PDR1

Sylabus přednášky a učební text

Na základě vašeho zájmu jsou zde vystaveny v pdf mé rukopisné poznámky k přednášcem jak jako jeden soubor, tak "natrhané na paragrafy". Jde o rukopis, tedy může být nečitelný a může obsahovat nepřesnosti, případně chyby, nebo mohou být některé pasáže psány tak, že nebude zcela jasné, co jsem chtěl říci. Ve všech těchto případech ocením připomínky - tento rukopis je základem vznikajícího učebního textu a čím víc bude "odladěný", tím lépe. Zároveň je potřeba říci, že rukopis se nemusí 100% krýt s přednáškou. Tento nesoulad je však v rukopise vždy vyznačen.

Sylabus a učební texty: updated 13.1.2010, rukopis je kompletní

Co   PDF file

  Kompletní "autorský" rukopis přednášky jako 1 soubor - 125 stran, 10 MB

  Bonus: Gauss - Ostrogradského vzorce (updated 11.1.2010)

  Bonus: Řešení Cauchyovy úlohy pro vlnovou rovnici v dimenzích 1,2,3

"Manuál" k rukopisným poznámkám

Paragraf začíná na str. Paragraf začíná na str. Paragraf začíná na str. Paragraf začíná na str.

1.1. 1 2.1. 32 3.1. 66 4.1. 101

1.2. 12 2.2. 36 3.2. 69 4.2. 115

1.3. 18 2.3. 50 3.3. 77

2.4. 61 3.4. 83

3.5. 88

3.6. 93

3.7. 96

Přednáška č. přednášená dne začíná na str. Přednáška č. přednášená dne začíná na str.

1 1.10.2009 1 9 26.11.2009 67

2 8.10.2009 12 10 3.12.2009 75

3 15.10.2009 21 11 8.12.2009 80

4 22.10.2009 30 12 15.12.2009 86

5 29.10.2009 37 13 7.1.2010 96

6 5.11.2009 41 14 12.1.2010 105

7 12.11.2009 53 15 14.1.2010 110

8 19.11.2009 59

Rukopis "po paragrafech"

Kapitola/paragraf Rukopis

1. Úvod

    1.1. Úvodní poznámky, značení

    1.2. Základní příklady parciálních diferenciálních rovnic

    1.3. Cauchyova úloha pro kvazilineární PDR 1.řádu

2. Věta Cauchyova-Kowalevské

    2.1. Reálně analytické funkce

    2.2. Metoda majorizace a věta Cauchyova-Kowalevské

    2.3. Charakteristické směry a plochy

    2.4. Klasifikace rovnic 2. řádu

3. Laplaceova a Poissonova rovnice

    3.1. Úvod. Fundamentální řešení Laplaceovy rovnice

    3.2. Věta o třech potenciálech

    3.3. Dirichletova úloha pro Laplaceovu rovnici na kouli

    3.4. Věty o střední hodnotě pro harmonické funkce

    3.5. Princip maxima

    3.6. Věta Liouvilleova a věty Harnackovy

    3.7. Dirichletova úloha pro Laplaceovu rovnici na omezené oblasti

4. Evoluční rovnice

    4.1. Rovnice vedení tepla

    4.2. Vlnová rovnice

Další literatura
Z další literatury doporučuji zejména skriptum John-Nečas a knihu Renardy-Rogers.

E.DiBenedetto: Partial Differential Equations. Birkhauser, 1995.

P.Doktor, O.John, J.Kopáček: Příklady z matematické analýzy VI, parciální diferenciální rovnice. Skriptum MFF UK, SPN, Praha, 1983.
L.C.Evans: Partial differential equations. AMS, Providence, 1998.
O.John, J.Nečas: Rovnice matematické fyziky. Skriptum MFF UK, SPN, Praha, 1977.
M.Renardy, R.C.Rogers: An Introduction to Partial Differential Equations. Springer-Verlag, New York, 1993.

