<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\item{a)
}Matice {$ n\times n $} jsou určeny {$ n^{2} $} prvky a taková bude i
dimenze {$ V: $} označíme-li {$ A_{i,j} $} matici, v níž {$ a_{i,j}=1,
a_{k,l}=0 \text{ pro }(k.l)\neq (i,j) $}, lze obecnou matici {$ B
=(b_{r,s})_{r,s=1}^{n} $} zapsat jednoznačně jako součet
$$
  B=\sum_{r,s=1}^{n} b_{r,s}A_{r,s} ,
$$
takže jsme nalezli bázi.
\item{b)}
Je samozřejmě {$ W\subset V. $}

Matice {$ A $} je antisymetrická, právě když {$ A=-A^{T} $} ({$ A^{T}$} je
transponovaná matice ).

Speciálně, nulová matice je antisymetrická (a zároveň symetrická).

Je-li {$ A=-A^{T}, B=-B^{T},\alpha \in \er $},
pak {$ (A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}=-(A+B), (\alpha A)^{T}=\alpha A^{T}=-\alpha A, $}
takže {$ W \text{ je lineární podprostor } V .$}

\item{c)}
Za bázi {$ W  $} lze vzít matice {$ U_{i,j}
=\frac{1}{2}(A_{i,j}-A_{j,i}), j&gt;i.$}
\item{d)}
Počet těchto matic je {$ s=(n-1)+(n-2)+\cdots 1=\frac{1}{2}n(n-1). $}
%\comment
\pr8
Najděte všechny inverze permutace {$ P $}, určete znaménko {$ P, $}
rozložte {$ P $} na cykly a určete {$ P^{-2}, P^{72}, $} kde
$$
  P=\pmatrix
  1&amp;2&amp;3&amp;4&amp;5&amp;6&amp;7\cr
  2&amp;5&amp;7&amp;3&amp;1&amp;4&amp;6\cr
  \endpmatrix
$$
\vskip-20pt
\re
  Inverze, neboli dvojice prvků s přehozeným pořadím, jsou následující:

{$ (2,1),(5,3),(5,1),(5,4),(7,3),(7,1),(7,4),(7,6),(3,1); $}

celkem 9 inverzí; znaménko {$ \operatorname{sgn}P=(-1)^{9}=-1. $}

Cykl dostaneme tak, že permutaci opakovaně aplikujeme na  jeden prvek,
dokud se nevrátíme. Permutace {$ P $} se skládá ze dvou cyklů:
{$ P= P_{1}\circ P_2, $}
$$
  \align
  P_{1}&amp;:\quad   1@&gt;&gt;&gt; 2@&gt;&gt;&gt; 5@&gt;&gt;&gt; 1,\quad P_{1}=\pmatrix
  1&amp;2&amp;3&amp;4&amp;5&amp;6&amp;7\cr
  2&amp;5&amp;3&amp;4&amp;1&amp;6&amp;7\cr
  \endpmatrix
\cr
  P_{2}&amp;: \quad 3@&gt;&gt;&gt; 7@&gt;&gt;&gt; 6@&gt;&gt;&gt; 4@&gt;&gt;&gt; 3,\quad  P_{2}=
  \pmatrix
  1&amp;2&amp;3&amp;4&amp;5&amp;6&amp;7\cr
  1&amp;2&amp;7&amp;3&amp;5&amp;4&amp;6\cr
  \endpmatrix\cr
    \endalign
$$
%\vskip-20pt
    (symbol {$ \circ $} zde znamená složené zobrazení).

Permutace {$ P_{1} $} pracuje pouze na 3 prvcích a platí pro ni {$
P_1^{3}:=P_1\circ P_1\circ P_1\circ P_{1}=I $} --- identická
transformace, podobně {$ P_{2}^{4}=I, P^{12}=(P_{1}^{3})^{4}\circ
(P_{2}^{4})^{3}=I, P^{72}=P^{6\cdot12}=I. $}
Podobně spočteme {$ P^{-2}=P^{10}= P_{1}^{9}\circ P_{1}\circ
P_{2}^{8}\circ P_{2}^{2} $} (symbol $P^{-1}$ znamená inverzní permutaci
a {$ P^{-2}=( P_{1})^{2}$}). Odsud snadno spočteme
\par
 \centerline{$ P^{-2}=\pmatrix
  1&amp;2&amp;3&amp;4&amp;5&amp;6&amp;7\cr
  2&amp;5&amp;6&amp;7&amp;1&amp;3&amp;4\cr
 \endpmatrix
  $}

</pre></body></html>