stacionární posloupnosti a procesy. Spektrální rozklad kovariančních funkcí, predikce a filtrace, analýza ARMA modelů.

3. Ekonometrie

Základy teorie užitku. Modely produkce, spotřeby a investic. Lineární růstové modely ekonomiky. Leontievův model a jeho vlastnosti.

Optimalizační úlohy ve statistice a ekonomii. Základy konvexní analýzy. Lineární a nelineární programování. Maticové hry. Obecné rozhodovací modely, zejména úlohy vícekriteriálního a stochastického programování, úloha teorie optimálního řízení.

Různé zobecnění klasického modelu lineární regrese v rámci ekonometrie. Soustavy simultánních rovnic (odhady, identifikace, predikce).

Blok B studijního plánu Ekonometrie (EK)

Doporučené předměty (blok C)

¹Výuka probíhá na FSV UK.

Na posluchače, kteří začali studovat na MFF ve školním roce 1999/2000, 2000/2001 a 2001/2002, se vztahuje požadavek získat alespoň 10 bodů za předměty vedlejšího oboru. Tito posluchači nemusejí absolvovat přednášky Algebra II (ALG027), Diferenciální geometrie křivek a ploch (GEM012); předmět Úvod do funkcionální analýzy (RFA006) mohou nahradit variantou bez cvičení (RFA042).

Státní závěrečná zkouška

Ústní část státní závěrečné zkoušky studijního plánu Matematická statistika se skládá z požadavků z okruhů Základy pravděpodobnosti a statistiky, Náhodné procesy, Matematická statistika.

Požadavky ke státní závěrečné zkoušce

1. Základy pravděpodobnosti a statistiky

Pravděpodobnostní prostor, podmíněná pravděpodobnost, nezávislost náhodných jevů, Bayesova věta pro náhodné jevy, 0-1 zákon, Borel-Cantelliho lemma.

Definice náhodné veličiny a náhodného vektoru, nezávislost náhodných veličin a vektorů, distribuční funkce, diskrétní a spojité rozdělení, střední hodnota, rozptyl a variační matice, nezávislost, Čebyševova nerovnost, slabý a silný zákon velkých čísel, centrální limitní věty, důležitá rozdělení (normální, t, F, \ch², exponenciální, rovnoměrné, alternativní, binomické, negativně binomické, Poissonovo, multinomické, hypergeometrické), souvislost mezi nimi, aproximace, použití.

Nulová a alternativní hypotéza, kritický obor, hladina testu, Neyman-Pearsonovo lemma, bodové a intervalové odhady, nestrannost, konsistence a eficience odhadů, Rao-Cramérova věta, postačující a úplné statistiky.

Náhodný výběr, uspořádaný náhodný výběr, t-testy, F-test shody rozptylů, F-test podmodelu, \ch²-testy dobré shody, testy v kontingenčních tabulkách, logaritmicko-lineární modely.

Regresní modely, vlastnosti reziduí a jejich použití v regresní diagnostice, kritéria pro hodnocení návrhů experimentů.

2. Náhodné procesy

Markovovy řetězce s diskrétním časem, počáteční rozdělení, pravděpodobnosti přechodu, absolutní pravděpodobnosti, klasifikace stavů, rozložitelné a nerozložitelné řetězce, stacionární rozdělení, Markovovy řetězce s oceněním a diskontováním, řízené řetězce.

Markovovy řetězce se spojitým časem (konečné a spočetné), intenzity přechodu, Kolmogorovovy diferenciální rovnice, limitní pravděpodobnosti, Poissonův proces, Yuleův proces, lineární a obecný proces růstu a zániku. Markovské modely hromadné obsluhy.

Stacionární procesy, striktní a slabá stacionarita, spojitost procesu, kovariační funkce, spektrální hustota, jejich vlastnosti a vzájemné vztahy, výpočet. Ergodická věta a její aplikace. Procesy AR, MA, ARMA, lineární proces. Predikce konečných a nekonečných posloupností. Analýza autoregresních posloupností.

3. Vybrané partie stochastiky

Teorie testování hypotéz, stejnoměrně nejsilnější test a stejnoměrně nejsilnější nestranný test.

Principy bayesovského statistického uvažování, metody volby apriorních rozdělení, bayesovské intervalové a bodové odhady.

Mnohorozměrné normální rozdělení a odhad jeho parametrů, Wishartovo a Hotellingovo rozdělení, jejich vztah k jednorozměrným rozdělením, použití. Hlavní komponenty, kanonické korelace, diskriminační a shluková analýza.

Waldův sekvenční test a jeho modifikace, operační charakteristika a střední počet pozorování. Waldovy nerovnosti a jejich použití.

