V ramci teto serie vysilala 15.1.1996 televizni stanice BBC 2 besedu na tema "Velka Fermatova veta". Besedy se zucastnili (v abecednim poradi) tito vehlasni panove profesori: John Coates (Cambridge University), John Conway (Princeton University), Nick Katz (Princeton University), Barry Mazur (Harvard University), Ken Ribet (University of California, Berkeley), Peter Sarnak (Princeton University), Goro Shimura (Princeton University), a konecne Andrew Wiles (Princeton University), muz, ktery ucinil rozhodne zaverecne kroky dukazu Velke Fermatovy vety a kteremu je tedy jeji dukaz vetsinou pripisovan. Celou besedu uvadela moderatorka Eve Matheson. Z besedy pozdeji vznikla brozurka Fermat's Last Theorem, Horizon, BBC, 1996 (edited by Peter Millson and Simon Singh), jejiz preklad je hlavni naplni tohoto clanku.
I kdyz ctenar mozna zaznamenal absenci nekterych jmen, ktera by na besede tohoto vyznamu nemela chybet, da se jiste prohlasit, ze ucastnici tvori shromazdeni nanejvys fundovane a ze jejich jednoznacna shoda, pokud jde o spravnost dukazu Velke Fermatovy vety, je jednim z potvrzeni skutecnosti, ze tuto slavnou vetu muzeme od podzimu 1994 povazovat za dokazanou.
Mirko Rokyta
Vyjimecnost Velke Fermatovy vety spociva nejen v tom, ze jde o matematicky problem bez jakehokoli zjevneho praktickeho pouziti. Pro matematiky byla Velka Fermatova veta po dlouhou dobu synonymem pro nejtezsi mozny, ne-li neresitelny problem. Po vice nez tri sta let [Fermat formuloval problem pravdepodobne kolem roku 1637, jeho vyreseni tedy trvalo vice nez 350 let. (Pozn. prekl.)] se marne snazily nejlepsi mozky teto planety rozlousknout tento tvrdy orisek. Presto se matematici odmitali smirit se skutecnosti, ze by problem zustal nevyresen.
I kdyz matematika ma mnohe aplikace, teoreticti matematici jsou malokdy motivovani pripadnym praktickym vyuzitim sve prace. Snazi se vzdy predevsim proniknout do podstaty veci, dosahnout poznani jako takoveho. Tomuto cili jsou ochotni podridit vse. Velci matematici se tak zdaji byt jakousi zvlastni smesici detske zvidavosti a vasnive, az chorobne posedlosti.
Pokud nic jineho, doufam, ze tento program rozptyli mytus o matematice jako mdle a nudne vede a o matematicich, kteri jsou jeste nudnejsi nez matematika sama. Rise cisel je nadherny a dosud ne zcela prozkoumany svet a matematici maji dost odvahy a houzevnatosti, aby se jej snazili poznavat.
Simon Singh
Andrew Wiles: Ja bych matematiku prirovnal k neosvetlenemu domu. Vsude je naprosta tma a vy vejdete do prvni mistnosti. Klopytate, tapete kolem sebe, narazite do nabytku a jen pomalu a ztezka poznavate, kde co stoji a kudy se dat. Az konecne --- a to muze trvat mesice --- nahmatate vypinac a cvaknete. A najednou je vsechno jasne a vy naprosto presne vite, kde se nachazite. Zacatkem zari [1994] jsem sedel u tohoto stolu a najednou, ve chvili, kdy uz jsem to necekal, jsem takovyto vypinac objevil. Byl to... byl to nejkrasnejsi okamzik me kariery...
Eve Matheson: Povidame vam pribeh muze posedleho nejslavnejsim matematickym problemem. Po sedm let pracoval profesor Andrew Wiles v naprostem utajeni na matematickem vysledku stoleti. Tato prace mu prinesla slavu i zklamani.
Andrew Wiles: Bylo mi asi 10 let, kdyz jsem ve verejne citarne objevil knizku o matematice a v ni zminku o jednom slavnem problemu. Psalo se tam, ze jej nekdo snad vyresil uz pred 300 lety, ale nikdo tento dukaz nevidel a nikdo ani nevi, jestli nejaky vubec existuje. A ze od te doby se matematici snazi nejaky dukaz najit. Byl to problem, jehoz formulace byla srozumitelna i desetiletemu klukovi a ktery pritom nikdo z velkych matematiku nevyresil. Od tohoto okamziku jsem se jej snazil vyresit i ja. Byl to nadherny problem. Byla to Velka Fermatova veta. [V anglicky mluvicich zemich se pouziva nazev "Fermat's Last Theorem" (Pozn. prekl.)]
Eve Matheson: Pierre de Fermat byl francouzsky matematik 17. stoleti, [1601--1665 (Pozn. prekl.)] kteremu jsou prisuzovany nektere vyznamne objevy v teorii cisel. Impuls k jeho praci mu poskytl predevsim starorecky text o cislech, Diophantova kniha Arithmetica.
John Conway: Tato kniha, jejiz vytisk Fermat vlastnil, obsahuje radu problemu, ktere se Fermat pokousel resit. Pri cetbe si Fermat delal poznamky na okrajich stranek.
Eve Matheson: Vytisk Aritmetiky s puvodnimi Fermatovymi poznamkami se nedochoval, zneni techto poznamek vsak muzeme nalezt v knize, kterou pozdeji publikoval Fermatuv syn. A jedna z techto poznamek se stala nejvetsim dedictvim po Fermatovi.
John Conway: Podivejme se tedy blize na onu noticku, kterou nam pan Fermat zpusobil tolik obtizi.
Eve Matheson: Z teto nenapadne poznamky se vyklubal neuveritelne tezky, po staleti nevyreseny matematicky problem, prestoze vychazi z rovnice tak jednoduche, ze ji i deti znaji zpameti: ctverec nad preponou se rovna souctu ctvercu nad obema odvesnami.
John Conway: Ano, to je Pythagorova veta, jak jsme se ji ucili ve skole. Jeji hlavni vyznam je v tom, ze rika, kdy jsou tri cisla x, y, z stranami pravouhleho trojuhelnika. Je to prave tehdy, kdyz x2+y2=z2.
