Uvažujte grupu D_10 (symetrie pětiúhelníka) a její podgrupu H = { 1, r }, kde r je nějaká reflexe. Kolik prvků může mít transverzála D_10 podle H?

5

Všechny transverzály jsou stejně velké, mají velikost |G|/|H|.

***

Kolik existuje homomorfismů z grupy S_3 do grupy Z_7?

1

Pouze konstantní na nulu, protože řád obrazu dělí řád vzoru.

*** 

Buď G, H grupy, G=<X>, přičemž X je minimální množina generátorů (vzhledem k inkluzi). Která z následujících tvrzení jsou pravdivá?

Jsou-li f,g různé homomorfismy G->H, pak se jejich hodnoty liší na nějakém generátoru.

ostatní odpovědi jsou špatně:
Každé zobrazení X->H lze rozšířit do homomorfismu G->H.  --- leda v lineární algebře
Je-li f homomorfismus G->H, pak Ker(f)= < a in X: f(a)=1 >.   --- protipříklad: Z=<1>, homomorfismus Z->Z_2, x->x mod 2


***

Které z následujících dvojic grup jsou izomorfní?

Z_12 a direktní součin Z_4 x Z_3
Z_7 a grupa všech komplexních kořenů polynomu x^7-1 (jako podgrupa C*)

***

Které z následujících dvojic grup jsou izomorfní?

D_6 a S_3