Cviko z Úvodu do teorie kategorií

… známého též jako NMAG336.

Probíhá každý druhý pátek 12:20–13:50 v K3.

Úlohy na cvičení

Jsou zde, nejspíš bude vždy jedna sada na každé cviko.

Zápočet

Lze získat za:

• předvedení úlohy na cvičení (zcela správně či jen s drobnými, snadno opravitelnými nedostatky),
• „obecnou aktivitu“ na cvičení (konstruktivní připomínky, dotazy, řešení úloh…),
• poslání vyřešené úlohy z aktuální sady mně mailem (před cvikem),
• poslání vyřešené úlohy ze sekce Úlohy k zápočtu mně mailem.

Úlohy k zápočtu

Termín na odevzdání těchto úloh je v zásadě konec akademického roku, ale počítejte s tím, že moje reakce nemusí být (zejména v létě) okamžitá, zkušenosti z minulých let navíc ukazují, že mnohdy první řešení vrátím k přepracování.

1. Buď $F \colon \Set \to \Set$ funktor a $X \in \obj \Set$. Pro libovolnou $A \subseteq X$ definujme $F(A)_X \stackrel{\mathrm{def}} = F(i_A)[F(A)] = \{F(i_A)(a) \mid a \in F(A)\}$, kde $i_A\colon A \hookrightarrow X$ značí inkluzi. Dokažte, že kdykoliv $A, B \subseteq X$ splňují $A \cap B \neq \emptyset$, pak $F(A \cap B)_X = F(A)_X \cap F(B)_X$.
2. Nechť $\C$ je úplná kategorie a $\D$ je malá kategorie. Dokažte, že kategorie $\C^\D$ (jejímiž objekty jsou funktory $\D \to \C$ a morfismy přirozené transformace mezi funktory) je rovněž úplná, přičemž limity se „počítají po složkách“.