Pomůcka - průběh cvičení ve šk. r. 2007/08
Vystaveny zde jsou soubory, které odrážejí průběh cvičení k přednášce PDR I, tak jak probíhaly ve školním roce 2007/08, kdy jsem ona cvičení vedl. Letošní cvičení nemusejí nutně probíhat stejně (více ví váš cvičící), vystavené soubory však vám mohou možná k něčemu být.

No. Datum Popis cvičení Program
cvičení

1. 04.10.2007 Multinomická věta, Gauss-Greenovy-Ostrogradského formule, Gaussův integrál, Gamma funkce, sférické souřadnce v m dimenzích, objemy koulí a povrchy sfér v m dimenzích.

2. 11.10.2007 Odvození rovnice minimální plochy, řešení lineárních rovnic 1. řádu metodou charakteristik.

3. 18.10.2007 Řešení kvazilineárních rovnic 1. řádu metodou charakteristik, implicitní a lokální existence. Řešení systému lineárních rovnic 1. řádu s konstantní diagonalizovatelnou maticí.

4. 25.10.2007 Řešení rovnice, které je potřeba pro C-K větu (zadání je v programu z minulého cvičení) metodou charakteristik. Diskuse mnoha dalších zobecnění C.-K. věty, lokální existence řešení Laplaceovy rovnice, rovnice vyššího řádu a C-K. věta.

5. 01.11.2007 Referáty - Hadamardův protipříklad, lokální existence a jednoznačnost řešení Stokesova systému v R². Lineární vlnová rovnice (2. řádu) v 1 dimenzi: D'Alembertův vzorec.

6. 08.11.2007 Analogie d'Alembertova vztahu pro eliptickou rovnici - "komplexní d'Alembertův vzorec". Klasifikace rovnic 2. řádu a jejich převod na kanonický tvar, včetně anulování členů nižších řádů.

7. 15.11.2007 Elementy plošné integrace, parametrizace plochy, integrál prvního a druhého druhu a vztah mezi nimi. Plošný element, vektorový součin (d-1) vektorů v R^d, Grammův determinant.

8. 22.11.2007 Fourierova metoda rozdělení proměnných: řešení Laplaceovy rovnice na obdélníku se zadanou spojitou funkcí na hranici. Formální výpočet a jeho diskuse: kdy definuje formální výsledek klasické řešení.

9. 29.11.2007 Fourierova metoda na obdélníku pro zadanou pravou stranou. Fourierova metoda pro Laplaceovu rovnici na kruhu a Poissonův integrál na kruhu. Další varianty Fourierovy metody.

10. 06.12.2007 Dopočítání Fouriera na kruhu. Fourierova metoda pro rovnici vedení tepla a pro vlnovou rovnici: diskuse různých variant (s pravou stranou, bez pravé strany, s okrajovými podmínkami, bez nich atd.)

11. 13.12.2007 Intuitivní odvození vzorců pro explicitní řešení Cauchyových úloh pro rovnici vedení tepla (v libovolné prostorové dimenzi) a pro vlnovou rovnici (v dimenzích 1, 2 a 3), příklady na dané téma.

Co	PDF file
Kompletní "autorský" rukopis přednášky jako 1 soubor - 125 stran, 10 MB
Bonus: Gauss - Ostrogradského vzorce (updated 11.1.2010)
Bonus: Řešení Cauchyovy úlohy pro vlnovou rovnici v dimenzích 1,2,3

Paragraf	začíná na str.	Paragraf	začíná na str.	Paragraf	začíná na str.	Paragraf	začíná na str.
1.1.	1	2.1.	32	3.1.	66	4.1.	101
1.2.	12	2.2.	36	3.2.	69	4.2.	115
1.3.	18	2.3.	50	3.3.	77
		2.4.	61	3.4.	83
				3.5.	88
				3.6.	93
				3.7.	96

Přednáška č.	přednášená dne	začíná na str.	Přednáška č.	přednášená dne	začíná na str.
1	1.10.2009	1	9	26.11.2009	67
2	8.10.2009	12	10	3.12.2009	75
3	15.10.2009	21	11	8.12.2009	80
4	22.10.2009	30	12	15.12.2009	86
5	29.10.2009	37	13	7.1.2010	96
6	5.11.2009	41	14	12.1.2010	105
7	12.11.2009	53	15	14.1.2010	110
8	19.11.2009	59

