Přednáška "Aplikovaná matematika IV" (NMAF074)

Níže jsou uvedeny stručné verze textů jednotlivých kapitol přednášky i přednášky jako celku. "Verze pro tisk" je verzí pro vaše vytištění, "verze pro beamer" je tatáž látka v úpravě, v jaké byla promítána během přednášky.
POZOR! Uvedené texty rozhodně nejsou úplným záznamem přednášky, obsahují pouze definice, znění všech tvrzení a vět, a některé příklady a poznámky. Neobsahují podrobnější komentáře a poznámky, některé příklady, a zejména v textech nenajdete důkazy vět a tvrzení. Zde vystavované texty tedy rozhodně nejsou plnohodnotnou náhradou přednášky, spíše předhledovým a orientačním textem k přednášce.
Texty zde vystavované je možno volně používat, pokud bude citováno jejich autorství. Případná úprava textů by měla ovšem být předem konzultována s autorem. Přípomínky k textu či informace o odhalení případných chyb budou rozvěž vítány na emailové adrese autora.

Základní i doplňkovou literaturu lze nalézt na oficiální stránce tohoto předmětu v SIS, tj. na http://is.cuni.cz/studium/predmety/index.php?do=predmet&kod=NMAF074.

Celá přednáška jako jeden soubor, s obsahem:

Přednáška po samostatných kapitolách

Kapitola (číslování kapitol pokračuje z předchozího semestru) [odhad počtu předn.] Verze pro beamer Verze pro tisk

16. Fourierovy řady [2,5]

Fourierova trigonometrická řada. Konvergence Fourierovy řady pro dostatečně hladké funkce. Konvergence v prostoru L². Parsevalova rovnost. Derivování a integrování Fourierových řad. Aplikace na rovnici vedení tepla.

17. Hilbertovy prostory [2,5]

Hilbertův prostor, ortogonální systém a jeho úplnost, Fourierovy řady v Hilbertových prostorech, abstraktní Besselova nerovnost a Parsevalova rovnost. Ortogonální systémy polynomů: Legendreovy, Laguerrovy, Hermiteovy, Čebyševovy apod. Operátory v Hilbertově prostoru, vlastní čísla.

Bonus 1: Tabulka ortogonálních systémů polynomů

-

18. Funkce komplexní proměnné [3]

Komplexní derivace a holomorfní funkce. Komplexní křivka a křivkový integrál, komplexní primitivní funkce. Cauchyova věta a Cauchyův vzorec. Taylorovy a Laurentovy řady. Reziduová věta a její použití k výpočtům. Věta o jednoznačnosti.

Bonus 2: Použití reziduové věty k výpočtům

-

19. Fourierova transformace [2]

Fourierova transformace funkcí, vztah F.T. a derivace, F.T. a konvoluce. Věta o inverzi pro Fourierovu transformaci. Základní použití F.T. pro řešení ODR a PDR.

20. Parciálních diferenciální rovnice [3]

Pojem PDR, terminologie, klasifikace a základní typy eliptické, parabolické a hyperbolické rovnice.
Rovnice vedení tepla, Cauchyova úloha, Greenova funkce úlohy. Vedení tepla na polopřímce a na úsečce.
Vlnová rovnice, d'Alembertův vzorec. Vlnový kužel a konečná rychlosti šíření informací. Vlnová funkce ve dvou a třech dimenzích.
Laplaceova-Poissonova rovnice, Dirichletova, Neumannova a smíšená úloha. Elementární řešení, řešení na celém prostoru. Řešení Dirichletovy úlohy pro Laplaceovu rovnici na kouli, kruhu, vně koule, vně kruhu, řešení pro polorovinu. Liouvilleova věta, věta o průměru, věta o regularitě.
Fourierova metoda řešení základních PDR na omezených oblastech.

Kapitola (číslování kapitol pokračuje z předchozího semestru) [odhad počtu předn.]	Verze pro beamer	Verze pro tisk
16. Fourierovy řady [2,5] Fourierova trigonometrická řada. Konvergence Fourierovy řady pro dostatečně hladké funkce. Konvergence v prostoru L². Parsevalova rovnost. Derivování a integrování Fourierových řad. Aplikace na rovnici vedení tepla.
17. Hilbertovy prostory [2,5] Hilbertův prostor, ortogonální systém a jeho úplnost, Fourierovy řady v Hilbertových prostorech, abstraktní Besselova nerovnost a Parsevalova rovnost. Ortogonální systémy polynomů: Legendreovy, Laguerrovy, Hermiteovy, Čebyševovy apod. Operátory v Hilbertově prostoru, vlastní čísla.
Bonus 1: Tabulka ortogonálních systémů polynomů	-
18. Funkce komplexní proměnné [3] Komplexní derivace a holomorfní funkce. Komplexní křivka a křivkový integrál, komplexní primitivní funkce. Cauchyova věta a Cauchyův vzorec. Taylorovy a Laurentovy řady. Reziduová věta a její použití k výpočtům. Věta o jednoznačnosti.
Bonus 2: Použití reziduové věty k výpočtům	-
19. Fourierova transformace [2] Fourierova transformace funkcí, vztah F.T. a derivace, F.T. a konvoluce. Věta o inverzi pro Fourierovu transformaci. Základní použití F.T. pro řešení ODR a PDR.
20. Parciálních diferenciální rovnice [3] Pojem PDR, terminologie, klasifikace a základní typy eliptické, parabolické a hyperbolické rovnice. Rovnice vedení tepla, Cauchyova úloha, Greenova funkce úlohy. Vedení tepla na polopřímce a na úsečce. Vlnová rovnice, d'Alembertův vzorec. Vlnový kužel a konečná rychlosti šíření informací. Vlnová funkce ve dvou a třech dimenzích. Laplaceova-Poissonova rovnice, Dirichletova, Neumannova a smíšená úloha. Elementární řešení, řešení na celém prostoru. Řešení Dirichletovy úlohy pro Laplaceovu rovnici na kouli, kruhu, vně koule, vně kruhu, řešení pro polorovinu. Liouvilleova věta, věta o průměru, věta o regularitě. Fourierova metoda řešení základních PDR na omezených oblastech.