Jednovýběrové a dvouvýběrové pořadové testy, pořadové testy nezávislosti, jejich základní vlastnosti. Nejpoužívanější pořadové testy. Robustní odhady parametrů (M-odhady) a jejich vlastnosti.

Základní typy pravděpodobnostních výběrů, pravděpodobnosti zahrnutí, odhady průměru a úhrnu, optimální alokace, poměrový a regresní odhad při prostém náhodném výběru.

Blok B studijního plánu Matematická statistika (MS)

Doporučené předměty (blok C)

^*Takto označené předměty nejsou vyučovány každý rok.

Na posluchače, kteří začali studovat na MFF ve školním roce 1999/2000, 2000/2001 a 2001/2002, se vztahuje požadavek získat alespoň 10 bodů za předměty vedlejšího oboru. Tito posluchači nemusejí absolvovat přednášky Algebra II (ALG027), Diferenciální geometrie křivek a ploch (GEM012); předmět Úvod do funkcionální analýzy (RFA006) mohou nahradit variantou bez cvičení (RFA042).

Státní závěrečná zkouška

Ústní část státní závěrečné zkoušky studijního plánu Teorie pravděpodobnosti a náhodné procesy se skládá z požadavků z okruhů Teorie pravděpodobnosti a základy matematické statistiky, Stochastická dynamika, Náhodné procesy.

Požadavky ke státní závěrečné zkoušce

1. Základy pravděpodobnosti a statistiky

Pravděpodobnostní prostor, podmíněná pravděpodobnost, Bayesova věta. Náhodná veličina a vektor, jejich charakteristiky, základní jednorozměrná a mnohorozměrná rozdělení.

Typy konvergence náhodných veličin. Charakteristické funkce, nezávislost, nula-jednotkové zákony, zákony velkých čísel, centrální limitní věty. Podmíněná střední hodnota, martingaly s diskrétním časem a jejich konvergence, centrální limitní věta pro martingalové diference.

Prostý a uspořádaný náhodný výběr, postačující a úplné statistiky, bodový a intervalový odhad nestrannost, konzistence a vydatnost, Rao-Cramerova věta. Nulová a alternativní hypotéza, kritický obor, hladina testu, Neyman-Pearsonovo lemma, p-hodnota, t-testy, chí-kvadrát test shody a nezávislosti v kontingenční tabulce. Korelační a regresní analýza, lineární model.

2. Náhodné procesy

Markovovy řetězce, klasifikace stavů, stacionární rozdělení, ocenění přechodů. Markovovy procesy se spojitým časem, Kolmogorovovy diferenciální rovnice, procesy množení a zániku, systémy hromadné obsluhy, proces obnovy. Stacionární náhodné posloupnosti a procesy. Spektrální rozklad kovarianční funkce a procesu. Predikce a filtrace. Analýza autoregresních modelů. Periodogram.

Poissonův a Coxův bodový proces, shlukové a regulární modely. Charakteristiky bodových procesů a jejich odhady. Konečné procesy dané hustotou, podmíněná intenzita, věrohodnost a pseudověrohodnost pro bodové procesy. MCMC (Markovské Monte Carlo), Metropolis - Hastingsův algoritmus, perfektní simulace.

3. Vybrané partie stochastiky

Wienerův proces, slabá konvergence, Prochorovova věta. Donskerův princip invariance. Maximum a minimum Wienerova procesu, zákon arku-sinu, Wienerův most. Martingaly a semimartingaly se spojitým časem, Doob-Meyerova věta, stochastický integrál a diferenciál, Itóova formule, Burkholder-Davis-Gundyho nerovnost pro lokální martingaly, věta Lévyova a Girzanovova. Brownovské reprezentace lokálních martingalů.

Stochastické diferenciální rovnice, silná řešení, existence a jednoznačnost řešení pro rovnice s lipschitzovskými koeficienty. Lineární rovnice, explicitní řešení. Markovské bodové procesy, Straussův model, procesy s plošnou interakcí. Hammersley-Cliffordova věta.

Blok B studijního plánu Teorie pravděpodobnosti (TP)

Doporučené předměty (blok C)

^*Takto označené předměty nejsou vyučovány každý rok.

Státní závěrečná zkouška

Ústní část státní závěrečné zkoušky studijního oboru Matematika a management se skládá z požadavků z okruhů Matematická statistika, Řízení jakosti, Management.

Posluchači, kteří nastoupili na fakultu před rokem 1995, mohou absolvovat SZ podle starých požadavků (viz Studijní programy 1996/1997) nebo podle následujících požadavků.