Kapitola/paragraf	Rukopis
1. Úvod
1.1. Úvodní poznámky, značení
1.2. Základní příklady parciálních diferenciálních rovnic
1.3. Cauchyova úloha pro kvazilineární PDR 1.řádu
2. Věta Cauchyova-Kowalevské
2.1. Reálně analytické funkce
2.2. Metoda majorizace a věta Cauchyova-Kowalevské
2.3. Charakteristické směry a plochy
2.4. Klasifikace rovnic 2. řádu
3. Laplaceova a Poissonova rovnice
3.1. Úvod. Fundamentální řešení Laplaceovy rovnice
3.2. Věta o třech potenciálech
3.3. Dirichletova úloha pro Laplaceovu rovnici na kouli
3.4. Věty o střední hodnotě pro harmonické funkce
3.5. Princip maxima
3.6. Věta Liouvilleova a věty Harnackovy
3.7. Dirichletova úloha pro Laplaceovu rovnici na omezené oblasti
4. Evoluční rovnice
4.1. Rovnice vedení tepla
4.2. Vlnová rovnice

No.	Datum	Popis cvičení
1.	04.10.2007	Multinomická věta, Gauss-Greenovy-Ostrogradského formule, Gaussův integrál, Gamma funkce, sférické souřadnce v m dimenzích, objemy koulí a povrchy sfér v m dimenzích.
2.	11.10.2007	Odvození rovnice minimální plochy, řešení lineárních rovnic 1. řádu metodou charakteristik.
3.	18.10.2007	Řešení kvazilineárních rovnic 1. řádu metodou charakteristik, implicitní a lokální existence. Řešení systému lineárních rovnic 1. řádu s konstantní diagonalizovatelnou maticí.
4.	25.10.2007	Řešení rovnice, které je potřeba pro C-K větu (zadání je v programu z minulého cvičení) metodou charakteristik. Diskuse mnoha dalších zobecnění C.-K. věty, lokální existence řešení Laplaceovy rovnice, rovnice vyššího řádu a C-K. věta.
5.	01.11.2007	Referáty - Hadamardův protipříklad, lokální existence a jednoznačnost řešení Stokesova systému v R². Lineární vlnová rovnice (2. řádu) v 1 dimenzi: D'Alembertův vzorec.
6.	08.11.2007	Analogie d'Alembertova vztahu pro eliptickou rovnici - "komplexní d'Alembertův vzorec". Klasifikace rovnic 2. řádu a jejich převod na kanonický tvar, včetně anulování členů nižších řádů.
7.	15.11.2007	Elementy plošné integrace, parametrizace plochy, integrál prvního a druhého druhu a vztah mezi nimi. Plošný element, vektorový součin (d-1) vektorů v R^d, Grammův determinant.
8.	22.11.2007	Fourierova metoda rozdělení proměnných: řešení Laplaceovy rovnice na obdélníku se zadanou spojitou funkcí na hranici. Formální výpočet a jeho diskuse: kdy definuje formální výsledek klasické řešení.
9.	29.11.2007	Fourierova metoda na obdélníku pro zadanou pravou stranou. Fourierova metoda pro Laplaceovu rovnici na kruhu a Poissonův integrál na kruhu. Další varianty Fourierovy metody.
10.	06.12.2007	Dopočítání Fouriera na kruhu. Fourierova metoda pro rovnici vedení tepla a pro vlnovou rovnici: diskuse různých variant (s pravou stranou, bez pravé strany, s okrajovými podmínkami, bez nich atd.)
11.	13.12.2007	Intuitivní odvození vzorců pro explicitní řešení Cauchyových úloh pro rovnici vedení tepla (v libovolné prostorové dimenzi) a pro vlnovou rovnici (v dimenzích 1, 2 a 3), příklady na dané téma.