Andrew Wiles: Nacez si muzete polozit otazku: "Jsou nejaka prirozena cisla resenim teto rovnice?" A ihned si odpovedet: "Ano, plati napriklad 32+42=52." Ale existuji i dalsi reseni: 52+122=132, a postupne takovychto reseni najdete vic. Otazka, kterou Fermat polozil, se nabizi: Predpokladejme, ze v Pythagorove vete nahradime druhou mocninu treti, ctvrtou, patou, sestou mocninou; libovolnou prirozenou n-tou mocninou. Fermat tvrdil, ze neni mozne najit reseni --- at hledate mezi jakkoli velikymi prirozenymi cisly x, y, z, nikdy nenajdete reseni.
Eve Matheson: Neexistuji tedy prirozena cisla, ktera resi rovnici xn+yn=zn, kde n je cele cislo vetsi nez 2. To tvrdil Fermat, ba co vic, on prohlasil, ze tento fakt umi dokazat. Nacmaral totiz na okraj stranky nasledujici zahadnou poznamku.
John Conway: Napsal ji latinsky a tvrdi v ni, ze nasel skutecne nadherny dukaz --- demonstrationem mirabilem --- tohoto tvrzeni. Pak uzavira: Hanc marginis exiguitas non caperet. --- "Okraj je vsak prilis uzky na to, aby se na nej dukaz vesel."
[Pro milovniky latiny uvadime cele originalni zneni slavne Fermatovy poznamky: "Cubem autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos ejusdem nominis fas est dividere: cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet." (Pozn. prekl.) ]
Eve Matheson: Fermat tedy tvrdil, ze nasel dukaz, ale nikdy pozdeji jej nezverejnil.
John Conway: Fermat nam zanechal mnoho takovychto "poznamek na okraji". Matematici, kteri prisli po nem, je chapali jako jim formulovane matematicke problemy a v prubehu let je vsechny vyresili. Az na jednu poznamku, prave tuhle. Proto nazvali toto tvrzeni Fermatovou posledni vetou.
[V originale "Fermat's Last Theorem", coz lze chapat jako "posledni nevyreseny z Fermatovych problemu". V nasich krajich se vice vzilo oznaceni Velka Fermatova veta. (Pozn. prekl.)]
Eve Matheson: Znovuobjeveni Fermatova dukazu se tedy stalo ukolem, ktery nezvladl zadny z matematiku po nasledujici tri stoleti.
John Conway: Gauss, nejvetsi matematik vsech dob...
Barry Mazur: ... Galois ...
John Coates: ... samozrejme Kummer ...
Ken Ribet: ... ani Euler v 18. stoleti problem nevyresil.
John Conway: Pokusila se o to i jedna zena ...
Ken Ribet: ... Sophie Germain.
Barry Mazur: Zkusily to urcite miliony lidi, ...
Peter Sarnak: ... ale nikdo z nich nemel ani poneti kde a jak zacit.
Andrew Wiles: Matematici miluji problemy a tento vypadal na prvni pohled tak jednoduse; zdalo se, ze proste musi mit nejake reseni. Navic Fermat tvrdil, ze on uz problem vyresil.
Eve Matheson: Matematici museli dokazat, ze zadne z cisel nevyhovuje jiste rovnici. Co tak vyuzit pocitacu a overit to pro kazde z nich, pro jedno cislo po druhem?
John Conway: Dobre, ale s kolika cisly to takto muzete udelat? Mate neco overit pro nekonecne mnoho cisel. Overite-li to pro jedno z nich, o kolik bliz jste k vyreseni problemu? Stale jeste zbylo nekonecne mnoho neoverenych cisel. A overite-li to pro 1000 cisel, o kolik bliz jste pak k vyreseni problemu? Porad jich zbylo nekonecne mnoho. Muzete proverit miliony cisel, stale jich zbylo nekonecne mnoho.
[Pocitace by se v tomto kontextu uplatnily pouze tehdy, kdyby se s jejich pomoci podarilo najit ctverici cisel x, y, z, n, ktera vyhovuje Fermatove vztahu xn+yn=zn, a jeho vetu tim vyvratit. Ctenar se napriklad muze pokusit dokazat (Fermatove vete podobnou) Eulerovu hypotezu "Rovnici xn+yn+zn=vn nevyhovuji pro n vetsi nez 4 zadna prirozena x, y, z, v" a pokud se mu to nebude darit, presvedcit se pomoci pocitace, ze napriklad plati 958004 +2175194+4145604=4224814 a ze tedy Eulerova hypoteza je nespravna (viz [3]). Nic takoveho se vsak v pripade Fermatovy vety nepodarilo a dnes jiz vime, ze se ani nemohlo podarit. (Pozn. prekl.)]
Eve Matheson: Pocitac nikdy nemuze proverit vsechna cisla. Bylo tedy potreba nalezt neco, cemu matematici rikaji "dukaz".
Peter Sarnak: Matematik neni zcela presvedcen o pravdivosti tvrzeni, dokud neni predlozen dukaz, ktery je "dobre" ve smyslu prisnych matematickych pozadavku.
Nick Katz: V matematice se pracuje s pojmem dokazanosti; znalosti nejakeho faktu s absolutni jistotou.
Peter Sarnak: Rika se tomu "rigorozni dukaz".
Ken Ribet: Rigorozni dukaz je rada uvah ...
Peter Sarnak: ... zalozenych na logickych dedukcich ...
Ken Ribet: ... ktere plynou jedna z druhe ...
Peter Sarnak: ... krok za krokem ...
Ken Ribet: ... az se dostane ...
Peter Sarnak: ... uplny dukaz.
Nick Katz: A v tom je podstata matematiky.
Eve Matheson: Dukaz je tedy druh abstraktni uvahy. V nasem pripade slo o to podat vysvetleni, proc zadne z cisel nevyhovuje Fermatove rovnici, aniz by bylo nutne je vsechna proverit. Velka Fermatova veta ovsem vzdorovala po staleti a zajem o ni postupne uhasinal. Matematici se zacali zabyvat "vaznejsimi" matematickymi problemy. V sedmdesatych letech uz byla Velka Fermatova veta "vysla z mody". V te dobe Andrew Wiles teprve zacinal svoji matematickou karieru. Odesel do Cambridge, kde se stal studentem profesora Johna Coatese.