Požadavky ke státní závěrečné zkoušce

1. Základy pravděpodobnosti a statistiky

Základní rozdělení pravděpodobností (binomické, Poissonovo, multinomické, normální, gama, beta, logistické, exponenciální třída), základní charakteristiky, použití a vlastnosti. Závislost a nezávislost, podmíněná pravděpodobnost, Bayesův vzorec. Slabý a silný zákon velkých čísel, Borel-Cantelliho věta, centrální limitní věty.

Jednorozměrné a vícerozměrné normální rozdělení, rozdělení kvadratických forem, rozdělení odvozená z normálního (\ch², t a F), jejich použití v matematické statistice, \ch²-testy dobré shody, kontingenční tabulky.

Regresní modely (bodové odhady, oblasti spolehlivosti, testy hypotéz), vlastnosti reziduí a jejich použití v regresní diagnostice.

2. Náhodné procesy

Statistická přejímka (statistická přejímka srovnáváním a měřením, rektifikační přejímací postupy). Statistická regulace technologických procesů (Shewhartovy diagramy, postupy založené na kumulativních součtech), regulace procesů pomocí klouzavých průměrů (MA) a pomocí klouzavých průměrů s exponenciálním zapomínáním (EWMA).

Základy plánování experimentů (znáhodněné bloky, latinské čtverce, faktoriální experimenty, Taguchiho metodologie).

Pravděpodobnostní výběr a jeho charakteristiky, výběrové plány (prostý náhodný, Poissonův, zamítací, Durbinův-Sampfordův, postupný, systematický, vícestupňový, oblastní), metody odhadu úhrnu znaku Y (jednoduchý lineární, regresní, poměrový).

Modely časových řad: dekomposiční metody (trend, sezónnost, periodicita, testy náhodnosti), Boxova-Jenkinsova metodologie (ARMA modely, identifikace, odhad, verifikace modelů).

Matematická teorie skladu. Deterministické modely; pořizování zásob od dodavatelů, vlastní výrobní činnosti. Stochastický statický model, dynamický model. Strategie (s,S).

3. Vybrané partie stochastiky

Finanční management: úrokování, časová hodnota peněz, struktura úrokových měr, inflace, peněžní toky, cenné papíry, trhy cenných papírů, oceňování cenných papírů, technická a fundamentální analýza, riziko portfolia, modely utváření cen kapitálových statků (CAMP), arbitrážní cenový model (APT), podíloví ukazatelé, investiční a finanční rozhodování, analýza portfolia, hodnota firmy, odpisy, finanční leasing. Národní hospodářství: agregátní poptávka, rovnovážný důchod a rovnovážný výstup, trh zboží a peněz, IS-LM model, monetární a fiskální politika v modelu IS-LM, agregátní poptávka a nabídka, poptávka po penězích, centrální banka a peněžní zásoba, spotřeba, investice, inflace, nezaměstnanost, státní rozpočet, dlouhodobý růst a prosperita, mezinárodní vazby, moderní makroekonomická teorie.

Blok B studijního oboru Matematika a management (MMN)

Doporučené předměty (blok C)

^*Takto označené předměty nejsou vyučovány každý rok.

Státní závěrečná zkouška

Ústní část státní závěrečné zkoušky studijního oboru Finanční a pojistná matematika se skládá z požadavků z okruhů Aplikovaná pravděpodobnost, Životní a neživotní pojištění, Finance a účetnictví.

Požadavky ke státní závěrečné zkoušce

1. Aplikovaná pravděpodobnost

Základní rozložení pravděpodobností v pojistné matematice
Rozložení počtu škod, výší škod. Modely vysokých škod. Složená rozložení. Aproximace složených rozložení.

Charakteristiky rozložení a jejich odhady
Momentová vytvořující funkce. Gram-Charlierův rozvoj. Metoda nejmenších čtverců. Metoda momentů. Metoda maximální věrohodnosti. Příklady užití.

Bayesův princip
Apriorní a aposteriorní rozložení. Konjugovaná rozložení. Užití v tarifování podle škodního průběhu.

Zákon velkých čísel a centrální limitní věta
Posloupnosti nezávislých náhodných veličin. Slabý a silný zákon velkých čísel. Centrální limitní věta, Ljapunovovy podmínky. Zákon velkých čísel v pojišťovnictví.

Markovovy řetězce
Definice. Matice pravděpodobností přechodu, limitní pravděpodobnosti. Užití Markovových řetězců v bonusových systémech. Markovovy procesy. Kolmogorovovy diferenciální rovnice. Poissonův proces. Pólyův proces.

