<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">Najít ortogonální projekci znamená najít ortogonální doplněk {$ U $}
prostoru {$ W $} v~ {$ \er_{3} $} a vektor {$ \vec v $} zapsat
(jednoznačně)
 ve tvaru
{$ \vec v = \vec u +\vec w, \ \vec u \in  U, \vec w \in W.$} Vektory {$
 \vec u, \vec w$} jsou pak po řadě ortogonální projekce vektoru {$ \vec
 v $} do prostorů {$ U,\,W. $}
 \par
 V našem případě nás nezajímá vektor {$ \vec u $} a nemusíme ho ani
 počítat. Využijeme pouze toho, že je kolmý k {$ W $} a tedy
  {$ (\vec u,\vec w_{1})=
     (\vec u,\vec w_{2})=0 $} a toho, že vektor {$ \vec w $} je lineární
     kombinací vektorů            {$ \vec w_{1}, \vec w_{2}. $}
Rovnici {$ \vec v = \vec u +\vec w =\vec u + \alpha \vec w_{1} + \beta
\vec w_{2}$} vynásobíme postupně vektory  {$ \vec w_{1}, \vec w_{2} $}
 a z podmínky {$ (\vec u,\vec w_{i}=0) $} dostaneme systém rovnic
 $$
   \align
            (\vec v,\vec w_{1})&amp;=\alpha (\vec w_{1},\vec w_{1})+\beta (\vec  w_{2},w_{1})\\
            (\vec v,\vec w_{2})&amp;=\alpha (\vec w_{1},\vec w_{2})+\beta (\vec  w_{2},w_{2})\\
   \endalign
$$
respektive po dosazení za příslušné skalární součiny
$$
  \align
  17&amp;=17\alpha +17\beta  \cr
  16&amp;=17\alpha +19\beta  \cr
  \endalign
$$
    odkud {$ \alpha =\frac{3}{2},\beta =-\frac{1}{2}, \vec w
    =\frac{1}{2}(5,3,6). $}

Kontrola: spočteme {$ \vec u = \vec v -\vec w $} a přesvědčíme se, že {$
(\vec u, \vec w_1)=
(\vec u, \vec w_2)=0$}.

Úhel {$ \gamma  $} vektorů {$ \vec v, \vec w_{1} $} spočteme ze
skalárního součinu: je {$ \cos \gamma =\frac{(\vec v,\vec w_{1})}{|\vec
v|\,|\vec w_{1}|} $}. Protože je  {$ (\vec v,\vec w_{1}) = 17 &gt;0, $} je
úhel {$ \gamma  $} menší než {$ \frac{\pi }{2} $}.



</pre></body></html>