John Coates: Mel jsem stesti, ze se Andrew stal mym studentem, spoluprace s nim se mi velice libila. Z napadu, ktere mel, bylo uz tehdy vicemene jasne, ze se stane matematikem, ktery toho mnoho dokaze.
Eve Matheson: Ale ne Fermatovu vetu. Snad kazdy si tehdy myslel, ze dokazat ji je v dane chvili nemozne. Proto taky profesor Coates doporucil Andrewovi, aby tento svuj detsky sen dal k ledu a snazil se pracovat na necem, co je blize stredu vseobecneho zajmu.
Andrew Wiles: Problem s Fermatovou vetou spociva predevsim v tom, ze muzete pracovat leta a neobdrzet zadny hmatatelny vysledek. Kdyz jsem prisel do Cambridge, zajimal se muj skolitel John Coates o tzv. Iwasawovu teorii a o elipticke krivky a ja jsem se tedy zameril na tutez problematiku.
Eve Matheson: Elipticke krivky byly tehdy v mode. Aby to vsak nebylo tak jednoduche, elipticke krivky nejsou ani elipsy, ani krivky.
Barry Mazur: Mozna jste o eliptickych krivkach nikdy neslyseli, v matematice jsou vsak nesmirne dulezite.
John Conway: Dobra, takze co to jsou ty elipticke krivky?
Barry Mazur: Elipticke krivky jsou jiste kubicke rovnice, jejichz reseni ma graficke znazorneni, pripominajici koblihu.
Peter Sarnak: Vypadaji velice jednoduse, ale ve skutecnosti jsou nesmirne slozite.
Eve Matheson: Kazdy bod na koblize je resenim jakesi rovnice. Andrew Wiles tedy studoval tyto elipticke rovnice a odlozil praci na svem vysnenem problemu. Netusil ovsem, ze kdesi na opacne strane zemekoule nekdo poukazal na moznou souvislost mezi eliptickymi krivkami a Velkou Fermatovou vetou.
Goro Shimura: V roce 1949, tedy ctyri roky po valce, jsem zacal chodit na Tokijskou univerzitu. Ucili tam vsak tehdy sami stari a unaveni profesori a jejich prednasky byly velice nudne.
Eve Matheson: Goro Shimura a jeho spoluzaci se tedy museli spolehnout sami na sebe. Tehdy se Shimura velice spratelil s kolegou jmenem Yutaka Taniyama.
Goro Shimura: Byli jsme velci pratele. Taniyama nebyl jako matematik nijak zvlast poradny --- delal spoustu chyb. Ale delal chyby takrikajic ve spravnem smeru, takze se nakonec dopracovaval ke spravnym odpovedim. Snazil jsem se delat to jako on, ale prisel jsem na to, ze je velmi tezke delat spravne chyby.
Eve Matheson: Taniyama a Shimura pracovali tehdy na teorii modularnich funkci.
Nick Katz: Asi nelze jednou vetou rici, co to je modularni funkce. Mohl bych se pokusit vysvetlit to v nekolika vetach, v jedine vete bych to asi nedokazal.
Peter Sarnak: ( smeje se) Ach, to je nemozne.
Andrew Wiles: Casto se cituje jeden postreh, prisuzovany Eichlerovi, a sice ze existuje pet zakladnich aritmetickych operaci: scitani, odcitani, nasobeni, deleni a modularni formy.
Barry Mazur: Modularni formy jsou funkce v komplexni rovine, ktere jsou neuveritelne symetricke. Vyhovuji tolika vnitrnim symetriim, ze jejich pouha existence se zda malym zazrakem. Presto existuji.
Eve Matheson: Abychom vam mohli ukazat modularni formy v cele jejich krase, musela by vase televizni obrazovka byt zakrivena v neco, cemu matematici rikaji "hyperbolicky prostor". Po valce se zdalo, ze tyto bizarni modularni formy nemaji nic spolecneho s ponekud jednotvarnym svetem eliptickych krivek. Nicmene Taniyama a Shimura sokovali vsechny svou hypotezou.
Goro Shimura: V roce 1955 se konalo mezinarodni sympozium, na kterem Taniyama formuloval dva nebo tri problemy.
Eve Matheson: Vyresit tyto problemy by de facto znamenalo dokazat neobycejne tvrzeni, ze kazda elipticka krivka je ve skutecnosti zakuklena modularni forma. Toto tvrzeni se stalo znamym jako Taniyamova-Shimurova hypoteza. [Tzv. "Taniyama-Shimura conjecture". (Pozn. prekl.)]
John Conway: Tato hypoteza tvrdi, ze kazda racionalni elipticka krivka je modularni, [Presneji, ze kazda semistabilni elipticka krivka s racionalnimi koeficienty je modularni. (Pozn. prekl.)] coz vysvetlit je nesmirne tezke.
Barry Mazur: Ja to zkusim. Predstavte si elipticky svet, ve kterem ziji elipticke krivky, ony koblihy; a pak je tu modularni svet, obyvany modularnimi formami se vsemi jejich symetriemi. Taniyamova-Shimurova hypoteza stavi most mezi temito dvema svety. Oba tyto svety existuji kazdy na sve planete. A tento most mezi nimi --- to je vic nez most, to je ve skutecnosti slovnik, ktery vsechny otazky, dohady, pojmy a vety jednoho sveta preklada do otazek, dohadu, pojmu a vet druheho z nich.
Ken Ribet: Kdyz zacali Taniyama se Shimurou poprve mluvit o vztahu mezi eliptickymi krivkami a modularnimi formami, nikdo tomu moc neveril. Ja jsem tehdy o matematice jeste nemel prilis poneti. Az teprve nekdy kolem roku 1969 ci 1970, to uz jsem byl na univerzite, zacalo se verit, ze by tato hypoteza mohla byt pravdiva.