Lineární regrese
Metoda nejmenších čtverců v lineární regresi. Regrese s gaussovskými odchylkami. Testy významnosti regresních koeficientů.

Analýza časových řad
Odhadování trendu. Klouzavé průměry a jejich užití v technické analýze kursů. Autoregresní modely. Příklady.

Teorie kredibility
Buhlmannův model. Přesná kredibilita.

Model kolektivního rizika
Popis modelu. Pravděpodobnost ruinování, Lundbergova nerovnost, Cramérův vztah. Adjustační koeficient.

2. Životní a neživotní pojištění

Tabulky úmrtnosti
Odhad intenzity úmrtnosti. Gompertz-Makehamův zákon. Vyrovnávání tabulek úmrtnosti. Dekrementní řády. Aktuárské tabulky, komutační čísla.

Kapitálové a důchodové pojištění
Netto jednorázové a běžné pojistné pro kapitálové pojištění pro případ úmrtí, dožití, smíšené. Netto jednorázové i běžné pojistné pro pojištění důchodové. Užití komutačních čísel. Brutto pojistné.

Pojistné rezervy životního pojištění
Prospektivní metoda. Retrospektivní metoda. Užití komutačních čísel. Brutto rezerva, zillmerování. Základní právní předpisy.

Modely pojištění osob s více stavy

Životní pojištění skupiny osob

Platební schopnost pojišťovny, zajišťování
Skutečná a minimální míra solventnosti životních a neživotních pojišťoven. Základní formy zajištění. Kvótování.

Pojistné rezervy neživotního pojištění
Základní právní předpisy. Rezervy na pojistná plnění. Trojúhelníková schemata.

Tarifování
Buhlmann-Straubův model. Bailey-Simonova metoda. Bonusové systémy. Výpočty sazebníku.

3. Finance a účetnictví

Úrok, časová hodnota peněz
Základní pojmy. Spojité úrokování. Hodnocení peněžních toků. Hodnocení investičních projektů.

Daňová soustava
Správa daní. Daň z příjmu a ostatní přímé daně. Daň z přidané honoty, spotřební daně.

Finanční instituce
Centrální emisní banka. Obchodní banky. Spořitelny. Pojišťovny. Penzijní fondy. Investiční fondy. Obchodování s cennými papíry.

Cenné papíry
Obligace. Investiční certifikáty. Akcie. Metody analýzy akciového trhu. Finanční deriváty. Hodnocení cenných papírů.

Účetnictví
Základní pojmy. Účtová osnova, účtové třídy. Oceňování majtku v účetnictví. Rozvaha. Výkaz zisků a ztrát. Technické účty pojišťovacích společností.

Blok B studijního oboru Finanční a pojistná matematika (FPM)

¹Studenti zapisují alespoň 3 semestry.

Doporučené předměty (blok C)

¹Přednáška se koná mimo MFF a počet posluchačů je omezen (zápis po dohodě s oddělením finanční a pojistné matematiky KPMS).

Podmínky pro přihlášení ke státní závěrečné zkoušce

Státní závěrečná zkouška

Ústní část státní závěrečné zkoušky studijního oboru Matematické a počítačové modelování ve fyzice a v technice se skládá z požadavků z okruhů Klasická a moderní analýza, Matematické modelování a numerické metody, Základy fyziky.

Posluchači, kteří nastoupili na fakultu před rokem 1995, mohou absolvovat SZ podle starých požadavků (viz Studijní programy 1996/1997) nebo podle následujících požadavků.

Požadavky ke státní závěrečné zkoušce

1. Klasická a moderní analýza

Teorie funkcí reálné proměnné
Základy diferenciálního a integrálního počtu funkcí jedné a více reálných proměnných, teorie míry a integrálu, Fourierovy řady, věta o implicitních funkcích.

Teorie funkcí komplexní proměnné
Derivace, holomorfní funkce, Cauchyova věta a Cauchyův vzorec, izolované singularity, reziduová věta, meromorfní funkce, konformní zobrazení, Riemannova věta.

Funkcionální analýza
Metrické prostory, vektorové prostory, normované lineární prostory, teorie lineárních operátorů, Hilbertovy a Banachovy prostory, spojité nelineární funkcionály, Hahn-Banachova věta, Fredholmovy věty, řešení integrálních rovnic, řešení nelineárních operátorových rovnic: metoda monotonních operátorů, Banachova věta, věty Brouwerova a Schauderova, Lebesgueovy a Sobolevovy prostory a jejich duály.

2. Matematické modelování a numerické metody

Obyčejné diferenciální rovnice
Lokální existence řešení obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu (klasická a zobecněná teorie), jednoznačnost, maximální řešení, lineární rovnice vyšších řádů, soustavy lineárních rovnic prvního řádu a jejich řešení.

