Motivací ke studiu celé kapitoly 9.3 je Příklad 9.28 a 9.29: v něm jsme měli dynamický systém určený zobrazením f, které mělo dostatek vlastních vektorů (tvořily bázi), a díky tomu jsme mohli snadno určit chování tohoto dynamického systému. Obsahem kapitoly je systematičtější přístup k těmto zobrazením. 9.3.1 Příklad 9.53 řeší stejnou úlohu jako 9.29, ale novým a lepším způsobem. Operátory (tj. lineární zobrazení V->V), pro které tento postup funguje, se nazývají diagonalizovatelné. Celá Sekce 9.3.1 poměrně rozvláčně referuje o tom, co znamená diagonalizovatelnost. Důležité je pozorování 9.53, že diagonalizovatelnost je totéž co báze z vlastních vektorů. Netriviální je Tvrzení 9.57. Vše ostatní jsou víceméně přesmyčky v terminologii založené na počtech s maticemi zobrazení a se vztahem matice vs. přidružené zobrazení. Zapamatovat: matice je diagonalizovatelná <=> podobná diagonální matici <=> existuje báze tvořená vlastními vektory. 9.3.2 Tato sekce dává velmi užitečné kritérium diagonalizovatelnosti: má-li matice/zobrazení tolik vlastních čísel, kolik je její rozměr/dimenze, pak je diagonalizovatelná. Věta 9.62 říká něco nepatrně obecnějšího. Příklad: osové symetrie nebo ortogonální projekce v R2 (všimněte si, že tyto dynamické systémy je snadné predikovat i bez algebry). Příklad 9.65: Fibonacciho posloupnost. Tento příklad je zásadní a postup byste měli umět aplikovat na jakýkoliv dynamický systém s diagonalizovatelnou maticí. 9.3.3 Tato sekce diskutuje ostatní případy diagonalizovatelnosti - co se děje, když je vlastních čísel málo, ale vlastních vektorů dost (ve smyslu dimenze prostorů vlastních vektorů). Příkladem je třeba rovinná symetrie v R3: ta má vlastní čísla 1 a -1, ale jednička má prostor vlastních vektorů dimenze 2, -1 dá dimenzi 1, součet dimenzí je 3, takže lze diagonalizovat. Sekce je o vztahu geometrické násobnosti (dimenze prostoru vlastních vektorů) a algebraické násobnosti (násobnost jako kořene charakteristického polynomu) vlastního čísla. Zásadní je Tvrzení 9.69, které říká, že to druhé je víc než to první. Důkaz je krásný trik, který využívá předchozí tvrzení o jisté metodě výpočtu determinantu (jeho důkaz je naopak otravný - je to indukce pomocí rozvoje podle prvního sloupce a je asi jednodušší to vymyslet než přečíst). Všimněte si, že geometrická a algebraická násobnost je často stejná (viz identické zobrazení, rovinná symetrie, jakékoliv zobrazení s jednonásobými kořeny char. poly.), ale ne vždy (Př. 9.70). Vidíme, že nediagonalizovatelnost je způsobena jednak nedostatkem vlastních čísel (viz rotace), nebo nedostatkem vlastních vektorů (9.70), případně kombinací obou principů (Věta 9.71 (1)=>(2)). Naopak, dostatek obojeho implikuje diagonalizovatelnost, což je hlavní zpráva Věty 9.71. Princip důkazu je celkem zřejmý: vezmeme báze pro každý prostor vlastních vektorů daného čísla a sjednotíme je; ovšem dokázat lineární nezávislost chvilku zabere. 9.3.4 Zde je aplikace výše uvedných principů na 2D operátory. Podle počtu a násobnosti vlastních čísel lze identifikovat několik málo typů zobrazení. Dobře se rozmyslete obrázky na str. 365, co jsou vlastní vektory?