Eve Matheson: Taniyamova-Shimurova hypoteza se stala vychozim bodem pro dalsi matematicke teorie, ktere na ni tim padem byly zcela zavisle. Pokud by tedy tato hypoteza zustala nedokazana, veskera tvrzeni z ni vychazejici by nemusela byt pravdiva.
Andrew Wiles: Stale vic a vic tvrzeni bylo odvozeno z predpokladu, ze hypoteza plati, a vsechna tato tvrzeni by byla zcela absurdni, kdyby Taniyamova-Shimurova hypoteza neplatila.
Eve Matheson: Dukaz hypotezy se stal stredem pozornosti. Muz, z jehoz myslenek se zrodila, se vsak bohuzel nedozil toho, aby videl nesmirny dosah sve prace. V roce 1958 spachal Taniyama sebevrazdu.
Goro Shimura: Byl jsem z toho naprosto sokovany a zmateny. "Zmateny" je snad spravne slovo. A samozrejme jsem byl zoufaly, ze ... se to stalo tak necekane; nebyl jsem schopen se v tom orientovat.
Eve Matheson: Taniyamova-Shimurova hypoteza se stala jednim z nejtezsich nedokazanych problemu. Ale co mela spolecneho s Velkou Fermatovou vetou?
Andrew Wiles: V te dobe nikdo ani netusil, ze by s ni mohla mit neco spolecneho. To vsechno se vsak uplne zmenilo nekdy v polovine osmdesatych let.
Eve Matheson: Taniyamova-Shimurova hypoteza tvrdi: kazda elipticka krivka je modularni. A Fermat tvrdi: zadne cislo nevyhovuje rovnici xn+yn=zn. Kde je souvislost?
Ken Ribet: Na prvni pohled se zda, ze Taniyamova-Shimurova hypoteza, ktera hovori o eliptickych krivkach, nema s Fermatovou vetou nic spolecneho, protoze mezi Fermatovym problemem a eliptickymi krivkami neni zadna spojitost. Tuto neobycejnou myslenku vsak mel v roce 1985 Gerhard Frey.
Eve Matheson: Nemecky matematik Frey uvazoval takto: co by se stalo, kdyby Fermat nemel pravdu a prece jenom existovalo reseni jeho rovnice?
Peter Sarnak: Frey ukazal, ze vezme-li fiktivni reseni Fermatovy rovnice, pokud ovsem tento monstrozni zivocich existuje,...
[Slovo "monstrozni" je zcela na miste. Zacatkem devadesatych let bylo napriklad znamo, ze pokud existuje ctverice prirozenych cisel x, y, z, n, ktera vyhovuje Fermatove vztahu, plati, ze n musi byt vetsi nez 4 000 000; pohybujeme se tedy v oblasti skutecne monstrozni aritmetiky. (Pozn. prekl.)]...je schopen sestrojit s jeho pomoci eliptickou krivku s velmi podivnymi vlastnostmi.
[Jde o nasledujici tvrzeni: "Je-li xn+yn=zn pro nejaka prirozena x,y,z,n, kde n je vetsi nez 2, pak elipticka krivka v promennych u, v definovana rovnici u2 = v(v-xn)(v+yn) je semistabilni, ale neni modularni." Spolu s Taniyamovou-Shimurovou hypotezou toto tvrzeni implikuje Velkou Fermatovu vetu. Tvrzeni vyslovil Frey v roce 1985, dokazal je (s vyuzitim myslenek Jean-Pierre Serreho) Ken Ribet v roce 1986. (Pozn. prekl.)]
Ken Ribet: Zdalo se, ze tato elipticka krivka asi neni modularni, prestoze Taniyamova-Shimurova hypoteza tvrdi, ze kazda elipticka krivka uz modularni musi byt.
Eve Matheson: Takze pokud existuje reseni Fermatovy rovnice, lze s jeho pomoci vytvorit podivnou eliptickou krivku, ktera popira Taniyamovu-Shimurovu hypotezu.
Ken Ribet: Jinymi slovy, pokud Fermat nema pravdu, nemaji ji ani Taniyama a Shimura, nebo jeste jinak, je-li Taniyamova-Shimurova hypoteza spravna, plati i Velka Fermatova veta.
Eve Matheson: Fermatova veta a Taniyamova-Shimurova hypoteza ted byly logicky svazany --- az na jednu "drobnost".
Ken Ribet: Problemem bylo, ze Frey ve skutecnosti nedokazal, ze jeho elipticka krivka neni modularni. Predlozil pouze jakousi slibne vypadajici uvahu, o niz doufal, ze by mohla byt zarodkem rigorozniho dukazu. A odbornici z celeho sveta na nem zacali pracovat.
Eve Matheson: Takze teoreticky mohl byt Fermat dokazan tak, ze se dokaze Taniyama-Shimura, ovsem za predpokladu, ze Frey ma pravdu. Rigorozni formulace Freyovy myslenky se stala znamou pod nazvem "Serreho epsilonova hypoteza" a kazdy se ji snazil dokazat. Zasadni zlom nastal o rok pozdeji v San Francisku.
Ken Ribet: Kdyz jsem tehdy prochazel univerzitnim kampusem, uvidel jsem Barryho Mazura a rekl jsem mu: "Pojd na kafe". Sedli jsme si ke kapucinu v mistni kavarne a ja jsem rekl: "Snazim se zobecnit svuj vysledek tak, aby z nej plynula Serreho epsilonova hypoteza v jeji plne siri." Barry na to rekl: "Ale vzdyt uz jsi to vlastne udelal. Zbyva jenom pridat nejakou tu gama nula m strukturu, projit znovu cely dukaz a presvedcit se, ze vsechno funguje. A mas to." To me nikdy predtim nenapadlo, i kdyz ted to zni velice jednoduse. Podival jsem se na Barryho, pak na kapucino, pak zpatky na Barryho a rekl jsem: "Pane Boze, vzdyt ty mas uplnou pravdu."
Barry Mazur: Kenuv dukaz byl skvely.
