\subsubsection {}
Urèete $y'$ a $y''$ v bodech,
v jejichž okolí je uvedenou rovnicí zadána
diferencovatelná
 funkce $y=y(x)$ 

a) $x^2+2xy-y^2=a^2\quad a\in\Bbb R $

b) $\ln\sqrt{x^2+y^2} = \arctg \frac y x .$ 

c) $y-\varepsilon\sin y =x\quad 0<\varepsilon<1 $

d) $x^y=y^x \quad\bold{11.}\,  y=2x\arctg\frac y x.$



\subsubsection {}
Zjistìte, v okolí kterých bodù je
následujícím pøedpisem zadána diferencovatelná
funkce
$z=z(x,y)$ a najdìte její parciální derivace prvního a
druhého øádu. 


a) $\frac x z =\ln\frac z y \quad $


b) $xyz=x+y+z$

c) $F(x+y+z,x^2+y^2+z^2)=0$, \quad ( $F$ je tøí dy $C^2$)

d) $({\partial^2z\over\partial
x\partial y})$

e) $F(xz,yz)=0\quad({\partial^2z\over\partial
x^2})$ \quad ( $F$ je tøí dy $C^2$)



\subsubsection {}
1 Buï  

a) $M=\left\{(x,y,z)\in\Bbb R^3\mid z=y+\ln\frac xz\ \&\
\frac{z^2}4=\frac4\pi\operatorname{arctg}\frac yx\right\}$. 

b) $M=\left\{(x,y,z)\in\Bbb R^3\mid x=z+\ln\frac{x+z}{2y}\ \&\
y^2=\frac4\pi\operatorname{arctg}\frac xz\right\}$. 

Najdìte všechna $a\in\Bbb R$, pro
která platí $(a,a,a)\in M$. Pro každé takové $a$ zjistìte, zda existuje
okolí $U$ bodu $(a,a,a)$ takové, že $U\cap M$ je jednorozmìrná plocha v
$\Bbb R^3$, a pokud ano, najdìte teèný prostor v tomto bodì.
