Které z následujících grup jsou řešitelné?	
D_88, Q_8 (kvaternionová grupa)

Dihedrální grupy jsem říkal na přednášce, pro kvaternionovou grupu lze vzít řadu {1} < {1,-1} < Q8.
Taky jsem říkal, že An, Sn nemají skoro žádné normální podgrupy, takže pro n>=5 nejsou řešitelné.

***

Které z následujících faktorokruhů jsou tělesa?	
Q[x] / (x^2+1)Q[x]

Pozor, (x^2+1)Z[x] není maximální ideál: Z[x] není obor hlavních ideálů, takže by fungoval podobný trik, jak jsem říkal na přednášce pro xZ[x] a našli byste větší ideál.

***

Které z následujících faktorokruhů jsou obory?
Q[x] / (x^2+1)Q[x], Z[x] / (x^2+1)Z[x]

Ideál (x^2+1)Z[x] není maximální, ale prvoideál to je, protože x^2+1 je prvočinitel.
Ideál x^2Q[x] není prvoideál, protože x^2 není prvočinitel: x^2 je v ideálu, x ne.

***

Faktorokruh Z[i]/2Z[i]
není obor

Pozor, 2=(1+i)(1-i), čili 2Z[i] není prvoideál (2 tam je, 1+-i ne), čili není ani obor.

***

Napište stupeň rozšíření [Q(a):Q(b)], kde a je čtvrtá odmocnina ze dvou a b je druhá odmocnina ze dvou.	
2

***

Uvažujte konečné těleso Zp[alfa]/(m), kde m je monický polynom. Minimální polynom prvku alfa nad tělesem Zp 
je roven m(x)

Když je to těleso, tak je m ireducibilní. alfa je jeho kořenem. Je monický. Takže, z definice, je to minimální polynom.