Andrew Wiles: Byl jsem tehdy na navsteve u pritele. Byl podvecer, ja jsem usrkaval chlazeny caj a on jen tak nahodou uprostred hovoru utrousil: "Mimochodem, slysel jsi, ze Ken dokazal epsilonovou hypotezu?" Zustal jsem jako zasazeny bleskem. V jedinem okamziku mi doslo, ze se muj zivot zasadne zmenil, protoze to znamenalo, ze k dukazu Velke Fermatovy vety staci dokazat Taniyamovu-Shimurovu hypotezu. Od toho okamziku jsem se zameril vyhradne na ni. Najednou mi bylo jasne, ze az prijdu domu, pustim se do toho.
Eve Matheson: Andrew opustil vsechny jine aktivity. Zcela se oddelil od vnejsiho sveta a po sedm let se soustredil pouze na Fermatovu vetu, svou vasen z detskych let.
Andrew Wiles: Pri praci nikdy nepouzivam pocitac, jen tuzku a papir. Nekdy si jenom tak cmaram, zcela bezmyslenkovite; snazim se najit geometrickou strukturu a rad veci. Cas od casu neco pocitam, abych si ujasnil nejaky detail, i to, jak zapada do kontextu toho, co uz je znamo. Obcas je treba nahlednout do knihy a podivat se, jak se ktera vec dela. Nekdy je to otazka male modifikace nejake uz zname uvahy, jindy je treba udelat nejaky ten vypocet navic, a nekdy zjistite, ze nic z toho, co je znamo, vam neni k uzitku a vy musite najit neco zcela noveho, pricemz ani netusite, jak na to jit a z ceho by to mohlo plynout.
John Coates: Musim priznat, ze jsem neveril, ze by Taniyamovu-Shimurovu hypotezu nekdo v dohledne dobe dokazal. Myslel jsem, ze se toho vubec nedoziju.
Ken Ribet: Ja jsem taky patril k te naproste vetsine lidi, kteri neverili, ze by dukaz Taniyamovy-Shimurovy hypotezy byl v dane chvili mozny. Ani jsem se nesnazil ji dokazat, vubec me to nenapadlo. Andrew Wiles byl jeden z mala lidi na teto planete, kteri meli dost odvahy a drzosti a verili, ze je mozne tuto hypotezu dokazat.
Andrew Wiles: Proto jsem se vubec neobaval nejake konkurence, alespon v prvnich nekolika letech ne. Proste jsem neveril, ze by kdokoli, me nevyjimaje, mel jakykoli napad, jak postupovat pri jejim dukazu. Ale dosel jsem k nazoru, ze neni mozne jen tak obcas prohodit neco o Fermatove vete. Vzbuzovalo by to prilis velky zajem okoli a clovek by se nemohl na takovou leta trvajici praci poradne soustredit, kdyby jej pozorovalo prilis mnoho oci.
Eve Matheson: Andrew se tedy rozhodl, ze bude pracovat zcela sam a naprosto tajne.
Peter Sarnak: Casto jsem si kladl otazku, co vlastne dela.
Nick Katz: Ja jsem netusil vubec nic.
John Conway: Ani ja jsem jej z niceho nepodeziral.
Ken Ribet: Je to asi jediny mne znamy pripad, ze by nekdo pracoval po tak dlouhou dobu a neprozradil, co dela, nemluvil o pokroku, ktereho se mu podarilo dosahnout. Je to naprosto bezprecedentni.
Eve Matheson: Andrewa cekaly jedny z nejslozitejsich vypoctu v dejinach matematiky. Prvni dva roky neprinesly zadny vysledek, Andrew se pouze snazil proniknout do problemu, porozumet mu a navrhnout strategii, ktera by mohla fungovat.
Andrew Wiles: Bylo tedy znamo, ze Taniyamova-Shimurova hypoteza implikuje Velkou Fermatovu vetu. Co tvrdila Taniyamova-Shimurova hypoteza? Ze vsechny elipticke krivky by mely byt modularni. A to byl stary problem --- existoval uz 20 let a spousta lidi se jej marne snazila vyresit.
Ken Ribet: Jedna z moznosti, jak se na problem divat, je tato: Mame elipticke krivky a mame modularni elipticke krivky a chceme ukazat, ze je jich stejny pocet. Samozrejme, mluvime o dvou nekonecnych mnozinach, takze nemuzeme pocitat krivky jako takove. Co ale muzeme, je rozdelit tyto krivky do skupin a snazit se spocitat krivky v kazde takove skupine. Tohle se zda byt po dobu asi 30 sekund velice slibna strategie, ale pak clovek zjisti, ze se o moc dal nedostal a ze vubec neni jasne jak krivky pocitat. A Wilesovi se podarilo najit spravnou pocitaci techniku.
Eve Matheson: Andrewuv trik spocival v tom, ze prevedl elipticke krivky do takzvanych Galoisovych reprezentaci, cimz se pocitani mohlo podstatne zjednodusit. Modifikovany problem tedy ted znel, jak srovnavat modularni formy s Galoisovymi reprezentacemi, nikoli s eliptickymi krivkami.
Andrew Wiles: Muzeme se ptat, a je to prirozena otazka: "Jak to, ze to nefunguje pro elipticke krivky a modularni formy? Proc nelze spocitat elipticke krivky, spocitat modularni formy, a ukazat, ze je jich stejny pocet?" Odpoved by mohla znit: nefunguje to, protoze se o to uz snazila hrozna spousta lidi a nikdo neuspel. A proto byl tohle klicovy moment v celem dukazu --- to, ze jsem nasel zpusob, jak resit nikoli problem puvodni, ale problem modifikovany. Nasel jsem zpusob, jak spocitat modularni formy a Galoisovy reprezentace.
Eve Matheson: Byl to jenom prvni krok, a prece si vyzadal tri roky Andrewova zivota.
Andrew Wiles: Jediny clovek, ktery vedel, ze pracuju na Fermatove problemu, byla moje zena. Rekl jsem ji to par dnu po svatbe. Rozhodl jsem se, ze svuj cas rozdelim pouze mezi svuj problem a rodinu; v case nejvetsiho soustredeni jsem zjistil, ze nejlepsi zpusob relaxace je pobyvat ve spolecnosti malych deti. Deti totiz nezajima Fermatuv problem, alespon ne v ranem veku. Chteji slyset detske pribehy a nedovoli vam mluvit o nicem jinem. Takze jsem nasel mechanismus scitani a zacal jsem premyslet o tomto konkretnim problemu v terminech Iwasawovy teorie, kterou jsem studoval jako doktorand a pouzival ji spolu se svym skolitelem Johnem Coatesem k analyze eliptickych krivek.
