Uvažujte rovinnou symetrii kolem roviny dané souřadnicovými osami x,y v R3. Které z následujících podprostorů jsou invariantní? přímka daná osou z, rovina daná osami x,y, rovina daná osami x,z Buď f rotace v R3 o 90 stupňů podle jisté osy (procházející počátkem). Buď W podprostor dimenze 2 kolmý na osu rotace; to je očividně invariantní podprostor. Uvažujte matice A,E,F jako v důkazu Tvrzení 9.112. Která z následujících tvrzení jsou pravdivá? Vhodnou volbou báze B lze zajistit, že E je nulová matice. Ano, pokud poslední vektor zvolíme ve směru osy rotace. Pro jiné volby ne. První dva vektory nelze zvolit tak, aby A byla jednotková, protože v té rovině jde o rotaci! Buď f rotace v R3 o 90 stupňů podle jisté osy. Budeme sledovat důkaz existence Jordanova tvaru (nad C). Za lambda zvolíme číslo 1. Pro jaký podprostor použijeme indukční předpoklad? Pro rovinu kolmou na osu rotace. Jde o prostor Im(f-id). Což není vlastní vektor - ten byl v jádru f-id !! Které z následujících výroků platí pro každou matici A a její charakteristický polynom p? Pokud f=pg pro nějaký polynom g, pak f(A)=0. To říká Cayley-Hamiltonova věta. Na opačné implikace je protipříkladem jednotková matice.