David Stanovský    //   

ÚVOD DO TEORIE GRUP 2017/18


Program:

  1. Úvod (Rotman, kap. 1,2 a začátek 7)
    • příklady, Cayleyova a maticová reprezentace
    • podgrupy, cyklické grupy, řád, Lagrangeova věta
    • homomorfismy, faktorgrupy, věty o izomorfismu
    • direktní a semidirektní součiny
  2. Grupy symetrií (Rotman, kap. 3)
    • konjugace, grupy automorfismů grup, jednoduchost A_n
    • izometrie, grupy O, SO
    • působení na množině, Burnsideova věta
  3. Struktura konečných grup (Rotman, kap. 4,5)
    • p-grupy, Sylowovy věty
    • kompoziční řady, Jordan-Hölderova věta
    • řešitelné a nilpotentní grupy, (Hallovy věty)
  4. Abelovské grupy (Rotman, výběr z kap. 6,10)
    • konečně generované abelovské grupy
    • volné abelovské grupy
    • (divizibilní grupy)
  5. Volné grupy a prezentace (Rotman, výběr z kap. 11)
    • volné grupy a konečně prezentované grupy
    • (Nielsen-Schreierova věta)

témadoporučené čtení domácí cvičení
2.10.Příklady, izomorfismus. Rotman kap. 1
skripta sekce 1		 opakování permutací: skripta sekce 3.1
sbírka 238-267 (neodevzdávat)
9.10. Cayleyova a maticová reprezentace.
Podgrupy, generátory, Lagrangeova věta, normální podgrupy.		 Rotman kap. 2, str. 20-31
skripta sekce 2		 DCV do 16.10. 15:40
16.10. Řád prvku, cyklické grupy. Homomorfismy, faktorgrupy. Rotman kap. 2, str. 32-36
skripta sekce 4
23.10. Věty o izomorfismu. Komutátor. Automorfismy grup. Vnitřní součin. Rotman kap. 2, str. 35-41, kap. 7, str. 156-157
30.10. Direktní a semidirektní součin. Rotman kap. 7, str. 167-171 DCV do 13.11. 15:40
6.11. Automorfismy S_n. Eukleidovská grupa. Rotman kap. 3, str. 63-72
Aut(S_n)=S_n		 DCV do 20.11. 15:40
13.11. Působení grupy na množině, Burnsideova věta. Centralizátor, class equation. Rotman kap. 3, str. 55-63, 74-75
skripta sekce 3
Platónská tělesa na wikipedii
20.11. Cauchyho věta, p-grupy. Motivace Sylowových vět. Rotman kap. 4, str. 73-80
27.11. Sylowovy věty, malé grupy. Rotman kap. 4, str. 78-88 DCV do 11.12. 15:40
4.12. Subnormální řady a řešitelnost. Jordan-Hölderova věta (motivace), modularita svazu normálních podgrup. Rotman kap. 5, str. 98-108
11.12. Zassenhausovo lemma a důkaz Jordan-Hölderovy věty. Nilpotence. Rotman kap. 5, str. 98-101, 112-119 DCV do 8.1. 15:40
18.12. Abelovské grupy - rozklad torzních grup na p-komponenty, klasifikace konečných abelovskch p-grup, úvod do volných abelovských grup. Rotman kap. 6, str. 125-132, kap. 10, str. 307-313
8.1. Volné obejkty, zejména abelovské grupy a grupy. Konečně prezentované grupy (příklady). Dokončení klasifikace konečně generovaných abelovských grup. Rotman kap. 10, 312-320, 11, str. 343-348


Cvičení a přednáška nebudou oddělovány. Během semestru bude zadáno 5 sad domácích cvičení, průměr bodů z 4 nejlepších sad se započítá jako bonus ke zkoušce.

Zkouška je písemná, 120 minut. V případě nerozhodné známky může následovat ústní diskuse (spíše výjimečně). Budou se zkoušet příklady i teorie. Požadavkem jsou jak znalosti, tak porozumění tématu, hodnotí se také korektní matematický zápis. Termíny zkoušek a přihlašování je v SISu. Podrobný rozpis probrané a tedy zkoušené látky najdete ve výše uvedené tabulce.

Za test je možné získat max. 100 bodů, za domácí úkoly lze získat bonus max. 20 bodů. K úspěšnému složení zkoušky je třeba aspoň 65 bodů. Výsledné hodnocení v rozsahu výborně až dobře rozhodnu individuálně (mimo jiné v závislosti na obtížnosti testu). Studenti, kteří nebudou souhlasit s tímto hodnocením, se mohou nechat ústně přezkoušet. V testu najdete
  • krátké úlohy na znění definic a vět, znalost příkladů a jednoduché typové úlohy,
  • delší úlohy, jak početní, tak teoretické, zpravidla podobné těm ze cvičení a domácích úkolů.
  • zeptám se i na nějaké důkazy.
Zde je vzorový test (tj. test z předtermínu).

Pokud něčemu nerozumíte, nebojte se přijít zeptat.

Literatura:
  • Joseph Rotman, An introduction to the theory of groups, Springer, 1994.
  • Aleš Drápal, Teorie grup - základní aspekty, Karolinum, 2000.
  • Opakování z 2. ročníku: skripta, sbírka úloh