Eve Matheson: Andrew doufal, ze Iwasawova teorie by mohla dokoncit jeho scitaci strategii.
Andrew Wiles: Snazil jsem se pouzit Iwasawovu teorii v tomto novem kontextu, ale zahy jsem se dostal do problemu. Zdalo se, ze jsem narazil na zed, kterou nejsem schopen prelezt. Obcas, kdyz nevim jak dal, chodim sem, k jezeru. Chuze je mysleni velice prospesna, jste totiz soustredeni a soucasne relaxujete, coz umozni podvedomi, aby pracovalo za vas.
Eve Matheson: Iwasawova teorie mela pomoci odvodit takzvanou class-number formuli,...
[Prekladateli neni znam zadny oficialne pouzivany cesky ekvivalent vyrazu "class-number formula", a proto se jej rozhodl neprekladat. (Pozn. prekl.)]...ale uplynulo nekolik mesicu a vzorec stale nikde.
Andrew Wiles: Koncem leta 1991 jsem se zucastnil jedne konference. John Coates mi tam povedel o novem velice zajimavem clanku sveho studenta Matthiase Flacha, ve kterem se resil problem tohoto vzorce; v podstate presne toho, ktery jsem potreboval. Flach, s pouzitim myslenek Kolyvagina, ucinil velice dulezity prvni krok k jeho odvozeni. V te chvili jsem si pomyslel: to je presne to, co potrebuju, to prislo jako na zavolanou. Opustil jsem zcela svuj stary pristup a zacal tvrde pracovat na rozsireni Flachova vysledku.
Eve Matheson: Andrew byl temer hotov, tento zaverecny krok vsak byl velice riskantni a komplikovany. Po sesti letech prace v utajeni se Andrew potreboval nekomu sverit.
Nick Katz: Nekdy v lednu 1993 prisel Andrew ke mne a zeptal se, jestli bychom nemohli jit do jeho pracovny, ze by se mnou rad o necem hovoril. Nemel jsem ani tuseni, co by to mohlo byt. Sli jsme k nemu; zavrel dvere a rekl, ze si mysli, ze by mohl dokazat Taniyamovu-Shimurovu hypotezu. Byl jsem ohromeny. Bylo to proste fantasticke.
Andrew Wiles: Potreboval jsem v te dobe neco spocitat a vedel jsem, ze Katz je jako doma prave ve vypoctech podobneho druhu.
Nick Katz: Myslim, ze dalsim duvodem, proc se sveril mne, bylo, ze si byl jisty, ze to nikomu nereknu, ze udrzim jazyk za zuby --- coz se stalo.
John Conway: Andrew Wiles a Nick Katz travili pomerne dost casu u stolku v koute nasi spolecne mistnosti a na cemsi pracovali. Nikdy jsme nevedeli, co by to mohlo byt.
Eve Matheson: Aby nebudili prilis velke podezreni, rozhodl se Andrew proverit svuj dukaz tim, ze by jej zabalil do serie prednasek, na ktere by chodil i Nick Katz.
Andrew Wiles: Na zacatku serie jsem objasnil, ze Flach napsal krasny clanek a ze ja se budu snazit jej rozsirit a dokazat class-number formuli v jeji plne siri. Co uz jsem ovsem nerekl, bylo, ze dukaz class-number formule je podstatny krok pri dukazu Velke Fermatovy vety.
Nick Katz: Takze byla ohlasena serie prednasek pod nazvem "Calculations on Elliptic Curves", coz mohlo znamenat cokoli. Nebyla tu ani zminka o Fermatovi ani o Taniyama-Shimurovi --- nikdo na svete nemohl uhadnout, o cem to ve skutecnosti bude, pokud by to ovsem dopredu nevedel. Nikdo ze studentu to vsak netusil a behem nekolika malo tydnu vsichni odpadli. Je asi nemozne sledovat neco, kdyz nevite, k cemu a kam to smeruje. Ono je to nekdy dost tezke, i kdyz to vite. Tak se stalo, ze jsem byl po nekolika tydnech jedinym posluchacem v poslucharne.
Eve Matheson: Prednasky neodhalily zadne zjevne chyby v dukazu a nikdo z kolegu stale netusil, proc je Andrew takovy tajnustkar.
Peter Sarnak: Mozna nema zadne napady, rikali jsme si, proto je tak zamlkly. Nikdy nevite, proc se nekdo odmlci.
Eve Matheson: V dukazu stale chybel jeden podstatny krok, ale Andrew byl uz presvedcen o jeho spravnosti. Nastal cas rici to jeste nekomu.
Andrew Wiles: Takze jsem zavolal Peterovi a zeptal se, jestli mohu prijit a o necem si s nim promluvit.
Peter Sarnak: Andrew mi volal, ze by se chtel pobavit o necem velice dulezitem. A skutecne; to, co mi rekl, bylo nadmiru vzrusujici.
Andrew Wiles: Rekl jsem: "Mozna by sis mel na to sednout." On si sedl a ja pokracoval: "Myslim, ze brzo dokazu Velkou Fermatovu vetu."
Peter Sarnak: Byl jsem ohromeny, vzruseny a zcela vyvedeny z konceptu. Pamatuju si, ze jsem tu noc nemohl usnout.