Parciální diferenciální rovnice
Lineární rovnice 1. řádu, metoda charakteristik, klasifikace rovnic 2. řádu, formulace základních úloh pro jednotlivé typy rovnic, jejich řešitelnost, Fourierova metoda, princip maxima, vlastnosti harmonických funkcí, slabá řešení eliptických úloh, metoda monotonních operátorů, zobecněná řešení pro parabolickou a hyperbolickou rovnici, integrální transformace.

Numerické metody řešení diferenciálních rovnic
Diskrétní metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic; metoda sítí pro řešení eliptických, parabolických a hyperbolických úloh; diskretizace, řešitelnost diskrétních soustav, konvergence, stabilita, iterační metody pro řešení velkých soustav lineárních rovnic.

Metoda konečných prvků pro řešení eliptických rovnic: triangulace oblasti, po částech polynomiální aproximace, interpolace v Sobolevových prostorech, odhad chyby, příklady konečných prvků

Základní matematické modely mechaniky kontinua tuhé a kapalné fáze
Formulace zákonů zachování ve tvaru diferenciálních rovnic, Eulerovy a Navierovy-Stokesovy rovnice, nevazké nevířivé proudění - formulace pomocí potenciálu rychlosti a proudové funkce, úloha pro vazké nestlačitelné proudění.

Základní pojmy z teorie pružnosti, tenzor napětí, tenzor deformace, Hookův zákon, Lamého rovnice.

3. Základy fyziky

Mechanika kontinua
Tenzorová algebra a analýza, tenzory velké deformace, infinitezimální deformace. Bilanční rovnice, Cauchyho věta, tenzor napětí, konstituční vztahy, princip objektivity, materiálová symetrie. Tekutiny, pevné látky, elastické látky, ideální, newtonovské a nenewtonovské tekutiny, elastické pevné látky. Formulace okrajových úloh a jednoduché příklady jejich řešení.

Termodynamika
Termodynamické veličiny, stav systému - I. zákon termodynamiky. Termodynamický proces, entropie - II. zákon termodynamiky. Principy konstitutivní teorie reálných materiálů. Důsledky principu časové nevratnosti procesů a principu maximální pravděpodobnosti stavu. Konstitutivní vztahy pro termoviskoelastické těleso, termoviskoelastickou tekutinu a termodynamické podmínky stability jejich stavů. Klasická nerovnovážná termodynamika, princip minimální disipace energie a minimální produkce entropie. Rozšířená nerovnovážná termodynamika, zobecněná definice entropie pro lokálně nerovnovážné stavy.

Statistická fyzika
Soubory ve statistické fyzice, Liouvilleova rovnice, mikrokanonický, kanonický a velký kanonický soubor, Maxwellovo-Boltzmannovo, Fermiho-Diracovo a Boseovo-Einsteinovo rozdělení, záření černého tělesa, stavová rovnice plynů.

Kvantová mechanika
Základní pojmy a postuláty kvantové mechaniky, Schrödingerova rovnice, relace neurčitosti, jednočásticové a dvoučásticové problémy, lineární harmonický oscilátor, částice v potenciálové jámě, přibližné metody kvantové mechaniky, spin.

Elektromagnetické pole a speciální teorie relativity

Blok B studijního oboru Matematické a počítačové modelování ve fyzice a v technice (MOD)

¹Místo tohoto předmětu student může absolvovat Úvod do kvantové mechaniky (OFY027).

²Místo tohoto předmětu student může absolvovat Statistickou fyziku (TMF003).

Doporučené předměty (blok C)

Nelineární analýza

Matematická teorie mechaniky kontinua

Numerické metody

Vybrané matematické předměty

Vybrané předměty fyziky

Vybrané předměty informatiky

^*Takto označené předměty nejsou vyučovány každý rok.

B. Bakalářské studium

1. Základní informace

Požadavky k ústní části státní závěrečné zkoušky

jsou určeny zvlášť pro každý obor a jsou k dispozici na garantujících pracovištích.

Po ukončení samostatného bakalářského studia může posluchač pokračovat v Mgr. studiu mimo MFF např.

Bližší informace podají kromě těchto škol také doc. RNDr. O. John, CSc., katedra matematické analýzy (ekonomie) a doc. RNDr. P. Kůrka, CSc., katedra teoretické informatiky a matematické logiky (teoretická biologie).

3. Studijní plány jednotlivých oborů

Seznam

Požadavky k ústní části státní závěrečné zkoušky

jsou shodné s požadavky k souborné zkoušce magisterského programu Matematika (viz 3.1).