<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">       \textbf{1.} Je dán vztah $e^{xy}+ \sin y + y^2 = 1$ a bod $[2,0]$:
      \begin{itemize}
            \item Dokažte, že tímto vztahem je definována hladká funkce $y= f(x)$
                  v jistém okolí bodu $2$, pro kterou platí $f(2) = 0$;
            \item napište rovnici tečny ke grafu funkce $f$ v bodě $2$.
      \end{itemize}

      \textbf{Řešení} Označíme $F(x,y) = e^{xy}+ \sin y + y^2 - 1$. Platí:
      \begin{align*}
            F(2,0)&amp;= 0\\
            F &amp;\in \mathcal{C}^1\\
            \frac{\partial F}{\partial y} &amp; = xe^{xy} + \cos y + 2y
                  = 2\cdot1 + 1 = 3 \quad\text{pro $(x,y)=(2,0)$,}
      \end{align*}
      tedy můžeme použit větu o implicitní funkci. Dostáváme, že platí
      \begin{equation}
            e^{xy} + \sin y + y^2 - 1 = 0 \quad\text{na }J = (2 - \delta, 2 + \delta)
      \end{equation}
      a
      \begin{equation}
            y = y(x) \in \mathcal{C}^1,
      \end{equation}
      Dokážeme, že $y(2) = 0$.
      Víme, že:
      \begin{align*}
            F(2, y(2)) &amp; = 0\\
            F(2, 0) &amp; = 0,
      \end{align*}
      a víme, že na okolí bodu $2$ existuje právě jedno $y(2)$ splňující rovnost
      $e^{xy} + \sin y + y^2 - 1 = 0$, tedy $y(2) = 0$.
      Na okolí bodu $2$ existuje právě jedno $y = y(2)$, tedy $y(2) = 0$.
      Podle (2) je $y$ hladká funkce. Pro rovnici tečny
      potřebujeme spočítat derivaci $y$ v bodě $x=2$. Spočítáme ji podle vzorce:
      $$
            y'(x) = -\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}} =
            -\frac{ye^{xy}}{xe^{xy} + \cos y + 2y} = 0 \quad\text{v bodě }(x,y)=(2,0)
      $$
      Tedy rovnice tečny ke grafu funkce $y$ v bodě $x=2$ je $t(x) = 0$.
</pre></body></html>