Andrew Wiles: Jeden problem vsak stale odolaval. Koncem jara 1993 jsem tak byl ve velice mrzute situaci --- dokazal jsem uz, ze vetsina eliptickych krivek je modularnich, takze jsem byl velice blizko dukazu Velke Fermatovy vety. Stale tu vsak bylo nekolik trid eliptickych krivek, ktere vyklouzly z me site. Sedel jsem tady u sveho pracovniho stolu, bylo to v kvetnu 1993, myslel jsem porad na ten problem a nahodou jsem pohledl na clanek Barryho Mazura. Byla tam jedna veta, ve ktere se odkazoval na jakousi matematickou konstrukci z 19. stoleti. A v tom okamziku mi doslo, ze je to trik, ktery mohu pouzit, ze u jedne tridy eliptickych krivek, ktere jsem studoval pomoci prvocisla 3, mohu prejit k prvocislu 5. Zdalo se to byt komplikovanejsi, ale takto jsem mohl prejit od tech hroznych krivek, o kterych jsem nemohl dokazat, ze jsou modularni, k jine tride krivek, o kterych jsem uz dokazal, ze modularni jsou, pouzit tuto informaci a ucinit tak posledni krok. Zacal jsem pracovat na detailech, cas utikal a ja jsem zapomnel i na obed. Sesel jsem dolu az na caj a moje zena byla velice prekvapena, ze jsem se tak opozdil. A tehdy jsem ji rekl, ze verim, ze jsem vyresil Fermatuv problem. Byl jsem presvedcen o tom, ze mam Fermata v hrsti. V te dobe se konala v Cambridgi konference, kterou organizoval muj nekdejsi skolitel John Coates. Myslel jsem si: tohle je to prave misto --- moje rodne mesto; mesto, kde jsem studoval. Bylo by skvele, kdybych tam o tom mluvil, dokazu-li to do te doby nejak rozumne utridit a sepsat.
John Coates: Nazev prednasek, ktery Andrew oznamil, znel: "Elipticke krivky a modularni formy" ("Elliptic Curves and Modular Forms"). Nepadla jedina zminka o Velke Fermatove vete.
Ken Ribet: Ucastnil jsem se te konference. Byla to naprosto bezna konference o L-funkcich a eliptickych krivkach a byli na ni vsichni, ktere to zajimalo --- nezdala se byt nicim vyjimecna. Pak se vsak zacaly sirit jakesi divne zvesti o serii prednasek Andrewa Wilese. Bavil jsem se s ostatnimi a dozvidal se stale vic a vic. Vlastne ani nevim, kdo to vsechno siril.
Peter Sarnak: Ja to nebyl! Ja ne.
John Conway: Kdykoli nekdo rekl neco zajimaveho, Peter reagoval: "Ach, to nic neni. Pockejte, az uslysite tu skvelou novinku --- neco velkeho se tu stane."
Peter Sarnak: Mozna jsem neco naznacoval, to snad.
Andrew Wiles: Dost lidi se me ptalo, o cem presne chci mluvit. Rikal jsem jim: "Prijdte na mou prednasku a uvidite."
Ken Ribet: Atmosfera byla velice napjata. V sale byla spousta renomovanych odborniku v algebraicke topologii: Richard Taylor, John Coates, Barry Mazur.
Barry Mazur: Nikdy predtim jsem neslysel takovou serii prednasek. Co na ni bylo naprosto jedinecne, bylo to, jakou spoustu zcela novych, skvelych myslenek obsahovala, a jak dramaticky byla vybudovana. Udrzovala nas v napeti az do konce.
Ken Ribet: Pak se priblizil ten neopakovatelny okamzik --- dukaz Velke Fermatovy vety byl nadosah. Napeti stoupalo, protoze nic jineho to nemohlo byt.
Andrew Wiles: Kdyz jsem na tabuli vysvetlil prechod od trojky k petce, napsal jsem zneni Velke Fermatovy vety, rekl, ze je timto dokazana a dodal: "Myslim, ze na tomto miste bych prednasku ukoncil."
John Coates: Druhy den zacal naprosto necekane: byli jsme zcela zaplaveni dotazy novinaru snad z celeho sveta.
Andrew Wiles: Po tech sedmi letech driny to byl nadherny pocit. Mohl jsem si rici: "Prece jenom jsem to dokazal." Az pozdeji se ukazalo, ze jeste jeden problem zustal nevyresen.
Nick Katz: Nastal cas dukaz recenzovat. Proces vedeckeho recenzovani spociva v tom, ze odbornici vybrani casopisem, ve kterem by mel byt clanek publikovan, ctou podrobne tento clanek a ujistuji se, ze je skutecne dobre. Ja jsem tedy v cervenci a srpnu [1993] nedelal doslova nic jineho, nez ze jsem cetl Andrewuv rukopis, radek po radku. Konkretne to znamenalo, ze denne, nekdy i dvakrat denne, jsem e-mailoval Andrewovi: nerozumim tomu, co tvrdis na te a te strance, tom a tom radku. Zda se mi to divne, proste tomu nerozumim.
Andrew Wiles: Nick mi posilal e-maily a ja na ne odpovidal. Koncem leta prisel e-mail, ktery vypadal na prvni pohled nevinne. Snazil jsem se vysvetlit problem, o kterem se zminoval.
Nick Katz: Vysvetleni bylo trochu komplikovane, takze mi poslal fax, ale ani ten nerozptylil me pochyby. Poslal jsem tedy dalsi e-mail a dostal dalsi fax, ale ani ten me zcela neuspokojil. Nakonec se z toho vyvinula chyba, ktera se ukazala byt podstatna a kterou jsme uplne prehledli v jarni serii prednasek.
Andrew Wiles: Problem vezel prave v metode Flacha a Kolyvagina, kterou jsem zobecnil. Jakmile jsem koncem zari [1993] dosel k nazoru, ze v clanku je skutecne chyba, a sice ve zpusobu, kterym vytvarim konstrukci, stravil jsem vetsinu podzimu uvahami, jak tuto konstrukci modifikovat. Nabizela se spousta jednoduchych a pomerne prirozenych modifikaci a kterakoli z nich mohla fungovat.
Peter Sarnak: Ale vzdycky kdyz se Andrew snazil chybu opravit, ukazal se nedostatek na jinem miste dukazu. Bylo to, jako kdyz se snazite polozit koberec vetsi nez pokoj --- kdyz jej polozite tak, aby licoval v jednom rohu, ukaze se po rozvinuti, ze to nesedi na opacnem konci. Pritom nebylo jasne, jestli ten koberec vubec lze do pokoje vtesnat nebo ne.
