Který z následujících operátorů na R2 je diagonalizovatelný? 
stejnolehlost s koeficientem 2 se středem (0,0), ortogonální projekce na osu x
Řešení: rotace nemá vlastní čísla, stejnolehlost má vl.č. 2 dvojnásobné, ort. projekce má vl.č. 0,1 (nula je také přípustné vlastní číslo!)
Terminologie: Matice rotace je diagonalizovatelná v C2, ale ne v R2. Pokud se ptám, zda je operátor V->V diagonalizovatelný, implicitně se rozumí ve V.


Postup uvedený v příkladu 9.53 bude fungovat pro 
jakoukoliv matici 2x2, která má dvě vlastní čísla
Řešení: celý postup je o diagonalizovatelnosti. Protipříklad na pravý horní roh viz Příklad 9.70 (vezměte matici transponovanou)


V důkazu Tvrzení 9.57 je následující krok: protože tvoři (r1,...,rn) bázi T^n, tak (v1,...,vn) tvoří bázi V. Z jakého tvrzení to plyne? 
5.77


Postup uvedený v příkladu 9.65 bude fungovat pro
jakýkoliv lineární dynamický systém daný diagonalizovatelnou maticí (libovolného rozměru), jakýkoliv lineární dynamický systém daný předpisem a_{k+2} = ra_k + sa_{k+1}, kde s^2+4r>0
Řešení: ta druhá správná varianta se redukuje na první: matice tohoto systému je taky diagonalizovatelná


Kde se v důkazu Věty 9.62 využije předpoklad, že jsou vlastní čísla různá? (Vždyť analogické tvrzení platí i pro leckteré posloupnosti vektorů příslušných stejným vlastním číslům - viz důkaz Věty 9.71 !) 
abychom v jistém kroku nekrátili nulou
Řešení: krátí se výrazy lambda_i-lambda_k. Ale abychom mohli použít indukční předpoklad, musela být různá i ostatní lambda_i.



Šíření koronaviru.
s^n, kde s<r, ale jen o trochu
Řešení: zadejte do WolframAlpha "eigenvalues of ( (0,1,0), (0,0,1), (-1,-r,r+1))" a nahraďte r za různé konkrétní hodnoty
Bonus: co se děje, pokud jsou vlastní čísla imaginární, budeme diskutovat příští týden.



Q&A:

Q: V minulém kvízu u virové otázky x0 = 0 (není žádný nakažený) nakažených by přibývalo lineárně (nepřibývalo), nebo koeficient > 0 tuto možnost vylučuje ?
Pak by nepřibývalo vůbec, posloupnost by byla konstantní. Striktně vzato není špatně říci, že posloupnnost roste lineárně (s koeficientem 0), ale asi by to člověk normálně neřekl.

Q: Proč se říká Jordanově buňce buňka?
A: anglicky cell - toto slovo se používá v angličtině i pro označení "ohraničené oblasti", což Jordanova buňka je

Q: Jak budou zkoušky probíhat? Jelikož to vypadá, že do školy už asi ani nestihneme jít.
A: Těžko říci. Ale učíme se, abychom něco věděli, ne abychom měli zkoušky. Takže teď je hlavní se něco naučit, kontrolu budeme řešit, až to bude mít smysl.