Nick Katz: Andrew vypadal navenek uplne normalne, ale muselo byt velice neprijemne pracovat a pritom vedet, ze jej pozoruje cely svet.
John Conway: My ostatni jsme se chovali tak trochu jako lide, kteri studuji reakce Kremlu --- nikdo nemel odvahu se Andrewa otevrene zeptat, jak pokracuje. Typicka konverzace z te doby vypadala asi takto: "Dnes rano jsem videl Andrewa." "A usmival se?" "No, to ano, ale tak moc zase ne."
Andrew Wiles: Miloval jsem kazdou minutu tech prvnich sedmi let, kdy jsem na problemu pracoval, at byla jak chtela tezka. Casto se mi nedarilo, narazel jsem na prekazky, ktere se zdaly neprekonatelne, ale byla to moje osobni soukroma valka. Ale potom ... delat matematiku v tak napjate atmosfere urcite neni muj styl a uz nikdy bych neco podobneho nechtel zazit.
Eve Matheson: Chybu se snazili odstranit i dalsi matematici, vcetne byvaleho Andrewova studenta Richarda Taylora. Uplynul vsak cely rok a Andrew se pomalu smiroval s tim, ze jeho dukaz je neuplny.
Andrew Wiles: V zari [1994 (Pozn. prekl.)] jsem se rozhodl podivat se jeste jednou na puvodni postup Flacha a Kolyvagina a pokusit se presne zformulovat, proc vlastne selhal. V matematice to nikdy uplne presne zformulovat nejde; ja jsem se chtel proste znovu presvedcit, ze to skutecne nefunguje. Sedel jsem tady u tohoto stolu. Bylo pondeli rano, 19. zari 1994, a ja jsem se snazil presvedcit sebe sama, ze dukaz je spatne. Videl jsem naprosto presne, v cem je problem, kdyz tu najednou, naprosto necekane, se mi rozsvitilo. Doslo mi, ze to, co mi tady branilo v dalsim postupu, naprosto elegantne resilo problem, ktery mi pred tremi lety neumoznil dokoncit dukaz pomoci Iwasawovy teorie. Byl to nejdulezitejsi okamzik me kariery ... Bylo to tak neuveritelne nadherne; bylo to tak jednoduche a tak elegantni! Asi 20 minut jsem na to jenom ziral a neveril tomu. Behem dne jsem se sel nekolikrat podivat na stul, jestli to tam porad jeste je. Bylo to tam. Presne to, co odrovnalo metodu Flacha a Kolyvagina, ozivilo horizontalni Iwasawovu teorii, moji puvodni strategii z doby pred tremi lety. Z popela vstalo reseni meho problemu. Prvni noc jsem se na to vyspal a druhy den rano to jeste jednou cele prosel. Kolem jedenacte hodiny jsem byl spokojen, sesel jsem dolu a rekl zene: "Mam to! Myslim, ze to mam, ze jsem to nasel!" Bylo to zcela necekane, myslim si, ze se domnivala, ze mluvim o nejake detske hracce nebo co, takze rekla: "Mas co?" Rekl jsem: "Dokoncil jsem ten dukaz. Mam to."
John Coates: Myslim, ze je to jeden z nejvetsich vysledku teorie cisel.
Barry Mazur: Je to fantasticke.
John Conway: Nestava se kazdy den, ze byste slyseli zpravu o vysledku stoleti.
Goro Shimura: Moje prvni reakce byla: Ja jsem to rikal.
Eve Matheson: Taniyamova-Shimurova hypoteza uz neni hypotezou a v dusledku toho je Velka Fermatova veta dokazana. Ale je Andrewuv dukaz tyz, jako mel na mysli Fermat?
Andrew Wiles: Fermat nemohl znat tento dukaz. Je to dukaz, ktery patri do 20. stoleti. Je zcela vylouceno, ze by takto nekdo postupoval drive nez ve 20. stoleti.
[Navic se zda, ze Fermat dukaz neznal a ze o tom vedel. Jeho slavna poznamka pochazi z doby kolem roku 1637 a nikdy uz ji verejne znovu nepronesl. Pozdeji vsak studoval specialni pripady sve vety, napriklad pripad n=3 formuloval jako problem v dopise Carcavimu v roce 1659 (viz [8]). Kdyby byl Fermat znal dukaz pro obecny pripad, pravdepodobne by se studiem specialnich pripadu nezabyval. Zbyva odpovedet na otazku, proc tedy svou slavnou poznamku nikdy neodvolal. Nemohl totiz tusit, ze ji jeho syn jednou zverejni, a pravdepodobne ho vubec nenapadlo, aby verejne prohlasil neco jako: "Kdysi jsem si cosi soukrome poznamenal, a ted vidim, ze to neni tak uplne pravda". (Pozn. prekl.)]
John Conway: Jsem rad, ze je Fermatova veta dokazana. Ale jsem i trochu smutny, protoze Velka Fermatova veta pro nas tolik znamenala. Co ted zaujme jeji misto?
Andrew Wiles: Zadny jiny problem pro me uz nebude tolik znamenat. Bylo mi doprano to vyjimecne privilegium, ze jsem mohl jako dospely uskutecnit svuj detsky sen. Vim, ze ne kazdemu se to podari. Ale pokud se neco takoveho nekomu povede, je to ta nejvetsi satisfakce, jakou si dokazu predstavit.
Barry Mazur: Jeden z velkolepych rysu teto prace je to, ze obsahuje myslenky tolika matematiku. Mam tu jejich neuplny seznam: Klein, Fricke, Hurwitz, Hencke, Dirichlet, Dedekind ...
Ken Ribet: ... Langlandsuv a Tunnelluv dukaz ...
John Coates: ... Deligne, Rapoport, Katz ...
Nick Katz: ... Mazurova myslenka pouzit deformacni teorii Galoisovy reprezentace ...
Barry Mazur: ... Igusa, Eichler, Shimura, Taniyama ...
Peter Sarnak: ... Freyova redukce.
Nick Katz: Seznam pokracuje dal ...
Barry Mazur: ... Bloch, Kato, Selmer, Frey, Fermat.
Mirko Rokyta